Radyan ölçüsü, temel trigonometrik özdeşlikler ve indirgeme formülleri

Leyla parktaki dönme dolaba bindi. Kabini dolabın merkeziyle aynı hizadan yola çıkıyor ve dolap saatin tersi yönünde dönüyor. Bir tam tur ve bir çeyrek tur daha sonra kabin 360° + 90° = 450° dönmüş olur. Leyla şimdi merkezin ne kadar yukarısında? Dik üçgende 450°’lik açı olmaz; ama dönen tekerlekler, saat ibreleri, sarkaçlar ve alternatif akım tam da böyle açılarla çalışır. Bunlar için her açının sinüsü ve kosinüsü gerekir.

“Trigonometriye giriş” dersinde sinüs, kosinüs ve tanjant, dar açı için dik üçgenin kenarlarının oranı olarak tanımlandı. Bu derste dört adım atıyoruz: açıyı radyanla ölçmeyi öğreniyoruz, birim çember yardımıyla trigonometrik fonksiyonları her açı için tanımlıyoruz, onları birbirine bağlayan temel özdeşlikleri tanıyoruz ve indirgeme formülleriyle her açıyı dar açıya indiriyoruz. Sonraki ders olan “Toplam-fark, iki kat açı ve yarım açı formülleri” bu dersin üzerine kurulur.

Açının radyan ölçüsü

Derece, tam turun 1/360’ıdır. 360 sayısı eski astronomlardan kalma bir uzlaşmadır, geometrinin kendisinden gelmez. Matematikte daha doğal bir birim kullanılır: radyan. Bir açı, yayına kaç yarıçap sığıyorsa o kadar radyandır.

Çemberin uzunluğu 2πR’dir; yani yarıçap çembere tam 2π ≈ 6,28 kez sığar. Demek ki tam tur 2π radyan, yarım tur ise π radyandır: 180° = π rad. Buradan 1 rad = 180°/π ≈ 57,3° çıkar. Radyan bir zevk meselesi değildir: “Türev tablosu” dersindeki (sin x)′ = cos x formülü yalnızca x radyanla ölçüldüğünde doğrudur; yay uzunluğu da en sade hâlini radyanla alır.

Birim çemberde her açının sinüsü ve kosinüsü

Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. P₀(1, 0) noktasını merkez etrafında döndürelim: saatin tersi yönündeki dönme pozitif açı, saat yönündeki dönme negatif açı verir. Tam turdan sonra nokta başladığı yere döner ve dönme sürebilir. Bu yüzden 450°, −90° ya da 7π gibi açılar da tamamen anlamlıdır: bunlar yalnızca dönme açılarıdır.

Dar açı için bu tanım eskisiyle çakışır: hipotenüsü 1 olan dik üçgende karşı dik kenar y’ye, komşu dik kenar x’e eşittir. Leyla’ya dönelim: 450° = 360° + 90°, kabin 90°’lik noktaya gelmiştir; sin 450° = sin 90° = 1, yani Leyla merkezin tam bir yarıçap yukarısındadır. Tanımdan birkaç önemli sonuç çıkar:

• −1 ≤ sin α ≤ 1 ve −1 ≤ cos α ≤ 1, çünkü birim çemberdeki bir noktanın koordinatlarının mutlak değeri 1’i aşamaz.
• Tam tur noktayı yerine getirir; bu yüzden sin ve cos değerleri her 360° = 2π’de bir tekrarlanır.
• Nokta y ekseni üzerindeyken (x = 0: 90°, 270°, …) tan α, x ekseni üzerindeyken (y = 0: 0°, 180°, …) cot α tanımsızdır.

Sinüs ve kosinüsün işareti yalnızca noktanın hangi bölgede olduğuna bağlıdır: y koordinatı x ekseninin üstünde, x koordinatı y ekseninin sağında pozitiftir. Tanjant bunların oranıdır; bu yüzden x ile y aynı işaretliyken pozitif olur.

Temel trigonometrik özdeşlikler

1. 1
   Kareyi bul

   Uygun özdeşlikle bilinmeyenin karesini bul: cos²α = 1 − sin²α, sin²α = 1 − cos²α ya da cos²α = 1 / (1 + tan²α).

2. 2
   İşareti bölgeye göre seç

   Karekök alınca iki değer çıkar: ±. Açının bölgesine bakıp doğru işareti bırak.

3. 3
   tan ve cot’u orandan bul

   tan α = sin α / cos α, cot α = 1 / tan α.

4. 4
   Kontrol et

   sin²α + cos²α = 1 olduğunu ve işaretlerin bölgeye uyduğunu kontrol et.

İndirgeme formülleri

Birim çember simetriktir. π − α açısına karşılık gelen nokta, P(cos α, sin α) noktasının y eksenine göre simetriğidir: (−cos α, sin α). π + α açısının noktası ise P’nin merkeze göre simetriğidir: (−cos α, −sin α). Buradan hemen sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(π + α) = −sin α ve cos(π + α) = −cos α çıkar.

π/2 + α açısı ise P noktasını 90° daha döndürür. 90°’lik dönmede (x, y) noktası (−y, x) noktasına gider; bu yüzden cos(π/2 + α) = −sin α ve sin(π/2 + α) = cos α olur: sinüs ile kosinüs yer değiştirir. Bu tür eşitliklerin hepsine indirgeme formülleri denir: π/2 · n ± α açısının fonksiyonunu α açısının fonksiyonuyla ifade ederler.

1. 1
   Açıyı parçala

   Önce tam turları at (sin ve cos için 2π, tan ve cot için π), sonra açıyı π/2 · n ± α biçiminde yaz; burada α dar açıdır.

2. 2
   İşareti bul

   α’yı dar açı sayarak π/2 · n ± α açısının hangi bölgede olduğunu bul ve başlangıçtaki fonksiyonun o bölgedeki işaretini yaz.

3. 3
   Fonksiyonun adını seç

   n tek ise (π/2, 3π/2) fonksiyon eşine dönüşür: sin ↔ cos, tan ↔ cot. n çift ise (π, 2π) fonksiyonun adı değişmez.

İfadeleri sadeleştirme ve özdeşlik ispatı

Trigonometrik bir ifadeyi sadeleştirmek, onu daha kısa ya da daha kullanışlı bir biçime getirmek demektir. Burada cebirin bütün araçları çalışır: ortak çarpan parantezine alma, iki kare farkı gibi cebirsel özdeşlikler, ortak payda. Bunlara trigonometrinin kendi araçları eklenir:

• tan ve cot’u sin ve cos cinsinden yaz;
• 1 − sin²α = cos²α ve 1 − cos²α = sin²α dönüşümlerini fark et;
• (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α gibi iki kare farklarını ara;
• sonucun hangi α değerleri için geçerli olduğunu unutma: hiçbir payda sıfır olmamalı.

1. 1
   Karmaşık taraftan başla

   Genellikle uzun tarafı kısa tarafa dönüştürmek daha kolaydır.

2. 2
   Her şeyi sin ve cos ile yaz

   tan, cot ve 1’i sin ve cos ile ifade et, kesirleri ortak paydada topla.

3. 3
   Başka yollar

   İki tarafı aynı ifadeye getirmek ya da farklarının 0 olduğunu göstermek de olur. İki kesrin eşitliğinde içler-dışlar çarpımını karşılaştırmak kolaydır.

4. 4
   Koşulları yaz

   Özdeşliğin hangi α için geçerli olduğunu belirt: bütün paydalar sıfırdan farklı olmalı.