Artım ve türevin tanımı

Leyla şehirlerarası bir otobüsle yolculuk ediyor. Otobüs 240 km’yi 3 saatte aldı; yani ortalama hızı 80 km/h oldu. Oysa hız göstergesi hiçbir zaman sabit 80 göstermedi: kırmızı ışıkta 0, düz yolda 90, virajda 50. Her anın kendi hızı vardır. “Belirli bir andaki hız nedir?” sorusu 17. yüzyılda matematikçileri türev kavramına götürdü. Bu derste aynı yolu adım adım izleyeceğiz: önce değişimi ölçmeyi (artımları), sonra ortalama değişim hızını, ardından aralık sıfıra doğru küçülünce ne olduğunu öğreneceğiz.

Değişkenin artımı ve fonksiyonun artımı

Türev değişimi anlatır; bu yüzden önce değişimi ölçmeyi öğrenelim. y = f(x) fonksiyonu ve tanım kümesinden bir x₀ noktası verilsin. Değişken x₀ değerinden başka bir x değerine, fonksiyonun değeri de f(x₀) değerinden f(x) değerine geçer. Bu değişimleri Yunan harfi Δ (“delta”) ile gösteririz; Δ burada “fark” anlamına gelir.

Bunu grafikte şöyle hayal et: grafiğin A(x₀, f(x₀)) noktasında duruyorsun. Önce yatay olarak Δx kadar adım atıyorsun, sonra grafiğe yeniden ulaşana kadar dikey olarak Δf kadar çıkıyorsun (Δf < 0 ise iniyorsun). Böylece grafiğin ikinci noktasına, B(x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)) noktasına varıyorsun. Δx bu “merdiven basamağının” genişliği, Δf ise yüksekliğidir.

Ortalama değişim hızı ve kesen

Artım tek başına pek bir şey söylemez: 10 km’lik yol 5 dakikada da, 5 saatte de alınabilir. Değişimin ne kadar hızlı olduğunu anlamak için fonksiyonun artımını değişkenin artımına böleriz. Δf / Δx oranı ortalama değişim hızıdır: değişken 1 birim değiştiğinde fonksiyonun ortalama kaç birim değiştiğini gösterir. Birimi “fonksiyonun birimi bölü değişkenin birimi”dir: km/h, yılda cm, ayda manat.

Şimdi geometriye bakalım. Grafiğin A(x₀, f(x₀)) ve B(x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)) noktalarından geçen doğruya kesen denir (grafiği en az iki noktada “keser”). Doğrusal fonksiyonlardan biliyorsun: iki noktadan geçen doğrunun eğimi “dikey fark bölü yatay fark”tır. A ve B için dikey fark Δf, yatay fark ise Δx’tir. Yani ortalama değişim hızı kesenin eğimidir: cebir ve geometri aynı şeyi söyler.

Δx → 0: kesenden teğete

Ortalama hız bütün bir aralığı anlatır, bize ise tek bir andaki hız gerekiyor. Doğal fikir: aralığı giderek kısaltmak. f(x) = x² ve x₀ = 1 için hesaplayalım. Yukarıdaki genel formülden Δf = 2x₀Δx + (Δx)² = 2Δx + (Δx)², yani Δf / Δx = 2 + Δx. Şimdi Δx’i hem sağdan hem soldan sıfıra yaklaştıralım:

Oran 2’ye istediğimiz kadar yaklaşır: Δx ne kadar küçükse Δf / Δx ile 2 arasındaki fark da o kadar küçüktür (bu fark tam olarak Δx’e eşittir). Matematikte bu lim (Δx→0) Δf / Δx = 2 diye yazılır ve “Δx sıfıra yaklaşırken Δf / Δx oranının limiti 2’dir” diye okunur. Dikkat: Δx hiçbir zaman sıfır olmaz; Δx = 0 olsaydı anlamsız 0 / 0 ifadesini elde ederdik. Limit “oran hangi sayıya yaklaşıyor?” sorusunun cevabıdır, “Δx = 0 iken oran kaçtır?” sorusunun değil.

Geometrik tablo da aynıdır. Δx küçüldükçe B noktası grafik üzerinde A’ya doğru kayar, kesen de A noktası etrafında döner. Limitte belirli bir son konuma ulaşır: A noktasında grafiğe teğet olan doğruya dönüşür. Teğetin eğimi, kesenlerin eğimlerinin limitidir; örneğimizde 2’dir. Otobüs için de durum aynıdır: giderek kısalan zaman aralıklarındaki ortalama hızlar, hız göstergesinin gösterdiği anlık hıza yaklaşır.

Türevin tanımı

Türevin birkaç gösterimi vardır: f′(x) (“f türev x”), y′ (“y türev”) ve dy/dx (“dy bölü dx”). Sonuncusu tanımı hatırlatır: çok küçük bir Δy bölü çok küçük bir Δx. Önemli bir fikir: x₀ noktasını değiştirirsek her x için kendi f′(x) sayımızı elde ederiz. Yani türev yeni bir fonksiyondur. Örneğin f(x) = x² için f′(x) = 2x’tir (aşağıda kanıtlayacağız): f′(1) = 2, f′(3) = 6, f′(−2) = −4, f′(0) = 0.

1. 1
   1. Fonksiyonun artımı

   Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) ifadesini yaz ve sadeleştir: x yerine x₀ + Δx ifadesinin tamamını koy, parantezleri aç, benzer terimleri topla. Doğru bir sadeleştirmeden sonra her terimde Δx çarpanı bulunur.

2. 2
   2. Oran

   Δf / Δx oranını kur ve Δx ile sadeleştir. Kesir varsa önce ortak paydaya getir; kök varsa pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarp.

3. 3
   3. Limit

   Sadeleşmiş ifadede Δx → 0 al: artık Δx yerine 0 yazabilirsin. Bulduğun sayı f′(x₀)’dır. x₀ yerine x yazarsan f′(x) fonksiyonunu elde edersin.

Türevlenebilirlik ve süreklilik

Hatırlayalım: Δx → 0 iken Δf → 0 oluyorsa f fonksiyonu x₀ noktasında süreklidir; yani değişkendeki küçük bir değişim fonksiyonda da yalnızca küçük bir değişime yol açar. Grafikte bu, x₀ noktasında kopma veya sıçrama olmaması demektir: grafik orada kalemi kâğıttan kaldırmadan çizilebilir.

Teorem. Bir noktada türevlenebilen fonksiyon o noktada süreklidir. Kanıtı tek satırdır: Δf = (Δf / Δx) · Δx. Δx → 0 iken birinci çarpan f′(x₀) sayısına, ikincisi 0’a yaklaşır; bu yüzden Δf → f′(x₀) · 0 = 0. Tersi doğru değildir: bir fonksiyon sürekli olup yine de türevsiz olabilir. İki klasik örneğe bakalım.

Türevi tanımdan bulmak türevin “motorunu” gösterir, ama her seferinde limit hesaplamak yorucudur. Bir sonraki derste türevin geometrik ve fiziksel anlamını ve teğet denklemini, ardından türev tablosunu ve toplamın, çarpımın ve bölümün türevi kurallarını öğreneceğiz: bu formüller tanımdan bir kez çıkarılır ve sonra hazır araç olarak kullanılır.