- Bir dizinin limitini bulmak ve bir serinin yakınsaklığını açıklamak
- Geometrik serinin toplamını bulmak
- Yakınsaklık testlerini seçmek ve uygulamak
- Fonksiyonları Taylor serisine açmak ve yakınsaklık yarıçapını bulmak
2 metre yürümek için önce 1 m, sonra kalan yolun yarısını (1/2 m), sonra yine kalanın yarısını (1/4 m) yürürsünüz ve bu böyle sürer: sonsuz sayıda adım. Sonsuz sayıda pozitif sayının toplamı sonlu olabilir mi? Burada evet: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2. Ama 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … toplamı sınırsız büyür! Bu derste bu iki durumu ayırt etmeyi ve bilgisayarların eˣ ile sin x'i sonsuz toplamlardan kurulan polinomlarla nasıl hesapladığını öğreneceksiniz.
Diziler ve limitleri
a₁, a₂, a₃, … dizisi, n doğal sayısının bir fonksiyonudur. Her ε > 0 için tüm n > N değerlerinde |aₙ − L| < ε olacak şekilde bir N sayısı varsa L, dizinin limitidir: lim (n→∞) aₙ = L. Sonlu limiti olan dizi yakınsak, diğerleri ıraksak diziler olarak adlandırılır.
Örnekler: aₙ = 1/n → 0; aₙ = (n + 1)/n = 1 + 1/n → 1; aₙ = (−1)ⁿ, −1 ile 1 arasında gidip gelir ve ıraksar; aₙ = 2ⁿ → ∞. Kullanışlı bir teorem (Weierstrass): monoton ve sınırlı her dizi yakınsar. Örneğin (1 + 1/n)ⁿ artar ve 3'ün altında kalır; dolayısıyla bir limiti vardır: e sayısı.
Seriler ve geometrik seri
a₁ + a₂ + a₃ + … = ∑ aₙ ifadesine seri, Sₙ = a₁ + … + aₙ'ye de n. kısmi toplam denir. Sₙ sonlu bir S sayısına yaklaşıyorsa seri yakınsar ve S onun toplamıdır; aksi hâlde seri ıraksar.
- ailk terim
- qortak çarpan; |q| ≥ 1 ise seri ıraksar
Geometrik seri. İspat: Sₙ − q · Sₙ = a − a · qⁿ, dolayısıyla Sₙ = a(1 − qⁿ)/(1 − q); |q| < 1 ise qⁿ → 0.
a) 1 + 1/2 + 1/4 + … toplamını bulun.
b) 0,333… ve 0,2727… sayılarını kesir olarak yazın.
c) 10 m yükseklikten bırakılan bir top her seferinde önceki yüksekliğin %60'ına kadar sıçrıyor. Top durana kadar toplam ne kadar yol alır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) 0,333… = 3/10 + 3/100 + … = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3; 0,2727… = 27/100 + 27/10000 + … = (27/100)/(1 − 1/100) = 27/99 = 3/11.
c) Önce 10 m aşağı. Sonra her sıçrama yukarı ve aşağıdır: 2 · (6 + 3,6 + 2,16 + …) = 2 · 6/(1 − 0,6) = 30 m.
Toplam: 10 + 30 = 40 m.
Harmonik seri ve yakınsaklık testleri
Harmonik seri 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, terimleri 0'a gitse de ıraksar. Terimleri gruplayalım: 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2; 1/5 + … + 1/8 > 4 · 1/8 = 1/2; 1/9 + … + 1/16 > 1/2 ve böyle devam eder: her biri 1/2'den büyük sonsuz sayıda grup. Büyüme çok yavaştır, kabaca ln n gibi: ilk bir milyon terimin toplamı yalnızca yaklaşık 14,39'dur.
- püs: p = 1 harmonik seridir (ıraksar); p = 2 için toplam π²/6'dır
p-serileri: karşılaştırma için temel ölçüt.
| Test | İfade | Ne zaman kullanılır |
|---|---|---|
| Iraksaklık (n. terim) testi | aₙ ↛ 0 ⇒ seri ıraksar | her zaman, ilk kontrol olarak |
| Karşılaştırma testi | 0 ≤ aₙ ≤ bₙ: ∑ bₙ yakınsarsa ∑ aₙ de yakınsar; ∑ aₙ ıraksarsa ∑ bₙ de ıraksar | büyük n için 1/nᵖ veya qⁿ'ye benzeyen terimler |
| Oran testi (d'Alembert) | L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 sonuç yok | faktöriyeller, aⁿ kuvvetleri |
| İntegral testi | f pozitif ve azalan, f(n) = aₙ: ∑ aₙ ile ∫₁^∞ f(x) dx birlikte yakınsar ya da ıraksar | kolay integre edilen terimler |
| Alterne seri testi (Leibniz) | |aₙ| azalarak 0'a gidiyorsa ∑ (−1)ⁿ aₙ yakınsar | işareti değişen seriler |
- Lardışık terimlerin oranının limiti
Oran testi. L = 1 için cevap vermez: hem ∑ 1/n hem de ∑ 1/n² için L = 1'dir.
Serilerin yakınsaklığını inceleyin: a) ∑ n/2ⁿ; b) ∑ n!/10ⁿ; c) ∑ 1/(n² + n); d) ∑ 1/√n; e) ∑ₙ₌₂^∞ 1/(n ln n).
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) Oran testi: ((n + 1)!/10ⁿ⁺¹) · (10ⁿ/n!) = (n + 1)/10 → ∞ ⇒ ıraksar (terimlerin kendisi büyür).
c) 1/(n² + n) ≤ 1/n² ve ∑ 1/n² yakınsak ⇒ yakınsar. Aslında 1/(n² + n) = 1/n − 1/(n + 1) olduğundan kısmi toplamlar teleskop gibi kapanır: Sₙ = 1 − 1/(n + 1) → 1.
d) p = 1/2 ≤ 1 olan bir p-serisi ⇒ ıraksar.
e) İntegral testi: ∫₂ᵇ dx/(x ln x) = ln(ln b) − ln(ln 2) → ∞ ⇒ ıraksar (harmonik seriden bile yavaş).
Kuvvet serileri, Taylor ve Maclaurin serileri
- cₙserinin katsayıları
- aserinin merkezi
- Ryakınsaklık yarıçapı: |x − a| < R iken yakınsar, |x − a| > R iken ıraksar; uç noktalar ayrıca incelenir
Bir kuvvet serisi ve yakınsaklık yarıçapı (oran testinden gelir).
- f⁽ⁿ⁾(a)a noktasındaki n. türev
- a = 0bu durumda seriye Maclaurin serisi denir
Taylor serisi: önceki derslerdeki Taylor polinomunun sonsuza uzatılmış hâli.
| Fonksiyon | Maclaurin serisi | Yakınsadığı yer |
|---|---|---|
| eˣ | 1 + x + x²/2! + x³/3! + … = ∑ xⁿ/n! | tüm x |
| sin x | x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … | tüm x |
| cos x | 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + … | tüm x |
| ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + … | −1 < x ≤ 1 |
| 1/(1 − x) | 1 + x + x² + x³ + … | |x| < 1 |
a) eˣ'in Maclaurin serisini türetin ve 6 terimle e'yi hesaplayın.
b) sin 0,5'i iki ve üç terimle tahmin edin.
c) ∑ₙ₌₁^∞ xⁿ/n serisinin yakınsaklık aralığını bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) sin 0,5 ≈ 0,5 − 0,125/6 ≈ 0,47917; 0,5⁵/120 ≈ 0,00026 eklenirse 0,47943 olur; gerçek değer 0,479426'dır.
c) cₙ = 1/n: R = lim (n + 1)/n = 1. x = 1'de harmonik seri çıkar ve ıraksar; x = −1'de alterne harmonik seri çıkar ve Leibniz'e göre yakınsar. Yakınsaklık aralığı [−1, 1).
Önemli noktalar
- lim aₙ = L: bir N'den sonra tüm terimler L'ye ε'dan yakındır; monoton ve sınırlı dizi yakınsar.
- Bir seri, kısmi toplamlarının sonlu bir limiti varsa yakınsar; geometrik seri: |q| < 1 için ∑ a · qⁿ = a/(1 − q).
- aₙ → 0 gereklidir ama yeterli değildir: harmonik seri ∑ 1/n ıraksar; ∑ 1/nᵖ yakınsar ⇔ p > 1.
- Oran testi: L = lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1 yakınsar, > 1 ıraksar, = 1 belirsiz.
- eˣ = ∑ xⁿ/n!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + … (−1 < x ≤ 1).
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.