- Karmaşık sayıları cebirsel biçimde toplamak, çarpmak ve bölmek
- Cebirsel, kutupsal ve üstel biçimler arasında geçiş yapmak
- De Moivre formülüyle kuvvet ve n'inci kökleri hesaplamak
- Diskriminantı negatif olan ikinci dereceden denklemleri çözmek
İkinci dereceden denklemler dersinde negatif diskriminant “kök yok” demekti: x² + 1 = 0 denkleminin gerçel çözümü yoktur, çünkü hiçbir gerçel sayının karesi negatif değildir. 16. yüzyılda aralarında Cardano ve Bombelli'nin de bulunduğu İtalyan matematikçiler, kübik denklem formüllerinin, sonuç sıradan bir gerçel sayı olsa bile, bazen negatif sayıların karekökünden geçtiğini fark ettiler. Yine de bu sayılarla hesap yapmaya karar verdiler; bugün karmaşık sayılar elektrik mühendisliğinde, sinyal işlemede, kontrol kuramında ve kuantum fiziğinde günlük bir araçtır.
Sanal birim ve cebirsel biçim
i² = −1 koşulunu sağlayan i sayısı. Karmaşık sayı, a ve b gerçel olmak üzere z = a + bi biçiminde bir ifadedir; tüm karmaşık sayıların kümesi ℂ ile gösterilir.
- a = Re zgerçel kısım
- b = Im zsanal kısım (i olmadan, gerçel bir sayı!)
- isanal birim
Gerçel sayılar, b = 0 olan karmaşık sayılardır; 3i gibi a = 0 olan sayılara saf sanal sayı denir. İki karmaşık sayı ancak hem gerçel hem de sanal kısımları eşitse eşittir. Gerçel sayılardan farklı olarak karmaşık sayılar sıralanamaz: 2 + i < 3 gibi bir eşitsizliğin anlamı yoktur.
İşlemler ve eşlenik
Karmaşık sayılar kısım kısım toplanır ve çıkarılır; çarpma ise sıradan parantezler gibi yapılır, yalnızca i² yerine −1 yazılır:
- a, b, c, dgerçel sayılar
- −bdbi · di = bd · i² = −bd çarpımından gelir
- z̄z = a + bi sayısının eşleniği: sanal kısmın işareti değişir
- a² + b²her zaman negatif olmayan bir gerçel sayı
Düzlemde eşlenik, z'nin gerçel eksene göre yansımasıdır.
- c − dipaydanın eşleniği
- c² + d²gerçel bir payda, sıfırdan farklı olmalıdır
Bölmek için pay ve payda, paydanın eşleniğiyle çarpılır: paydadaki i kaybolur.
Geometrik olarak karmaşık sayıları toplamak vektörleri toplamaktır (paralelkenar kuralı); |z₁ − z₂| ise z₁ ve z₂ noktaları arasındaki uzaklıktır. Örneğin |z − 2| = 1 eşitliği, merkezi 2 noktasında olan 1 yarıçaplı çemberi tanımlar. Böylece karmaşık sayılar düzlem geometrisini cebire dönüştürür.
z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 − 4i. z₁ + z₂, z₁ − z₂, z₁z₂ ve z₁/z₂ sayılarını bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
z₁ − z₂ = (3 − 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i.
z₁z₂ = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.
z₁/z₂ = (3 + 2i)(1 + 4i) / (1² + 4²) = (3 + 12i + 2i + 8i²)/17 = (−5 + 14i)/17 = −5/17 + (14/17)i.
Kontrol: z₂ · (−5 + 14i)/17 = (−5 + 14i + 20i − 56i²)/17 = (51 + 34i)/17 = 3 + 2i ✓.
Mutlak değer, argüman, kutupsal ve üstel biçim
z = a + bi sayısını karmaşık düzlemin (a, b) noktası olarak gösterelim: yatay eksen gerçel, dikey eksen sanal eksendir. Orijine olan uzaklık mutlak değer (modül) r = |z|, pozitif gerçel eksenden ölçülen açı ise argüman φ = arg z olarak adlandırılır. O zaman a = r cos φ ve b = r sin φ olur.
- rmutlak değer: 0'dan z'ye uzaklık
- φargüman (açı), genellikle −π < φ ≤ π
- a, bgerçel ve sanal kısımlar
- r(cos φ + i sin φ)kutupsal (trigonometrik) biçim
- r · e^(iφ)üstel biçim
- edoğal logaritmanın tabanı, e ≈ 2,718
- φradyan cinsinden açı
Euler formülü. eˣ, cos x ve sin x fonksiyonlarının kuvvet serilerinden çıkar: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … serisinde x = iφ yazıp gerçel ve sanal terimleri gruplarsak tam olarak cos φ ve i sin φ serileri elde edilir.
- r₁, r₂mutlak değerler
- φ₁, φ₂argümanlar
Çarpmak, mutlak değerleri çarpıp açıları toplamaktır: i ile çarpmak 90° döndürmedir.
z = 1 + i√3 ve w = −1 − i sayılarını kutupsal ve üstel biçimde yazın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
z = 2(cos 60° + i sin 60°) = 2e^(iπ/3).
w: r = √(1 + 1) = √2; cos φ = −1/√2, sin φ = −1/√2; ikisi de negatif olduğundan φ III. bölgededir: φ = −3π/4 (−135°).
w = √2(cos(−135°) + i sin(−135°)) = √2 · e^(−3iπ/4).
De Moivre formülü ve kökler
- nbir tam sayı
- rⁿkuvvetin mutlak değeri
- nφkuvvetin argümanı
De Moivre formülü (e^(iφ))ⁿ = e^(inφ) eşitliğinden çıkar. n = 2 için iki kat açı formüllerini hemen verir: (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ, yani cos 2φ = cos²φ − sin²φ ve sin 2φ = 2 sin φ cos φ.
(1 + i)¹⁰ sayısını hesaplayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
(1 + i)¹⁰ = (√2)¹⁰ · (cos(10·45°) + i sin(10·45°)) = 32 · (cos 450° + i sin 450°).
450° = 360° + 90° olduğundan cos 450° = 0, sin 450° = 1 ⇒ (1 + i)¹⁰ = 32i.
On parantezi açmak çok daha uzun sürerdi.
- wₖz = r·e^(iφ) sayısının n'inci kökleri
- ⁿ√rmutlak değerin sıradan gerçel kökü
- kkökün numarası
Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının tam n farklı n'inci kökü vardır; bunlar merkezi 0'da olan düzgün bir n-genin köşeleridir.
zⁿ = 1 denkleminin çözümleri birimin n'inci kökleridir: e^(2πik/n). n = 3 için bunlar 1 ve −1/2 ± (√3/2)i, n = 4 için 1, i, −1 ve −i'dir. n ≥ 2 iken toplamları 0'dır, çünkü düzgün çokgen orijin etrafında dengededir. Birimin kökleri, ses ve görüntü işlemede kullanılan hızlı Fourier dönüşümünün temelidir.
z³ = 8 denkleminin tüm karmaşık çözümlerini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
Argümanlar: k = 0, 1, 2 için (0 + 2πk)/3 = 0°, 120°, 240°.
w₀ = 2, w₁ = 2(cos 120° + i sin 120°) = −1 + i√3, w₂ = 2(cos 240° + i sin 240°) = −1 − i√3.
Kontrol: (−1 + i√3)³ = (2e^(i·2π/3))³ = 8e^(i·2π) = 8 ✓. Üç kök bir eşkenar üçgen oluşturur.
Diskriminantı negatif olan denklemler
- a, b, cax² + bx + c = 0 denkleminin gerçel katsayıları
- Ddiskriminant
- √(−D)pozitif bir sayının sıradan karekökü
x² − 4x + 13 = 0 denklemini çözün.
Çözümü gösterÇözümü gizle
x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.
2 + 3i için kontrol: (2 + 3i)² − 4(2 + 3i) + 13 = (4 + 12i − 9) − 8 − 12i + 13 = 0 ✓.
Kökler eşleniktir: toplamları 4 = −b/a, çarpımları (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 + 9 = 13 = c/a; tıpkı Vieta formüllerinin söylediği gibi.
Gerçel katsayılı bir polinomun gerçel olmayan kökleri her zaman a ± bi eşlenik çiftleri hâlinde gelir. Cebirin temel teoremine göre de n ≥ 1. dereceden her polinomun katlılıklarıyla birlikte tam n karmaşık kökü vardır: ℂ'de her polinom denklemi çözülebilir.
import cmath
z1, z2 = 3 + 2j, 1 - 4j
print(z1 * z2)
print(z1 / z2)
print((1 + 1j) ** 10)
print(cmath.polar(1 + 1j))
print(cmath.exp(1j * cmath.pi) + 1)▸ Beklenen çıktı
(11-10j) (-0.29411764705882354+0.8235294117647058j) 32j (1.4142135623730951, 0.7853981633974483) 1.2246467991473532e-16j
j ile yazılır). polar, (r, φ) ikilisini verir: √2 ve π/4. Son satır 0 yerine 1,2 · 10⁻¹⁶i verir: e^(iπ) + 1 = 0 tam olarak doğrudur, ama bilgisayarda π yuvarlanmıştır.Önemli noktalar
- i² = −1; z = a + bi, a = Re z, b = Im z; i'nin kuvvetleri 4 adımda bir tekrarlanır.
- Parantez gibi çarp ve i² = −1 yaz; bölmek için paydanın eşleniğiyle çarp; z·z̄ = a² + b².
- |z| = √(a² + b²); φ'yi cos φ = a/r ve sin φ = b/r ile bul, bölgeye dikkat et.
- Euler: e^(iφ) = cos φ + i sin φ, yani z = r·e^(iφ); çarpmada mutlak değerler çarpılır, açılar toplanır.
- De Moivre: (r·e^(iφ))ⁿ = rⁿ·e^(inφ); zⁿ = w denkleminin bir çember üzerinde n kökü vardır.
- D < 0 ise x = (−b ± i√(−D))/(2a): bir eşlenik kök çifti.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.