İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri11. sınıf25 dk68 / 82

İntegral ve eğrisel yamuğun alanı

Eğrisel yamuk ve alanı, belirli integral ve Newton–Leibniz formülü, integralin özellikleri ve parametreli sorular, eğrilerle sınırlanan şekillerin alanı, hızdan alınan yol ve değişken kuvvetin işi — DİM tarzı kapalı uçlu, kodlanan ve yazılı sorularla.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Eğrisel yamuğu tanımak ve alanını Newton–Leibniz formülüyle hesaplamak
  • Belirli integral hesaplamak, özelliklerini ve parametreli eşitlikleri kullanmak
  • Eğriler ve doğrularla sınırlanan şeklin alanını bulmak: kesişim noktaları, “üstteki eksi alttaki”, işaret değiştiren fonksiyonlar
  • İntegralle hızdan yolu ve yer değiştirmeyi, değişken kuvvetin işini hesaplamak

Leyla’nın ailesinin bahçesi bir yanda düz bir çitle, diğer yanda nehrin kıvrımlı kıyısıyla sınırlanıyor. Dikdörtgenin, üçgenin, yamuğun alanını bulmayı biliyoruz; peki bir kenarı eğri olan bir şeklin alanı nasıl bulunur? Bu soruyu parabolik bir parça için Arşimet daha MÖ 3. yüzyılda yanıtlamıştı; genel yöntemi ise 17. yüzyılda Newton ve Leibniz buldu: alan bir ilkel fonksiyon yardımıyla hesaplanır. “İlkel fonksiyon” dersinde öğrendiklerimiz burada beklenmedik bir geometrik anlam kazanıyor. DİM sınavlarında bu, «İbtidai funksiya və inteqral» (ilkel fonksiyon ve integral) konusudur: örneğin 2026’daki I. grup giriş sınavında iki parabolle sınırlanan bir şeklin alanı sorulmuştu.

Eğrisel yamuk ve alanı

Tanım
Eğrisel yamuk

[a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan bir f fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b doğruları ve Ox ekseniyle sınırlanan şekle eğrisel yamuk (eğri altında kalan bölge) denir. Üç kenarı düz, dördüncü kenarı eğridir.

Oxyaby = f(x)S
Eğrisel yamuk: üstte y = f(x), yanlarda x = a ve x = b, altta Ox.

Alanı nasıl buluruz? a’dan x’e kadar olan parçanın alanına S(x) diyelim. x biraz, Δx kadar artınca alana ince bir şerit eklenir. Bu şerit neredeyse genişliği Δx, yüksekliği f(x) olan bir dikdörtgendir: S(x + Δx) − S(x) ≈ f(x) · Δx. Demek ki ΔS/Δx ≈ f(x) ve Δx → 0 iken S′(x) = f(x). Bu harika bir haber: alan fonksiyonu f’nin bir ilkel fonksiyonudur! S(a) = 0 olduğundan S(x) = F(x) − F(a); burada F, f’nin herhangi bir ilkel fonksiyonudur. x = b alırsak yamuğun tamamının alanını buluruz.

S = F(b) − F(a)
burada:
  • Seğrisel yamuğun alanı
  • Ff’nin herhangi bir ilkel fonksiyonu (F′ = f)
  • a, baralığın uçları (a < b)

Eğrisel yamuğun alanı, ilkel fonksiyonun b ve a’daki değerlerinin farkına eşittir.

İlk alanlar

Eğrisel yamuğun alanını bul:
1) y = x², x = 0, x = 3, y = 0;
2) y = cos x, x = 0, x = π/2, y = 0;
3) y = 1/x, x = 1, x = 4, y = 0.

Çözümü göster
1) F(x) = x³/3: S = 27/3 − 0 = 9.
2) F(x) = sin x: S = sin(π/2) − sin 0 = 1.
3) F(x) = ln x: S = ln 4 − ln 1 = ln 4 ≈ 1,39.
Üçünde de f aralıkta negatif değildir; bu yüzden her şekil gerçekten bir eğrisel yamuktur.

Belirli integral. Newton–Leibniz formülü

Alana başka bir yoldan da yaklaşılabilir. [a, b] aralığını genişliği Δx = (b − a)/n olan n eşit parçaya bölelim ve her parçada yüksekliği f(xᵢ) olan bir dikdörtgen kuralım. Alanlarının toplamı f(x₁)Δx + f(x₂)Δx + … + f(xₙ)Δx’e Riemann toplamı (integral toplamı) denir ve yaklaşık olarak şeklin alanına eşittir. n arttıkça dikdörtgenler incelir ve toplam alana yaklaşır. [0, 3] aralığında y = x² için (yükseklik her parçanın sağ ucunda):

n3630300
Riemann toplamı1411,3759,4559,045
Toplamlar 9’a yaklaşır — yukarıda S = F(b) − F(a) formülüyle bulduğumuz alana.
Tanım
Belirli integral

n → ∞ iken Riemann toplamlarının limitine f’nin [a, b] aralığındaki belirli integrali denir ve ∫ₐᵇ f(x) dx biçiminde yazılır (“a’dan b’ye f(x) dx’in integrali” diye okunur). a integralin alt sınırı, b üst sınırıdır. ∫ işareti, Leibniz’in uzatılmış S harfidir — Latince summa (toplam) sözcüğünden.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(x)|ₐᵇ = F(b) − F(a)
burada:
  • Ff’nin herhangi bir ilkel fonksiyonu
  • F(x)|ₐᵇ“F’nin a’dan b’ye değişimi” gösterimi, yani F(b) − F(a)

Newton–Leibniz formülü Riemann toplamlarının limitini ilkel fonksiyona bağlar. C gerekmez: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

  1. 1
    1. İlkel fonksiyon

    İntegrali alınan fonksiyonun herhangi bir ilkel fonksiyonunu bul (C yazmıyoruz).

  2. 2
    2. Sınırları yerine koy

    F’de önce üst sınırı, sonra alt sınırı yerine koy.

  3. 3
    3. Çıkar

    “Üst eksi alt”: F(b) − F(a). F(a) negatifse parantezi unutma.

Newton–Leibniz: polinomlar ve kökler

Hesapla:
1) ∫₁³ (2x + 1) dx;
2) ∫₋₁² x² dx;
3) ∫₁⁴ dx/√x.

Çözümü göster
1) (x² + x)|₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.
2) (x³/3)|₋₁² = 8/3 − (−1/3) = 9/3 = 3. Dikkat: alt sınırda F(−1) = −1/3 negatiftir, çıkarılınca işaret değişir.
3) 1/√x = x^(−1/2), ilkel fonksiyonu 2√x: 2√x|₁⁴ = 2 · 2 − 2 · 1 = 2.
Newton–Leibniz: trigonometri ve eˣ

Hesapla:
1) ∫₀^(π/4) dx/cos²x;
2) ∫₀¹ e^(2x) dx;
3) ∫₀^(π/6) sin 3x dx.

Çözümü göster
1) tan x|₀^(π/4) = tan(π/4) − tan 0 = 1 − 0 = 1.
2) (e^(2x)/2)|₀¹ = e²/2 − 1/2 = (e² − 1)/2 ≈ 3,19.
3) (−cos 3x / 3)|₀^(π/6) = −cos(π/2)/3 − (−cos 0 / 3) = 0 + 1/3 = 1/3.

Belirli integralin özellikleri ve parametreli sorular

∫ₐᵃ f(x) dx = 0 ∫ₘⁿ f(x) dx = −∫ₙᵐ f(x) dx ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵏ f(x) dx + ∫ₖᵇ f(x) dx
burada:
  • m, nherhangi iki sınır; ikinci integralde yerleri değiştirilmiştir
  • ka ile b arasındaki bir nokta

Sınırlar eşitse integral 0’dır; sınırların yeri değişince işaret değişir; aralık bölününce integraller toplanır (toplamsallık). Toplam ve sabit çarpan kuralları ilkel fonksiyondaki gibidir.

∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0 (f tek) ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx (f çift)
burada:
  • [−a; a]0’a göre simetrik bir aralık

Tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir — sağ ve sol parçalar birbirini götürür. Çift fonksiyonda iki yarı eşittir.

Özellikleri uyguluyoruz

Hesapla:
1) ∫₋₂² (x³ − 5x) dx;
2) ∫₋₁¹ (x⁴ + x³) dx;
3) ∫₀³ |x − 1| dx;
4) ∫₃¹ 2x dx.

Çözümü göster
1) x³ − 5x tek fonksiyondur ve aralık simetriktir: integral 0’dır, hesaplamaya gerek yok.
2) x³ tek kısımdır ve 0 verir; x⁴ çifttir: 2∫₀¹ x⁴ dx = 2 · 1/5 = 2/5 = 0,4.
3) Mutlak değerin içi x = 1’de işaret değiştirir, bu yüzden aralığı böleriz: ∫₀¹ (1 − x) dx + ∫₁³ (x − 1) dx = 1/2 + 2 = 2,5.
4) Sınırlar “ters”: ∫₃¹ 2x dx = −∫₁³ 2x dx = −(9 − 1) = −8.

Parametreli sorular. Sınırda ya da integrali alınan fonksiyonda bir harf varsa Newton–Leibniz formülü integrali bu harfe bağlı bir ifadeye dönüştürür. Bunu verilen sayıya eşitleyince bir denklem elde ederiz. Sonunda koşulu (örneğin a > 0 ya da a’nın verilen aralıkta olması) kontrol etmek şarttır — fazla kökler tam burada elenir.

Parametreli integral

1) ∫₀ᵃ (2x − 1) dx = 6, a > 0. a’yı bul.
2) ∫₁ᵇ 3x² dx = 26. b’yi bul.
3) ∫₀ᵃ cos x dx = 1/2, 0 < a < π/2. a’yı bul.
4) ∫₁ᵃ dx/x = 2, a > 1. a’yı bul.

Çözümü göster
1) (x² − x)|₀ᵃ = a² − a = 6 ⇒ a² − a − 6 = 0 ⇒ a = 3 veya a = −2. a > 0 koşulundan a = 3.
2) x³|₁ᵇ = b³ − 1 = 26 ⇒ b³ = 27 ⇒ b = 3.
3) sin x|₀ᵃ = sin a = 1/2; (0, π/2) aralığında a = π/6.
4) ln x|₁ᵃ = ln a = 2 ⇒ a = e² ≈ 7,39.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = 3x² eğrisinin altında 1’den b’ye kadar olan alan boyanmıştır; ∫ ≈ değeri ise ∫₁ᵇ 3x² dx = b³ − 1 integralidir. b kaydırıcısını integral 26 olacak şekilde ayarla — yukarıdaki 2. soruda olduğu gibi b = 3 bulacaksın.
DİM tarzı: kodlanan soru

k’nın hangi değeri için ∫₀² (kx + 1) dx = 8 eşitliği doğrudur?

Çözümü göster
(kx²/2 + x)|₀² = 2k + 2 − 0 = 2k + 2.
2k + 2 = 8 ⇒ k = 3.
Cevap: 3.

Eğrilerle sınırlanan şekillerin alanı

İntegral her zaman alan değildir: f < 0 olan yerde Riemann toplamının her f(xᵢ)Δx terimi negatiftir; bu yüzden Ox ekseninin altındaki kısım integrale “negatif alan” olarak girer. Alan ise her zaman pozitiftir. Bu yüzden dört durumu ayırırız: 1) [a, b]’de f ≥ 0 — S = ∫ₐᵇ f(x) dx; 2) f ≤ 0 — S = −∫ₐᵇ f(x) dx; 3) f işaret değiştiriyor — aralığı f’nin sıfırlarında böler ve parçaların alanlarını toplarız; 4) şekil iki çizgi arasındadır — üstteki fonksiyondan alttakini çıkarıp integral alırız. Son formül şeklin Ox eksenine göre nerede olduğuna bağlı değildir: iki grafiği aynı miktarda yukarı kaldırsak fark değişmez.

S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, f(x) ≥ g(x)
burada:
  • f(x)üstteki eğri
  • g(x)alttaki eğri (Ox ekseni için g(x) = 0)
  • a, bgenellikle kesişim noktalarının apsisleri

İki eğri arasındaki şeklin alanı: “üstteki eksi alttaki”.

  1. 1
    1. Taslak çizim

    Eğrileri kabaca çiz ve şeklin nerede olduğunu gör.

  2. 2
    2. Kesişim noktaları

    f(x) = g(x) denklemini çöz; kökler integralin sınırlarıdır (sınırlar soruda verilmemişse).

  3. 3
    3. Hangisi üstte

    Kesişim noktaları arasında bir deneme noktası al ve iki fonksiyonun değerlerini karşılaştır.

  4. 4
    4. İntegral al

    S = ∫ₐᵇ (üstteki − alttaki) dx ve Newton–Leibniz formülü.

  5. 5
    5. Kontrol et

    Alan pozitif olmalı ve çizime uymalıdır; birim, birim karedir.

Eğri ve Ox ekseni

Doğrularla sınırlanan şeklin alanını bul:
1) y = 9 − x² ve y = 0;
2) y = x² − 4x + 3 ve y = 0;
3) y = x³, y = 0, x = −1, x = 2.

Çözümü göster
1) 9 − x² = 0 ⇒ x = ±3; arada parabol Ox’in üstündedir. Fonksiyon çifttir: S = 2∫₀³ (9 − x²) dx = 2(9x − x³/3)|₀³ = 2(27 − 9) = 36.
2) x² − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1, x = 3; arada parabol Ox’in altındadır (x = 2: 4 − 8 + 3 = −1 < 0).
∫₁³ (x² − 4x + 3) dx = (x³/3 − 2x² + 3x)|₁³ = 0 − 4/3 = −4/3; bu yüzden S = 4/3.
3) [−1, 0]’da x³ ≤ 0, [0, 2]’de x³ ≥ 0 — aralığı 0’da böleriz.
S = −∫₋₁⁰ x³ dx + ∫₀² x³ dx = 1/4 + 4 = 17/4 = 4,25.
Tuzak: ∫₋₁² x³ dx = 15/4 — bu alan değildir, çünkü soldaki parça çıkarılmıştır.
İki eğri arasındaki şekil

Şu çizgilerle sınırlanan şeklin alanını bul:
1) y = x² ve y = x + 2;
2) y = √x ve y = x/2.

Çözümü göster
1) x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = −1, x = 2. Deneme noktası x = 0: doğru 2, parabol 0 verir — doğru üsttedir.
S = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = (x²/2 + 2x − x³/3)|₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2 = 4,5.
2) √x = x/2 ⇒ x = x²/4 ⇒ x = 0, x = 4. x = 1’de: √1 = 1 > 1/2 — üstte √x vardır.
S = ∫₀⁴ (√x − x/2) dx = ((2/3)x√x − x²/4)|₀⁴ = 16/3 − 4 = 4/3.
DİM tarzı: kapalı uçlu soru

y = x² + 1 ve y = 3 − x² eğrileriyle sınırlanan şeklin alanını bulunuz.
A) 4/3 B) 8/3 C) 2 D) 16/3 E) 4

Çözümü göster
x² + 1 = 3 − x² ⇒ 2x² = 2 ⇒ x = ±1. x = 0’da: 3 > 1, üstte y = 3 − x² vardır.
S = ∫₋₁¹ ((3 − x²) − (x² + 1)) dx = ∫₋₁¹ (2 − 2x²) dx = 2(2x − 2x³/3)|₀¹ = 2 · 4/3 = 8/3.
Cevap: B. (4/3, simetriyi kullanıp 2 ile çarpmayı unutmaktır; 16/3 ise farkı yanlış hesaplamaktır.)
Oxy4(4, 8)y = 2xy = 6x − x²S
Yazılı görevin şekli: boyalı şeklin alanını bulmak gerekiyor.
DİM tarzı: yazılı görev (tam çözüm)

Şekilde y = 6x − x² parabolü ve y = 2x doğrusu gösterilmiştir. Bunlarla sınırlanan şeklin (S) alanını bulunuz. Çözümün bütün adımlarını yazınız.

Çözümü göster
Çözüm.
1) Kesişim noktaları: 6x − x² = 2x ⇒ x² − 4x = 0 ⇒ x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 4. Noktalar: O(0, 0) ve (4, 8).
2) Hangi eğri üstte: x = 1’de parabol 6 · 1 − 1 = 5, doğru 2 · 1 = 2 verir; 5 > 2 olduğundan (0, 4) aralığında parabol üsttedir.
3) Alan: S = ∫₀⁴ ((6x − x²) − 2x) dx = ∫₀⁴ (4x − x²) dx.
4) Hesaplama: (2x² − x³/3)|₀⁴ = 2 · 16 − 64/3 − 0 = 32 − 64/3 = 32/3.
5) Kontrol: S = |−1| · 4³/6 = 64/6 = 32/3. ✓
Cevap: 32/3 = 10⅔ birim kare.
Yazılı görevde kesişim noktalarının bulunması, üstteki eğrinin gerekçelendirilmesi, integralin kurulması ve hesaplama ayrı adımlardır; puan parça parça verildiği için her birini açıkça yaz.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Yazılı görevin şekli etkileşimli olarak: y = 6x − x² ile y = 2x arasındaki alan 0’dan 4’e kadar boyanmıştır. ∫ ≈ 10,67 değeri bulduğumuz 32/3 ≈ 10,67 cevabıyla örtüşür.

Fizikte integral: yol ve iş

“İlkel fonksiyon” dersinde konumun hızın ilkel fonksiyonu olduğunu gördük: s′(t) = v(t). Newton–Leibniz formülüne göre a anından b anına kadar konumun değişimi ∫ₐᵇ v(t) dt’dir. Hız pozitifse bu, alınan yoldur — v–t grafiğinin altındaki alan. Hız işaret değiştiriyorsa integral yalnızca yer değiştirmeyi verir (geri gidilen kısım çıkarılır), yol ise parçaların mutlak değerlerinin toplamıdır. Aynı fikir değişken kuvvetin işi için de geçerlidir: kuvvet sabitken W = F · s, değişkenken küçük parçaların işleri toplanır ve W = ∫ F(x) dx elde edilir.

s = ∫ₐᵇ v(t) dt (v(t) ≥ 0) W = ∫ₐᵇ F(x) dx
burada:
  • v(t)hız, m/s; a, b — başlangıç ve bitiş anları, s
  • F(x)x noktasındaki kuvvet, N; a, b — başlangıç ve bitiş konumları, m
  • s, Wyol (m) ve iş (J)

Yol hızın, iş ise kuvvetin integralidir.

Yol, yer değiştirme ve iş

1) Bir noktanın hızı v(t) = 4t − t² m/s. İlk 3 saniyede alınan yolu bul.
2) Hız v(t) = 6 − 2t m/s. [0, 5] s aralığında yer değiştirmeyi ve yolu bul.
3) F(x) = 3x² + 2 N kuvveti bir cismi x = 1 m’den x = 3 m’ye taşıyor. İşi bul.

Çözümü göster
1) 0 ≤ t ≤ 3 için v(t) = t(4 − t) ≥ 0 — nokta geri dönmez.
s = ∫₀³ (4t − t²) dt = (2t² − t³/3)|₀³ = 18 − 9 = 9 m.
2) t = 3 s anında v = 0, sonra v < 0 — nokta geri döner.
Yer değiştirme: ∫₀⁵ (6 − 2t) dt = (6t − t²)|₀⁵ = 30 − 25 = 5 m.
Yol: ∫₀³ (6 − 2t) dt = 9 m ileri, ∫₃⁵ (6 − 2t) dt = 5 − 9 = −4, yani 4 m geri. Yol = 9 + 4 = 13 m.
3) W = ∫₁³ (3x² + 2) dx = (x³ + 2x)|₁³ = 33 − 3 = 30 J.
(Yay için F = kx olduğundan W = kx²/2’dir: k = 200 N/m olan bir yayı 0,1 m germek için W = 200 · 0,01/2 = 1 J gerekir.)
Kodlanan sorular: cevabı sayıyla yaz
  1. 1.∫₀² 3x² dx =
  2. 2.∫₁ᵉ dx/x =
  3. 3.∫₀^(π/2) sin x dx =
  4. 4.∫₋₁¹ x⁵ dx =
  5. 5.y = 4 − x² ve y = 0 ile sınırlanan şeklin alanı S =
  6. 6.∫₀ᵃ 2x dx = 9, a > 0 ⇒ a =

Önemli noktalar

  • Eğrisel yamuğun alanı (f ≥ 0): S = F(b) − F(a), çünkü alan fonksiyonu S(x), f’nin ilkel fonksiyonudur.
  • Newton–Leibniz formülü: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); belirli integral Riemann toplamlarının limitidir ve C gerekmez.
  • Özellikler: sınırların yeri değişince işaret değişir; aralık bölününce integraller toplanır; simetrik aralıkta tek fonksiyonun integrali 0, çift fonksiyonunki 2∫₀ᵃ f(x) dx’tir.
  • Alan her zaman pozitiftir: f < 0 olan kısımda integralin işaretini değiştir; fonksiyon işaret değiştiriyorsa aralığı sıfırlarında böl.
  • İki eğri arasında: sınırlar kesişim noktalarıdır, S = ∫ₐᵇ (üstteki − alttaki) dx; parabol ve doğru için S = |a|(x₂ − x₁)³/6.
  • Fizikte: yol s = ∫ v(t) dt (v ≥ 0), iş W = ∫ F(x) dx; hız işaret değiştiriyorsa integral yer değiştirmedir, yol ise parçaların mutlak değerlerinin toplamıdır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Newton–Leibniz formülüne göre ∫ₐᵇ f(x) dx = ?