İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri11. sınıf25 dk59 / 82

Dizilerin ve fonksiyonların limiti

Dizinin limiti, monoton ve sınırlı diziler ve e sayısı, fonksiyonun bir noktada ve sonsuzda limiti, 0/0 ve ∞/∞ belirsizliklerinin giderilmesi, temel trigonometrik limitler ve parametreli süreklilik soruları — DİM giriş sınavı tarzında.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Dizilerin limitini bulmak: n’nin en büyük kuvvetine bölmek, eşlenikle çarpmak ve (1 + k/n)ⁿ → eᵏ sonucunu kullanmak
  • Fonksiyonun bir noktada, tek taraflı ve sonsuzdaki limitini hesaplamak; rasyonel fonksiyonun x → ∞ iken limitini dereceleri karşılaştırarak (parametreli olarak da) bulmak
  • 0/0 belirsizliğini çarpanlara ayırma, eşlenik ve temel limitlerle gidermek; x → π/4 gibi noktalardaki trigonometrik limitleri hesaplamak
  • Fonksiyonun bir noktada sürekliliğini incelemek ve süreklilik koşulundan parametreyi bulmak

Murad bir kapıdan 1 metre uzakta duruyor ve her adımda kalan mesafenin yarısını yürüyor. İlk adımdan sonra 1/2 m, ikinciden sonra 3/4 m, üçüncüden sonra 7/8 m, n adımdan sonra ise 1 − 1/2ⁿ metre yol almış oluyor. Bu sayılar — 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; … — hiçbir zaman 1’e eşit olmuyor ama 1’e istediğimiz kadar yaklaşıyor. Matematikte bu kısaca şöyle söylenir: bu dizinin limiti 1’dir. Limit, analizin temelidir: sonraki derslerde hem türevi hem de integrali limit yardımıyla kuracağız. Azerbaycan’daki DİM giriş sınavının II aşamasında bu konu «Funksiyanın limiti» (fonksiyonun limiti) başlığıyla gelir; 2026’da hem I hem de II grubun sınavında limitle ilgili kodlanan bir soru vardı — cevabı tek bir sayı olan soru.

Dizinin limiti

“Diziler ve aritmetik dizi” dersinden biliyoruz ki dizi, numaralandırılmış bir sayı listesidir: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Şimdi bizi tek tek terimler değil, n büyüdükçe terimlerin nereye gittiği ilgilendiriyor. Örneğin aₙ = 1/n dizisinin terimleri 1; 0,5; 0,33…; 0,25; …; 0,01 (n = 100); 0,001 (n = 1000) olur ve sıfıra yaklaşır. aₙ = (−1)ⁿ dizisi ise −1 ile 1 arasında gidip gelir ve hiçbir sayıya yaklaşmaz.

Tanım
Dizinin limiti

Her küçük pozitif ε sayısı için n > N olduğunda |aₙ − A| < ε olacak şekilde bir N sıra numarası bulunabiliyorsa A sayısına (aₙ) dizisinin limiti denir. Basitçe: belli bir sıradan sonra bütün terimler A’nın seçtiğimiz her dar komşuluğuna düşer. Gösterim: lim (n→∞) aₙ = A. Limiti olan diziye yakınsak, limiti olmayana ıraksak dizi denir.

Tanım iş başında

1) aₙ = (2n + 1)/n dizisinin limitinin 2 olduğunu göster ve ε = 0,01 için N’yi bul.
2) aₙ = (−1)ⁿ ve bₙ = n² dizilerinin limiti var mı?

Çözümü göster
1) aₙ = 2 + 1/n olduğundan |aₙ − 2| = 1/n.
1/n < 0,01 ⇔ n > 100. Yani N = 100: 101. terimden itibaren bütün terimler (1,99; 2,01) aralığına düşer. ε ne kadar küçük olursa olsun N = 1/ε alınabilir; demek ki lim (n→∞) aₙ = 2.
2) (−1)ⁿ: terimler −1, 1, −1, 1, … Ne 1’in ne de −1’in yakınında kalırlar — limit yoktur, dizi ıraksaktır.
n²: 1, 4, 9, 16, … terimleri sınırsız büyür. Sonlu limit yoktur; lim (n→∞) n² = ∞ diye yazılır ama ∞ bir sayı değildir ve dizi yine ıraksaktır.
lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)lim (n→∞) c = c lim (n→∞) 1/n = 0 lim (n→∞) 1/nᵏ = 0 (k > 0) lim (n→∞) qⁿ = 0 (|q| < 1)
burada:
  • csabit sayı
  • kpozitif üs
  • q|q| < 1 olan bir sayı (sonsuz azalan geometrik dizinin ortak çarpanı gibi)

Temel limitler: karmaşık ifadelerin limitini her zaman bu basit limitlere indirgeriz.

lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)lim (aₙ ± bₙ) = A ± B lim (aₙ · bₙ) = A · B lim (aₙ/bₙ) = A / B (B ≠ 0)
burada:
  • A, Blim aₙ = A ve lim bₙ = B — sonlu limitler

Limit kuralları yalnızca iki limit de sonlu olduğunda (bölümde ayrıca B ≠ 0 iken) uygulanır.

Kesir biçimindeki bir dizide pay da payda da sonsuza gider — bu ∞/∞ belirsizliğidir ve kurallar doğrudan uygulanamaz. Temel yöntem: payı ve paydayı paydadaki n’nin en büyük kuvvetine bölmek. O zaman 1/n, 5/n² gibi terimler sıfıra gider ve yalnızca baş terimlerin katsayıları kalır.

Kesir biçimindeki diziler

Limiti bul:
1) aₙ = (3n² − n)/(2n² + 5);
2) aₙ = (4n + 7)/(n² + 1);
3) aₙ = (5 · 3ⁿ + 2ⁿ)/(3ⁿ⁺¹ − 4);
4) aₙ = √(n² + 6n) − n.

Çözümü göster
1) Payı ve paydayı n²’ye böleriz: aₙ = (3 − 1/n)/(2 + 5/n²). n → ∞ iken 1/n → 0 ve 5/n² → 0 olduğundan limit 3/2 = 1,5 olur.
2) Yine n²’ye böleriz: (4/n + 7/n²)/(1 + 1/n²) → 0/1 = 0. Payın derecesi paydanınkinden küçüktür — limit 0’dır.
3) Burada “en güçlü” terim 3ⁿ’dir. Payı ve paydayı 3ⁿ’ye böleriz: (5 + (2/3)ⁿ)/(3 − 4/3ⁿ). (2/3)ⁿ → 0 (|q| < 1) ve 4/3ⁿ → 0 olduğundan limit 5/3’tür.
4) Bu ∞ − ∞ belirsizliğidir. Eşlenikle çarpıp böleriz: (n² + 6n − n²)/(√(n² + 6n) + n) = 6n/(√(n² + 6n) + n). Payı ve paydayı n’ye bölelim: 6/(√(1 + 6/n) + 1) → 6/(1 + 1) = 3.

Monoton diziler ve e sayısı

Tanım
Monoton ve sınırlı dizi

(aₙ) dizisi her n için aₙ₊₁ > aₙ ise artan, aₙ₊₁ < aₙ ise azalan dizidir; artan ve azalan dizilere monoton dizi denir. Her n için |aₙ| ≤ M olacak şekilde bir M sayısı varsa dizi sınırlıdır; yalnızca aₙ ≤ M sağlanıyorsa dizi üstten sınırlıdır.

Weierstrass teoremi: monoton ve sınırlı bir dizinin limiti vardır. Nedeni kolayca görülür: artan dizi her adımda yükselir ama M “tavanını” aşamaz; bu yüzden terimleri M’den büyük olmayan bir sayının yakınında toplanır. İki koşul da önemlidir: (−1)ⁿ sınırlıdır ama monoton değildir; n² monotondur ama sınırlı değildir — ikisinin de limiti yoktur.

Monotonluk ve sınırlılık

1) aₙ = n/(n + 1) dizisinin artan ve sınırlı olduğunu göster, limitini bul.
2) bₙ = 2 + 5/n dizisi için aynı soruları yanıtla.

Çözümü göster
1) Farka bakalım: aₙ₊₁ − aₙ = (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 — dizi artandır.
n < n + 1 olduğundan 0 < aₙ < 1 — dizi sınırlıdır. Teoreme göre limit vardır: n’ye bölersek aₙ = 1/(1 + 1/n) → 1.
2) 5/(n + 1) < 5/n olduğundan bₙ₊₁ < bₙ — dizi azalandır; 2 < bₙ ≤ 7 — sınırlıdır. Limit: 2 + 0 = 2. Terimler 7; 4,5; 3,67; … yukarıdan 2’ye iner.

Şimdi en ünlü diziye bakalım: aₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Parantez 1’e, üs ise sonsuza gidiyor. “1’in her kuvveti 1’dir” düşüncesi burada yanlıştır: taban 1’e eşit değildir, ondan biraz büyüktür ve üs büyümeye devam eder. Hesaplayalım:

n12510100100010⁶
(1 + 1/n)ⁿ22,252,488322,593742,704812,716922,71828
Terimler artar ama 3’ü aşmaz (bu ispatlanabilir).
lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828
burada:
  • eirrasyonel bir sayı; doğal logaritmanın (ln x = logₑ x) ve eˣ fonksiyonunun tabanı

İkinci temel limit: (1 + 1/n)ⁿ dizisi artan ve sınırlı olduğundan limiti vardır; bu limit e sayısıdır.

lim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏlim (n→∞) (1 + k/n)ⁿ = eᵏ
burada:
  • ksabit sayı (negatif de olabilir)

Sonuç: n = k · m yazarsak (1 + 1/m)^(km) = ((1 + 1/m)ᵐ)ᵏ → eᵏ elde edilir.

e sayısıyla limitler

Limiti bul:
1) lim (n→∞) (1 + 1/n)³ⁿ;
2) lim (n→∞) (1 + 2/n)ⁿ;
3) lim (n→∞) ((n − 1)/n)ⁿ;
4) lim (n→∞) (1 + 1/(2n))ⁿ.

Çözümü göster
1) (1 + 1/n)³ⁿ = ((1 + 1/n)ⁿ)³ → e³ ≈ 20,09.
2) k = 2: (1 + 2/n)ⁿ → e² ≈ 7,39.
3) (n − 1)/n = 1 − 1/n, yani k = −1: (1 − 1/n)ⁿ → e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368.
4) 1/(2n) = (1/2)/n, yani k = 1/2: limit e^(1/2) = √e ≈ 1,65.

Fonksiyonun limiti: bir noktada ve sonsuzda

Şimdi değişken bir sıra numarası değil, sürekli bir x değişkenidir. f(x) = (x² − 1)/(x − 1) fonksiyonu x = 1’de tanımlı değildir (payda sıfırdır). Ama 1’e yakın noktalardaki değerlerine bakalım:

x0,90,991,011,1
f(x)1,91,992,012,1
x = 1’de f tanımlı değildir ama değerler 2’ye yaklaşır: x ≠ 1 için f(x) = x + 1.
Tanım
Fonksiyonun bir noktadaki limiti

x, a’ya yaklaşırken (x ≠ a) f(x) değerleri bir A sayısına istediğimiz kadar yaklaşıyorsa A’ya f fonksiyonunun a noktasındaki limiti denir: lim (x→a) f(x) = A. Limit, fonksiyonun a’nın yakınındaki değerlerine bağlıdır, a’daki değerine değil. x, a’ya yalnızca soldan (x < a) yaklaşırsa soldan limit, yalnızca sağdan (x > a) yaklaşırsa sağdan limit elde edilir.

lim (x→a) f(x) = A ⇔ lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁺) f(x) = A
burada:
  • lim (x→a⁻)soldan limit (x < a)
  • lim (x→a⁺)sağdan limit (x > a)

Limit, ancak iki tek taraflı limit de var ve eşitse vardır.

Tek taraflı limitler

1) x < 2 ise f(x) = x + 1; x ≥ 2 ise f(x) = 5 − x. lim (x→2) f(x) var mı?
2) g(x) = |x|/x fonksiyonunun x = 0’da limiti var mı?

Çözümü göster
1) Soldan limit (x < 2, birinci formül): x + 1 → 2 + 1 = 3. Sağdan limit (x > 2, ikinci formül): 5 − x → 5 − 2 = 3. Tek taraflı limitler eşittir; demek ki lim (x→2) f(x) = 3.
2) x > 0 iken |x| = x ve g(x) = 1; x < 0 iken |x| = −x ve g(x) = −1. Sağdan limit 1, soldan limit −1’dir. Farklı oldukları için limit yoktur (grafikte bir “sıçrama” vardır).

Polinomlar, kökler, eˣ, ln x, sin x, cos x ve bunlardan kurulan kesirler tanım kümelerinin her noktasında süreklidir (bunu son bölümde netleştireceğiz). Böyle bir noktada limit fonksiyonun değerine eşittir: x = a yazmak yeterlidir. Sınav limitleri, yerine koyunca 0/0 ya da ∞/∞ çıktığı için “zordur”.

Yerine koyarak

1) lim (x→2) (x³ − 3x + 1);
2) lim (x→π/3) (2cos x + tan²x);
3) lim (x→1) (x + 3)/(x² + 1).

Çözümü göster
1) 2³ − 3 · 2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
2) cos(π/3) = 1/2, tan(π/3) = √3: 2 · 1/2 + (√3)² = 1 + 3 = 4.
3) (1 + 3)/(1 + 1) = 4/2 = 2. Payda sıfır olmadığından yerine koymak yeterlidir.

Sonsuzda limit. lim (x→∞) f(x) = A yazılışı, |x| sınırsız büyüdükçe f(x)’in A’ya yaklaştığı anlamına gelir. Temel bilgi dizilerdekiyle aynıdır: lim (x→∞) c/xᵏ = 0 (k > 0). Rasyonel fonksiyonda payı ve paydayı paydadaki x’in en büyük kuvvetine böleriz; sonunda yalnızca baş terimler “hayatta kalır”.

lim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, eğer m = klim (x→∞) (aₘxᵐ + … + a₀)/(bₖxᵏ + … + b₀) = aₘ/bₖ, eğer m = k
burada:
  • m, kpayın ve paydanın dereceleri
  • aₘ, bₖbaş katsayılar (en yüksek dereceli terimlerin katsayıları, ≠ 0)

x → ∞ iken rasyonel fonksiyonun limiti: m < k ise 0, m = k ise aₘ/bₖ, m > k ise sonlu limit yoktur (∞).

Dereceleri karşılaştırıyoruz

x → ∞ iken limiti bul:
1) (6x³ − 2x + 1)/(3x³ + x²);
2) (5x² + 4)/(x³ − 2);
3) (x³ + 1)/(4x² − x);
4) (2x − 1)²/(x² + 5);
5) √(x² + 8x) − x.

Çözümü göster
1) m = k = 3: limit 6/3 = 2.
2) m = 2 < k = 3: limit 0.
3) m = 3 > k = 2: sonlu limit yoktur, ifade sonsuza gider.
4) Dikkat: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1; baş katsayı 2 değil, 4’tür. m = k = 2: limit 4/1 = 4.
5) ∞ − ∞ (x > 0). Eşlenikle: (x² + 8x − x²)/(√(x² + 8x) + x) = 8x/(√(x² + 8x) + x). x’e bölelim: 8/(√(1 + 8/x) + 1) → 8/2 = 4.
DİM tarzı: kodlanan soru (parametre)

a’nın hangi değeri için lim (x→∞) ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3) = 3 eşitliği doğrudur?

Çözümü göster
1) Paydanın derecesi 2’dir. Payda x³ terimi kalsaydı payın derecesi 3 > 2 olur ve sonlu limit olmazdı. Demek ki a² − 4 = 0, yani a = 2 veya a = −2.
2) O zaman payın derecesi 2’dir ve limit baş katsayıların oranıdır: (a + 1)/1 = a + 1.
3) a + 1 = 3 ⇒ a = 2. Kontrol: a = −2 için limit −2 + 1 = −1 ≠ 3 olduğundan bu değer uygun değildir.
Cevap: 2.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Birinci grafik ((a² − 4)x³ + (a + 1)x² − 5)/(x² + 3) fonksiyonu, ikincisi y = 3 doğrusudur. a = 2 iken grafik iki tarafta da y = 3 doğrusuna yapışır. a = −2 iken y = −1 doğrusuna yaklaşır; a’nın diğer değerlerinde ise grafik yukarı veya aşağı “kaçar” — sonlu limit yoktur.
DİM tarzı: kapalı uçlu soru

lim (x→∞) (ax² − 3x + 1)/(4x² + x) = −2 ise a’yı bulunuz.
A) −2 B) −8 C) 8 D) −1/2 E) 2

Çözümü göster
Payın ve paydanın dereceleri eşittir (2), bu yüzden limit baş katsayıların oranıdır: a/4 = −2 ⇒ a = −8.
Cevap: B. (−1/2 seçeneği −2’yi 4’e bölenler, 8 ise işareti kaybedenler içindir.)

0/0 belirsizliği ve temel limitler

x = a yazınca 0/0 çıkıyorsa bu bir cevap değil, bir belirsizliktir: x → 0 iken x/x → 1, x²/x → 0, 5x/x → 5 — hepsi “0/0” biçimindedir ama limitleri farklıdır. Demek ki ifadeyi dönüştürmek gerekir. Temel fikir: limitte x ≠ a olduğundan pay ve paydadaki ortak (x − a) çarpanı sadeleştirilebilir.

  1. 1
    1. Yerine koy

    x = a yaz. Bir sayı çıkarsa cevap odur. c/0 (c ≠ 0) çıkarsa sonlu limit yoktur. 0/0 çıkarsa 2. adıma geç.

  2. 2
    2. (x − a) çarpanını ortaya çıkar

    Polinomları çarpanlarına ayır (a onların köküdür). Kök varsa pay ve paydayı eşlenikle çarp. Trigonometride özdeşlikleri kullan.

  3. 3
    3. Sadeleştir ve yeniden yerine koy

    (x − a) ile sadeleştir (x ≠ a olduğu için izinlidir) ve sadeleşmiş ifadede x = a yaz.

Çarpanlara ayırma

1) lim (x→−2) (x² + 5x + 6)/(x² − 4);
2) lim (x→1) (x³ − 1)/(x² − 1);
3) lim (x→3) (2x² − 5x − 3)/(x² − 9).

Çözümü göster
1) x = −2: (4 − 10 + 6)/(4 − 4) = 0/0.
(x + 2)(x + 3)/((x + 2)(x − 2)) = (x + 3)/(x − 2) → 1/(−4) = −0,25.
2) 0/0. Küplerin farkı: x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1); x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
(x² + x + 1)/(x + 1) → 3/2 = 1,5.
3) 0/0. 2x² − 5x − 3 üç teriminin kökleri 3 ve −1/2’dir; bu yüzden 2x² − 5x − 3 = (x − 3)(2x + 1).
(2x + 1)/(x + 3) → 7/6.
Eşlenik

1) lim (x→4) (√x − 2)/(x − 4);
2) lim (x→0) (√(9 + x) − 3)/x;
3) lim (x→5) (x − 5)/(√(x + 4) − 3);
4) Kodlanan soru: lim (x→1) (√(x + 3) − 2)/(x² − 1) limitini hesaplayınız.

Çözümü göster
1) x − 4 = (√x − 2)(√x + 2) (iki kare farkı), bu yüzden ifade 1/(√x + 2) olur → 1/(2 + 2) = 1/4.
2) Payı ve paydayı √(9 + x) + 3 ile çarparız: (9 + x − 9)/(x(√(9 + x) + 3)) = 1/(√(9 + x) + 3) → 1/6.
3) Kök paydadadır: (x − 5)(√(x + 4) + 3)/(x + 4 − 9) = √(x + 4) + 3 → 3 + 3 = 6.
4) 0/0. √(x + 3) + 2 ile çarpıp böleriz: (x + 3 − 4)/((x² − 1)(√(x + 3) + 2)) = (x − 1)/((x − 1)(x + 1)(√(x + 3) + 2)) = 1/((x + 1)(√(x + 3) + 2)) → 1/(2 · 4) = 1/8.
Cevap: 0,125.

Şimdi trigonometrik 0/0’a geçelim. Açı radyanla ölçüldüğünde küçük x için sin x neredeyse x’e eşittir: birim çemberde küçük bir yay, onu geren kirişten çok az farklıdır. Sayılarla: sin 0,5 / 0,5 ≈ 0,9589; sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,99833; sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998. Oran 1’e yaklaşır.

lim (x→0) sin x / x = 1lim (x→0) sin x / x = 1
burada:
  • xradyan cinsinden açı

Temel trigonometrik limit.

lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tan x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2lim (x→0) sin kx / x = k lim (x→0) tan x / x = 1 lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2
burada:
  • ksabit sayı, k ≠ 0

Sonuçlar: sin kx / x = k · sin kx / (kx); tan x / x = (sin x / x) · (1 / cos x); 1 − cos x = 2sin²(x/2) ≈ 2 · (x/2)² = x²/2.

x → 0 iken trigonometrik limitler

1) lim (x→0) sin 7x / (2x);
2) lim (x→0) tan 3x / sin 5x;
3) lim (x→0) (1 − cos 6x)/x²;
4) lim (x→0) (1 − cos 2x)/(x · sin 3x).

Çözümü göster
1) sin 7x / (2x) = (7/2) · sin 7x / (7x) → 7/2 = 3,5.
2) tan 3x / sin 5x = (tan 3x / (3x)) · (5x / sin 5x) · (3x/(5x)) → 1 · 1 · 3/5 = 0,6.
3) 1 − cos 6x = 2sin²3x, dolayısıyla (1 − cos 6x)/x² = 2 · (sin 3x / x)² → 2 · 3² = 18.
4) 1 − cos 2x = 2sin²x. İfade 2sin²x / (x · sin 3x) = 2 · (sin x / x) · (sin x / sin 3x) olur. sin x / sin 3x → 1/3 olduğundan limit 2 · 1 · 1/3 = 2/3’tür.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = sin kx / x fonksiyonu x = 0’da tanımlı değildir ama x → 0 iken grafik y = k doğrusuna yaklaşır — sin kx / x → k. k’yi değiştirip kontrol et. x büyüdükçe grafik sıfıra söner: x → ∞ iken sin kx / x → 0.

x → a ≠ 0 iken. Örneğin x → π/4 iken sin x / x formülü doğrudan işlemez. Yerine koyunca 0/0 çıkıyorsa iki yol vardır: 1) özdeşliklerle sıfır olan çarpanı ortaya çıkarıp sadeleştirmek: cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), 4sin²x − 1 = (2sin x − 1)(2sin x + 1), sin 2α = 2sin α cos α; 2) t = x − a dönüşümü yapmak (t → 0) ve indirgeme formüllerini kullanmak.

Sıfırdan farklı bir noktada trigonometrik limit

1) lim (x→π/4) cos 2x / (cos x − sin x);
2) lim (x→π/6) (4sin²x − 1)/(2sin x − 1);
3) lim (x→π/3) sin 3x / sin 6x;
4) lim (x→π) sin x / (x − π).

Çözümü göster
1) cos(π/2) = 0 ve cos(π/4) − sin(π/4) = 0 — 0/0.
cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x); sadeleştirmeden sonra cos x + sin x → √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41.
2) sin(π/6) = 1/2: 0/0. İki kare farkı: (2sin x − 1)(2sin x + 1)/(2sin x − 1) = 2sin x + 1 → 2 · 1/2 + 1 = 2.
3) sin π = 0, sin 2π = 0 — 0/0. sin 6x = 2sin 3x cos 3x olduğundan ifade 1/(2cos 3x) → 1/(2cos π) = −1/2.
4) t = x − π → 0. sin x = sin(π + t) = −sin t; demek ki ifade −sin t / t → −1.
DİM tarzı: kodlanan soru

lim (x→π/4) (1 − tan x)/(cos 2x) limitini hesaplayınız.

Çözümü göster
1) tan(π/4) = 1, cos(π/2) = 0 — 0/0.
2) 1 − tan x = (cos x − sin x)/(cos x) ve cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x).
3) Sadeleştirmeden sonra: 1/(cos x · (cos x + sin x)).
4) x = π/4: 1/((√2/2) · √2) = 1/1 = 1.
Cevap: 1.

Artımlar ve süreklilik

Değişkenin artımı Δx = x − x₀ ve fonksiyonun artımı Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀), bir sonraki ders olan “Artım ve türevin tanımı”nın dilidir. Bu dilde süreklilik şöyle ifade edilir: Δx → 0 iken Δf → 0 oluyorsa f fonksiyonu x₀ noktasında süreklidir. Yani değişkendeki küçük bir değişim fonksiyonda da yalnızca küçük bir değişime yol açar ve grafikte kopukluk yoktur.

Artımlar küçülüyor

f(x) = x² − 3x, x₀ = 2. Δx = 0,1 ve Δx = 0,01 için Δf’yi hesapla, sonra Δf’yi Δx cinsinden yaz.

Çözümü göster
f(2) = 4 − 6 = −2.
Δx = 0,1: f(2,1) = 4,41 − 6,3 = −1,89; Δf = −1,89 − (−2) = 0,11.
Δx = 0,01: f(2,01) = 4,0401 − 6,03 = −1,9899; Δf = 0,0101.
Genel olarak: f(2 + Δx) = 4 + 4Δx + (Δx)² − 6 − 3Δx = −2 + Δx + (Δx)²; bu yüzden Δf = Δx + (Δx)² → 0. Fonksiyon x₀ = 2’de süreklidir.
Tanım
Bir noktada süreklilik

Üç koşul sağlanıyorsa f fonksiyonu x₀ noktasında süreklidir: 1) f(x₀) tanımlıdır; 2) lim (x→x₀) f(x) vardır (soldan ve sağdan limitler eşittir); 3) bu limit f(x₀)’a eşittir. Koşullardan biri bozulursa x₀ bir süreksizlik noktasıdır.

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ lim (Δx→0) Δf = 0
burada:
  • x₀incelenen nokta
  • Δx, Δfdeğişkenin ve fonksiyonun artımları

Sürekliliğin iki denk yazılışı: limit değere eşittir ya da küçük artım küçük artım verir.

  1. 1
    1. Soldan limit

    x < x₀ için yazılan formülde x → x₀ al.

  2. 2
    2. Sağdan limit

    x > x₀ için yazılan formülde x → x₀ al.

  3. 3
    3. Noktadaki değer

    f(x₀)’ı x = x₀ için verilen formülle hesapla.

  4. 4
    4. Eşitle ve kontrol et

    Üç sayıyı eşitle, parametreyi bul ve bulduğun değeri yerine koyarak kontrol et.

Süreklilik ve parametre

a’nın hangi değeri için fonksiyon süreklidir?
1) f(x) = (x² − 4)/(x − 2), x ≠ 2; f(2) = a.
2) x < 1 ise f(x) = x² + a; x ≥ 1 ise f(x) = 3x − 1.
3) f(x) = sin 3x / x, x ≠ 0; f(0) = a + 1.

Çözümü göster
1) lim (x→2) (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4. Süreklilik için f(2) = 4, yani a = 4.
2) Soldan limit: 1 + a. Sağdan limit ve f(1): 3 · 1 − 1 = 2. 1 + a = 2 ⇒ a = 1.
3) lim (x→0) sin 3x / x = 3; demek ki a + 1 = 3 ⇒ a = 2.
DİM tarzı: tam yazılı çözüm

x < 1 ise f(x) = ax − 1; f(1) = 3; x > 1 ise f(x) = x² + b. Fonksiyon x = 1’de sürekli ise a + b toplamını bulunuz.

Çözümü göster
Çözüm. Süreklilik tanımına göre soldan limit, sağdan limit ve f(1) eşit olmalıdır.
1) Soldan limit: x < 1 iken f(x) = ax − 1 olduğundan lim (x→1⁻) f(x) = a − 1.
2) Sağdan limit: x > 1 iken f(x) = x² + b olduğundan lim (x→1⁺) f(x) = 1 + b.
3) Koşula göre f(1) = 3.
4) a − 1 = 3 ⇒ a = 4; 1 + b = 3 ⇒ b = 2.
5) Kontrol: a = 4, b = 2 için iki tek taraflı limit de 3’e eşittir ve f(1) = 3 — fonksiyon süreklidir.
Cevap: a + b = 6.
Kodlanan sorular: cevabı sayıyla yaz
  1. 1.lim (n→∞) (5n² + 1)/(2n² − n) =
  2. 2.lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) =
  3. 3.lim (x→0) sin 6x / (3x) =
  4. 4.lim (x→0) (1 − cos 4x)/x² =
  5. 5.lim (x→∞) (√(x² + 10x) − x) =
  6. 6.lim (n→∞) (1 + 3/n)ⁿ = eᵏ, k =

Önemli noktalar

  • lim (n→∞) aₙ = A: belli bir sıradan sonra bütün terimler A’nın her dar komşuluğundadır; kesir biçimindeki dizide payı ve paydayı n’nin en büyük kuvvetine böleriz.
  • Monoton ve sınırlı dizinin limiti vardır (Weierstrass teoremi); (1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,718 ve (1 + k/n)ⁿ → eᵏ.
  • lim (x→a) f(x) ancak soldan ve sağdan limitler eşitse vardır; x → ∞ iken rasyonel fonksiyonun limitini dereceler belirler: m < k ise 0, m = k ise baş katsayıların oranı, m > k ise sonlu limit yoktur.
  • 0/0 bir cevap değildir: çarpanlara ayır, eşlenikle çarp ya da temel limitleri uygula — sin x / x → 1, sin kx / x → k, (1 − cos x)/x² → 1/2 (x → 0, radyan).
  • x → a ≠ 0 iken trigonometrik 0/0, cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) gibi özdeşliklerle ya da t = x − a dönüşümüyle giderilir.
  • f fonksiyonu x₀’da süreklidir ⇔ lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) ⇔ Δx → 0 iken Δf → 0; parametreli soruda soldan limit, sağdan limit ve f(x₀) eşitlenir.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ neye eşittir?