Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer. Optimizasyon problemleri

Bu derste öğreneceklerin

Ekstremum ile fonksiyonun bir kümedeki en büyük ve en küçük değeri arasındaki farkı açıklamak
Kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değeri algoritmayla, tek kritik noktası olan bir aralıkta ise türevin işaretiyle bulmak
Sözel bir problemi tanım kümesiyle birlikte tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürmek
Alan, hacim, malzeme, uzaklık ve kâr ile ilgili optimizasyon problemlerini çözmek ve sorulan niceliği birimiyle yazmak

Leyla, kenarı 12 cm olan kare bir kartondan boncukları için üstü açık bir kutu yapmak istiyor: köşelerden eş kareler kesip kenarları katlayacak. Küçük kareler keserse kutu sığ olur; büyük keserse tabandan geriye pek bir şey kalmaz. En iyi ölçü ikisinin arasında bir yerde saklı ve türev onu tam olarak bulur. Önceki derste fonksiyonun ekstremumlarını, yani grafiğin “tepelerini” ve “çukurlarını” bulduk. Şimdi daha büyük bir soru soruyoruz: fonksiyon bütün bir aralıkta en büyük ve en küçük hangi değeri alır ve gerçek bir problemde en iyi seçenek nasıl bulunur?

Ekstremum ve en büyük değer: fark nedir?

Maksimum (ekstremum) yerel bir kavramdır: f(x₀) yalnızca yakın noktalardaki değerlerle karşılaştırılır. En büyük değer ise mutlak (global) bir kavramdır: verilen kümenin bütün noktalarındaki değerlerle karşılaştırılır. Bir dağ yolunu düşün: yol boyunca birkaç tepe vardır, ama bütün yolun en yüksek noktası bunlardan biri de olabilir, yol bir zirvede bitiyorsa yolun sonu da.

Tanım

En büyük ve en küçük değer

x₀ ∈ X olsun. X kümesindeki her x için f(x) ≤ f(x₀) ise M = f(x₀) sayısına f fonksiyonunun X üzerindeki en büyük değeri (mutlak maksimumu) denir. Her x ∈ X için f(x) ≥ f(x₀) ise m = f(x₀) en küçük değerdir (mutlak minimum). Gösterim: M = max f(x), m = min f(x) (x ∈ X).

Özellik	Ekstremum (yerel)	En büyük / en küçük değer
Neyle karşılaştırılır	yakın noktalardaki değerlerle	kümenin bütün noktalarındaki değerlerle
Kaç tane	birkaç yerel maksimum ve minimum olabilir	tek bir sayı (birkaç noktada alınabilir)
[a, b] aralığının ucunda	olmaz: ekstremum noktası bir iç noktadır	çoğu zaman tam orada alınır
Aralığa bağlı mı?	hayır	evet: aralığı değiştir, cevap değişebilir

Yerel ve mutlak: iki farklı soru

Örneğin f(x) = x + 4/x fonksiyonunun x = −2’deki yerel maksimumu −4, x = 2’deki yerel minimumu 4’tür: maksimum, minimumdan küçüktür! Bunda çelişki yoktur, çünkü her biri yalnızca kendi komşularıyla karşılaştırılır.

Kapalı aralıkta sürekli fonksiyon: teorem ve algoritma

Weierstrass teoremi (okul ifadesi): [a, b] kapalı aralığında sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta en büyük ve en küçük değerini alır. Sezgisel olarak: x = a’dan x = b’ye kalemi kaldırmadan çizilen bir grafiğin en yüksek ve en alçak noktası vardır. İki koşul da önemlidir. (0, 1) açık aralığında f(x) = x fonksiyonunun ne en büyük ne de en küçük değeri vardır: değerleri 0’a ve 1’e istenildiği kadar yaklaşır ama onlara ulaşmaz. [0, π] aralığında tan x sürekli değildir (x = π/2’de tanımsızdır) ve istenildiği kadar büyük değerler alır.

En büyük değer nerede olabilir? Aralığın bir iç noktası x₀’da alınıyorsa x₀ aynı zamanda bir yerel maksimum noktasıdır; önceki dersteki gerek koşula göre f′(x₀) = 0’dır ya da f′(x₀) yoktur, yani x₀ bir kritik noktadır. Aksi hâlde değer aralığın bir ucunda, a’da ya da b’de alınır. En küçük değer için de aynısı geçerlidir. Demek ki aday sayısı azdır ve onları doğrudan karşılaştırırız; işaret tablosuna gerek yoktur.

M = max {f(a), f(x₁), …, f(xₖ), f(b)}, m = min {f(a), f(x₁), …, f(xₖ), f(b)}

burada:

a, baralığın uç noktaları
x₁, …, xₖ(a, b) açık aralığının içindeki kritik noktalar
M, mf’nin [a, b] üzerindeki en büyük ve en küçük değeri

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri, uç noktalardaki ve içteki kritik noktalardaki değerler arasından seçilir.

1
Fonksiyonu kontrol et
f, [a, b] üzerinde sürekli olmalı: aralığın tamamı tanım kümesinin içinde kalmalı.
2
Türevi al
f′(x)’i bul ve mümkünse çarpanlarına ayır.
3
Kritik noktalar
f′(x) = 0 denklemini çöz ve f′’nün tanımsız olduğu noktaları bul. Yalnızca (a, b) içinde kalanları tut, diğerlerini at.
4
Değerleri hesapla
f’nin değerini tutulan noktalarda ve iki uçta, a ile b’de hesapla.
5
Seç ve cevabı yaz
En büyük sayı M, en küçüğü m’dir. Cevap bir değerdir, nokta değil: “en büyük değer 10’dur (x = −1’de)”.

Dört aday

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 fonksiyonunun [−2, 4] aralığındaki en büyük ve en küçük değerini bul. Aralık [−2, 6] olsaydı cevap nasıl değişirdi?

Çözümü göster

1) f bir polinomdur, her yerde süreklidir.
2) f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3).
3) Kritik noktalar x = −1 ve x = 3; ikisi de (−2, 4) içinde.
4) f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3; f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22; f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15.
5) En büyük değer 10 (x = −1’de), en küçük değer −22’dir (x = 3’te).
[−2, 6] aralığında: f(6) = 216 − 108 − 54 + 5 = 59; en büyük değer 59 olur ve x = 6 ucunda alınır, orada yerel maksimum bile yoktur.

Üç aralık daha

En büyük ve en küçük değeri bul: 1) f(x) = x + 4/x, [1, 4]; 2) f(x) = sin x + cos x, [0, π/2]; 3) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1, [0, 3].

Çözümü göster

1) x = 0 aralıkta değildir, f süreklidir. f′(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = 0 → x = ±2; aralıkta yalnızca x = 2 vardır. f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. En büyük değer 5 (iki uçta da), en küçük değer 4 (x = 2’de).
2) f′(x) = cos x − sin x = 0 → tan x = 1 → x = π/4. f(0) = 1, f(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41, f(π/2) = 1. En büyük değer √2, en küçük değer 1.
3) f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2). x = −1, [0, 3] aralığının dışındadır, onu atarız (f(−1) = 8 yanlış bir “en büyük değer” verirdi!). f(0) = 1, f(2) = 16 − 12 − 24 + 1 = −19, f(3) = 54 − 27 − 36 + 1 = −8. En büyük değer 1, en küçük değer −19.

Kısa yol: f′ bütün aralıkta işaretini koruyorsa fonksiyon monotondur ve cevap uç noktalardadır. Artan fonksiyonda m = f(a), M = f(b); azalan fonksiyonda tam tersi.

Monoton fonksiyonlar

En büyük ve en küçük değeri bul: 1) f(x) = x³ + 3x − 2, [−1, 2]; 2) f(x) = 5 − 2x − x³, [0, 2]; 3) f(x) = x² − 6x + 1, [0, 2].

Çözümü göster

1) f′(x) = 3x² + 3 > 0, f artandır. m = f(−1) = −1 − 3 − 2 = −6, M = f(2) = 8 + 6 − 2 = 12.
2) f′(x) = −2 − 3x² < 0, f azalandır. M = f(0) = 5, m = f(2) = 5 − 4 − 8 = −7.
3) f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3, ama bu nokta [0, 2] aralığının dışındadır; aralıkta f′ < 0 olduğundan f azalandır. M = f(0) = 1, m = f(2) = 4 − 12 + 1 = −7.

Aralık kapalı değilse, örneğin (a, b) ya da (0, +∞), teorem hiçbir şeyi garanti etmez. Ama başka güvenilir bir kural vardır: sürekli bir fonksiyonun aralıkta tek bir kritik noktası x₀ varsa ve f′ orada işaretini “−”den “+”ya değiştiriyorsa, f(x₀) bütün aralıktaki en küçük değerdir: fonksiyon x₀’a kadar azalır, sonra artar. İşaret “+”dan “−”ye dönüyorsa f(x₀) en büyük değerdir. Optimizasyon problemlerinin çoğu tam da bu kuralla çözülür.

Tek kritik nokta

1) f(x) = x² + 16/x fonksiyonunun (0, +∞) aralığındaki en küçük değerini bul. 2) g(x) = 3x − x³ fonksiyonunun (0, +∞) aralığındaki en büyük değerini bul.

Çözümü göster

1) f′(x) = 2x − 16/x² = (2x³ − 16)/x² = 0 → x³ = 8 → x = 2. 0 < x < 2 iken f′ < 0, x > 2 iken f′ > 0; tek kritik nokta bir yerel minimumdur. En küçük değer f(2) = 4 + 8 = 12. En büyük değer yoktur: x → 0 ve x → +∞ iken f(x) → +∞.
2) g′(x) = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x) = 0 → x = 1 (x = −1 aralıkta değil). 0 < x < 1 iken g′ > 0, x > 1 iken g′ < 0; yerel maksimum. En büyük değer g(1) = 3 − 1 = 2. En küçük değer yoktur: x → +∞ iken g(x) → −∞.

Optimizasyon problemleri: sözlerden fonksiyona

Tanım

Optimizasyon problemi

Bir niceliği (alan, hacim, maliyet, kâr) olabildiğince büyük ya da küçük yapan seçeneği bulma problemi. Matematik diliyle: tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesindeki en büyük ya da en küçük değerini bulmak.

Türev, hesap kısmını birkaç satırda halleder; asıl iş, sözleri tek değişkenli bir fonksiyona çevirmektir. Her seferinde aynı planı izle.

1
Değişken
Değiştirebileceğin niceliği seç, x ile göster ve birimini yaz.
2
Fonksiyon
Optimize edilecek niceliği (alan, hacim, maliyet…) x cinsinden yaz; diğer harfleri verilen koşulla yok et.
3
Tanım kümesi
Problemin anlamından bul: uzunluklar pozitiftir, kesilen parça levhanın yarısından büyük olamaz vb.
4
Türev
Türevi al ve tanım kümesindeki kritik noktaları bul.
5
Kontrol
Kapalı aralıkta uç noktalarla karşılaştır; tek kritik nokta varsa çevresinde f′’nün işaretine bak.
6
Cevap
Tam olarak sorulanı cevapla (boyutlar, hacim, fiyat…) ve birimi yaz.

En büyük alan

Murad dikdörtgen biçimli bir bahçeyi 40 m’lik çitle çevirmek istiyor. Alanın en büyük olması için bahçenin boyutları ne olmalı?

Çözümü göster

Değişken: bir kenar x m; diğer kenar (40 − 2x)/2 = 20 − x m.
Fonksiyon: S(x) = x(20 − x) = 20x − x².
Tanım kümesi: 0 < x < 20.
Türev: S′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10.
Kontrol: x < 10 iken S′ > 0, x > 10 iken S′ < 0; tek kritik nokta maksimumdur.
Cevap: 10 m × 10 m, yani bir kare; S = 100 m². Genel olarak, çevresi verilen dikdörtgenler arasında en büyük alan karenindir.

Duvar boyunca çit

Elvin, ambarın duvarının yanında tavukları için dikdörtgen bir alanı çitle çevirmek istiyor. 60 m tel örgüsü var ve duvar boyunca örgüye gerek yok. Alanın en büyük olması için boyutlar ne olmalı?

Çözümü göster

Değişken: duvara dik kenarların her biri x m olsun; o zaman duvara paralel kenar 60 − 2x m olur.
Fonksiyon: S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
Tanım kümesi: 0 < x < 30.
Türev: S′(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15.
Kontrol: x = 15’te S′’nün işareti “+”dan “−”ye döner; maksimum.
Cevap: 15 m × 30 m (duvar boyunca 30 m); S = 450 m².
Dikkat: bu kez cevap bir kare değildir, duvar boyunca olan kenar iki kat uzundur. Aynı 60 m örgü dört kenara çekilseydi en iyisi yalnızca 225 m²’lik 15 m × 15 m’lik bir kare olurdu: duvar alanı iki katına çıkarır.

Çok sık karşılaşılan bir durum x + k/x toplamıdır: terimlerden biri x ile büyür, öteki küçülür. Türev, dengelendikleri noktayı gösterir.

f(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√kf(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√k

burada:

kpozitif bir sabit
xpozitif değişken
2√ktoplamın en küçük değeri

x < √k iken f′ < 0, x > √k iken f′ > 0; tek kritik nokta en küçük değeri verir. Optimumda iki terim eşittir: x = k/x = √k.

x + k/x ile

1) Hangi pozitif x için x + 9/x toplamı en küçüktür ve bu en küçük değer kaçtır? 2) Dikdörtgen bir arsanın alanı 36 m² olmalı. Çitin en kısa olması için boyutlar ne olmalı? 3) x + 4/x ifadesinin [1, 4] aralığındaki en küçük değerini formülle bul.

Çözümü göster

1) f′(x) = 1 − 9/x² = 0 → x = 3. x < 3 iken f′ < 0, x > 3 iken f′ > 0; minimum. En küçük değer 3 + 9/3 = 6 = 2√9.
2) Bir kenar x m, diğeri 36/x m; çevre P(x) = 2(x + 36/x), x > 0. Formüle göre (k = 36) x = 6 ve P = 2 · 2√36 = 24 m. Cevap: 6 m × 6 m’lik kare, 24 m çit.
3) k = 4 ve √4 = 2, [1, 4] aralığındadır; en küçük değer 2√4 = 4’tür (x = 2’de), yukarıdakiyle aynı. En büyük değeri yine uç noktalar verir.

V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27

burada:

akare levhanın kenarı
xköşelerden kesilen karelerin kenarı (kutunun yüksekliği)
a − 2xkutu tabanının kenarı
Vkutunun hacmi

Kare levhadan üstü açık kutu: köşelerden kenarı a/6 olan kareler kes.

Leyla’nın kutusu

Leyla, 12 cm × 12 cm’lik bir kartonun köşelerinden eş kareler kesip kenarları katlayarak üstü açık bir kutu yapıyor. Hacmin en büyük olması için kesilen karenin kenarı kaç olmalı ve bu hacim kaçtır? Sonra formülle kenarı 30 cm ve 18 cm olan levhalar için cevabı bul.

Çözümü göster

Değişken: kesilen karenin kenarı x cm; bu aynı zamanda kutunun yüksekliğidir.
Fonksiyon: taban, kenarı 12 − 2x olan bir karedir; V(x) = x(12 − 2x)².
Tanım kümesi: 0 < x < 6 (x = 6’da taban kalmaz).
Türev: V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 → x = 2 ya da x = 6; x = 6 tanım kümesinde değildir.
Kontrol: V′(1) = 10 · 6 = 60 > 0, V′(3) = 6 · (−6) = −36 < 0; maksimum.
Cevap: kenarı 2 cm olan kareler kesilmeli; kutu 8 cm × 8 cm × 2 cm, V = 2 · 8² = 128 cm³.
Formülle: a = 30 cm → x = 5 cm, V = 5 · 20² = 2000 cm³; a = 18 cm → x = 3 cm, V = 3 · 12² = 432 cm³.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Kutu hacmi V(x) = x(12 − 2x)², 0 ≤ x ≤ 6. Grafik 0’dan yükselir, x = 2’de 128’e ulaşır ve x = 6’da yeniden 0’a iner. y = c doğrusunu kaydır: c < 128 iken grafiği iki noktada keser (aynı hacimli iki farklı kutu), c = 128’de tepeye yalnızca dokunur, c > 128 iken grafikle buluşmaz; bundan büyük kutu yoktur.

V = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2rV = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2r

burada:

rtabanın yarıçapı
hsilindirin yüksekliği
Vverilen hacim
Stoplam yüzey alanı: iki taban 2πr² ve yanal yüzey 2πrh

Hacmi verilen kapalı bir silindir, yüksekliği çapına eşit olduğunda en az malzemeyle yapılır.

Silindir biçimli kutu

Kapalı, silindir biçimli bir konserve kutusunun hacmi 250π cm³ (≈ 785 cm³) olmalı. Hangi yarıçap ve yükseklikte en az metal harcanır? Sonra hacmi 54π cm³ olan kutu için hesapla.

Çözümü göster

Değişken: yarıçap r cm, r > 0.
Fonksiyon: πr²h = 250π eşitliğinden h = 250/r²; S(r) = 2πr² + 2πr · 250/r² = 2πr² + 500π/r.
Türev: S′(r) = 4πr − 500π/r² = 0 → r³ = 125 → r = 5.
Kontrol: r < 5 iken S′ < 0, r > 5 iken S′ > 0; tek kritik nokta minimumdur.
Cevap: r = 5 cm, h = 250/25 = 10 cm = 2r; S = 50π + 100π = 150π ≈ 471 cm².
54π cm³ için: r³ = 27 → r = 3 cm, h = 6 cm, S = 18π + 36π = 54π ≈ 170 cm².

Parabolün en yakın noktası

y = x² parabolünün A(3, 0) noktasına en yakın noktasını ve bu uzaklığı bul. Sonra aynısını B(6, 3) için yap.

Çözümü göster

Değişken: parabolün noktası M(x, x²).
Fonksiyon: uzaklığın karesi g(x) = MA² = (x − 3)² + (x² − 0)² = x⁴ + x² − 6x + 9. MA en küçük olduğunda MA² de en küçüktür ve MA²’de kök yoktur, türevini almak daha kolaydır.
Türev: g′(x) = 4x³ + 2x − 6 = 2(x − 1)(2x² + 2x + 3). 2x² + 2x + 3 her zaman pozitiftir (diskriminantı 4 − 24 < 0), bu yüzden x = 1 tek kritik noktadır.
Kontrol: g′ işareti “−”den “+”ya döner; bu en küçük değerdir.
Cevap: M(1, 1), MA = √(4 + 1) = √5 ≈ 2,24.
B(6, 3) için: g(x) = (x − 6)² + (x² − 3)², g′(x) = 4x³ − 10x − 12 = 2(x − 2)(2x² + 4x + 3); yine tek kritik nokta x = 2. Cevap: M(2, 4), MB = √(16 + 1) = √17 ≈ 4,12.

R(p) = p · q(p), Π(p) = (p − c) · q(p)

burada:

pbir ürünün satış fiyatı (manat)
q(p)bu fiyatta satılan ürün sayısı
cbir ürünün maliyeti
R, Πgelir (hasılat) ve kâr

Gelir, fiyat ile satış miktarının çarpımıdır; kâr için satılan her ürünün maliyeti düşülür.

Dondurmanın en kârlı fiyatı

Bakü Bulvarı’ndaki bir büfe dondurma satıyor. Gözlemlere göre dondurmanın fiyatı p manat olduğunda günde q = 200 − 40p dondurma satılıyor ve her dondurma büfeye 1 manata mal oluyor. 1) Hangi fiyatta gelir en büyük olur? 2) Hangi fiyatta kâr en büyük olur? 3) Dondurma büfeye 2 manata mal olsaydı cevap nasıl değişirdi?

Çözümü göster

Tanım kümesi: satış sayısı negatif olamaz: 200 − 40p ≥ 0 → p ≤ 5, yani [0, 5] kapalı aralığında çalışırız.
1) R(p) = p(200 − 40p) = 200p − 40p², R′(p) = 200 − 80p = 0 → p = 2,5 manat. R(2,5) = 2,5 · 100 = 250 manat (uçlarda R(0) = R(5) = 0).
2) Π(p) = (p − 1)(200 − 40p) = −40p² + 240p − 200, Π′(p) = 240 − 80p = 0 → p = 3 manat. Uçlarda Π(0) = −200 ve Π(5) = 0, Π(3) = 2 · 80 = 160 manat ise en büyük kârdır; günde 80 dondurma satılır.
3) Π(p) = (p − 2)(200 − 40p), Π′(p) = 280 − 80p = 0 → p = 3,5 manat, Π = 1,5 · 60 = 90 manat.
En büyük gelir ile en büyük kâr farklı fiyatlarda elde edilir: daha çok satmak, daha çok kazanmak demek değildir.

Kısa yollar ve sık yapılan hatalar

Hızlı alıştırma

1.f(x) = x² − 4x, [0, 5] aralığı: en büyük değer =
2.x > 0 için x + 25/x toplamının en küçük değeri =
3.Kenarı 24 cm olan kare levhadan en büyük üstü açık kutu: kesilen karenin kenarı = cm
4.Hacmi 16π cm³ olan, en az malzemeli kapalı silindir: yarıçap = cm

Bu dersle “Türev ve uygulamaları” modülü tamamlanıyor. Kritik noktalar, işaretler ve uç noktalar fikri, “Kalkülüs (Analiz)” modülünün “Türevin uygulamaları” dersinde üniversite düzeyinde sürüyor; orada bükeylik, L’Hospital kuralı ve bağlı değişim hızları da ele alınıyor.

Önemli noktalar

Ekstremum yereldir (yakın noktalarla karşılaştırılır); en büyük ve en küçük değer ise mutlaktır (kümenin bütün noktalarıyla karşılaştırılır).
[a, b] üzerinde sürekli bir fonksiyon en büyük ve en küçük değerini alır: ya içteki bir kritik noktada ya da bir uçta.
Algoritma: f′ → (a, b) içindeki kritik noktalar → bunlardaki ve a, b uçlarındaki değerler → en büyüğünü ve en küçüğünü seç.
Monoton fonksiyonda cevap uç noktalardadır; aralıkta tek kritik nokta varsa f′’nün işareti onun en büyük mü yoksa en küçük değeri mi verdiğini söyler.
Optimizasyon: değişken → fonksiyon → tanım kümesi → türev → kontrol → birimli cevap.
Faydalı sonuçlar: çevre verilmişse kare; x + k/x ≥ 2√k; levhadan kutu x = a/6; silindir kutu h = 2r.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

[a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon en büyük değerini nerede alabilir?