Türev tablosu

İlk derste türevi tanımdan buluyorduk: değişkenin artımı, fonksiyonun artımı, oran, limit — her yeni fonksiyon için aynı uzun yol. Her soruda sin x veya √x için bu limiti yeniden hesaplamak hem yavaş hem de yorucudur. Matematikçiler bu işi tüm temel fonksiyonlar için bir kez yapıp sonuçları türev tablosunda toplamıştır. Tablo, çarpım tablosu gibi çalışır: 7 · 8’i parmakla saymazsın, 56 olduğunu bilirsin. Bu derste tabloyu öğrenecek, her satırın nereden geldiğini görecek ve onu kullanmak alışkanlık olana kadar alıştırma yapacaksın.

Tablo bir bakışta

Aşağıda okul müfredatındaki tüm temel fonksiyonların türevleri verilmiştir. Sol sütunda fonksiyon, ortada türevi, sağda ise formülün geçerli olduğu koşullar yer alır. İki genel kural vardır: formül yalnızca fonksiyonun kendisinin tanımlı (ve türevlenebilir) olduğu noktalarda geçerlidir; trigonometrik formüllerde x her zaman radyan cinsindendir.

1. 1
   Türü belirle

   x nerede duruyor? Tabandaysa (xⁿ) kuvvet fonksiyonu, üsteyse (aˣ) üstel fonksiyon, ln veya log altındaysa logaritma fonksiyonu, sin, cos, tan, cot altındaysa trigonometrik fonksiyondur. İfadede hiç x yoksa bu bir sabittir ve türevi 0’dır.

2. 2
   Gerekirse dönüştür

   Kökü ve kesri üslü biçimde yaz: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³. Artık sıradan bir kuvvet fonksiyonudur.

3. 3
   Tablodan satırı al

   f′(x)’i tablodan yaz ve koşulları kontrol et: ln x ve √x için x > 0, trigonometrik fonksiyonlarda x radyan cinsinden.

4. 4
   Noktayı yerine koy

   Türevin x₀ noktasındaki değeri soruluyorsa x₀’ı f(x)’e değil, f′(x)’e yaz ve sadeleştir.

Sabit, doğrusal ve kuvvet fonksiyonları

Sabit değişmez: f(x) = C için her Δx’te Δf = C − C = 0’dır; bu yüzden Δf / Δx = 0 ve C′ = 0. Grafiği yatay bir doğrudur, yatay doğrunun eğimi de 0’dır. f(x) = kx + b için Δf = k(x + Δx) + b − (kx + b) = k · Δx, yani her Δx için Δf / Δx = k. Doğrusal fonksiyonun türevi eğimidir ve her noktada aynıdır; özel olarak x′ = 1.

Şimdi n bir doğal sayı olmak üzere f(x) = xⁿ alalım. (x + Δx)ⁿ ifadesini n tane (x + Δx) parantezinin çarpımı olarak yaz. Her parantezden x alırsak xⁿ elde edilir. Yalnızca bir parantezden Δx, diğerlerinden x alırsak xⁿ⁻¹ · Δx elde edilir; bu parantez n farklı şekilde seçilebilir, bu yüzden toplam n · xⁿ⁻¹ · Δx olur. Diğer tüm terimlerde en az (Δx)² vardır; Δx’e böldükten sonra da içlerinde Δx kalır ve 0’a yaklaşırlar.

Örneğin n = 3 için (x + Δx)³ = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³. O hâlde Δf = 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ ve Δf / Δx = 3x² + 3xΔx + (Δx)² → 3x². Yani (x³)′ = 3x²: üs katsayı olarak öne indi, kendisi de 1 azaldı.

Aynı formül negatif ve kesirli üsler için de geçerlidir. İki durumu doğrudan kontrol edelim. 1/x = x⁻¹ için: Δf = 1/(x + Δx) − 1/x = −Δx / (x(x + Δx)), Δf / Δx = −1 / (x(x + Δx)) → −1/x². Formül de aynı sonucu verir: (x⁻¹)′ = −1 · x⁻² = −1/x². √x = x^(1/2) için pay ve paydayı √(x + Δx) + √x ile çarpalım: Δf / Δx = (√(x + Δx) − √x) / Δx = 1 / (√(x + Δx) + √x) → 1/(2√x); formül de ½ · x^(−1/2) = 1/(2√x) verir. Her gerçek n için genel ispat yükseköğretim matematiğinde yapılır; okulda formül doğrudan kullanılır.

Üstel ve logaritma fonksiyonları

y = aˣ fonksiyonunda değişken üstedir, bu yüzden kuvvet kuralı burada işe yaramaz. Artımı hesaplayalım: a^(x + Δx) − aˣ = aˣ · (a^Δx − 1), yani Δf / Δx = aˣ · (a^Δx − 1) / Δx. İkinci çarpan x’e bağlı değildir: Δx → 0 iken aˣ grafiğinin (0, 1) noktasındaki eğimine yaklaşır. Demek ki üstel fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisinin sabit bir sayıyla çarpımıdır.

Bu sabit tabana bağlıdır: 2ˣ için yaklaşık 0,69, 3ˣ için yaklaşık 1,10’dur. Hesap makinesiyle kontrol edebilirsin: (2^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 0,693 ve (3^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 1,099. Demek ki 2 ile 3 arasında, (0, 1) noktasındaki eğimi tam 1 olan bir taban vardır. Bu taban e sayısıdır.

a = e için bu sabit 1’dir, bu yüzden (eˣ)′ = eˣ: fonksiyon kendi türevine eşittir. eˣ grafiğinin her noktadaki eğimi o noktadaki yüksekliğine eşittir: x = 0’da ikisi de 1, x = 2’de ikisi de e² ≈ 7,39’dur. Başka bir taban için a = e^(ln a) yazalım; o zaman aˣ = e^(kx) olur, burada k = ln a bir sabittir. x’i k ile çarpmak grafiğin tüm eğimlerini k ile çarpar (kesin nedeni 5. dersteki zincir kuralıdır), bu yüzden (aˣ)′ = k · e^(kx) = aˣ · ln a. Kontrol: ln 2 ≈ 0,693 ve ln 3 ≈ 1,099; yukarıda ölçtüğümüz sayıların aynısı.

Birbirinin tersi olan fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Bu yansımada Δx ve Δy yer değiştirir, bu yüzden eğimi k olan bir doğru eğimi 1/k olan bir doğruya dönüşür. eˣ grafiğinde (t, eᵗ) noktasını alalım: oradaki eğim eᵗ’dir. Bu noktanın simetriği olan (eᵗ, t) noktası ln x grafiğindedir ve oradaki eğim 1/eᵗ’dir. x = eᵗ dersek (ln x)′ = 1/x elde edilir.

Başka tabandaki bir logaritma, taban değiştirme formülüyle ln’ye indirgenir: logₐ x = ln x / ln a. Burada 1/ln a yalnızca sabit bir çarpandır, bu yüzden (logₐ x)′ = 1/(x · ln a). Onluk logaritma log₁₀ x için: (log₁₀ x)′ = 1/(x · ln 10) ≈ 0,434/x.

Trigonometrik fonksiyonlar

Her şey tek bir limite dayanır: x radyan cinsinden ölçülürse h → 0 iken sin h / h → 1. Geometrik olarak: birim çemberde uzunluğu h olan küçük bir yay ile yayın ucundan x eksenine indirilen sin h dikmesi neredeyse eşittir. Sayılarla: sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,9983, sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998.

Trigonometrideki dönüşüm formüllerinden biri sinüs farkı formülüdür: sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) · sin((α − β)/2). O hâlde sin(x + h) − sin x = 2 cos(x + h/2) · sin(h/2) ve h’ye bölersek:
(sin(x + h) − sin x) / h = cos(x + h/2) · sin(h/2) / (h/2) → cos x · 1 = cos x.
Aynı şekilde kosinüs farkı formülü cos(x + h) − cos x = −2 sin(x + h/2) · sin(h/2) bize (cos x)′ = −sin x sonucunu verir.

Tanjant ve kotanjant birer bölümdür: tan x = sin x / cos x, cot x = cos x / sin x. Türevlerini 4. derste bölümün türevi kuralıyla çıkaracağız; şimdilik tablodan alıyoruz. 1/cos² x = 1 + tan² x olduğuna dikkat et, bu yüzden (tan x)′ her zaman pozitiftir: tanjant, tanım kümesinin her aralığında artandır. Aynı şekilde (cot x)′ = −1/sin² x < 0: kotanjant her aralıkta azalandır.

Tabloyla çalışmak: kontrol ve alıştırma

Tablo tersine de çalışır: türevin değeri biliniyorsa noktayı bulabiliriz. Bu beceri teğet problemlerinde (eğim nerede verilen sayıya eşit?) ve 6. derste (türev nerede sıfır?) gerekecek.

Tablo sonraki iki dersin temelidir. 4. derste tablodaki fonksiyonların toplamının, çarpımının ve bölümünün (örneğin x² · sin x) türevini, 5. derste ise sin 3x veya e^(x²) gibi bileşke fonksiyonların türevini almayı öğreneceğiz. Bu tür her hesap sonunda bu tablonun bir satırına varır; bu yüzden tabloyu ezbere bilmek gerekir.