- Bir bileşke fonksiyonda iç ve dış fonksiyonu belirlemek
- Zincir kuralını ve f(kx + b) özel durumunu uygulamak
- Bileşke biçim formülleriyle kuvvet, üstel, logaritmik ve trigonometrik bileşke fonksiyonların türevini almak
- Çok katmanlı fonksiyonların türevini almak ve zincir kuralını çarpım ve bölüm kurallarıyla birleştirmek
Elvin, Bakü Bulvarı’nda bisiklet sürüyor. Pedalları saniyede bir tur çeviriyor; vites düzeneği pedalların her turunda arka tekerleği 3 tur döndürüyor; tekerleğin her turunda da bisiklet 2 m ilerliyor. Elvin ne hızla gidiyor? 1 · 3 · 2 = 6 m/s. Zincir gibi birbirine bağlı niceliklerin değişim hızlarını çarptık: pedal → tekerlek → yol. Bileşke fonksiyonun türevi de tam olarak böyle bulunur.
“Türev tablosu” ve “Toplamın, çarpımın ve bölümün türevi” derslerinde sin x, eˣ, ln x gibi fonksiyonların ve bunların toplamının, çarpımının, bölümünün türevini almayı öğrendik. Peki sin(x²), e^(−x) ya da (3x − 2)⁵ ne olacak? (3x − 2)⁵ ifadesinde parantezi açmak uzun sürer, sin(x²) ise basit fonksiyonların çarpımı olarak hiç yazılamaz. Zincir kuralı bu durumların hepsini tek satırda çözer.
Bileşke fonksiyon: iç ve dış fonksiyon
y = sin(x²) fonksiyonunun x = 3 için değerini hesaplamak için önce kare alırız: 3² = 9, ancak ondan sonra sinüsü buluruz: sin 9. Yani bu fonksiyon zincir gibi bağlanmış iki “makineden” oluşur: birincisi x’i u = x² sayısına, ikincisi u’yu y = sin u sayısına dönüştürür.
y = f(g(x)) biçimindeki fonksiyon: önce iç fonksiyon u = g(x) hesaplanır, sonra sonuca dış fonksiyon y = f(u) uygulanır. Başka gösterimler: y = f(u), u = g(x) ya da (f ∘ g)(x). Burada u’ya ara değişken denir.
Dış fonksiyon nasıl tanınır? Değeri hesap makinesiyle hesapladığını düşün. En son yaptığın işlem dış fonksiyondur; onun “içinde” kalan her şey — parantezdeki, kökün altındaki, üsteki ya da sin, cos, ln’den sonra gelen ifade — iç fonksiyondur. Dış fonksiyon genellikle tablodaki fonksiyonlardan biridir: uⁿ, √u, eᵘ, aᵘ, ln u, sin u, cos u, tan u, cot u.
| Fonksiyon | İç fonksiyon | Dış fonksiyon | Son işlem |
|---|---|---|---|
| (3x − 2)⁵ | u = 3x − 2 | y = u⁵ | 5. kuvvetini alma |
| sin(x²) | u = x² | y = sin u | sinüs |
| e^(−x) | u = −x | y = eᵘ | üstel fonksiyon eᵘ |
| √(x² + 9) | u = x² + 9 | y = √u | karekök |
| ln(cos x) | u = cos x | y = ln u | doğal logaritma |
| sin² x = (sin x)² | u = sin x | y = u² | kare alma |
| cos 5x | u = 5x | y = cos u | kosinüs |
Zincir kuralı: değişim hızları çarpılır
Elvin’in bisikletine dönelim. Tekerleğin dönme açısı pedalın açısına, alınan yol ise tekerleğin açısına bağlıdır. u niceliği x’ten 3 kat, y de u’dan 2 kat hızlı değişiyorsa y, x’ten 3 · 2 = 6 kat hızlı değişir. Birimler de böyle dönüştürülür: 1 saat = 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye, yani 1 saat = 60 · 60 = 3600 saniye. Türev bir değişim hızı olduğu için fonksiyonlar zincirinde türevler çarpılır.
- g(x)iç fonksiyon
- fdış fonksiyon
- f′(g(x))dış fonksiyonun türevi; iç fonksiyon içinde değişmeden kalır
- g′(x)iç fonksiyonun türevi
Bileşke fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun (iç fonksiyonda hesaplanan) türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
- uara değişken, u = g(x)
- dy/dudy/duy’nin u’ya göre türevi (dış türev)
- du/dxdu/dxu’nun x’e göre türevi (iç türev)
Leibniz gösterimi. Sanki sıradan kesirlerdeki gibi du “sadeleşiyor”; akılda tutmak için kullanışlıdır ama bir ispat değildir. Bisiklet örneğinde: dy/du = 2 (tekerleğin her turunda 2 m), du/dx = 3, yani dy/dx = 6.
Bu neden doğrudur? x’e bir Δx artımı verelim. O zaman iç fonksiyon Δu, dış fonksiyon Δy kadar değişir ve (Δu ≠ 0 iken) Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) olur. Δx → 0 iken Δu da sıfıra yaklaşır; birinci oran f′(u)’ya, ikincisi g′(x)’e yaklaşır. Limite geçince kural elde edilir.
- 1Katmanları belirle
Hangi işlemin en son yapıldığını (dış fonksiyonu) bul ve iç fonksiyonu ayrıca yaz: u = …
- 2İç fonksiyonun türevi
u′ türevini hesapla.
- 3Dış fonksiyonun türevi
Dış fonksiyonun u’ya göre türevini tablodan al: f′(u). u’ya dokunma, olduğu gibi kalır.
- 4Çarp ve yerine koy
y′ = f′(u) · u′ yaz ve u yerine x cinsinden ifadesini koy.
- 5Sadeleştir
Sayısal çarpanları başa topla ve mümkünse sonucu sadeleştir.
Türevini al: 1) y = (3x − 2)⁵; 2) y = sin(x²); 3) y = e^(−x); 4) y = √(x² + 9); 5) y = ln(cos x).
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) u = x², u′ = 2x; dış fonksiyon sin u, türevi cos u’dur. y′ = cos(x²) · 2x = 2x · cos(x²).
3) u = −x, u′ = −1; (eᵘ)′ = eᵘ. y′ = e^(−x) · (−1) = −e^(−x).
4) u = x² + 9, u′ = 2x; (√u)′ = 1/(2√u). y′ = 1/(2√(x² + 9)) · 2x = x / √(x² + 9).
5) u = cos x, u′ = −sin x; (ln u)′ = 1/u. y′ = (1/cos x) · (−sin x) = −tan x.
f(x) = (x² + 1)³ veriliyor. f′(1)’i zincir kuralıyla bul ve parantezi açarak kontrol et.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) f′(1) = 6 · 1 · 2² = 24.
3) Kontrol: (x² + 1)³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1, f′(x) = 6x⁵ + 12x³ + 6x, f′(1) = 6 + 12 + 6 = 24.
Sonuçlar aynı, ama zincir kuralı çok daha kısadır; (x² + 1)⁵⁰ için parantez açmak ise pratikte imkânsızdır.
Özel durum: iç fonksiyon kx + b
En sık karşılaşılan iç fonksiyon doğrusaldır: u = kx + b. Türevi yalnızca k sayısıdır, bu yüzden kural çok kısalır: kx + b sanki sadece x’miş gibi türev al, sonra sonucu k ile çarp.
- kx’in katsayısı, yani iç fonksiyonun türevi: (kx + b)′ = k
- bsabit terim; ayrı bir çarpan vermez, yalnızca içeride kalır
- f′dış fonksiyonun tablodaki türevi
Parantezi x gibi düşünüp türev al, sonra x’in katsayısıyla çarp. Örneğin (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).
Türevi zihinden bul: 1) sin 3x; 2) cos(2x + 1); 3) e^(5x); 4) e^(−2x); 5) (4x + 1)³; 6) √(2x + 7); 7) ln(3x − 1); 8) tan(x/2); 9) 1/(5 − x); 10) ln 7x; 11) (1 − x)⁴; 12) 2^(3x).
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) k = 2: (cos(2x + 1))′ = −2 sin(2x + 1).
3) k = 5: (e^(5x))′ = 5e^(5x).
4) k = −2: (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).
5) k = 4: 3(4x + 1)² · 4 = 12(4x + 1)².
6) k = 2: 2 · 1/(2√(2x + 7)) = 1/√(2x + 7).
7) k = 3: 3 · 1/(3x − 1) = 3/(3x − 1).
8) k = ½: ½ · 1/cos²(x/2) = 1/(2cos²(x/2)).
9) 1/u = u⁻¹ ve (u⁻¹)′ = −1/u²; k = −1: (−1) · (−1/(5 − x)²) = 1/(5 − x)².
10) k = 7: 7 · 1/(7x) = 1/x. Kontrol: ln 7x = ln 7 + ln x ve (ln 7)′ = 0 olduğundan türev 1/x’tir.
11) k = −1: 4(1 − x)³ · (−1) = −4(1 − x)³.
12) k = 3: 3 · 2^(3x) · ln 2.
Temel formüllerin bileşke biçimleri
Zincir kuralını türev tablosunun her satırına rastgele bir iç fonksiyon u = u(x) için bir kez uygularsak “bileşke tablo” elde ederiz. Tabloyu tam bu biçimde ezberlemek işe yarar: her formül eskisiyle aynıdır, yalnızca sonuna u′ çarpanı eklenmiştir.
| Temel formül | Bileşke biçim | Örnek |
|---|---|---|
| (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ | (uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′ | ((x² + 1)³)′ = 3(x² + 1)² · 2x |
| (√x)′ = 1 / (2√x) | (√u)′ = u′ / (2√u) | (√(3x + 1))′ = 3 / (2√(3x + 1)) |
| (eˣ)′ = eˣ | (eᵘ)′ = eᵘ · u′ | (e^(x³))′ = 3x² · e^(x³) |
| (aˣ)′ = aˣ · ln a | (aᵘ)′ = aᵘ · ln a · u′ | (5^(2x))′ = 2 · 5^(2x) · ln 5 |
| (ln x)′ = 1 / x | (ln u)′ = u′ / u | (ln(x² + 3))′ = 2x / (x² + 3) |
| (sin x)′ = cos x | (sin u)′ = cos u · u′ | (sin 4x)′ = 4 cos 4x |
| (cos x)′ = −sin x | (cos u)′ = −sin u · u′ | (cos(x³))′ = −3x² · sin(x³) |
| (tan x)′ = 1 / cos² x | (tan u)′ = u′ / cos² u | (tan 2x)′ = 2 / cos² 2x |
| (cot x)′ = −1 / sin² x | (cot u)′ = −u′ / sin² u | (cot 3x)′ = −3 / sin² 3x |
- uiç fonksiyon u(x)
- nherhangi bir gerçek üs (negatif ve kesirli üsler de dahil)
- u′iç fonksiyonun türevi
Kuvvet ve kök. 1/uⁿ biçimindeki kesirleri önce u⁻ⁿ, kökleri de kuvvet olarak yaz: ∛u = u^(1/3). O zaman bölüm kuralına gerek kalmaz.
Türevini al: 1) y = (x² − 3x + 1)⁴; 2) y = 1/(x² + 1)³; 3) y = √(4 − x²); 4) y = ∛(x² + 1); 5) f(x) = √(x² + 16) için f′(3)’ü hesapla.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Kuvvet olarak yazalım: y = (x² + 1)⁻³. y′ = −3(x² + 1)⁻⁴ · 2x = −6x / (x² + 1)⁴. Bölüm kuralına gerek kalmadı.
3) u = 4 − x², u′ = −2x: y′ = −2x / (2√(4 − x²)) = −x / √(4 − x²).
4) y = (x² + 1)^(1/3): y′ = ⅓ · (x² + 1)^(−2/3) · 2x = 2x / (3∛((x² + 1)²)).
5) f′(x) = 2x / (2√(x² + 16)) = x / √(x² + 16); f′(3) = 3 / √25 = 3/5.
- uiç fonksiyon u(x)
- aüstel fonksiyonun tabanı: a > 0, a ≠ 1
- ln atabanın doğal logaritması, sabit bir sayı
- u′iç fonksiyonun türevi
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar. (ln u)′ = u′/u formülünü şöyle hatırla: “içerinin türevi bölü içeri”. ln u için iç fonksiyon pozitif olmalıdır.
Türevini al: 1) y = e^(x² − 1) (ayrıca y′(1)’i hesapla); 2) y = 3^(2x + 1); 3) y = 2^(−x²); 4) y = ln(x² + 4); 5) y = ln(sin x).
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) u = 2x + 1, u′ = 2: y′ = 3^(2x + 1) · ln 3 · 2 = 2 ln 3 · 3^(2x + 1).
3) u = −x², u′ = −2x: y′ = 2^(−x²) · ln 2 · (−2x) = −2x · ln 2 · 2^(−x²).
4) u = x² + 4, u′ = 2x: y′ = 2x / (x² + 4).
5) u = sin x, u′ = cos x: y′ = cos x / sin x = cot x.
- uiç fonksiyon (açı radyan cinsinden)
- u′iç fonksiyonun türevi
Sinüs ve kosinüs. u argümanı değişmeden kalır, (cos u)′ içindeki eksi işareti de kaybolmaz.
Türevini al: 1) y = sin(x³); 2) y = cos(π/3 − 2x); 3) y = cos(eˣ); 4) f(x) = sin 2x için f′(π/6)’yı hesapla.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) u = π/3 − 2x, u′ = −2: y′ = −sin(π/3 − 2x) · (−2) = 2 sin(π/3 − 2x). İki eksi işareti artı verir.
3) u = eˣ, u′ = eˣ: y′ = −sin(eˣ) · eˣ = −eˣ · sin(eˣ).
4) f′(x) = 2 cos 2x; f′(π/6) = 2 cos(π/3) = 2 · ½ = 1.
- uiç fonksiyon
- cos² u, sin² uiç fonksiyonun tamamının kosinüsünün (sinüsünün) karesi
Tanjant ve kotanjant: iç fonksiyonun türevi kesrin payına yazılır.
Türevini al: 1) y = tan(x²); 2) y = cot 4x; 3) y = tan(ln x); 4) f(x) = tan 3x için f′(π/12)’yi hesapla.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) u = 4x, u′ = 4: y′ = −4 / sin² 4x.
3) u = ln x, u′ = 1/x: y′ = (1/x) / cos²(ln x) = 1 / (x · cos²(ln x)).
4) f′(x) = 3 / cos² 3x; x = π/12 için 3x = π/4 ve cos²(π/4) = ½, yani f′(π/12) = 3 / ½ = 6.
- 1.(sin 4x)′ = · cos 4x
- 2.(e^(−3x))′ = · e^(−3x)
- 3.((2x + 5)⁴)′ = · (2x + 5)³
- 4.(ln(x² + 5))′ = / (x² + 5)
- 5.(cos(x²))′ = − · sin(x²)
- 6.(√(6x + 1))′ = / √(6x + 1)
Zor durumlar: birkaç katman, çarpım ve bölüm
Bazı fonksiyonlarda üç ya da daha fazla katman vardır. sin³(2x) = (sin 2x)³ fonksiyonunda dış katman küp, orta katman sinüs, iç katman ise 2x’tir. Böyle bir fonksiyonda zincir kuralı tekrar tekrar uygulanır: katmanları soğan gibi dışarıdan içeriye doğru tek tek soyar ve bütün katmanların türevlerini çarparız.
- fdış katman
- gorta katman
- hiç katman
Üç katman, üç çarpan; her katmanın türevi, içinde duran ifadede hesaplanır. Leibniz gösteriminde: dy/dx = dy/du · du/dv · dv/dx; burada u = g(v), v = h(x).
- 1Dış katman
En dıştaki işlemin türevini al; altındaki her şeyi olduğu gibi yaz.
- 2Sonraki katman
Sonraki katmanın türeviyle çarp; onun da içine dokunma.
- 3x’e kadar
x’in kendisine ulaşana kadar devam et: doğrusal bir katman yalnızca bir sayı verir.
- 4Sadeleştir
Sayıları çarp ve mümkünse 2 sin u · cos u = sin 2u gibi özdeşlikleri kullan.
Türevini al: 1) y = sin³(2x); 2) y = e^(sin² x); 3) y = √(ln x); 4) y = ln(cos 3x); 5) f(x) = cos²(πx) için f′(1/4)’i hesapla.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Katmanlar: e^( ) → ( )² → sin x. y′ = e^(sin² x) · 2 sin x · cos x = sin 2x · e^(sin² x).
3) Katmanlar: √( ) → ln x. y′ = 1/(2√(ln x)) · 1/x = 1 / (2x√(ln x)).
4) Katmanlar: ln( ) → cos → 3x. y′ = (1/cos 3x) · (−sin 3x) · 3 = −3 tan 3x.
5) Katmanlar: ( )² → cos → πx. f′(x) = 2 cos(πx) · (−sin(πx)) · π = −π sin(2πx); f′(1/4) = −π sin(π/2) = −π.
Sadeleştirmeden önce her cevapta katman sayısı kadar çarpan vardır.
x · e^(−x) fonksiyonunda son işlem çarpmadır; yani ana kural çarpım kuralıdır (“Toplamın, çarpımın ve bölümün türevi” dersi), zincir kuralı yalnızca içeride, e^(−x) çarpanı için gerekir. Bu yüzden her seferinde önce sor: “Son işlem hangisi: çarpma mı, bölme mi, yoksa bir fonksiyonun uygulanması mı?” — ve önce o kuralı uygula.
Türevini al: 1) y = x · e^(−x); 2) y = x² · √(1 − x); 3) y = sin 2x / x; 4) y = x / √(x² + 1); 5) y = e^(2x) · sin 3x.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Çarpım; (√(1 − x))′ = −1/(2√(1 − x)). y′ = 2x · √(1 − x) − x² / (2√(1 − x)). Paydaları eşitleyelim: y′ = (4x(1 − x) − x²) / (2√(1 − x)) = x(4 − 5x) / (2√(1 − x)).
3) Bölüm; (sin 2x)′ = 2 cos 2x. y′ = (2 cos 2x · x − sin 2x · 1) / x² = (2x cos 2x − sin 2x) / x².
4) Bölüm; (√(x² + 1))′ = x / √(x² + 1). y′ = (√(x² + 1) − x · x/√(x² + 1)) / (x² + 1) = ((x² + 1) − x²) / ((x² + 1)√(x² + 1)) = 1 / ((x² + 1)√(x² + 1)).
5) Çarpım, her çarpanda doğrusal bir iç fonksiyon var: y′ = 2e^(2x) · sin 3x + e^(2x) · 3 cos 3x = e^(2x)(2 sin 3x + 3 cos 3x).
Önemli noktalar
- Bileşke fonksiyon y = f(g(x)): önce iç fonksiyon u = g(x), sonra dış fonksiyon f hesaplanır; en son yapılan işlem dış fonksiyondur.
- (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x), yani dy/dx = dy/du · du/dx: değişim hızları çarpılır.
- Doğrusal iç fonksiyon: (f(kx + b))′ = k · f′(kx + b); örneğin (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).
- Bileşke tabloda her formül, temel formülün u′ ile çarpımıdır: (uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′, (eᵘ)′ = eᵘ · u′, (ln u)′ = u′/u, (sin u)′ = cos u · u′.
- Birkaç katmanda soğanı dışarıdan içeriye soy ve bütün katmanların türevlerini çarp; çarpım ve bölümde önce son işlemin kuralını uygula.
- İç türevi unutma ve sin² x = (sin x)² ile sin x² = sin(x²) ifadelerini karıştırma.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.