İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri10–11. sınıf25 dk45 / 82

Logaritma ve özellikleri. Logaritma fonksiyonu

Logaritmanın tanımı ve temel özdeşlik, onluk (log) ve doğal (ln) logaritma, çarpımın, bölümün ve kuvvetin logaritması, taban değiştirme, y = logₐx fonksiyonu, logaritmaların karşılaştırılması ve uygulamalar: pH, desibel, deprem ölçeği, ikiye katlanma süresi.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Logaritmayı tanımdan hesaplamak ve temel logaritma özdeşliğini kullanmak
  • Çarpım, bölüm ve kuvvet kuralları ile taban değiştirme kuralını kullanarak ifadeleri sadeleştirmek
  • y = logₐx fonksiyonunun grafiğini ve özelliklerini bilmek, logaritmaları karşılaştırmak
  • Logaritmik ölçekleri (pH, desibel, deprem büyüklüğü) ve ikiye katlanma süresi formülünü kullanmak

Önceki derste 2ˣ = 5 denkleminde takılıp kalmıştık: 2² = 4 az, 2³ = 8 fazla; yani x, 2 ile 3 arasında ama onu “güzel” bir sayı olarak yazamıyoruz. Aysel de benzer bir soru soruyor: yıllık %10 faizle birikimi kaç yılda ikiye katlanır? 1,1ⁿ = 2 denkleminde de bilinmeyen üstedir. Matematikçiler bu tür sayılar için yeni bir ad ve simge bulmuştur: logaritma. x = log₂5 ≈ 2,32 ve n = log₁,₁2 ≈ 7,27.

Bu derste logaritmayı tanımından başlayarak inceliyoruz: nasıl hesaplanır, hangi özelliklere sahiptir, y = logₐx fonksiyonunun grafiği nasıldır ve logaritmalar hayatta nerede kullanılır. Logaritmik denklem ve eşitsizlikleri ise sonraki derste, “Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler” dersinde çözeceğiz.

Logaritmanın tanımı ve temel özdeşlik

Tanım
Logaritma

Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (logₐb), aᶜ = b olacak şekildeki c sayısıdır; burada a > 0 ve a ≠ 1. Başka bir deyişle logaritma şu sorunun cevabıdır: “b'yi elde etmek için a'yı hangi kuvvete yükseltmeliyim?” Örneğin log₂8 = 3, çünkü 2³ = 8.

logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
burada:
  • ataban: a > 0, a ≠ 1
  • blogaritması alınan sayı: b > 0
  • clogaritmanın değeri; herhangi bir gerçek sayı (negatif de olabilir)

Logaritma bir üstür. Aynı eşitlik iki şekilde okunur: 2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3. Özel durumlar: logₐ1 = 0, çünkü a⁰ = 1; logₐa = 1, çünkü a¹ = a.

Koşulların nedeni üstel fonksiyondadır. aᶜ her zaman pozitif olduğundan negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur: log₂(−8) ve log₂0 anlamsızdır. a = 1 iken 1ᶜ = 1 olur ve örneğin log₁5 için hiçbir c bulunamaz. En önemli sonuç: logaritmanın içindeki ifade her zaman pozitif olmalıdır; bir sonraki derste tanım kümesini bu yüzden bulacağız.

Tanımdan hesaplama

Hesaplayın:
1) log₂32
2) log₃(1/9)
3) log₅√5
4) log₁₀0,001
5) log₀,₅8
6) log₄8

Çözümü göster
1) 2⁵ = 32 ⇒ log₂32 = 5.
2) 3⁻² = 1/9 ⇒ log₃(1/9) = −2.
3) √5 = 5^(1/2) ⇒ log₅√5 = 1/2.
4) 10⁻³ = 0,001 ⇒ log₁₀0,001 = −3.
5) 0,5⁻³ = 2³ = 8 ⇒ log₀,₅8 = −3.
6) 4 = 2², 8 = 2³: (2²)ᶜ = 2³ ⇒ 2c = 3 ⇒ log₄8 = 3/2.
Tanım
Onluk ve doğal logaritma

10 tabanındaki logaritmaya onluk logaritma denir ve log b biçiminde yazılır: log b = log₁₀b. e ≈ 2,718 tabanındaki logaritma doğal logaritmadır: ln b = logₑb. Hesap makinesindeki log ve ln tuşları tam da bu iki logaritmayı hesaplar: log 1000 = 3, log 0,01 = −2, ln e = 1, ln 1 = 0.

a^(logₐb) = b logₐ(aᶜ) = c
burada:
  • ataban: a > 0, a ≠ 1
  • bpozitif bir sayı
  • cherhangi bir gerçek sayı

Temel logaritma özdeşliği: a'yı b'nin logaritması kadar kuvvete yükseltirsek b'yi geri alırız. Kuvvet alma ve logaritma, toplama ile çıkarma gibi birbirini “geri alır”.

Temel özdeşliğin kullanımı

Hesaplayın:
1) 2^(log₂7)
2) 3^(2 + log₃5)
3) 10^(1 + log 3)
4) 25^(log₅3)
5) ln e³ ve e^(ln 5)

Çözümü göster
1) Doğrudan özdeşlikten: 7.
2) Kuvveti iki çarpana ayırırız: 3² · 3^(log₃5) = 9 · 5 = 45.
3) 10¹ · 10^(log 3) = 10 · 3 = 30.
4) 25 = 5²: 25^(log₅3) = (5^(log₅3))² = 3² = 9.
5) ln e³ = 3, e^(ln 5) = 5.

Logaritmanın özellikleri

Logaritma bir üs olduğundan özellikleri üslü ifadelerin özelliklerinden çıkar. x = aᵐ ve y = aⁿ olsun, yani m = logₐx ve n = logₐy. O zaman xy = aᵐ⁺ⁿ, x/y = aᵐ⁻ⁿ ve xᵖ = a^(pm) olur. Bu eşitlikleri tanıma göre okursak üç temel özelliği elde ederiz: çarpma logaritmaların toplamına, bölme farkına, kuvvet alma ise çarpmaya dönüşür.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy
burada:
  • x, ypozitif sayılar

Çarpımın logaritması, çarpanların logaritmalarının toplamına eşittir. Sağdan sola da okunur: aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır.

Çarpımın logaritması

1) log₆4 + log₆9
2) log 25 + log 4
3) log₃18 + log₃1,5
4) log₂(8x) ifadesini log₂x cinsinden yazın (x > 0).

Çözümü göster
1) log₆(4 · 9) = log₆36 = 2.
2) log(25 · 4) = log 100 = 2.
3) log₃(18 · 1,5) = log₃27 = 3.
4) log₂8 + log₂x = 3 + log₂x.
logₐ(x / y) = logₐx − logₐylogₐ(x / y) = logₐx − logₐy
burada:
  • x, ypozitif sayılar

Bölümün logaritması, bölünenin ve bölenin logaritmalarının farkına eşittir. Özel durum: logₐ(1/y) = −logₐy.

Bölümün logaritması

1) log₃54 − log₃2
2) log 5000 − log 5
3) log₂24 − log₂3
4) log₅(1/125)

Çözümü göster
1) log₃(54 : 2) = log₃27 = 3.
2) log(5000 : 5) = log 1000 = 3.
3) log₂(24 : 3) = log₂8 = 3.
4) log₅(1/125) = −log₅125 = −3.
logₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐxlogₐ(xᵖ) = p · logₐx log_(aᵏ) x = (1/k) · logₐx
burada:
  • xpozitif bir sayı
  • pherhangi bir gerçek sayı
  • ktabanın üssü, k ≠ 0

Logaritması alınan sayının üssü logaritmanın önüne çarpan olarak gelir, tabanın üssü ise tersi olarak: log₈x = log_(2³) x = ⅓ · log₂x.

Kuvvetin logaritması

1) log₂(1/32)
2) log₃√27
3) 2 log₅10 − log₅4
4) log₉(x²) ifadesini log₃x cinsinden yazın (x > 0).

Çözümü göster
1) 1/32 = 2⁻⁵ ⇒ −5 · log₂2 = −5.
2) √27 = 3^(3/2) ⇒ (3/2) · log₃3 = 3/2.
3) 2 log₅10 = log₅100, sonra bölüm: log₅(100 : 4) = log₅25 = 2.
4) 9 = 3²: log₉(x²) = ½ · log₃(x²) = ½ · 2 log₃x = log₃x.

Taban değiştirme

c = logₐb olsun, yani aᶜ = b. Eşitliğin iki tarafının k tabanında logaritmasını alalım: c · logₖa = logₖb, buradan c = logₖb / logₖa. Bu formül, herhangi bir logaritmayı hesap makinesindeki log veya ln tuşuyla hesaplamamızı ve farklı tabanlı logaritmaları tek bir tabana getirmemizi sağlar.

logₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐxlogₐx = logₖx / logₖa logₐx = 1 / logₓa logₐk · logₖx = logₐx
burada:
  • kyeni taban: k > 0, k ≠ 1 (çoğunlukla 10 veya e)
  • xpozitif bir sayı; ikinci formülde ayrıca x ≠ 1

Taban değiştirme kuralı ve iki sonucu. Hesap makinesinde: logₐx = log x / log a = ln x / ln a.

Taban değiştirme

1) log₄8
2) log₂5 (hesap makinesiyle)
3) log₂3 · log₃4
4) log₈2
5) log₂3 = a ise log₆12'yi a cinsinden yazın.

Çözümü göster
1) 2 tabanına geçeriz: log₂8 / log₂4 = 3/2.
2) log 5 / log 2 ≈ 0,69897 / 0,30103 ≈ 2,32. Kontrol: 2² = 4 < 5 < 8 = 2³.
3) “Zincir”: log₂3 · log₃4 = log₂4 = 2.
4) 1 / log₂8 = 1/3.
5) log₆12 = log₂12 / log₂6 = (log₂4 + log₂3) / (log₂2 + log₂3) = (2 + a) / (1 + a).
  1. 1
    Tek tabana getir

    Tabanlar farklıysa taban değiştirme kuralıyla hepsini tek bir tabana (çoğunlukla 2, 3, 5 veya 10) getir.

  2. 2
    Katsayıları içeri al

    Logaritmanın önündeki sayıyı üs olarak içeri al: 2 log₅10 = log₅100.

  3. 3
    Birleştir

    Toplamı çarpımın, farkı bölümün logaritması olarak tek logaritmada topla.

  4. 4
    Hesapla ve kontrol et

    Elde edilen logaritmayı tanımdan ya da temel özdeşlikle hesapla, sonra cevabı bir tahminle kontrol et.

Sınav tipi ifadeler

Hesaplayın:
1) (log 8 + log 18) / (2 log 2 + log 3)
2) log₃5 · log₂₅27
3) 3^(log₉16)

Çözümü göster
1) Pay: log(8 · 18) = log 144. Payda: log 4 + log 3 = log 12. 144 = 12² olduğundan log 144 / log 12 = 2 log 12 / log 12 = 2.
2) log₂₅27 = log_(5²)(3³) = (3/2) · log₅3. log₃5 · log₅3 = 1 olduğundan çarpım 3/2'dir.
3) log₉16 = log_(3²)(4²) = log₃4 ⇒ 3^(log₃4) = 4.
ÖzellikÖrnek
logₐ1 = 0, logₐa = 1log₇1 = 0, log₇7 = 1
a^(logₐb) = b2^(log₂7) = 7
logₐ(xy) = logₐx + logₐylog₆4 + log₆9 = log₆36 = 2
logₐ(x/y) = logₐx − logₐylog₃54 − log₃2 = log₃27 = 3
logₐ(xᵖ) = p · logₐxlog₂(1/32) = log₂2⁻⁵ = −5
logₐx = logₖx / logₖalog₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2
logₐx = 1 / logₓalog₈2 = 1 / log₂8 = 1/3
Tüm temel özellikler tek tabloda. Hepsi yalnızca tanım kümesinde geçerlidir: logaritması alınan sayılar pozitif, tabanlar pozitif ve 1'den farklı.
Kendini dene: boşluğu doldur
  1. 1.log₂32 =
  2. 2.log 0,01 =
  3. 3.log₃(1/27) =
  4. 4.log₄2 =
  5. 5.5^(log₅7) =
  6. 6.log₆2 + log₆3 =

Logaritma fonksiyonu y = logₐx

y = aˣ fonksiyonu her pozitif değeri yalnızca bir kez alır, bu yüzden tersi vardır: x'i y cinsinden buluruz, x = logₐy, ve harflerin yerini değiştiririz: y = logₐx. Ters fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; bu yüzden logaritma fonksiyonunun özellikleri üstel fonksiyonunkilerin ayna görüntüsüdür: x ile y yer değiştirir.

y = logₐx (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
burada:
  • ataban
  • xdeğişken; yalnızca pozitif sayılar

y = aˣ fonksiyonunun tersi. Tanım kümesi (0, +∞), görüntü kümesi tüm gerçek sayılar.

  • Grafik (1, 0) ve (a, 1) noktalarından geçer, çünkü logₐ1 = 0 ve logₐa = 1.
  • a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır.
  • y ekseni (x = 0) düşey asimptottur: x sıfıra yaklaşırken grafik sınırsızca aşağı (a > 1) ya da yukarı (0 < a < 1) gider.
  • İşaret: a ve x, 1'in aynı tarafındaysa logₐx > 0; farklı taraflarındaysa logₐx < 0.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = aˣ ve y = logₐx (burada ln x / ln a olarak yazıldı) grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. a'yı 1'den küçük yap: iki fonksiyon da azalan olur. a = 1 iken logaritma anlamsızdır.
a > 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ 0 < x₁ < x₂; 0 < a < 1: logₐx₁ < logₐx₂ ⇔ x₁ > x₂ > 0
burada:
  • x₁, x₂karşılaştırılan pozitif sayılar

Logaritmaları karşılaştırma. Tabanlar farklıysa her logaritmayı 0 veya 1 gibi “dayanak” bir sayıyla karşılaştır: 1 = logₐa, 2 = logₐa².

Karşılaştırma ve tanım kümesi

1) log₂5 ve log₂7
2) log₀,₃5 ve log₀,₃7
3) log₂3 ve log₃2
4) log₃10 ve 2
5) log₀,₅3 sayısının işaretini bulun.
6) y = log(4 − x²) fonksiyonunun tanım kümesini bulun.

Çözümü göster
1) Taban 2 > 1, fonksiyon artan, 5 < 7 ⇒ log₂5 < log₂7.
2) Taban 0,3 < 1, fonksiyon azalan, 5 < 7 ⇒ log₀,₃5 > log₀,₃7.
3) Tabanlar farklı, 1 ile karşılaştırırız: log₂3 > log₂2 = 1, log₃2 < log₃3 = 1 ⇒ log₂3 > log₃2.
4) 2 = log₃9 ve 10 > 9 ⇒ log₃10 > 2.
5) Taban 0,5 < 1 ve 3 > 1, 1'in farklı taraflarında ⇒ log₀,₅3 < 0.
6) 4 − x² > 0 ⇒ x² < 4 ⇒ −2 < x < 2.

Hayatta logaritmalar

Logaritmik ölçek, çok geniş bir aralıkta değişen bir büyüklüğü kullanışlı sayılarla ifade eder: ölçekteki 1 birimlik fark, büyüklüğün 10 kat değişmesi demektir (desibel ölçeğinde bu 10 dB'dir). Bu tür ölçekler kimyada, akustikte ve sismolojide kullanılır.

pH = −log[H⁺] L = 10 · log(I / I₀)pH = −log[H⁺] L = 10 · log(I / I₀)
burada:
  • [H⁺]hidrojen iyonu derişimi (mol/L)
  • Lses düzeyi, desibel (dB)
  • I, I₀ses şiddeti ve işitme eşiği

Saf suda [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L olduğundan pH = 7'dir; pH < 7 asidik, pH > 7 bazik ortam demektir. Deprem büyüklüğü de onluk logaritmadır: büyüklük 1 arttığında sismografın kaydettiği titreşimlerin genliği 10 kat, açığa çıkan enerji ise yaklaşık 32 kat artar.

pH, desibel ve büyüklük

1) Bir çözeltide [H⁺] = 10⁻³ mol/L. pH kaçtır? Ortam asidik mi, bazik mi?
2) [H⁺] = 2 · 10⁻⁵ mol/L iken pH'ı bulun (log 2 ≈ 0,301).
3) pH = 4 olan çözeltide [H⁺], pH = 6 olan çözeltidekinden kaç kat fazladır?
4) Bir sesin şiddeti işitme eşiğinin 10⁶ katıdır. Ses düzeyi kaç desibeldir? Şiddet 100 kat daha artarsa düzey ne olur?
5) Büyüklüğü 7 olan bir depremin genliği, büyüklüğü 5 olan depreminkinin kaç katıdır?

Çözümü göster
1) pH = −log 10⁻³ = 3 < 7, asidik ortam.
2) pH = −log(2 · 10⁻⁵) = −(log 2 − 5) = 5 − 0,301 ≈ 4,7.
3) [H⁺] = 10⁻⁴ ve 10⁻⁶: 10⁻⁴ : 10⁻⁶ = 100 kat.
4) L = 10 · log 10⁶ = 60 dB; şiddet 100 kat daha artınca 10 · log 10⁸ = 80 dB (+20 dB).
5) Fark 2 birim ⇒ 10² = 100 kat.

Aysel'in sorusuna dönelim: 1,1ⁿ = 2. İki tarafın onluk logaritmasını alıp kuvvet kuralını uygularsak n · log 1,1 = log 2 elde ederiz: bilinmeyen üsten “iner” ve sıradan bir birinci dereceden denklem kalır. İki tarafın logaritmasını almak, sonraki derste denklem çözmenin temel araçlarından biri olacak.

(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = log 2 / log(1 + p/100) ≈ 72 / p(1 + p/100)ⁿ = 2 ⇒ n = log 2 / log(1 + p/100) ≈ 72 / p
burada:
  • pbir dönemdeki artış yüzdesi
  • nikiye katlanmak için gereken dönem sayısı

İkiye katlanma süresi. Yaklaşık 72 kuralı (n ≈ 72/p) küçük oranlarda iyi çalışır ve akıldan hesaplamayı sağlar.

İkiye katlanma süresi

1) Aysel'in birikimi yıllık %10 faizle kaç yılda ikiye katlanır?
2) Faiz yıllık %8 olursa kaç yılda? 72 kuralıyla kontrol edin.
3) Bakteri sayısı her saat %50 artıyor. Sayı kaç saatte 10 katına çıkar?

Çözümü göster
1) n = log 2 / log 1,1 ≈ 0,30103 / 0,04139 ≈ 7,27: 8. yılın sonunda bakiye iki katını geçer. 72 kuralı: 72 : 10 = 7,2.
2) n = log 2 / log 1,08 ≈ 9,0 yıl; 72 : 8 = 9, tutuyor.
3) 1,5ᵗ = 10 ⇒ t = log 10 / log 1,5 = 1 / log 1,5 ≈ 1 / 0,176 ≈ 5,7 saat.

Önemli noktalar

  • logₐb = c ⇔ aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); a^(logₐb) = b, logₐ1 = 0, logₐa = 1.
  • log b = log₁₀b onluk, ln b = logₑb doğal logaritmadır.
  • logₐ(xy) = logₐx + logₐy, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, logₐ(xᵖ) = p · logₐx; toplamın logaritması için kural yoktur.
  • Taban değiştirme: logₐx = logₖx / logₖa = log x / log a; logₐx = 1 / logₓa.
  • y = logₐx, y = aˣ fonksiyonunun tersidir: tanım kümesi (0, +∞), grafik (1, 0) noktasından geçer, a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalandır.
  • Logaritmik ölçekler: pH = −log[H⁺], L = 10 · log(I/I₀); ikiye katlanma süresi n = log 2 / log(1 + p/100) ≈ 72/p.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Bu ifadelerden hangisi tanımlıdır?