Analitik geometri: doğru ve çember denklemleri

Bu derste öğreneceklerin

İki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktanın koordinatlarını bulmak, bunları geometri problemlerinde kullanmak
Doğrunun genel ve eğimli denklemini, bir noktadan belirli eğimle ve iki noktadan geçen doğrunun denklemini yazmak; paralel ve dik doğruları tanımak
Bir noktanın bir doğruya uzaklığını hesaplamak
Çemberin denklemini yazmak, tam kareye tamamlayarak merkezini ve yarıçapını bulmak, doğru ile çemberin ortak noktalarını belirlemek

Bir harita uygulaması evini ve okulunu iki sayı çifti olarak saklar ve yalnızca bu sayılardan aralarındaki kuş uçuşu uzaklığı hesaplar. Bir Wi-Fi modemi çevresinde bir daireyi kapsar: odan bu dairenin içinde mi? Bir bilgisayar oyunu, topun duvara çarpıp çarpmayacağına her an karar vermelidir. Bütün bu soruları koordinat yöntemi cevaplar: noktalar sayı çiftlerine, doğrular ve çemberler denklemlere, geometri problemi de cebir problemine dönüşür. Bu fikri “Sinüs ve kosinüs teoremleri. Üçgen çözümü” dersinde kosinüs teoremini ispatlarken zaten kullandın; şimdi onu eksiksiz bir araca dönüştürüyoruz.

Koordinat düzlemini ve y = kx + b doğrusal fonksiyonunu “Doğrusal fonksiyon ve grafiği” dersinden, bir vektörün koordinatlarını ve uzunluğunu “Vektörler” dersinden biliyorsun. Burada bu araçları tek bir yöntemde birleştiriyoruz. Noktaları A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) biçiminde yazacağız.

İki nokta arasındaki uzaklık ve doğru parçasının orta noktası

A’dan yatay, B’den düşey bir doğru çizelim; bu doğrular K(x₂, y₁) noktasında kesişir. AKB üçgeni dik üçgendir, dik kenarları |x₂ − x₁| ve |y₂ − y₁|’dir. Pisagor teoremine göre AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²’dir. Mutlak değer işaretleri atılabilir, çünkü bir kare asla negatif olmaz. Orta nokta M ise A’dan B’ye giden yolun yarısındadır: her eksende koordinat farkının yarısı kadar ilerler.

d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² — Pisagor teoremi.

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

burada:

x₁, y₁A noktasının koordinatları
x₂, y₂B noktasının koordinatları
ABnoktalar arasındaki uzaklık

İki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür. Noktaların sırası önemli değildir: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Bu aynı zamanda AB⃗ vektörünün uzunluğudur.

Uzaklık formülüyle

1) A(−1, 3) ve B(5, −5) noktaları arasındaki uzaklığı bulun.
2) Köşeleri A(1, 1), B(4, 5), C(8, 2) olan üçgenin türünü belirleyin.
3) x ekseni üzerinde A(1, 4) ve B(5, 2) noktalarına eşit uzaklıkta olan P noktasını bulun.

Çözümü göster

1) AB = √((5 − (−1))² + (−5 − 3)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
2) AB = √(3² + 4²) = 5, BC = √(4² + (−3)²) = 5, AC = √(7² + 1²) = √50.
AB = BC ve ayrıca AB² + BC² = 25 + 25 = 50 = AC². Üçgen ikizkenar dik üçgendir, dik açı B köşesindedir.
3) P(x, 0) olsun. PA² = PB²: (x − 1)² + 16 = (x − 5)² + 4 ⇒ x² − 2x + 17 = x² − 10x + 29 ⇒ 8x = 12 ⇒ x = 3/2 = 1,5.
Cevap: P(3/2, 0). Kontrol: PA² = 0,25 + 16 = 16,25, PB² = 12,25 + 4 = 16,25.

M((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)M((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

burada:

x₁, y₁, x₂, y₂uç noktalar A ve B’nin koordinatları
MAB’nin orta noktası

Orta noktanın her koordinatı, uç noktaların karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, AM⃗ = ½ · AB⃗ eşitliğinden çıkar.

Orta nokta

1) A(−3, 4) ve B(5, 0). AB’nin orta noktasını bulun.
2) M(2, −1) noktası AB’nin orta noktasıdır ve A(−1, 3). B noktasını bulun.
3) ABCD paralelkenarında A(0, 0), B(5, 1), C(7, 4). D köşesini bulun.

Çözümü göster

1) M((−3 + 5) / 2, (4 + 0) / 2) = M(1, 2).
2) (−1 + x) / 2 = 2 ⇒ x = 5; (3 + y) / 2 = −1 ⇒ y = −5. B(5, −5). Kısa yol: B = 2M − A.
3) Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar; bu yüzden AC ve BD’nin orta noktası aynıdır: ((0 + 7) / 2, (0 + 4) / 2) = (7/2, 2).
O hâlde D = (2 · 7/2 − 5, 2 · 2 − 1) = D(2, 3).

Doğrunun denklemi

Tanım

Bir şeklin denklemi

Şeklin her noktasının koordinatlarının sağladığı, şekle ait olmayan hiçbir noktanın koordinatlarının sağlamadığı, x ve y içeren denklem. Bir noktanın şekle ait olup olmadığını anlamak için koordinatlarını denklemde yerine koy: doğru bir eşitlik çıkarsa noktası şeklin üzerindedir.

Her doğrunun denklemi neden birinci derecedendir? Her doğru, bir PQ doğru parçasının orta dikmesidir; yani P ve Q’ya eşit uzaklıktaki M(x, y) noktalarının kümesidir. MP² = MQ² eşitliğini uzaklık formülüyle yazarsak x² ve y² iki tarafta da görünür ve sadeleşir; geriye Ax + By + C = 0 biçiminde bir denklem kalır.

Ax + By + C = 0

burada:

x, ydoğrunun herhangi bir noktasının koordinatları
A, Bikisi birden sıfır olamayan katsayılar
Csabit terim

Doğrunun genel denklemi. B = 0 olunca düşey doğru x = −C/A, A = 0 olunca yatay doğru y = −C/B, C = 0 olunca başlangıç noktasından geçen bir doğru elde edilir.

B ≠ 0 ise denklemi y’ye göre çözelim: y = −(A/B)x − C/B. Bu, “Doğrusal fonksiyon ve grafiği” dersinden bildiğin y = kx + b denklemidir. k sayısı eğimdir: doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı α açısının tanjantına eşittir. Doğrunun iki noktasını alırsak Δy / Δx oranı bu açının tanjantıdır (şekil).

k = tan α = Δy / Δx

y = kx + b, k = tan α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y = kx + b, k = tan α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

burada:

keğim (Türkiye’de çoğunlukla m ile gösterilir: y = mx + n)
αdoğru ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı (α ≠ 90°)
bdoğrunun y eksenini kestiği (0, b) noktasının ordinatı
(x₁, y₁), (x₂, y₂)doğrunun iki noktası, x₁ ≠ x₂

k > 0 ise α dar açıdır ve doğru yükselir; k < 0 ise α geniş açıdır ve doğru alçalır; k = 0 ise doğru yataydır. Düşey bir doğrunun (α = 90°) eğimi yoktur; denklemi x = x₀ biçimindedir.

y − y₀ = k(x − x₀)

burada:

(x₀, y₀)doğrunun verilen bir noktası
keğim

Verilen M₀(x₀, y₀) noktasından geçen ve eğimi k olan doğrunun denklemi. x = x₀ yazınca y = y₀ çıkar; doğru gerçekten M₀’dan geçer.

Doğrunun denklemini yazmak

1) M(2, 1) noktasından geçen ve x ekseniyle 45° açı yapan doğrunun denklemini yazın.
2) M(−1, 4) ve N(3, −4) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.
3) 3x − 4y + 12 = 0 doğrusunun eğimini ve eksenleri kestiği noktaları bulun.
4) (3, 5) ve (3, −2) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.

Çözümü göster

1) k = tan 45° = 1. y − 1 = 1 · (x − 2) ⇒ y = x − 1, genel biçimde x − y − 1 = 0.
2) k = (−4 − 4) / (3 − (−1)) = −8/4 = −2. y − 4 = −2(x + 1) ⇒ y = −2x + 2, yani 2x + y − 2 = 0. Kontrol (N): 2 · 3 + (−4) − 2 = 0.
3) 4y = 3x + 12 ⇒ y = 0,75x + 3, k = 0,75 (tan α = 0,75, α ≈ 36,9°). x = 0 ⇒ y = 3: (0, 3); y = 0 ⇒ x = −4: (−4, 0).
4) x₁ = x₂ = 3 olduğundan eğim formülünde sıfıra bölme çıkar: doğru düşeydir, x = 3, genel biçimde x − 3 = 0 (A = 1, B = 0, C = −3).

(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)

burada:

(x₁, y₁), (x₂, y₂)doğrunun iki noktası (x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)
x, ydoğrunun herhangi bir noktasının koordinatları

İki noktadan geçen doğrunun denklemi. Her kesir, (x, y) noktasının birinci noktadan ikinciye giden yolun ne kadarını ilgili eksen boyunca aldığını gösterir; bir doğru üzerinde bu kısımlar eşittir.

İki noktadan geçen doğru

1) (1, 2) ve (4, 8) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.
2) (−2, 1) ve (2, −1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın.
3) (0, −1), (2, 3) ve (5, 9) noktaları aynı doğru üzerinde midir?

Çözümü göster

1) (x − 1) / 3 = (y − 2) / 6 ⇒ 6(x − 1) = 3(y − 2) ⇒ 2x − 2 = y − 2 ⇒ y = 2x. Kontrol: 2 · 4 = 8.
2) (x + 2) / 4 = (y − 1) / (−2) ⇒ −2(x + 2) = 4(y − 1) ⇒ −2x − 4 = 4y − 4 ⇒ x + 2y = 0. Kontrol: 2 + 2 · (−1) = 0.
3) İlk iki noktadan geçen doğru: k = (3 + 1) / 2 = 2, y = 2x − 1. Üçüncü nokta: 2 · 5 − 1 = 9; denklemi sağlıyor, yani evet, üç nokta aynı doğru üzerindedir.

Paralel ve dik doğrular

Düşey olmayan iki doğru, x ekseniyle aynı açıyı yaptıklarında, yani eğimleri eşit olduğunda paraleldir; ayrıca b₁ = b₂ ise doğrular çakışır. Diklik için doğruların doğrultu vektörlerini alalım: (1, k₁) ve (1, k₂); sağa 1 birim gidince doğru k birim yükselir. “Vektörler” dersindeki diklik koşuluna göre bu vektörlerin skaler çarpımı sıfırdır: 1 · 1 + k₁ · k₂ = 0.

l₁ ∥ l₂ ⇔ k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ l₁ ⊥ l₂ ⇔ k₁ · k₂ = −1

burada:

l₁, l₂y = k₁x + b₁ ve y = k₂x + b₂ doğruları
k₁, k₂eğimleri

Paralel doğruların eğimleri eşittir; dik doğruların eğimlerinin çarpımı ise −1’dir, yani k₂ = −1/k₁.

Genel denklemde n⃗ = (A, B) vektörüne bakalım. (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) noktaları doğru üzerindeyse denklemlerini taraf tarafa çıkarınca A(x₂ − x₁) + B(y₂ − y₁) = 0 elde edilir: n⃗ doğruya diktir. Bu vektöre normal vektör denir. İki doğru ancak normal vektörleri dik olduğunda diktir.

l₁ ⊥ l₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0 l₁ ∥ l₂ ⇒ A₁B₂ − A₂B₁ = 0

burada:

l₁, l₂A₁x + B₁y + C₁ = 0 ve A₂x + B₂y + C₂ = 0 doğruları
(A₁, B₁), (A₂, B₂)normal vektörleri

Genel biçimde: normal vektörlerin skaler çarpımı sıfırsa doğrular diktir; normal vektörler doğrusalsa (paralelse) doğrular paraleldir ya da çakışıktır.

Paralellik ve diklik

1) P(1, 3) noktasından geçen ve y = 2x − 5 doğrusuna a) paralel, b) dik olan doğruların denklemlerini yazın.
2) 2x − 3y + 6 = 0 ve 3x + 2y − 1 = 0 doğruları dik midir?
3) m’nin hangi değerinde y = (m − 1)x + 3 ve y = 2x − 4 doğruları a) paralel, b) dik olur?

Çözümü göster

1) a) k = 2: y − 3 = 2(x − 1) ⇒ y = 2x + 1.
b) k = −1/2: y − 3 = −½(x − 1) ⇒ y = −½x + 3,5, yani x + 2y − 7 = 0. Kontrol (P): 1 + 6 − 7 = 0.
2) A₁A₂ + B₁B₂ = 2 · 3 + (−3) · 2 = 0 ⇒ evet, diktir. Eğimlerle: 2/3 · (−3/2) = −1.
3) a) m − 1 = 2 ⇒ m = 3 (b₁ = 3 ≠ −4, doğrular çakışmaz).
b) (m − 1) · 2 = −1 ⇒ m − 1 = −½ ⇒ m = 0,5.

Orta dikme ve kesişim noktası

A(−1, 2) ve B(3, 6).
1) AB doğru parçasının orta dikmesinin denklemini yazın.
2) Bu doğru, y = 2x − 1 doğrusunu hangi noktada keser?

Çözümü göster

1) Orta nokta: M(1, 4). AB’nin eğimi (6 − 2) / (3 + 1) = 1, dikmeninki −1’dir.
y − 4 = −(x − 1) ⇒ y = −x + 5, yani x + y − 5 = 0.
Kontrol: (0, 5) noktası A’ya ve B’ye aynı √10 uzaklığındadır.
2) Kesişim noktası, iki denklemden oluşan sistemin çözümüdür (bkz. “Doğrusal denklem sistemleri”): −x + 5 = 2x − 1 ⇒ x = 2, y = 3. Cevap: (2, 3).

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı

P(x₀, y₀) noktasından bir doğruya en kısa yol dikme boyunca, yani n⃗ = (A, B) normal vektörü boyunca gider. Demek ki dikme ayağı, bir t sayısı için H(x₀ − tA, y₀ − tB) noktasıdır. H doğru üzerindedir: A(x₀ − tA) + B(y₀ − tB) + C = 0, buradan t = (Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²). Uzaklık PH = |t| · |n⃗| = |t| · √(A² + B²)’dir.

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

burada:

(x₀, y₀)verilen nokta
Ax + By + C = 0doğrunun genel denklemi
dnoktanın doğruya uzaklığı

Noktayı genel denklemin sol tarafında yerine koy, mutlak değerini al ve normal vektörün uzunluğuna böl. d = 0 ancak nokta doğru üzerindeyken çıkar.

Uzaklıkları hesaplıyoruz

1) P(2, 3) noktasının 3x + 4y − 8 = 0 doğrusuna uzaklığını bulun.
2) Başlangıç noktasının 5x − 12y + 26 = 0 doğrusuna uzaklığını bulun.
3) 3x − 4y + 2 = 0 ve 3x − 4y − 13 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklığı bulun.

Çözümü göster

1) d = |3 · 2 + 4 · 3 − 8| / √(9 + 16) = |10| / 5 = 2.
2) d = |0 − 0 + 26| / √(25 + 144) = 26 / 13 = 2.
3) Birinci doğru üzerinde bir nokta alalım: x = 2 ⇒ 6 − 4y + 2 = 0 ⇒ y = 2, yani (2, 2). Bu noktanın ikinci doğruya uzaklığı: d = |6 − 8 − 13| / 5 = 15 / 5 = 3.

Üçgenin yüksekliği ve alanı

Bir üçgenin köşeleri A(1, 6), B(4, 0), C(0, 3)’tür. A’dan inen yüksekliği ve üçgenin alanını bulun.

Çözümü göster

BC doğrusu: k = (3 − 0) / (0 − 4) = −3/4, y = −¾x + 3 ⇒ 3x + 4y − 12 = 0 (B ve C denklemi sağlar).
BC = √(4² + 3²) = 5.
h = |3 · 1 + 4 · 6 − 12| / 5 = 15 / 5 = 3.
S = ½ · BC · h = ½ · 5 · 3 = 7,5.

Çemberin denklemi

Merkezi Q(a, b), yarıçapı R olan çember, QM = R koşulunu sağlayan bütün M(x, y) noktalarının kümesidir. Uzaklık formülüne göre √((x − a)² + (y − b)²) = R’dir. İki taraf da negatif olmadığı için karelerini alabiliriz.

(x − a)² + (y − b)² = R² — yine Pisagor teoremi.

(x − a)² + (y − b)² = R²

burada:

(a, b)çemberin merkezi
Ryarıçap
(x, y)çemberin herhangi bir noktası

Çemberin denklemi. Merkez başlangıç noktasındaysa: x² + y² = R². Burada a ve b merkezin koordinatlarıdır; doğru denklemindeki sayılarla karıştırma.

Çemberin denklemini yazıyoruz

1) Merkezi (2, −3), yarıçapı 5 olan çemberin denklemini yazın. A(5, 1) noktası çemberin üzerinde mi? Başlangıç noktası çemberin içinde mi?
2) A(−1, 2) ve B(5, 10) noktaları bir çemberin çapının uçlarıdır. Çemberin denklemini yazın.
3) Merkezi (4, −3) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemini yazın.

Çözümü göster

1) (x − 2)² + (y + 3)² = 25. A: (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25; çemberin üzerindedir. O(0, 0): 4 + 9 = 13 < 25; içindedir.
2) Merkez, çapın orta noktasıdır: (2, 6). R = AB / 2 = √(36 + 64) / 2 = 10 / 2 = 5. (x − 2)² + (y − 6)² = 25.
3) Merkezin x eksenine uzaklığı |−3| = 3’tür ve bu yarıçaptır: (x − 4)² + (y + 3)² = 9.

Sol taraf merkeze olan uzaklığın karesi olduğundan bir (x₀, y₀) noktasının yeri kolayca bulunur: (x₀ − a)² + (y₀ − b)² < R² ise nokta çemberin içinde, = R² ise üzerinde, > R² ise dışındadır. Denklem açılmış hâlde verildiyse x ve y için tam kareye tamamlarız; bu yöntemi “İkinci dereceden denklemler” dersinden biliyorsun.

Tam kareye tamamlama ve Wi-Fi

1) x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulun.
2) x² + y² + 2x − 4y + 10 = 0 denklemi bir çember belirtir mi?
3) Bir Wi-Fi modemi başlangıç noktasında ve 15 m yarıçap içinde çalışıyor (birimler metredir). Telefon (9, 13) ve (9, 12) noktalarında sinyal alır mı?

Çözümü göster

1) (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Merkez (3, −2), R = 5.
2) (x + 1)² + (y − 2)² = −10 + 1 + 4 = −5. Karelerin toplamı negatif olamaz: hiçbir nokta yok, bu bir çember değil.
3) 9² + 13² = 81 + 169 = 250 > 225 = 15²; (9, 13) dışarıdadır, sinyal yok.
9² + 12² = 81 + 144 = 225; (9, 12) tam sınırdadır (uzaklık 15 m).

Doğru ile çember nerede buluşur

Bir doğru ile bir çemberin ortak noktaları, denklemlerinden oluşan sistemin çözümleridir. Doğru denklemindeki y’yi çember denkleminde yerine koyunca x’e göre ikinci dereceden bir denklem çıkar. Her şeyi onun diskriminantı belirler: Δ > 0 ise iki ortak nokta vardır (doğru kesendir), Δ = 0 ise bir nokta (teğet), Δ < 0 ise ortak nokta yoktur. Geometrik olarak aynı cevap, merkezin doğruya olan d uzaklığını R yarıçapıyla karşılaştırarak bulunur.

Her şeyi d ile R’nin karşılaştırılması belirler.

d < R — 2 ortak nokta; d = R — 1 (teğet); d > R — ortak nokta yok

burada:

dçemberin merkezinin doğruya uzaklığı
Rçemberin yarıçapı

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir (bkz. “Çember: kiriş, teğet, merkez ve çevre açılar” dersi).

1
Doğruyu y = kx + b biçiminde yaz
Düşey bir doğru için x = x₀ al ve onu yerine koy.
2
Çember denkleminde yerine koy
Parantezleri aç ve x’e göre ikinci dereceden bir denklem elde et.
3
Diskriminantın işaretine bak
Δ > 0 ise iki nokta, Δ = 0 ise teğetlik, Δ < 0 ise ortak nokta yok.
4
y’yi bul
Bulunan x değerlerini doğrunun denkleminde yerine koy.
5
Kontrol et
Her nokta iki denklemi de sağlamalıdır.

Doğru ve çember: üç durum

Ortak noktaları bulun:
1) x² + y² = 25 ve y = x + 1;
2) x² + y² = 25 ve 3x + 4y − 25 = 0;
3) (x − 2)² + (y + 1)² = 4 ve y = x + 3.

Çözümü göster

1) x² + (x + 1)² = 25 ⇒ 2x² + 2x − 24 = 0 ⇒ x² + x − 12 = 0, Δ = 1 + 48 = 49 > 0 ⇒ x = 3 veya x = −4.
y = 4 veya y = −3. Cevap: (3, 4) ve (−4, −3); doğru kesendir.
2) d = |0 + 0 − 25| / √(9 + 16) = 25 / 5 = 5 = R; teğettir. y = (25 − 3x) / 4 yerine konunca: 16x² + (25 − 3x)² = 400 ⇒ 25x² − 150x + 225 = 0 ⇒ (x − 3)² = 0 ⇒ x = 3, y = 4. Değme noktası (3, 4).
3) Doğru: x − y + 3 = 0; merkez (2, −1), R = 2. d = |2 + 1 + 3| / √2 = 6/√2 = 3√2 ≈ 4,24 > 2; ortak nokta yok.

Parametreli teğet

b’nin hangi değerlerinde y = x + b doğrusu x² + y² = 8 çemberine teğettir? Değme noktalarını bulun.

Çözümü göster

Doğru: x − y + b = 0. d = |b| / √2, R = √8 = 2√2.
|b| / √2 = 2√2 ⇒ |b| = 4 ⇒ b = 4 veya b = −4.
Diskriminantla kontrol: x² + (x + b)² = 8 ⇒ 2x² + 2bx + b² − 8 = 0, Δ = 4b² − 8(b² − 8) = 64 − 4b² = 0 ⇒ b² = 16.
Değme noktasında x = −b/2’dir: b = 4 için (−2, 2), b = −4 için (2, −2).

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

a, b ve R kaydırıcıları (x − a)² + (y − b)² = R² çemberini (iki yarım olarak çizilir), k ve m ise y = kx + m doğrusunu belirler (b harfi merkeze ayrıldığı için burada sabit terim m’dir). Başlangıçta x² + y² = 25 ve y = x + 1: ortak noktalar (3, 4) ve (−4, −3). m’yi artır: m = 7 iken doğru hâlâ kesendir, m = 7,5 iken çemberden ayrılmıştır; teğetlik m = 5√2 ≈ 7,07’de olur. Eksenlerin ölçekleri farklı olabilir; bu yüzden çember oval gibi görünebilir.

Kendini dene: boşluğu doldur

1.A(1, 2), B(4, 6): AB =
2.A(−2, 5) ve B(4, 1) parçasının orta noktasının apsisi: x =
3.y = 3x − 1 doğrusuna dik bir doğrunun eğimi: k =
4.(x − 3)² + (y + 1)² = 49 çemberinin yarıçapı: R =
5.O(0, 0) noktasının 3x + 4y − 10 = 0 doğrusuna uzaklığı: d =

Önemli noktalar

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının ortalamasıdır.
Her doğru: Ax + By + C = 0; düşey olmayan doğru: y = kx + b, k = tan α = Δy / Δx; bir noktadan geçen: y − y₀ = k(x − x₀).
Paralel doğrular: k₁ = k₂; dik doğrular: k₁ · k₂ = −1, genel biçimde A₁A₂ + B₁B₂ = 0.
Noktanın doğruya uzaklığı: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
Çember: (x − a)² + (y − b)² = R²; açılmış denklemde merkez ve yarıçap tam kareye tamamlanarak bulunur.
Doğru ve çember: yerine koyup diskriminanta bak ya da d’yi R ile karşılaştır; 2, 1 veya 0 ortak nokta.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Merkezi (a, b), yarıçapı R olan çemberin denklemi hangisidir?