İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri9. sınıf25 dk29 / 82

İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği

y = ax² fonksiyonu, parabolün ötelenmesi y = a(x − m)² + n, tepe noktası x₀ = −b/(2a), simetri ekseni, eksenleri kestiği noktalar, adım adım grafik çizimi, a, b, c katsayılarının grafiğe etkisi, en büyük ve en küçük değer problemleri ve denklemin noktalardan bulunması.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • y = ax² ve y = a(x − m)² + n fonksiyonlarının grafiklerini çizmek ve parabolün ötelenmesini açıklamak
  • y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktasını, simetri eksenini ve eksenleri kestiği noktaları bulup grafiği adım adım çizmek
  • Grafikten kök sayısını, fonksiyonun işaretini ve a, b, c katsayılarının işaretlerini okumak
  • İkinci dereceden fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak ve verilen noktalardan parabolün denklemini yazmak

Potaya giden bir basketbol topu, yükselip geri düşen bir fıskiye suyu… Hava direnci göz ardı edilirse bu yolların hepsi paraboldür. “İkinci dereceden denklemler” dersinde ax² + bx + c = 0 denklemini çözmeyi öğrendik. Şimdi ax² + bx + c ifadesine, x değiştikçe değeri değişen bir fonksiyon olarak bakacağız. Grafiğinden topun en yüksek noktasını, bir çitle çevrilebilecek en büyük alanı ve denklemin köklerini doğrudan okuyabiliriz.

“Doğrusal fonksiyon ve grafiği” dersinde y = kx + b fonksiyonunun grafiğinin bir doğru olduğunu gördük. İkinci dereceden fonksiyonun grafiği ise eğridir, ama o da birkaç karakteristik noktayla tamamen belirlenir. Bu derste bu noktaları bulmayı öğreneceğiz; daha sonra “İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu” dersinde aynı taslak eşitsizlikleri çözmene yardım edecek.

y = ax² fonksiyonu

Tanım
İkinci dereceden fonksiyon

a, b, c sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere y = ax² + bx + c kuralıyla verilen fonksiyon. Tanım kümesi bütün gerçek sayılardır, grafiği ise parabol adı verilen bir eğridir.

En basit durum y = x²’dir. Tabloya bak: x ve −x aynı y değerini verir, çünkü (−x)² = x²’dir. Demek ki grafik y eksenine göre simetriktir. En alçak nokta (0, 0)’dır: bu, parabolün tepe noktasıdır. Tepe noktasından uzaklaştıkça y giderek daha hızlı artar: x 1’den 2’ye geçince y 3, 2’den 3’e geçince 5 artar. Bu yüzden parabol tepe noktası yakınında yatık, kollarında ise diktir.

x−3−2−10123
y = x²9410149
y = 2x²188202818
y = ½x²4,520,500,524,5
y = −x²−9−4−10−1−4−9
Aynı x için 2x² iki kat büyük, ½x² yarı yarıya küçük, −x² ise ters işaretlidir. Her satır 0’a göre simetriktir.
y = ax²
burada:
  • a’nın işaretikolların yönü: a > 0 ise yukarı, a < 0 ise aşağı
  • |a|parabolün genişliği: |a| > 1 ise dar, 0 < |a| < 1 ise geniş

a > 0 ise tepe noktası en alçak, a < 0 ise en yüksek noktadır. Tepe noktası (0, 0), simetri ekseni y eksenidir. y = −ax² grafiği, y = ax² grafiğinin x eksenine göre yansımasıdır.

y = ax² ile ilgili üç soru

1) A(−3, 18) noktası y = 2x² parabolü üzerinde midir?
2) y = ax² parabolü B(2, −12) noktasından geçiyor. a’yı bul ve kolların yönünü söyle.
3) y = ½x² fonksiyonunun x = 4 ve x = −4 için değerini bul.

Çözümü göster
1) 2 · (−3)² = 2 · 9 = 18 — eşitlik sağlanıyor; demek ki A noktası parabolün üzerindedir.
2) −12 = a · 2² ⇒ 4a = −12 ⇒ a = −3. a < 0 olduğundan kollar aşağı doğrudur.
3) ½ · 4² = ½ · 16 = 8; x = −4 için de 8 çıkar — simetri nedeniyle y(−4) = y(4).

Parabolün ötelenmesi: y = a(x − m)² + n

y = x² + 3 fonksiyonunun her değeri y = x²’nin değerinden 3 fazladır; bu yüzden bütün grafik 3 birim yukarı kayar. y = (x − 2)² fonksiyonu ise y = x²’nin x = 0’da aldığı değeri (sıfırı) x = 2’de alır: her değer 2 birim “geç” gelir ve grafik 2 birim sağa kayar. Dikkat: parantez içindeki “−” sağa, “+” sola öteler.

y = a(x − m)² + n
burada:
  • myatay öteleme: m > 0 ise sağa, m < 0 ise sola
  • ndüşey öteleme: n > 0 ise yukarı, n < 0 ise aşağı
  • ay = ax²’deki gibi: yön ve genişlik

Tepe noktası (m, n), simetri ekseni x = m doğrusudur. Grafik, y = ax² parabolünün yatayda m, düşeyde n birim ötelenmesiyle elde edilir; biçimi değişmez. Türkiye’de bu biçim çoğunlukla y = a(x − r)² + k diye yazılır ve tepe noktası T(r, k) ile gösterilir.

Tepe noktası biçiminde verilen paraboller

1) y = (x + 2)² − 1 parabolünün tepe noktasını bul ve y = x²’den nasıl elde edildiğini söyle.
2) y = −2(x − 1)² + 8 parabolünün tepe noktasını ve x eksenini kestiği noktaları bul.
3) y = 3x² parabolü 4 birim sola ve 5 birim aşağı ötelendi. Yeni parabolün denklemini yaz.

Çözümü göster
1) (x + 2)² = (x − (−2))², yani m = −2, n = −1. Tepe noktası (−2, −1); grafik, y = x²’nin 2 birim sola ve 1 birim aşağı ötelenmesiyle elde edilir.
2) Tepe noktası (1, 8); a = −2 < 0 olduğundan kollar aşağıdadır ve 8 en büyük değerdir.
y = 0: −2(x − 1)² + 8 = 0 ⇒ (x − 1)² = 4 ⇒ x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 ve x = −1.
3) 4 birim sola: parantezde x + 4; 5 birim aşağı: sonda −5. y = 3(x + 4)² − 5, tepe noktası (−4, −5).
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
m ve n kaydırıcılarını hareket ettir: parabol biçimini değiştirmeden kayar, tepe noktası hep (m, n)’de kalır. a’yı değiştir: işareti kolları ters çevirir, mutlak değeri parabolü daraltır ya da genişletir.

y = ax² + bx + c: tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar

Her ikinci dereceden fonksiyon tam kareye tamamlanarak tepe noktası biçimine getirilebilir (yöntem “İkinci dereceden denklemler” dersindedir): ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a). Buradan m = −b/(2a) ve n = −Δ/(4a) bulunur. Demek ki y = ax² + bx + c grafiği de y = ax² parabolünün ötelenmiş bir kopyasıdır.

x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −Δ/(4a)x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −Δ/(4a)
burada:
  • x₀tepe noktasının apsisi; simetri ekseni x = x₀ doğrusudur
  • y₀tepe noktasının ordinatı; fonksiyonun en küçük (a > 0) ya da en büyük (a < 0) değeri
  • Δdiskriminant b² − 4ac

Uygulamada y₀’ı formülle değil, x₀’ı fonksiyonda yerine koyarak bulmak daha kolaydır. T(r, k) gösteriminde r = −b/(2a), k = f(r)’dir.

Tepe noktasını bulalım

Parabolün tepe noktasını bul: 1) y = x² − 6x + 5; 2) y = −2x² + 8x − 3; 3) y = 3x² + 12x.

Çözümü göster
1) x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4. Tepe noktası (3, −4); tepe noktası biçimi: y = (x − 3)² − 4.
2) x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2, y₀ = −8 + 16 − 3 = 5. Tepe noktası (2, 5). Formülle kontrol: Δ = 64 − 24 = 40, −Δ/(4a) = −40/(−8) = 5.
3) x₀ = −12/6 = −2, y₀ = 12 − 24 = −12. Tepe noktası (−2, −12); c = 0 olduğundan parabol orijinden geçer.

y eksenini kestiği nokta: x = 0 yazınca y = c bulunur; nokta (0, c)’dir. Hesap yapmadan bulunan tek noktadır. x eksenini kestiği noktalar: y = 0, yani ax² + bx + c = 0 denklemi. Δ > 0 ise parabol x eksenini iki noktada keser; Δ = 0 ise eksene tepe noktasında değer; Δ < 0 ise x ekseniyle ortak noktası yoktur. Bu noktaların apsislerine fonksiyonun sıfırları denir.

Adım adım grafik çizimi ve grafiği okuma

  1. 1
    Kolların yönü

    a’nın işaretine bak: a > 0 ise yukarı, a < 0 ise aşağı.

  2. 2
    Tepe noktası ve eksen

    x₀ = −b/(2a) ve y₀ = f(x₀) değerlerini hesapla; tepe noktasını işaretle, x = x₀ eksenini kesikli çizgiyle çiz.

  3. 3
    y eksenini kestiği nokta

    (0, c) noktasını ve simetriği olan (2x₀, c) noktasını işaretle.

  4. 4
    Sıfırlar

    Δ ≥ 0 ise ax² + bx + c = 0 denklemini çöz ve kökleri x ekseninde işaretle.

  5. 5
    Ek noktalar

    Gerekirse tepe noktasından uzakta bir iki nokta hesapla ve onları da simetrik olarak aktar.

  6. 6
    Düzgün bir eğri çiz

    Noktaları tepe noktasında sivri köşe yapmadan yuvarlakça dönen düzgün bir eğriyle birleştir ve grafiği adlandır.

y = x² − 2x − 3 fonksiyonunun grafiği ve okunması

y = x² − 2x − 3 fonksiyonunun grafiğini çiz. Grafiğe göre görüntü kümesini, artan ve azalan olduğu aralıkları, fonksiyonun pozitif ve negatif olduğu x değerlerini bul.

Çözümü göster
1) a = 1 > 0 — kollar yukarı.
2) x₀ = 2/2 = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Tepe noktası (1, −4), eksen x = 1.
3) y eksenini kestiği nokta (0, −3), simetriği (2, −3).
4) x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1 (a − b + c = 0).
5) x = 4: y = 5; simetrik nokta x = −2: y = 5.
Grafiği okuyalım: görüntü kümesi y ≥ −4 (en küçük değer −4); fonksiyon (−∞, 1] aralığında azalan, [1, +∞) aralığında artandır; −1 < x < 3 için y < 0 (grafik x ekseninin altında), x < −1 veya x > 3 için y > 0.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Grafik başlangıçta y = x² − 2x − 3’tür. c’yi değiştir: parabol yukarı aşağı kayar. b’yi değiştir: (0, c) noktası yerinde kalır, tepe noktası ise hem yatayda hem düşeyde yer değiştirir (y = c − ax² parabolü boyunca hareket eder). a’nın işaretini değiştir: kollar ters döner.

Grafiğe bakarak katsayıların işaretlerini de bulabiliriz. a kolların yönünü gösterir. c, grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. b ise a ile birlikte tepe noktasının yerini belirler: x₀ = −b/(2a) olduğundan a ile b aynı işaretliyse tepe noktası y ekseninin solunda, farklı işaretliyse sağında, b = 0 ise y ekseni üzerindedir. x ekseniyle ortak nokta sayısı da Δ’nın işaretini verir.

Grafikte görülenSonuç
Kollar yukarı / aşağıa > 0 / a < 0
Parabol dar / geniş|a| büyük / küçük
y eksenini orijinin üstünde / altında keserc > 0 / c < 0
Orijinden geçerc = 0
Tepe noktası y ekseninin solundax₀ < 0: a ile b aynı işaretli
Tepe noktası y ekseninin sağındax₀ > 0: a ile b farklı işaretli
Tepe noktası y ekseni üzerindeb = 0
x ekseniyle 2 / 1 / 0 ortak noktaΔ > 0 / Δ = 0 / Δ < 0
İşaretleri grafikten okuyalım

y = ax² + bx + c parabolünün kolları aşağı doğrudur; parabol y eksenini orijinin altında keser, tepe noktası y ekseninin sağındadır ve x eksenini iki noktada keser. a, b, c ve Δ’nın işaretlerini bul ve böyle bir fonksiyona örnek ver.

Çözümü göster
Kollar aşağı ⇒ a < 0. y eksenini orijinin altında kesiyor ⇒ c < 0.
Tepe noktası sağda: x₀ = −b/(2a) > 0 ⇒ a ile b farklı işaretli ⇒ b > 0.
İki kesişim noktası ⇒ Δ > 0.
Örnek: y = −x² + 4x − 3: a = −1, b = 4, c = −3, Δ = 16 − 12 = 4 > 0; tepe noktası (2, 1), sıfırlar 1 ve 3.

En büyük ve en küçük değer. Formülü noktalardan bulma

a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))
burada:
  • min yfonksiyonun en küçük değeri
  • max yfonksiyonun en büyük değeri
  • −b/(2a)−b/(2a)bu değerin alındığı nokta; tepe noktasının apsisi

Kolları yukarı olan parabolün en alçak noktası tepe noktasıdır, yukarıdan ise sınırı yoktur; kollar aşağıysa tersi geçerlidir. Görüntü kümesi: a > 0 ise y ≥ y₀, a < 0 ise y ≤ y₀.

Atılan top

Murad bir topu 1,8 m yükseklikten yukarı atıyor. Topun t saniye sonraki yüksekliği h = 1,8 + 12t − 5t² metredir. Top en fazla kaç metre yükselir ve ne zaman yeniden 1,8 m yükseklikte olur?

Çözümü göster
a = −5 < 0; kollar aşağıdadır ve tepe noktası en yüksek noktadır.
t₀ = −12/(2 · (−5)) = 1,2 s; h(1,2) = 1,8 + 14,4 − 7,2 = 9 m.
1,8 m yükseklik: 12t − 5t² = 0 ⇒ t(12 − 5t) = 0 ⇒ t = 0 (atış anı) veya t = 2,4 s.
Simetriye dikkat: 2,4 = 2 · 1,2 — top 1,2 s yükselir, 1,2 s alçalır.
En büyük alan ve en büyük çarpım

1) Leyla’nın 24 m çiti var. En büyük alanı elde etmek için hangi boyutlarda dikdörtgen bir alanı çitle çevirmelidir?
2) Alanın bir kenarı duvarsa ve 20 m çit yalnızca diğer üç kenara çekilirse ne olur?
3) Toplamı 10 olan iki sayının çarpımı en fazla kaç olabilir?

Çözümü göster
1) Bir kenar x m olsun; komşu kenar 12 − x m olur (yarı çevre 12). S = x(12 − x) = −x² + 12x.
a = −1 < 0, x₀ = −12/(−2) = 6 ⇒ 6 m × 6 m, S = 36 m²; yani bir kare.
2) Duvara dik iki kenar x m, duvara paralel kenar 20 − 2x m’dir (0 < x < 10). S = x(20 − 2x) = −2x² + 20x.
x₀ = −20/(−4) = 5 ⇒ 5 m × 10 m, S = 50 m².
3) Sayılar x ve 10 − x: P = −x² + 10x, x₀ = 5 ⇒ en büyük çarpım 5 · 5 = 25.
Her fonksiyon için geçerli genel yöntem, türev yardımıyla, “Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer. Optimizasyon problemleri” dersinde anlatılır.

Bir parabolün denklemini bulmak için genellikle üç koşul gerekir, çünkü denklemde üç katsayı vardır. Verilere göre üç biçimden birini seç: tepe noktası biliniyorsa y = a(x − m)² + n; sıfırlar biliniyorsa y = a(x − x₁)(x − x₂); yalnızca üç nokta biliniyorsa y = ax² + bx + c ve üç denklemli bir sistem.

y = a(x − x₁)(x − x₂)
burada:
  • x₁, x₂fonksiyonun sıfırları; parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri
  • abir nokta daha kullanılarak bulunur

Bu, ikinci dereceden fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış biçimidir (“İkinci dereceden denklemler” dersindeki ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) formülü); Δ ≥ 0 iken vardır. Tepe noktası köklerin ortasındadır: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

Denklemi bulalım

Aşağıdaki parabolün y = ax² + bx + c denklemini bul:
1) tepe noktası (2, −3) ve (0, 5) noktasından geçiyor;
2) x eksenini x = −1 ve x = 3’te kesiyor ve (0, −6) noktasından geçiyor;
3) (0, 1), (1, 2) ve (−1, 6) noktalarından geçiyor.

Çözümü göster
1) y = a(x − 2)² − 3; x = 0 için 5 = 4a − 3 ⇒ a = 2.
y = 2(x − 2)² − 3 = 2x² − 8x + 5.
2) y = a(x + 1)(x − 3); x = 0 için −6 = a · 1 · (−3) ⇒ a = 2.
y = 2(x + 1)(x − 3) = 2x² − 4x − 6.
3) x = 0 ⇒ c = 1. x = 1 için a + b + 1 = 2; x = −1 için a − b + 1 = 6.
a + b = 1 ve a − b = 5 ⇒ a = 3, b = −2. y = 3x² − 2x + 1.
Kontrol: y(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 — doğru.
Kendini dene
  1. 1.y = 2x² − 12x + 1 parabolünün tepe noktasının apsisi: x₀ =
  2. 2.y = x² + 4x + 1 fonksiyonunun en küçük değeri:
  3. 3.y = −x² + 6x − 5 fonksiyonunun en büyük değeri:
  4. 4.y = 3x² − x − 7 parabolü y eksenini y = noktasında keser.
  5. 5.y = (x − 1)(x − 9) parabolünün simetri ekseni: x =

Önemli noktalar

  • y = ax² + bx + c (a ≠ 0) grafiği bir paraboldür: a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise aşağı; |a| büyüdükçe parabol daralır.
  • y = a(x − m)² + n, y = ax² parabolünün yatayda m, düşeyde n birim ötelenmişidir; tepe noktası (m, n).
  • Tepe noktası: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −Δ/(4a); simetri ekseni x = x₀; kökler varsa x₀ onların orta noktasıdır.
  • y ekseniyle kesişim (0, c); x ekseniyle kesişim ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri: Δ > 0 ise iki nokta, Δ = 0 ise teğet, Δ < 0 ise ortak nokta yok.
  • a > 0 ise en küçük, a < 0 ise en büyük değer y₀’dır ve tepe noktasında alınır.
  • Denklem üç koşuldan bulunur: tepe noktası biçimi, çarpanlara ayrılmış biçim ya da üç nokta ile.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
y = −3x² + x + 7 parabolünün kolları hangi yöndedir?