Trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler

“Trigonometrik fonksiyonlar ve grafikleri” dersinde Elvin’in dönme dolaptaki yüksekliğini h(t) = 30 − 28 cos(πt/15) formülüyle hesaplamış ve h(10) = 44 m bulmuştuk. Şimdi soruyu tersine çevirelim: Elvin ne zaman 44 m yüksekliktedir? Bunun için 30 − 28 cos(πt/15) = 44, yani cos(πt/15) = −1/2 denklemini çözmek gerekir. Cevap tek bir sayı değildir: kabin her turda bu yükseklikten iki kez geçer, çıkarken ve inerken; dolap da durmadan döner. Bir trigonometrik denklemin genellikle sonsuz sayıda kökü vardır ve bu derste hepsini tek bir formülle yazmayı öğreneceğiz.

Birim çembere (“Radyan ölçüsü, temel trigonometrik özdeşlikler ve indirgeme formülleri”), toplam ve iki kat açı formüllerine (“Toplam-fark, iki kat açı ve yarım açı formülleri”) ve fonksiyonların grafiklerine ihtiyacımız olacak. Önce yeni gösterimlerle, yani arksinüs, arkkosinüs ve arktanjantla başlayacak, sonra en basit denklemleri ve onlara indirgenen denklemleri çözecek, kökleri seçecek ve eşitsizliklerle bitireceğiz.

Arksinüs, arkkosinüs ve arktanjant

sin x = 0,3 denklemine bakalım. Tabloda sinüsü 0,3 olan “güzel” bir açı yok, ama böyle bir açı kesinlikle vardır: [−π/2, π/2] aralığında sinüs −1’den 1’e artar ve her değeri tam bir kez alır. Demek ki bu aralıkta sinüsü 0,3 olan tek bir sayı vardır. Ona bir ad veririz: arcsin 0,3 (≈ 0,305 rad ≈ 17,5°). Kosinüs için aynı rolü, kosinüsün 1’den −1’e azaldığı [0, π] aralığı; tanjant için ise (−π/2, π/2) açık aralığı oynar.

En basit denklemler: sin x = a, cos x = a, tan x = a

cos x = a denklemiyle başlayalım. Kosinüs, birim çemberdeki noktanın apsisidir; bu yüzden apsisi a olan noktaları, yani x = a düşey doğrusunun çemberi kestiği noktaları arıyoruz. |a| > 1 ise doğru çemberi kesmez ve kök yoktur. |a| < 1 ise iki nokta vardır ve x eksenine göre simetriktirler: birinin açısı arccos a, diğerininki −arccos a’dır. Her tam tur noktayı yerine getirdiği için ikisine de 2πn eklenir.

sin x = a denkleminde sinüs ordinattır; bu yüzden y = a yatay doğrusunu çizeriz. |a| < 1 ise bu doğru çemberi y eksenine göre simetrik iki noktada keser: birinin açısı arcsin a, diğerininki π − arcsin a’dır. Böylece iki seri elde edilir: x = arcsin a + 2πn ve x = π − arcsin a + 2πn. Bunlar tek bir formülde birleştirilebilir: n çift olduğunda (−1)ⁿ = 1 olur ve birinci seri, n tek olduğunda (−1)ⁿ = −1 olur ve ikinci seri çıkar.

Tanjant her (−π/2, π/2) kolunda bütün gerçek değerleri birer kez alır ve periyodu π’dir. Bu yüzden tan x = a denkleminin her a için tek bir kök serisi vardır: koldaki kök arctan a’dır, diğerleri π adımla tekrarlanır. Kotanjant için de aynısı geçerlidir.

a = 0 ve a = ±1 için genel formüller de doğru sonucu verir, ama kökler daha kısa yazılabilir. Bu noktaları grafiklerden zaten tanıyoruz: sinüs ve kosinüsün sıfırları, tepeleri ve çukurları. Bunları ezbere bilmek gerekir:

En basit denklemlere indirgenen denklemler

Daha karmaşık bir trigonometrik denklem dört temel yöntemle bir ya da birkaç en basit denkleme indirgenir. Genel algoritma şöyledir:

1. 1
   Tek fonksiyona ve tek argümana indir

   Özdeşlikleri kullan: sin²x = 1 − cos²x, cos 2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1, sin 2x = 2 sin x cos x vb.

2. 2
   Yöntemi seç

   Bir fonksiyon ve karesi varsa değişken değiştirme; ortak çarpan varsa çarpanlara ayırma; bütün terimler aynı derecedeyse homojen denklem; a sin x + b cos x ya da sin²x varsa özdeşlikler.

3. 3
   En basit denklemleri çöz

   t = sin x ya da t = cos x yazdıktan sonra |t| ≤ 1 koşulunu kontrol et ve sin x = 2 gibi denklemleri at.

4. 4
   Tanım kümesini kontrol et

   Payda, tan ya da cot varsa, onları sıfır yapan ya da anlamsız kılan kökleri çıkar.

5. 5
   Cevabı yaz

   Bütün serileri n ∈ ℤ ile yaz; gerekiyorsa verilen aralıktaki kökleri seç.

İkinci dereceden denkleme indirgeme. Denklemde bir fonksiyon ve karesi varsa, t = sin x (ya da t = cos x, t = tan x) yazmak onu ikinci dereceden bir denkleme çevirir. sin x ve cos x için yalnızca −1 ≤ t ≤ 1 olan kökleri tutarız.

Çarpanlara ayırma. Denklemi f · g = 0 biçimine getiririz: çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır. Ortak çarpan parantezin dışına alınır, toplam ise çarpıma dönüştürülür. Denklemin iki tarafı sin x’e ya da cos x’e bölünmez: o çarpanı sıfır yapan kökler kaybolur.

Bu bölme neden serbest? a ≠ 0 ise cos x = 0 olan noktalar kök olamaz: orada sin x = ±1’dir ve denklemin sol tarafı a sin x’e (ya da a sin²x’e) eşit olur, bu da sıfır değildir. Demek ki bölerek hiçbir kök kaybolmaz.

Özdeşliklerin kullanımı. a sin x + b cos x = c denklemi yardımcı açı yöntemiyle tek bir sinüse indirgenir; sin²x ya da cos²x içeren denklemlerde ise kuvvet azaltma formülü işe yarar. İkisi de “Toplam-fark, iki kat açı ve yarım açı formülleri” dersindedir.

Bir aralıktaki köklerin seçilmesi

Bir denklemin cevabı sonsuz bir kümedir, ama problemlerde çoğu zaman yalnızca belirli bir aralıktaki kökler sorulur. Bunları bulmanın üç yolu vardır: n = …, −1, 0, 1, 2, … değerlerini sırayla yerine koymak; seriyi çift eşitsizliğe koyup tam sayı n’leri bulmak; kökleri birim çemberde ya da grafikte işaretlemek. Paydalı ya da tan veya cot içeren denklemlerde bulunan kökler ayrıca tanım kümesiyle de kontrol edilmelidir.

En basit trigonometrik eşitsizlikler

Bir eşitsizlikte tek tek noktaları değil, bütün bir yayı ararız. sin x > a, birim çemberdeki noktanın y = a doğrusunun üstünde olduğunu; cos x > a ise noktanın x = a doğrusunun sağında olduğunu söyler. Yayı buluruz, uçlarını yazarız ve tam turları ekleriz.

1. 1
   Doğruyu çiz

   sin için y = a yatay doğrusunu, cos için x = a düşey doğrusunu çiz.

2. 2
   Kesişme noktalarını bul

   sin için arcsin a ve π − arcsin a; cos için arccos a ve −arccos a.

3. 3
   Yayı seç

   Eşitsizliği sağlayan yayı işaretle: “>” için doğrunun üstündeki (sağındaki), “<” için altındaki (solundaki) yay.

4. 4
   Yayı saatin tersi yönünde dolaş

   Yayın başından sonuna saatin tersi yönünde git: sol uç sağ uçtan küçük olmalıdır. Değilse sol uçtan 2π çıkar.

5. 5
   Periyodu ekle

   İki uca da 2πn ekle (tan için πn); “≥” ve “≤” için uçlar da dahildir.