Karekök, n. dereceden kök ve rasyonel üslü ifadeler

Bu derste öğreneceklerin

Karekök ve n. dereceden kök bulmak, rasyonel ve irrasyonel sayıları ayırt etmek
Kök dışına çarpan çıkarmak ve kök içine almak, benzer köklü ifadeleri toplamak ve köklü ifadeleri karşılaştırmak
Kökleri rasyonel üslü ifade olarak yazmak ve üslü ifadelerin özellikleriyle hesaplamak
Paydayı rasyonel yapmak ve y = √x fonksiyonunun grafiğini okumak

Leyla odası için kare biçiminde bir halı seçiyor. Alanı 4 m² olan halının bir kenarı 2 m’dir, çünkü 2² = 4. Peki alanı 2 m² olan halının kenarı ne kadardır? x² = 2 olacak şekilde bir x sayısı gerekir. 1,4² = 1,96 azdır, 1,5² = 2,25 fazladır; 1,41² = 1,9881, 1,42² = 2,0164… Arama hiç bitmez: bu sayı sonlu ya da devirli bir ondalık sayıyla yazılamaz. Onu √2 ile gösteririz.

“Tam sayı üslü ifadeler ve özellikleri” dersinde sayıların kuvvetini almayı öğrendik. Kök, ters sorunun cevabıdır: karesi (küpü, n. kuvveti) verilen sayıya eşit olan sayı hangisidir? Dersin sonunda kökler ve üsler tek bir dilde, rasyonel üs dilinde buluşacak.

Karekök. İrrasyonel ve gerçek sayılar

Tanım

Karekök

a ≥ 0 olmak üzere a’nın karekökü, karesi a olan negatif olmayan sayıdır ve √a ile gösterilir; a’ya kök içi denir. √49 = 7’dir, çünkü 7 ≥ 0 ve 7² = 49. Negatif bir sayının karekökü gerçek sayılarda yoktur: hiçbir sayının karesi negatif değildir.

(√a)² = a √a ≥ 0 (a ≥ 0)

burada:

akök içi, negatif olmayan bir sayı

Tanımın iki koşulu: kökün karesi kök içine eşittir ve kökün kendisi negatif değildir. x² = 49 denkleminin iki çözümü vardır (x = ±7), ama √49 yalnızca 7’dir.

Karekök hesaplama

Hesaplayın ya da ifadenin neden anlamsız olduğunu açıklayın: 1) √0,09; 2) √(2¼); 3) (√7)²; 4) √(−16); 5) 3√0,16 − 6√(4/9).

Çözümü göster

1) 0,3 ≥ 0 ve 0,3² = 0,09, o hâlde √0,09 = 0,3.
2) Tam sayılı kesri bileşik kesre çeviririz: 2¼ = 9/4, √(9/4) = 3/2.
3) Tanım gereği (√7)² = 7.
4) Anlamsızdır: hiçbir sayının karesi −16 olamaz.
5) √0,16 = 0,4, √(4/9) = 2/3; 3 · 0,4 − 6 · 2/3 = 1,2 − 4 = −2,8.

√49, √0,09 ve √(9/4) rasyonel sayılardır, ama √2, √3, √5 gibi kökler hiçbir kesre eşit değildir. √2 = p/q sadeleşmeyen bir kesir olsun. O zaman p² = 2q², yani p² çifttir; bu yüzden p de çifttir: p = 2k. Yerine yazınca 4k² = 2q², q² = 2k² olur; q de çifttir. Pay da payda da 2’ye bölünür; bu, kesrin sadeleşmediği varsayımıyla çelişir. Genel olarak n doğal sayısı bir tam kare değilse √n irrasyoneldir.

Tanım

İrrasyonel ve gerçek sayılar

İrrasyonel sayı, p/q (p tam sayı, q doğal sayı) biçiminde yazılamayan sayıdır; ondalık açılımı sonsuz ve devirsizdir: √2 = 1,41421356…, π = 3,14159… Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayılar kümesini (ℝ) oluşturur; sayı doğrusunun her noktasına bir gerçek sayı karşılık gelir.

Tahmin et ve sınıflandır

1) √30 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Onu 0,1 duyarlıkla bulun. 2) √10 ile √50 arasında kaç tam sayı vardır? 3) Hangileri irrasyoneldir: √16, √0,4, √0,04, √12, √(49/4)?

Çözümü göster

1) 25 < 30 < 36, o hâlde 5 < √30 < 6. Daha hassas: 5,4² = 29,16 < 30 < 30,25 = 5,5² ve 5,45² = 29,7025 < 30, yani √30 > 5,45. 0,1 duyarlıkla √30 ≈ 5,5 (tam değer 5,477…).
2) 9 < 10 < 16 ve 49 < 50 < 64, o hâlde 3 < √10 < 4 ve 7 < √50 < 8. Aralarında 4, 5, 6, 7 vardır: 4 tam sayı.
3) √16 = 4, √0,04 = 0,2, √(49/4) = 7/2 rasyoneldir. 0,4 = 40/100 ve √0,4 = √40 / 10; 40 tam kare değildir, bu yüzden √0,4 irrasyoneldir. 12 de tam kare değildir: √12 irrasyoneldir.

Karekökün özellikleri ve dönüşümler

√(a²) = |a|

burada:

aherhangi bir sayı
|a|a’nın mutlak değeri

Kök negatif olamaz; bu yüzden bir karenin karekökü sayının kendisini değil, mutlak değerini verir: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. a ≥ 0 iken √(a²) = a, a < 0 iken √(a²) = −a.

√(a²) = |a| kuralı

Sadeleştirin: 1) √((−8)²); 2) √((√3 − 2)²); 3) x < 3 iken √(x² − 6x + 9); 4) a < 0 iken √(a⁴) ve √(a⁶).

Çözümü göster

1) |−8| = 8.
2) √3 ≈ 1,73 < 2, bu yüzden √3 − 2 < 0 ve |√3 − 2| = 2 − √3.
3) x² − 6x + 9 = (x − 3)² (tam kare). √((x − 3)²) = |x − 3|; x < 3 iken x − 3 < 0, o hâlde sonuç 3 − x’tir.
4) √(a⁴) = |a²| = a² (kare negatif olmaz). √(a⁶) = |a³|; a < 0 iken a³ < 0, bu yüzden √(a⁶) = −a³.

√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

burada:

a, bnegatif olmayan sayılar (bölümde b > 0)

Neden doğrudur? (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab ve √a · √b ≥ 0; o hâlde bu sayı tanım gereği √(ab)’dir. Kural iki yönde de kullanılır: çarpımın kökü ayrılır, köklerin çarpımı tek kökte birleştirilir.

Çarpımın ve bölümün karekökü

Hesaplayın: 1) √(0,09 · 64); 2) √2 · √18; 3) √75 / √3; 4) √(2⁴ · 3⁶); 5) √1,6 · √90.

Çözümü göster

1) √0,09 · √64 = 0,3 · 8 = 2,4.
2) √(2 · 18) = √36 = 6.
3) √(75/3) = √25 = 5.
4) √(2⁴) · √(3⁶) = 2² · 3³ = 4 · 27 = 108; çift üslü bir kuvvetin karekökünde üs yarıya iner.
5) √(1,6 · 90) = √144 = 12: köklerin hiçbiri tek başına tam sayı değildir, ama çarpım tam karedir.

Kök içinde tam kare bir çarpan varsa onun karekökü alınıp kökün önüne yazılabilir: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Buna kök dışına çarpan çıkarma denir. Ters işlem olan kök içine alma, köklü ifadeleri karşılaştırırken gerekir: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Kökün önündeki eksi işareti ise dışarıda kalır: −2√3 = −√12.

√(a² · b) = |a| · √b a√b = √(a² · b) (a ≥ 0, b ≥ 0)

burada:

akök dışına çıkarılan (ya da kök içine alınan) çarpan
bkök içinde kalan negatif olmayan sayı

Kökten dışarı sayı karekökü olarak çıkar, kök içine ise karesi alınarak girer. Harfli ifadelerde mutlak değeri unutma: √(50x²) = 5|x|√2.

1
En büyük tam kareyi bul
Kök içindeki sayıyı, çarpanlardan biri olabildiğince büyük bir tam kare olacak şekilde ikiye ayır: 72 = 36 · 2. (72 = 4 · 18 de olur, ama 18’in içinde yine 9 tam karesi kalır.)
2
Kökü ayır
√(36 · 2) = √36 · √2.
3
Tam karenin kökünü al
√36 = 6, o hâlde √72 = 6√2.
4
Kontrol et
Kök içinde 1’den başka tam kare çarpan kalmamalıdır. Hesap makinesiyle de kontrol edebilirsin: 6 · 1,414 ≈ 8,49 ve √72 ≈ 8,49.

Kök dışına çıkarma ve kök içine alma

1) √48 ve √200 ifadelerinde kök dışına çarpan çıkarın. 2) x < 0 iken √(50x²) ifadesini sadeleştirin. 3) 3√5, 2√11 ve −4√2 ifadelerinde çarpanı kök içine alın.

Çözümü göster

1) √48 = √(16 · 3) = 4√3; √200 = √(100 · 2) = 10√2.
2) √(25 · 2 · x²) = 5|x|√2; x < 0 iken |x| = −x, o hâlde √(50x²) = −5x√2 (x negatif olduğu için bu ifade pozitiftir).
3) 3√5 = √(9 · 5) = √45; 2√11 = √(4 · 11) = √44; eksi işareti dışarıda kalır: −4√2 = −√(16 · 2) = −√32.

Kök içleri aynı olan köklü ifadelere benzer köklü ifadeler denir: 2√3, −5√3 ve √3. Bunlar benzer terimler gibi toplanır: katsayılar toplanır, kök değişmez. Benzer olmayan kökler tek bir kökte birleştirilemez: √2 + √3 ≠ √5. Çoğu zaman köklü ifadeler ilk bakışta benzer görünmez; önce kök dışına çarpan çıkarmak gerekir.

Köklü ifadelerde toplama ve çarpma

Sadeleştirin: 1) √12 + √27 − √48; 2) 3√50 − 2√32 + √8; 3) (√3 + 1)²; 4) (√5 − √2)(√5 + √2); 5) √2 · (√18 − 3√8).

Çözümü göster

1) √12 = 2√3, √27 = 3√3, √48 = 4√3; (2 + 3 − 4)√3 = √3.
2) 3 · 5√2 − 2 · 4√2 + 2√2 = 15√2 − 8√2 + 2√2 = 9√2.
3) (a + b)² özdeşliğiyle: (√3)² + 2 · √3 · 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.
4) İki kare farkı: (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
5) √2 · √18 − 3 · √2 · √8 = √36 − 3√16 = 6 − 12 = −6.

0 ≤ a < b ⇔ √a < √b

burada:

a, bnegatif olmayan sayılar

Büyük sayının karekökü de büyüktür. Bu yüzden köklü ifadeler iki yolla karşılaştırılır: çarpanlar kök içine alınıp kök içleri karşılaştırılır ya da iki taraf da pozitifse kareleri alınır; bu, eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

Köklü ifadeleri karşılaştırma

Karşılaştırın: 1) 2√7 ve 3√3; 2) √5 + √7 ve √2 + √10; 3) 4 ve √3 + √5.

Çözümü göster

1) 2√7 = √28, 3√3 = √27. 28 > 27, o hâlde 2√7 > 3√3.
2) İki taraf da pozitif, karelerini alırız: (√5 + √7)² = 12 + 2√35, (√2 + √10)² = 12 + 2√20. √35 > √20, o hâlde √5 + √7 > √2 + √10.
3) 4² = 16, (√3 + √5)² = 8 + 2√15 = 8 + √60. 16 = 8 + √64 ve √64 > √60, o hâlde 4 > √3 + √5.

n. dereceden kök ve rasyonel üslü ifadeler

Tanım

n. dereceden kök

n ≥ 2 bir doğal sayı olsun. a’nın n. dereceden kökü, n. kuvveti a olan sayıdır ve ⁿ√a ile gösterilir; n’ye kök derecesi denir. n çift ise kök yalnızca a ≥ 0 için tanımlıdır ve negatif olmayan değer alınır: ⁴√81 = 3. n tek ise kök her a için vardır ve işareti a’nın işaretiyle aynıdır: ∛(−27) = −3, çünkü (−3)³ = −27.

(ⁿ√a)ⁿ = a ⁿ√(aⁿ) = |a| (n çift) ⁿ√(aⁿ) = a (n tek)

burada:

nkök derecesi, n ≥ 2
akök içi (ilk eşitlikte n çiftse a ≥ 0)

İlk eşitlik kökün tanımıdır. Diğer ikisi √(a²) = |a| kuralının genellemesidir: ⁴√((−2)⁴) = 2, ama ∛((−2)³) = −2.

ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√aⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a

burada:

a, bnegatif olmayan sayılar (bölümde b > 0)
n, mkök dereceleri (doğal sayı, ≥ 2)
kbir doğal sayı

Karekökün özellikleri her dereceden kök için de geçerlidir. Kökün kökü alınırken dereceler çarpılır: √(∛64) = ⁶√64 = 2.

n. dereceden köklerle işlem

1) ⁴√81, ∛(−8), ⁵√32 ve ⁴√0,0016 değerlerini bulun. 2) ⁴√(−16) ifadesinin anlamı var mı? 3) ∛2 · ∛4 ve ∛54 ifadelerini sadeleştirin. 4) ∛16 + ∛54. 5) √(∛64).

Çözümü göster

1) 3⁴ = 81 → 3; (−2)³ = −8 → −2; 2⁵ = 32 → 2; 0,2⁴ = 0,0016 → 0,2.
2) Anlamı yoktur: hiçbir sayının dördüncü kuvveti negatif değildir.
3) ∛(2 · 4) = ∛8 = 2; ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
4) ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2, ∛54 = 3∛2; toplam 5∛2’dir.
5) Dereceler çarpılır: ⁶√64 = 2, çünkü 2⁶ = 64.

Kökler üslü ifade olarak yazılabilir mi? (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ kuralının kesirli üsler için de geçerli olduğunu varsayalım. O zaman (8^(1/3))³ = 8¹ = 8 olur; yani 8^(1/3), küpü 8 olan sayıdır: ∛8 = 2. Bu yüzden a^(1/n) = ⁿ√a ve a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) olarak tanımlanır. Bu tanımdan sonra önceki derste öğrendiğin tüm üs kuralları kesirli üsler için de geçerlidir.

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)

burada:

apozitif taban
mtam sayı; kuvvetin üssü
nn ≥ 2 doğal sayı; kök derecesi

Kesirli üssün paydası kök derecesi, payı ise kuvvetin üssüdür. Tabanın pozitif olması önemlidir: (−8)^(1/3) = −2 kabul edilseydi, 1/3 = 2/6 olduğu hâlde (−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2 çıkardı.

Rasyonel üslü ifadeleri hesaplama

Hesaplayın: 1) 8^(2/3); 2) 16^(3/4); 3) 27^(−1/3); 4) 32^0,4; 5) 16^(3/4) + 27^(−1/3) · 9^(1/2); 6) 0,001^(−2/3).

Çözümü göster

1) (∛8)² = 2² = 4.
2) (⁴√16)³ = 2³ = 8.
3) 1 / 27^(1/3) = 1/∛27 = 1/3.
4) 0,4 = 2/5, bu yüzden 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4.
5) 16^(3/4) = 8, 27^(−1/3) = 1/3, 9^(1/2) = 3; 8 + (1/3) · 3 = 9.
6) 0,001 = 10⁻³, bu yüzden (10⁻³)^(−2/3) = 10^((−3) · (−2/3)) = 10² = 100.

Kökleri üslü yazarak sadeleştirme

Sadeleştirin (a > 0): 1) a^(1/2) · a^(1/3); 2) ∛(a²) · ⁶√(a²); 3) √(a · ∛a); 4) √2 · ⁴√4.

Çözümü göster

1) Üsler toplanır: 1/2 + 1/3 = 5/6, o hâlde a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
2) a^(2/3) · a^(2/6) = a^(2/3 + 1/3) = a¹ = a.
3) a · a^(1/3) = a^(4/3); (a^(4/3))^(1/2) = a^(2/3) = ∛(a²).
4) 4 = 2², bu yüzden ⁴√4 = 2^(2/4) = 2^(1/2) = √2. √2 · √2 = 2.

Paydayı rasyonel yapma

Cevapta paydada kök bırakmamak bir alışkanlıktır: 2√3, 6/√3’ten daha sade görünür; karşılaştırmak ve başka köklü ifadelerle toplamak da kolaydır. Pay ve payda sıfırdan farklı aynı ifadeyle çarpılınca kesrin değeri değişmez; bu ifadeyi paydadaki kök yok olacak şekilde seçeriz.

a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)

burada:

bpozitif bir sayı
x, ynegatif olmayan sayılar, x ≠ y
√x ± √ybirbirinin eşleniği olan ifadeler

Eşlenikle çarpınca iki kare farkı özdeşliği devreye girer: (√x − √y)(√x + √y) = x − y ve paydada kök kalmaz.

Paydadaki kökten kurtulun

1) 6/√3; 2) 5/(2√5); 3) 4/(√5 − 1); 4) 1/(√3 + √2); 5) 1/∛2.

Çözümü göster

1) Pay ve paydayı √3 ile çarparız: 6√3 / 3 = 2√3.
2) √5 ile çarparız: 5√5 / (2 · 5) = √5/2.
3) Eşlenik olan √5 + 1 ile çarparız: 4(√5 + 1) / ((√5)² − 1²) = 4(√5 + 1) / 4 = √5 + 1.
4) √3 − √2 ile çarparız: (√3 − √2) / (3 − 2) = √3 − √2. Hesap makinesiyle kontrol: ikisi de ≈ 0,318.
5) ∛4 ile çarparız: ∛4 / ∛8 = ∛4/2.

Eşlenikle karşılaştırma

Hangisi daha büyüktür: √7 − √6 mı, √6 − √5 mi?

Çözümü göster

Her farkı eşleniğiyle çarpıp böleriz: √7 − √6 = (7 − 6)/(√7 + √6) = 1/(√7 + √6) ve √6 − √5 = 1/(√6 + √5).
Paylar eşit olduğundan paydası küçük olan kesir daha büyüktür: √6 + √5 < √7 + √6.
O hâlde √6 − √5 > √7 − √6. Kontrol: 0,213 > 0,196.

y = √x fonksiyonu ve grafiği

Her x ≥ 0 sayısına karekökünü karşılık getirelim: y = √x. Grafiğin birkaç noktası: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (2, ≈1,41). Bu, orijinden başlayan ve giderek daha yavaş yükselen bir “yarım parabol”dür. y = x² parabolünün sağ kolunun y = x doğrusuna göre simetriğidir, çünkü x ≥ 0 iken kare alma ve karekök alma birbirini “geri alır”.

Tanım kümesi: x ≥ 0; görüntü kümesi: y ≥ 0. Grafik x ekseninin altına inmez.
Fonksiyon artandır: büyük x’e büyük √x karşılık gelir; köklü ifadeleri karşılaştırma kuralı buradan gelir.
Artış giderek yavaşlar: x 1’den 4’e (3 birim) çıkınca y 1 artar; 4’ten 9’a (5 birim) çıkınca yine yalnızca 1 artar.
0 < x < 1 iken √x > x (√0,25 = 0,5 > 0,25); x > 1 iken ise √x < x.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

x ≥ 0 için y = x² ve y = √x birbirinin tersidir: grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Karekökün grafiği yalnızca x ≥ 0 için vardır. İmleci x = 4’e getir: √4 = 2.

Grafiği kullanma

1) y = √x fonksiyonunun grafiği A(49, 7), B(0,36, 0,6) ve C(16, −4) noktalarından geçer mi? 2) √x = 2,5 ise x kaçtır? 3) 0,5 ile √0,5 sayılarını karşılaştırın.

Çözümü göster

1) √49 = 7, A grafiktedir; √0,36 = 0,6, B grafiktedir; √16 = 4 ≠ −4, C grafikte değildir (grafik x ekseninin altına inmez).
2) İki tarafın karesini alırız: x = 2,5² = 6,25.
3) 0 < 0,5 < 1 olduğundan √0,5 > 0,5 (√0,5 ≈ 0,71).

Köklü ifadelerle çalışma becerisi ileride gerekecek: ikinci dereceden denklemin kök formülündeki √D, “Köklü (irrasyonel) denklemler ve eşitsizlikler” dersinde kök içindeki değişken, “Fonksiyonlar ve özellikleri” dersinde ise y = √x grafiğinin ötelenmesi ve esnetilmesi.

Kendini dene: boşluğu doldur

1.√72 = √2
2.∛(−125) =
3.16^(3/4) =
4.(√7 − √3)(√7 + √3) =
5.√((1 − √2)²) = √2 −

Önemli noktalar

√a (a ≥ 0), karesi a olan negatif olmayan sayıdır: (√a)² = a, √(a²) = |a|; negatif bir sayının karekökü yoktur.
n doğal sayısı tam kare değilse √n irrasyoneldir; rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur.
√(ab) = √a · √b ve √(a/b) = √a/√b, ama √(a + b) ≠ √a + √b; kök dışına çarpan çıkarıp benzer köklü ifadeleri topla.
Çift dereceli kök yalnızca a ≥ 0 için vardır ve negatif değildir; tek dereceli kök her a için vardır; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0).
Paydada √b varsa √b ile, √x ± √y varsa eşleniğiyle çarp.
y = √x: x ≥ 0, y ≥ 0 ve fonksiyon artandır; köklü ifadeleri karşılaştırmak için kök içlerini karşılaştır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Her a için √(a²) neye eşittir?