- Bir sayının bölenlerini ve katlarını bulmak, bir toplamın ya da çarpımın bölünüp bölünmediğini işlem yapmadan söylemek
- 2, 3, 4, 5, 9, 10 ve 25 ile bölünebilme kurallarını uygulamak ve neden doğru olduklarını açıklamak
- Asal ve bileşik sayıları ayırt etmek, 100’e kadar olan asal sayıları Eratosten kalburuyla bulmak
- Bir sayıyı çarpan ağacı ya da bölen listesiyle asal çarpanlarına ayırmak
Murad 1236 çıkartma biriktirdi. Bunları 3 arkadaşı arasında eşit olarak paylaştırabilir mi? Peki 4 arkadaşı arasında? 5 arkadaşı arasında? Üç kez bölme yapabilirsin; ama bölünebilme kurallarını bilen biri sayının rakamlarına bakarak birkaç saniyede cevap verir: evet, evet, hayır. Bu derste bu pratik yolları öğrenecek ve daha da önemlisi neden işe yaradıklarını anlayacaksın.
Bu ders “Doğal sayılar ve işlem önceliği” dersinin devamıdır: yine 1, 2, 3, … sayılarıyla çalışıyoruz, ama şimdi hangisinin hangisine kalansız bölündüğünü soruyoruz. Bölenler, katlar ve asal sayılar bir sonraki dersin, “En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat” dersinin, daha sonra da kesirleri sadeleştirmenin temelidir.
Bölenler ve katlar
a sayma sayısı b sayma sayısına kalansız bölünüyorsa b’ye a’nın böleni, a’ya da b’nin katı denir. “a, b’ye tam bölünür” ya da “b, a’yı böler” deriz ve kısaca b | a yazarız. Örneğin 12 ÷ 3 = 4 olduğundan 3, 12’nin bir bölenidir; 12 de 3’ün bir katıdır.
- ab’nin katı
- bbölen
- kbir sayma sayısı, a ÷ b bölümü
a’nın b’ye bölünmesi, a’nın b · k biçiminde yazılabilmesi demektir. Bu yüzden b’nin katları b · 1, b · 2, b · 3, … sayılarıdır.
Her sayının bölenleri sonlu sayıdadır: en küçüğü 1, en büyüğü sayının kendisidir. Katlar ise sonsuza kadar sürer: 7, 14, 21, 28, … ve bunların en küçüğü sayının kendisidir. Bölenler çift çift bulunur: 36 = 4 · 9 eşitliği aynı anda iki bölen verir, 4 ve 9.
1) 36’nın bütün bölenlerini bulun.
2) 12’nin ilk beş katını yazın.
3) Öğretmen 24 öğrenciyi eşit sıralara dizmek istiyor: en az 2 sıra olmalı ve her sırada en az 2 öğrenci bulunmalı. Kaç seçenek vardır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 12 · 1, 12 · 2, …, 12 · 5: 12, 24, 36, 48, 60.
3) Sıra sayısı 24’ün bir böleni olmalıdır: 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6. Seçenekler (sıra × sıradaki öğrenci): 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6, 6 × 4, 8 × 3, 12 × 2, yani 6 seçenek. 1 ve 24 bölenleri koşula uymaz.
Toplamın ve çarpımın bölünebilmesi
35 ve 14 sayılarının ikisi de 7’ye bölünür: 35 = 7 · 5, 14 = 7 · 2. O hâlde 35 + 14 = 7 · 5 + 7 · 2 = 7 · (5 + 2) = 7 · 7, yani toplam da 7’ye bölünür. Bunu nesnelerle de görebiliriz: iki yığın da 7’li gruplara ayrılabiliyorsa birleştirdiğimizde de yalnızca 7’li gruplar elde ederiz. Aynı kural fark için de geçerlidir. Terimlerden biri m’ye bölünüp diğeri bölünmüyorsa toplam m’ye bölünmez: ikinci terimden kalan artığı hiçbir şey “tamamlamaz”.
- |“böler”: m | a, a’nın m’ye tam bölündüğünü gösterir
- ⇒“o hâlde”
- bikinci sayı; çarpım kuralında herhangi bir sayma sayısı
Terimlerden biri m’ye bölünüp diğeri bölünmüyorsa ne toplam ne de fark m’ye bölünür. Terimlerin hiçbiri bölünmüyorsa kural bir şey söylemez; kontrol etmek gerekir.
Toplamı ya da çarpımı hesaplamadan karar verin:
1) 360 + 45 toplamı 9’a bölünür mü?
2) 480 + 35 toplamı 8’e bölünür mü?
3) 27 · 143 çarpımı 9’a bölünür mü?
4) 17 + 13 ve 17 + 14 toplamları 5’e bölünür mü?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 480 = 8 · 60 sayısı 8’e bölünür ama 35 bölünmez; bu yüzden toplam 8’e bölünmez (515 = 8 · 64 + 3).
3) 27 = 9 · 3 olduğundan 27 · 143 = 9 · (3 · 143); ikinci çarpan ne olursa olsun evet.
4) 17, 13 ve 14’ün hiçbiri 5’e bölünmez. Yine de 17 + 13 = 30 bölünür, 17 + 14 = 31 ise bölünmez. Hiçbir terim bölünmüyorsa her seferinde kontrol etmek gerekir.
Bölünebilme kuralları ve neden doğru oldukları
Her sayma sayısı onluklarının sayısı ve son rakamı olarak ikiye ayrılabilir: 2385 = 238 · 10 + 5. 10 sayısı 2’ye, 5’e ve 10’a bölündüğünden, çarpım kuralına göre 238 · 10 da bu sayılara bölünür. Toplam kuralına göre de sayının tamamının bölünüp bölünmemesi yalnızca son rakama bağlı kalır. 100 = 4 · 25 olduğundan 4 ve 25 için aynı düşünce son iki basamağa götürür: 3716 = 37 · 100 + 16.
- nincelenen sayı
- aonlukların sayısı (son rakamı silinmiş n)
- bson rakam
n sayısı ancak ve ancak son rakamı çiftse (0, 2, 4, 6, 8) 2’ye, son rakamı 0 ya da 5 ise 5’e, son rakamı 0 ise 10’a bölünür.
- ayüzlüklerin sayısı (son iki rakamı silinmiş n)
- bson iki basamağın oluşturduğu sayı
n sayısı ancak ve ancak son iki basamağının oluşturduğu sayı 4’e bölünüyorsa (00, 04, 08, 12, …, 96) 4’e, son iki basamağı 00, 25, 50 ya da 75 ise 25’e bölünür.
1470, 2385, 3716, 5450 ve 7300 sayılarından hangileri 2’ye, 4’e, 5’e, 10’a ve 25’e bölünür?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2385: son rakam 5 → yalnızca 5’e bölünür (tek olduğu için 2’ye ve 4’e bölünmez; 85 de 25’e bölünmez).
3716: son rakam 6 → 2’ye bölünür; 4 | 16 → 4’e de bölünür (3716 = 4 · 929); 5’e, 10’a ve 25’e bölünmez.
5450: son rakam 0 → 2’ye, 5’e ve 10’a; 25 | 50 → 25’e bölünür (5450 = 25 · 218), ama 50, 4’e bölünmez.
7300: son iki basamak 00 → beşine de bölünür.
3 ve 9 ile bölünebilmede son rakam bir şey söylemez: 12 ve 22 aynı rakamla biter, ama 12, 3’e bölünür, 22 ise bölünmez. Burada başka bir düşünce işe yarar: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Her basamak birimi 9’a bölünen bir sayıdan tam 1 fazladır; bu yüzden sayıyı basamaklarına ayırıp bu “fazla birleri” ayrıca toplayabiliriz.
- 999, 99, 99’a (dolayısıyla 3’e de) bölünür; birinci parantez her zaman 9’a ve 3’e bölünür
- 4 + 5 + 2 + 7rakamlar toplamı = 18
Bir sayı ancak ve ancak rakamları toplamı 3’e (9’a) bölünüyorsa 3’e (9’a) bölünür. Üstelik bir sayı ile rakamları toplamı 3’e ve 9’a bölündüğünde aynı kalanı verir. 4527’nin rakamları toplamı 18’dir, bu yüzden 4527 = 9 · 503.
1) 7236 sayısı 3’e bölünür mü? 9’a?
2) Aynı soruyu 4821 için cevaplayın.
3) 52*4 sayısında * yerine hangi rakam yazılırsa sayı 9’a bölünür?
4) Aynı sayının 3’e bölünmesi için * yerine hangi rakamlar yazılabilir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 4 + 8 + 2 + 1 = 15; 3’e bölünür ama 9’a bölünmez: yalnızca 3’e (4821 = 3 · 1607).
3) 5 + 2 + 4 = 11. 11 + * toplamı 9’a bölünmelidir; * 0 ile 9 arasında bir rakam olduğundan toplam 11 ile 20 arasındadır ve yalnızca 18 uyar: * = 7 (5274 = 9 · 586).
4) 11 + * toplamı 12, 15 ya da 18 olmalıdır: * = 1, 4 ya da 7 (5214, 5244, 5274).
| Bölen | Kural | Bölünür | Bölünmez |
|---|---|---|---|
| 2 | son rakam çifttir | 3718 | 3715 |
| 3 | rakamlar toplamı 3’e bölünür | 552 (12) | 553 (13) |
| 4 | son iki basamağın oluşturduğu sayı 4’e bölünür | 1316 | 1318 |
| 5 | son rakam 0 ya da 5’tir | 735 | 736 |
| 9 | rakamlar toplamı 9’a bölünür | 4527 (18) | 4528 (19) |
| 10 | son rakam 0’dır | 1290 | 1209 |
| 25 | son iki basamak 00, 25, 50 ya da 75’tir | 3475 | 3455 |
Asal ve bileşik sayılar
Tam olarak iki böleni, yani 1 ve kendisi olan sayma sayısına asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … İkiden fazla böleni olan sayıya bileşik sayı denir: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … 1’in yalnızca bir böleni vardır; bu yüzden 1 ne asaldır ne de bileşik.
2, tek çift asal sayıdır: diğer her çift sayının en az üç böleni vardır, 1, 2 ve kendisi. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu sırayla 2, 3, 5, 7, 11, … asal sayılarına böleriz. Hepsini denemek gerekmez: n = a · b ve a ≤ b ise a · a ≤ n olur. Demek ki n bileşikse karesi n’den büyük olmayan bir asal böleni mutlaka vardır.
- nincelenen sayı
- pbölen olarak denediğimiz asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
p · p ≤ n koşulunu sağlayan asal sayıların hiçbiri n’yi bölmüyorsa n asaldır. 100’den küçük sayılar için 2, 3, 5 ve 7’yi denemek yeter, çünkü 11 · 11 = 121.
Sayının asal mı bileşik mi olduğunu belirleyin: 1) 97; 2) 91; 3) 143; 4) 211.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 91 = 7 · 13, yani bileşiktir. Asal “görünen” ünlü bir tuzak!
3) 2, 3, 5 ve 7 bölmez, ama 143 = 11 · 13, yani bileşiktir.
4) 13 · 13 = 169 ≤ 211 ve 17 · 17 = 289 > 211 olduğundan 13’e kadar olan asal sayıları deneriz: 211 tektir, rakamları toplamı 4’tür, 1 ile biter; 211 = 7 · 30 + 1 = 11 · 19 + 2 = 13 · 16 + 3. Hiçbiri bölmez: 211 asaldır.
Küçük asal sayıların hepsini birden bulmanın basit bir yolu vardır. Antik Yunan bilgini Eratosten’in adıyla anılır: bileşik sayıları adeta kalburdan geçirip eleriz, asal sayılar kalır. Bu yönteme Eratosten kalburu denir.
- 1Sayıları yaz
1’den 100’e kadar sayıları yaz ve 1’i sil: 1 asal değildir.
- 22’yi bırak
2 ilk asal sayıdır: onu yuvarlak içine al ve ondan sonraki her ikinci sayıyı sil: 4, 6, 8, …
- 33, 5 ve 7
Silinmemiş ilk sayı olan 3 asaldır: onu yuvarlak içine al ve 3’ün katlarını sil. Sonra aynısını 5 ve 7 ile yap. p’nin katlarını p · p’den başlayarak silmek yeter: 7 için 49’dan başla, çünkü 14, 21, …, 42 zaten silinmiştir.
- 4Dur
Sıradaki asal sayı 11’dir, ama 11 · 11 = 121 > 100 olduğu için iş biter: silinmemiş bütün sayılar asaldır. 100’e kadar 25 asal sayı vardır.
Asal çarpanlara ayırma
Bileşik bir sayı daha küçük iki çarpanın çarpımı olarak yazılabilir; bunların bileşik olanları yeniden ayrılır ve bu, yalnızca asal sayılar kalana kadar sürer. Sonuç, sayının asal çarpanlarına ayrılışıdır. Aritmetiğin temel teoremi bu ayrılışın tek olduğunu söyler: nereden başlarsan başla, sıraları dışında aynı asal sayıları elde edersin.
- n1’den büyük bir sayma sayısı
- p₁, p₂, …, pₖasal sayılar; tekrar edebilirler, eşit çarpanlar üslü yazılır: 2 · 2 · 2 = 2³
Bir asal sayının ayrılışı tek bir çarpandan, kendisinden oluşur: 13 = 13. Her bileşik sayının ayrılışı ise çarpanların sırası dışında tektir.
Ayrılışı bulmanın iki kolay yolu vardır. Çarpan ağacında sayı herhangi iki çarpana ayrılır, sonra her dal ayrı ayrı sürdürülür; dalların uçlarında asal sayılar kalır. Bölen listesinde ise dikey bir çizgi çizilir, sayı sola yazılır ve her seferinde en küçük asal bölenine bölünür: asal çarpanlar sağda, bölümler solda toplanır.
1) 180’i çarpan ağacıyla iki yoldan ayırın: 10 · 18 ile ve 4 · 45 ile başlayarak.
2) Asal çarpanlarına ayrılışı 2³ · 3 · 5² olan sayı hangisidir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
180 = 4 · 45; 4 = 2 · 2, 45 = 5 · 9 = 5 · 3 · 3. Dalların uçlarında: 2, 2, 5, 3, 3.
İki durumda da 180 = 2² · 3² · 5.
2) 2³ · 3 · 5² = 8 · 3 · 25. Kolay bir sırayla çarpalım: 8 · 25 = 200, 200 · 3 = 600.
- 1Sayıyı yaz
Dikey bir çizgi çiz ve sayıyı çizginin soluna yaz.
- 2En küçük asal böleni bul
Bölünebilme kurallarıyla 2, 3, 5, 7, … sayılarını dene ve sayıyı bölen ilk asal sayıyı çizginin sağına yaz.
- 3Bölümü alta yaz
Bölümü solda, sayının altına yaz ve 2. adımı tekrarla.
- 41’de dur
Solda 1 elde edince sağdaki asal sayıları çarp ve eşit çarpanları üslü yaz.
Bölen listesiyle asal çarpanlarına ayırın: 1) 360; 2) 1001.
Çözümü gösterÇözümü gizle
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5.
2) 1001; 2’ye (tektir), 3’e (rakamları toplamı 2’dir) ve 5’e bölünmez, ama 7’ye bölünür:
1001 | 7
143 | 11
13 | 13
1 |
1001 = 7 · 11 · 13.
- 1.360 = 2³ · 3² ·
- 2.1001 = 7 · 11 ·
- 3.221 = 13 ·
- 4.36 sayısı 9’a bölünür (bir rakam yazın)
- 5.100’e kadar olan asal sayıların sayısı:
- 6.2² · 3 · 5 sayısının bölen sayısı:
Artık bölenleri bulabilir, bir sayının asal olup olmadığını anlayabilir ve onu asal çarpanlarına ayırabilirsin. Bir sonraki derste, “En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat” dersinde, asal çarpanlara ayırma temel araç olacak: iki sayının ayrılışlarını karşılaştırarak EBOB ve EKOK’u hemen bulacaksın. Bu beceri “Ondalık gösterimler” dersinde de gerekecek.
Önemli noktalar
- a = b · k ise b, a’nın bir bölenidir; a da b’nin bir katıdır. Bir sayının bölenleri sonlu, katları sonsuz sayıdadır.
- İki terim de m’ye bölünüyorsa toplam ve fark da bölünür; çarpanlardan biri m’ye bölünüyorsa çarpım da bölünür.
- 2, 5, 10: son rakam; 4, 25: son iki basamak; 3, 9: rakamlar toplamı.
- Asal sayının tam iki böleni vardır; 1 ne asal ne bileşiktir; 2 tek çift asal sayıdır. n’yi sınamak için p · p ≤ n olan asal sayıları dene.
- Her bileşik sayı asal çarpanlarına tek biçimde ayrılır: çarpan ağacı ya da bölen listesiyle.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.