İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Başlangıç5–6. sınıf22 dk3 / 82

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat

EBOB’u bölenleri listeleyerek, asal çarpanlara ayırarak ve Öklid algoritmasıyla bulmak, aralarında asal sayılar, EKOK, EBOB · EKOK = a · b eşitliği, üç sayı ve paylaştırma, kesme, yeniden buluşma ve ortak payda problemleri.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • İki ve üç sayının EBOB’unu bölenleri listeleyerek, asal çarpanlara ayırarak ve Öklid algoritmasıyla bulmak
  • Aralarında asal sayıları tanımak, EKOK’u katları listeleyerek ve asal çarpanlarla bulmak
  • EBOB · EKOK = a · b eşitliğiyle birini diğerinden bulmak
  • Bir problemde EBOB mu EKOK mu gerektiğine karar verip problemi çözmek

Murad doğum günü için 24 elma ve 36 armut aldı. Birbirinin aynısı hediye paketleri hazırlamak istiyor: her pakette eşit sayıda elma ve eşit sayıda armut olmalı, hiçbir meyve artmamalı. En fazla kaç paket hazırlayabilir? Aynı gün duraktan bir otobüs her 12 dakikada bir, diğeri her 18 dakikada bir kalkıyor; saat 8.00’de ikisi birlikte kalktı. Bir sonraki sefer ne zaman birlikte kalkacaklar? İlk soruda her iki sayıyı da bölen en büyük sayı, ikincisinde ise her iki sayıya da bölünen en küçük sayı aranıyor. Bunlar EBOB ve EKOK’tur.

Önceki dersin, “Bölünebilme kuralları, asal ve bileşik sayılar” dersinin araçlarına ihtiyacın olacak: bölenleri çiftler hâlinde bulmak, bölünebilme kuralları ve asal çarpanlara ayırma. EBOB ve EKOK ise hemen bir sonraki derste, “Kesirler: anlamı, sadeleştirme ve karşılaştırma” dersinde işe yarayacak: EBOB kesri sadeleştirmeye, EKOK ise ortak paydayı bulmaya yarar.

Ortak bölenler ve EBOB

Tanım
Ortak bölen ve EBOB

Verilen sayıların her birini bölen sayıya bunların ortak böleni denir. Ortak bölenlerin en büyüğüne en büyük ortak bölen denir ve EBOB(a, b) biçiminde yazılır. Örneğin 24 ile 36’nın ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir, bu yüzden EBOB(24, 36) = 12.

En basit yol, her sayının bölenlerini (çiftler hâlinde) yazıp ortak olanları seçmektir. 1 her zaman bir ortak bölendir; EBOB ise sayıların en küçüğünden büyük olamaz. Küçük sayı büyük sayıyı bölüyorsa EBOB küçük sayının kendisidir: EBOB(12, 36) = 12.

Bölenleri listeliyoruz

Bölenleri listeleyerek bulun: 1) EBOB(18, 30); 2) EBOB(16, 40); 3) EBOB(15, 28).

Çözümü göster
1) 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ortak: 1, 2, 3, 6 → EBOB = 6.
2) 16: 1, 2, 4, 8, 16; 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Ortak: 1, 2, 4, 8 → EBOB = 8. Küçük sayı olan 16, 40’ı bölmediği için cevap 16 değildir.
3) 15: 1, 3, 5, 15; 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Tek ortak bölen 1’dir → EBOB = 1; oysa iki sayı da bileşiktir.
Tanım
Aralarında asal sayılar

EBOB’u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir: 1’den başka ortak bölenleri yoktur. 15 ve 28, ikisi de bileşik olduğu hâlde aralarında asaldır. Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır: ortak bölenleri farklarını, yani 1’i de bölmelidir. Farklı iki asal sayı da aralarında asaldır.

Asal çarpanlarla EBOB

Büyük sayıların bölenlerini listelemek uzun sürer; asal çarpanlar işi kısaltır. Bir ortak bölen yalnızca iki sayıda da bulunan asal çarpanlardan oluşabilir ve her çarpan, ayrılışların herhangi birindekinden daha çok kez bulunamaz. Bu yüzden EBOB, ortak asal çarpanların her biri en küçük üssüyle alınarak bulunan çarpımıdır.

  1. 1
    Ayır

    Her sayıyı asal çarpanlarına ayır ve eşit çarpanları üslü yaz.

  2. 2
    Ortakları seç

    İki ayrılışta da bulunan asal çarpanları seç. Yalnızca bir sayıda bulunan çarpanlar EBOB’a girmez.

  3. 3
    Küçük üssü al

    Her ortak çarpanı iki üssünden küçük olanıyla yaz ve çarp. Ortak çarpan yoksa EBOB = 1.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7EBOB(120, 126) = 2 · 3 = 6
burada:
  • 2, 3ortak asal çarpanlar, küçük üsleriyle: 2³ ile 2¹’den 2¹, 3¹ ile 3²’den 3¹
  • 5, 7yalnızca bir sayıda var; EBOB’a alınmaz

EBOB, ortak asal çarpanların her biri en küçük üssüyle alınarak bulunan çarpımıdır. Kontrol: 120 ÷ 6 = 20, 126 ÷ 6 = 21; 20 ile 21 de aralarında asaldır.

Asal çarpanlarla EBOB

Bulun: 1) EBOB(360, 84); 2) EBOB(72, 120); 3) EBOB(105, 88).

Çözümü göster
1) 360 = 2³ · 3² · 5, 84 = 2² · 3 · 7. Ortak çarpanlar 2 ve 3; küçük üsler: 2², 3¹. EBOB = 2² · 3 = 12.
2) 72 = 2³ · 3², 120 = 2³ · 3 · 5. EBOB = 2³ · 3 = 24.
3) 105 = 3 · 5 · 7, 88 = 2³ · 11. Ortak asal çarpan yok: EBOB = 1, sayılar aralarında asaldır.

Öklid algoritması

Bazen sayıları çarpanlarına ayırmak bile zordur: 391 ile 299’u deneyin. Yaklaşık 2300 yıl önce Öklid, çarpanlara ayırma gerektirmeyen bir yöntem anlatmıştır. Fikri önceki dersten gelir: a ve b sayıları d’ye bölünüyorsa a − b farkı da d’ye bölünür. Tersine, b ve a − b sayıları d’ye bölünüyorsa a = (a − b) + b de bölünür. Demek ki (a, b) ve (a − b, b) çiftlerinin ortak bölenleri aynıdır; dolayısıyla EBOB’ları da aynıdır.

EBOB(a, b) = EBOB(a − b, b)
burada:
  • a, bsayma sayıları, a > b
  • a − bfark; büyük sayının yerine yazılır

Büyük sayının yerine farkı yaz ve tekrarla. İki sayı eşitlendiğinde elde edilen sayı EBOB’dur.

Çıkarma ile

Çıkarma yöntemiyle bulun: 1) EBOB(48, 18); 2) EBOB(35, 21).

Çözümü göster
1) (48, 18) → (30, 18) → (12, 18) → (12, 6) → (6, 6). EBOB = 6.
2) (35, 21) → (14, 21) → (14, 7) → (7, 7). EBOB = 7. Kontrol: 35 = 5 · 7, 21 = 3 · 7.

48’den 18’i iki kez çıkarıp 12 bulduk; bu, kalanlı bölmedir: 48 = 18 · 2 + 12. Bu yüzden çıkarmaları tekrarlamak yerine kalanı hemen alabiliriz. Bu, Öklid algoritmasının hızlı biçimidir.

a = b · q + rEBOB(a, b) = EBOB(b, r)
burada:
  • qbölüm
  • rkalan, 0 ≤ r < b

(a, b) çiftini (b, r) çiftiyle değiştir. Kalan 0 olduğunda son bölen (sıfırdan farklı son kalan) EBOB’dur.

  1. 1
    Kalanlı böl

    Büyük sayıyı küçük sayıya kalanlı böl.

  2. 2
    Kalana bak

    Kalan 0 ise bölen EBOB’dur; iş biter.

  3. 3
    Çifti yenile

    Aksi hâlde bölen yeni bölünen, kalan yeni bölen olur; 1. adıma dön. Kalanlar her seferinde küçüldüğü için algoritma mutlaka biter.

Öklid algoritmasıyla

Bulun: 1) EBOB(391, 299); 2) EBOB(1071, 462).

Çözümü göster
1) 391 = 299 · 1 + 92
299 = 92 · 3 + 23
92 = 23 · 4 + 0
EBOB(391, 299) = 23. Kontrol: 391 = 23 · 17, 299 = 23 · 13.
2) 1071 = 462 · 2 + 147
462 = 147 · 3 + 21
147 = 21 · 7 + 0
EBOB(1071, 462) = 21. Kontrol: 1071 = 21 · 51, 462 = 21 · 22.

Ortak katlar ve EKOK

Tanım
Ortak kat ve EKOK

Verilen sayıların her birine bölünen sayıya bunların ortak katı denir. Sıfırdan farklı ortak katların en küçüğüne en küçük ortak kat denir ve EKOK(a, b) biçiminde yazılır. 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, …; 8’in katları: 8, 16, 24, 32, … O hâlde EKOK(6, 8) = 24.

6 ile 8’in ortak katları 24, 48, 72, … sayılarıdır; hepsi EKOK’un katlarıdır ve sonsuz sayıdadır, bu yüzden “en büyük ortak kat” yoktur. Listelemenin kolay yolu: büyük sayının katlarını sırayla dene ve küçük sayıya bölünen ilk katta dur. EKOK(12, 18): 18, 12’ye bölünmez; 36 bölünür, yani cevap 36’dır. EKOK sayıların büyüğünden küçük, çarpımlarından büyük olamaz.

  1. 1
    Ayır

    Her sayıyı asal çarpanlarına ayır.

  2. 2
    Bütün çarpanları al

    En az bir ayrılışta bulunan her asal çarpanı en büyük üssüyle al.

  3. 3
    Çarp

    Çarp. Kısa yol: büyük sayının ayrılışını yaz ve küçük sayıdan eksik kalan çarpanları ekle.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7EKOK(120, 126) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520
burada:
  • 2³, 3²iki sayıda da bulunan çarpanlar, büyük üsleriyle
  • 5, 7yalnızca bir sayıda bulunan çarpanlar da alınır

EKOK, bütün asal çarpanların her biri en büyük üssüyle alınarak bulunan çarpımıdır. Kontrol: 2520 ÷ 120 = 21, 2520 ÷ 126 = 20.

EKOK’u buluyoruz

Bulun: 1) EKOK(12, 18); 2) EKOK(40, 60); 3) EKOK(15, 28); 4) EKOK(9, 36).

Çözümü göster
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → EKOK = 2² · 3² = 36.
2) 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5 → EKOK = 2³ · 3 · 5 = 120.
3) 15 = 3 · 5, 28 = 2² · 7; ortak çarpan olmadığından EKOK = 15 · 28 = 420.
4) 36, 9’a bölündüğünden EKOK = 36.
243622233EBOB = 2 · 2 · 3 = 12EKOK = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
EBOB: kesişimdeki çarpanlar; EKOK: şekildeki bütün çarpanlar. Kesişimi iki kez sayarsan 24 · 36 elde edersin: EBOB · EKOK = 12 · 72 = 864 = 24 · 36.

Şekil önemli bir eşitliği açıklar. Her asal çarpan için EBOB küçük üssü, EKOK büyük üssü alır; ikisi birlikte her iki üssü de alır, tıpkı a · b çarpımı gibi. 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3² için 2’nin üssü EBOB’da 2, EKOK’ta 3, toplam 5’tir; 24 · 36 çarpımında da 3 + 2 = 5.

EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
burada:
  • a, bherhangi iki sayma sayısı
  • EKOKEKOK = a · b ÷ EBOB; en çok kullanılan biçim

Yalnızca iki sayı için doğrudur. Aralarında asal sayılarda EBOB = 1 olduğundan EKOK = a · b.

EBOB’dan EKOK’a

1) EBOB(18, 24) = 6. EKOK(18, 24) kaçtır?
2) İki sayının çarpımı 864, EBOB’ları 12’dir. EKOK’ları kaçtır?
3) EKOK(8, 15) kaçtır?

Çözümü göster
1) EKOK = 18 · 24 ÷ 6 = 432 ÷ 6 = 72. Daha kolayı: önce böl, sonra çarp: 18 ÷ 6 = 3, 3 · 24 = 72.
2) EKOK = 864 ÷ 12 = 72. (Örneğin bu sayılar 24 ve 36 olabilir.)
3) 8 = 2³ ve 15 = 3 · 5 aralarında asaldır, EBOB = 1; bu yüzden EKOK = 8 · 15 = 120.

Üç sayı ve problemler

Üç sayı için kurallar aynıdır: EBOB, üç ayrılışın hepsinde bulunan çarpanları en küçük üsleriyle; EKOK ise bütün çarpanları en büyük üsleriyle alır. Adım adım da hesaplayabiliriz: EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), c); EKOK için de aynısı geçerlidir.

Üç sayı

1) 12, 18 ve 30 sayılarının EBOB ve EKOK’unu bulun.
2) EKOK(4, 6, 9) kaçtır? Adım adım hesaplayın.

Çözümü göster
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5.
EBOB: üçünde de 2 ve 3 var; en küçük üsleriyle: 2 · 3 = 6.
EKOK: 2², 3², 5 → 4 · 9 · 5 = 180.
2) EKOK(4, 6) = 12, sonra EKOK(12, 9) = 36. Cevap: 36.
EBOB gerekir, eğer…EKOK gerekir, eğer…
nesneler hiç artmadan eşit gruplara paylaştırılıyortekrarlanan olaylar yeniden aynı anda olmalı
en büyük parça, paket, fayans ya da grup aranıyoren küçük sayı, süre, uzunluk ya da payda aranıyor
cevap verilen sayılardan büyük değilcevap verilen sayılardan küçük değil
Paylaştırma ve kesme

1) Murad’ın 24 elması ve 36 armudu var (dersin başındaki problem). En fazla kaç özdeş paket hazırlayabilir ve her pakette ne olur?
2) 48 cm ve 72 cm uzunluğundaki iki kurdele, hiç artmadan, olabildiğince uzun eş parçalara kesilecek. Her parça kaç santimetredir ve toplam kaç parça olur?
3) 240 cm × 180 cm boyutundaki bir zemin, fayanslar kesilmeden, olabildiğince büyük özdeş kare fayanslarla kaplanıyor. Fayansın kenarı kaç santimetredir ve kaç fayans gerekir?

Çözümü göster
1) Paket sayısı hem 24’ü hem 36’yı bölmeli ve olabildiğince büyük olmalı: EBOB(24, 36) = 12 paket. Her pakete 24 ÷ 12 = 2 elma ve 36 ÷ 12 = 3 armut düşer.
2) Parçanın uzunluğu hem 48’i hem 72’yi bölmelidir: EBOB(48, 72) = 24 cm. Parça sayısı: 48 ÷ 24 + 72 ÷ 24 = 2 + 3 = 5.
3) Fayansın kenarı hem 240’ı hem 180’i bölmelidir: 240 = 2⁴ · 3 · 5, 180 = 2² · 3² · 5, EBOB = 2² · 3 · 5 = 60 cm. Uzunlukta 240 ÷ 60 = 4, genişlikte 180 ÷ 60 = 3 fayans, toplam 4 · 3 = 12 fayans.
Yeniden birlikte

1) Dersin başındaki otobüsler: biri her 12 dakikada, diğeri her 18 dakikada bir kalkıyor ve saat 8.00’de birlikte kalktılar. Bir sonraki sefer ne zaman birlikte kalkacaklar?
2) Bir deniz feneri her 6 saniyede, diğeri her 10 saniyede bir yanıp sönüyor. Az önce ikisi aynı anda yandı. Kaç saniye sonra yeniden birlikte yanarlar?
3) Üç koşucu aynı anda başlangıç çizgisinden çıkıyor ve dairesel pistte bir turu sırasıyla 4, 6 ve 9 dakikada koşuyor. Kaç dakika sonra üçü yeniden başlangıçta buluşur? O zamana kadar her biri kaç tur koşmuş olur?

Çözümü göster
1) Hem 12’ye hem 18’e bölünen en küçük sayıyı arıyoruz: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², EKOK = 2² · 3² = 36. Yani 36 dakika sonra, saat 8.36’da.
2) EKOK(6, 10): 10’un katlarını deneriz: 10, 20, 30; 30, 6’ya bölünür. Cevap: 30 saniye.
3) EKOK(4, 6, 9) = 2² · 3² = 36 dakika. Bu sürede koşucular 36 ÷ 4 = 9, 36 ÷ 6 = 6 ve 36 ÷ 9 = 4 tur koşmuş olur.
Kesirlerde EBOB ve EKOK

1) 5/12 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydada yazın.
2) 72/120 kesrini tek adımda sadeleştirin.

Çözümü göster
1) Ortak payda iki paydaya da bölünmelidir; en küçüğü EKOK(12, 18) = 36’dır. Genişletme çarpanları: 36 ÷ 12 = 3, 36 ÷ 18 = 2. Yani 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36.
2) EBOB(72, 120) = 24 (yukarıda bulmuştuk). 72/120 = (72 ÷ 24)/(120 ÷ 24) = 3/5.
Ayrıntılar “Kesirler: anlamı, sadeleştirme ve karşılaştırma” dersindedir.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Kendine sor: cevap verilen sayılardan küçük mü olacak (EBOB), büyük mü (EKOK)?
Kendini dene
  1. 1.EBOB(18, 27) =
  2. 2.EKOK(6, 14) =
  3. 3.EBOB(8, 15) =
  4. 4.EBOB(a, b) = 4 ve a · b = 96 ise EKOK(a, b) =
  5. 5.EKOK(4, 6, 10) =
  6. 6.EBOB(91, 65) =

EBOB’u bulmanın üç yolunu, EKOK’u bulmayı ve bir problemde hangisinin gerektiğini anlamayı öğrendin. Bir sonraki derste, “Kesirler: anlamı, sadeleştirme ve karşılaştırma” dersinde EBOB kesirleri sadeleştirmene, EKOK ise onları ortak paydaya getirip karşılaştırmana yardım edecek; “Kesirlerle işlemler” dersinde de paydaları farklı kesirleri toplayacaksın.

Önemli noktalar

  • EBOB: sayıların her birini bölen en büyük sayı; EKOK: sayıların her birine bölünen sıfırdan farklı en küçük sayı.
  • Asal çarpanlarla: EBOB, ortak çarpanların en küçük üsleriyle; EKOK, bütün çarpanların en büyük üsleriyle çarpımıdır.
  • Öklid algoritması: EBOB(a, b) = EBOB(b, r); kalan 0 olduğunda son bölen EBOB’dur.
  • Aralarında asal sayılarda EBOB = 1 ve EKOK = a · b’dir; ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır.
  • İki sayı için EBOB · EKOK = a · b.
  • “Eşit paylaştır, en büyük parça” → EBOB; “yeniden birlikte, en küçük ortak” → EKOK.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Hangi sayılar aralarında asaldır?