Üçgenlerde eşlik

Gence’deki bir mobilya atölyesinde üçgen biçimli raf destekleri yapılıyor. Usta, yeni desteğin kalıpla tamamen aynı olduğunu anlamak için altı elemanının hepsini, yani üç kenarını ve üç açısını ölçmek zorunda mı? Hayır: iyi seçilmiş üç ölçüm yeter. Bu derste hangi üç ölçümün yettiğini ve nedenini öğreneceğiz. Bu kurallar, yani üçgenlerde eşlik kuralları, okul geometrisinin temel aracıdır: sonraki derslerdeki ispatların çoğu “iki üçgeni ele alalım…” sözleriyle başlar.

“Üçgenler” dersinde ikizkenar üçgeni, kenarortayı, açıortayı ve yüksekliği tanıdık. Şimdi bunların özelliklerinin neden doğru olduğunu ispatlayacak ve yalnızca pergel ile cetvel kullanarak çizim yapmayı öğreneceğiz.

Eş üçgenler ve karşılık gelen elemanlar

Kâğıttan kesilmiş iki şekil üst üste konduğunda tamamen çakışıyorsa bu şekillere eş denir. Bunun için şekli kaydırabilir, döndürebilir, gerekirse ters çevirebiliriz. Üçgenler için bu, bir üçgenin üç kenarının ve üç açısının diğer üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açılarına eşit olması demektir.

Harflerin sırası önemlidir: △ABC ≅ △KLM yazılışı A köşesinin K’ye, B’nin L’ye, C’nin de M’ye karşılık geldiğini söyler. Bu yüzden altı eşitliğin hepsi şekle bakmadan okunabilir: AB = KL, BC = LM, AC = KM, ∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.

Üç temel eşlik kuralı

Altı eşitliğin hepsini kontrol etmek gerekir mi? Hayır. Bir üçgen, uygun seçilmiş üç elemanıyla tamamen belirlenir: bu üçü verilince geri kalan üç elemanın “seçme özgürlüğü” kalmaz. Bu üçlülere eşlik kuralları denir. Kısaca kenarı K, açıyı A harfiyle gösteriyoruz.

Neden doğru? △A₁B₁C₁’i △ABC’nin üzerine, A₁ köşesi A’ya gelecek ve A₁B₁ ışını AB ışını boyunca uzanacak biçimde koyalım. A₁B₁ = AB olduğundan B₁ noktası B’ye düşer. ∠A₁ = ∠A olduğundan A₁C₁ ışını AC ışını boyunca uzanır; A₁C₁ = AC olduğundan da C₁ noktası C’ye düşer. Üç köşe çakıştı, demek ki üçgenler de çakışır. Bu, üst üste koyma yöntemiyle yapılan bir ispattır.

Nedeni: A₁B₁’i AB’nin üzerine koyalım. Açılar eşit olduğundan A₁’den çıkan kenar AC ışını boyunca, B₁’den çıkan kenar da BC ışını boyunca uzanır. İki ışın yalnızca bir noktada, C’de kesişebilir; demek ki C₁ noktası C’ye düşer. Üçgenin açıları toplamı 180° olduğundan iki açı eşitse üçüncü açılar da eşittir. Bu yüzden bir kenar ve herhangi iki açı da yeter (AAK): kenar verilen açıların arasında olmasa bile üçüncü açı durumu AKA’ya çevirir.

Bunu pergelle görebiliriz. AB doğru parçasını çizelim. Üçüncü köşe A’dan AC uzaklıkta, yani merkezi A olan çember üzerinde; B’den BC uzaklıkta, yani merkezi B olan çember üzerindedir. İki çember AB doğrusunun her iki yanında en fazla birer noktada kesişir; bu iki nokta AB’ye göre simetriktir ve aynı üçgeni yalnızca ters çevrilmiş olarak verir. Demek ki üç kenar üçgeni tamamen belirler. Üç çubuktan yapılmış bir çerçevenin eğilmemesinin, yani üçgenin rijit bir şekil olmasının nedeni budur; dört çubuklu çerçeve ise eğilebilir.

1. 1
   Şekli işaretle

   Verilen eş kenarları çentiklerle, eş açıları yaylarla işaretle.

2. 2
   Gizli eşitlikleri bul

   Ortak kenar, ters açılar, paralel doğrulardaki açılar, orta nokta ve açıortay ek eşitlikler verir.

3. 3
   Kuralı seç

   Üç elemanın yerleşimini kontrol et: KAK’ta açı kenarların arasında, AKA’da kenar açıların arasında olmalı.

4. 4
   Eşliği doğru yaz

   Karşılık gelen köşeleri aynı sırayla yaz, örneğin △AOC ≅ △BOD.

5. 5
   Sonuca var

   Eş üçgenlerde karşılık gelen elemanlar eşittir; istenen kenar ya da açı eşitliği buradan çıkar.

Dik üçgenlerde eşlik

Dik üçgenlerde bir çift eş eleman, yani 90°’lik açılar, zaten bellidir. Bu yüzden iki elemanın daha eşit olması yeter. Hatırlayalım: dik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar, dik açının karşısındaki en uzun kenara hipotenüs denir.

İspatın fikri: üçgenleri eş dik kenarları BC ve B₁C₁ boyunca, dik açılar yan yana gelecek şekilde birleştirelim. 90° + 90° = 180° olduğundan A, C ve A₁ noktaları aynı doğru üzerindedir ve ABA₁ üçgeni oluşur. Bu üçgenin AB ve A₁B kenarları eş hipotenüslerdir; yani üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşittir: ∠A = ∠A₁ (bu özellik aşağıda ispatlanıyor). O hâlde dik üçgenler hipotenüs ve bir dar açı bakımından eştir.

Bu da eş üçgenlerle ispatlanır. ABC üçgeninin AC dik kenarına göre simetriğini alarak AB₁C üçgenini elde edelim. İki dik kenar eşit olduğundan △ABC ≅ △AB₁C; dolayısıyla AB = AB₁ ve ∠BAB₁ = 30° + 30° = 60°. Tepe açısı 60° olan ikizkenar üçgenin taban açıları (180° − 60°) ÷ 2 = 60°’dir; yani ABB₁ eşkenardır ve BB₁ = AB. O hâlde BC = BB₁ ÷ 2 = AB ÷ 2.

İspatlarda eş üçgenler: ikizkenar üçgen ve orta dikme

Eş üçgenler bir şekli ispata dönüştürür: iki doğru parçasının ya da iki açının eşit olduğunu göstermek için bunların karşılık gelen elemanlar olduğu iki eş üçgen bulmak yeter. İkizkenar üçgenin özelliklerini bu yolla ispatlayalım.

İspat: O, AB’nin orta noktası, M de orta dikme üzerinde bir nokta olsun. AOM ve BOM üçgenlerinde AO = OB, ∠AOM = ∠BOM = 90° ve OM ortaktır; KAK kuralına göre eştirler, dolayısıyla MA = MB. Tersine, MA = MB ise AMB üçgeni ikizkenardır ve MO kenarortayı aynı zamanda yüksekliktir; yani M orta dikme üzerindedir.

Pergel ve cetvelle çizimler

Çizim problemlerinde yalnızca iki araç kullanılır: işaretsiz cetvel (iki noktadan geçen doğruyu çizmek için) ve pergel (verilen merkez ve yarıçapla çember çizmek için). Her klasik çizimin doğruluğu eşlik kurallarından biriyle, çoğunlukla KKK ile gösterilir. Üç kenarı verilen üçgenin çizimi:

1. 1
   Taban

   Bir ışın çiz ve üzerine pergelle AB = c doğru parçasını aktar.

2. 2
   Birinci yay

   Merkezi A, yarıçapı b olan bir yay çiz.

3. 3
   İkinci yay

   Merkezi B, yarıçapı a olan bir yay çiz; yayların kesişme noktası C köşesidir.

4. 4
   Üçgen

   C’yi A ve B ile birleştir. KKK kuralına göre bu kenarlarla çizilen bütün üçgenler eştir. Yaylar kesişmiyorsa böyle bir üçgen yoktur: en uzun kenar diğer ikisinin toplamından kısa olmalıdır.

Açıortayın çizimi:

1. 1
   Yay

   Merkezi açının A köşesinde olan bir yay çiz; yay açının kollarını B ve C noktalarında kessin.

2. 2
   İki eş yay

   Merkezleri B ve C olan, aynı yarıçaplı (BC’nin yarısından büyük) yaylar çiz; yaylar açının içinde D noktasında kesişsin.

3. 3
   Açıortay

   AD ışınını çiz. △ABD ≅ △ACD (KKK: AB = AC, BD = CD, AD ortak), bu yüzden ∠BAD = ∠CAD.

Orta dikmenin ve orta noktanın çizimi:

1. 1
   İki çember

   Merkezleri A ve B olan, aynı ve AB’nin yarısından büyük r yarıçaplı iki çember (ya da yay) çiz.

2. 2
   Kesişme noktaları

   Çemberler M ve N noktalarında kesişir: MA = MB = r ve NA = NB = r.

3. 3
   Orta dikme

   MN doğrusunu çiz. M ve N noktalarının her biri A ve B’ye eşit uzaklıkta olduğundan ikisi de orta dikme üzerindedir; MN tam da bu doğrudur. MN’nin AB’yi kestiği O noktası doğru parçasının orta noktasıdır.

• Açı aktarma: iki yerde de köşeden aynı yarıçaplı yaylar çizilir ve yayın uçlarını birleştiren kiriş pergelle aktarılır; açıların eşitliğini KKK kuralı sağlar.
• Bir noktadan doğruya dikme: merkezi P olan bir yay a doğrusunu A ve B noktalarında keser. PA = PB olduğundan P, AB’nin orta dikmesi üzerindedir; bu orta dikmeyi çizeriz.