İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Başlangıç5–6. sınıf25 dk8 / 82

Yüzdeler

Yüzde bir olarak yüzde; kesir, ondalık gösterim ve yüzde arasında geçiş; üç temel problem; çarpanla artış ve azalış, art arda değişimler; basit ve bileşik faiz; karışımlar ve yüzde puan.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Kesir, ondalık gösterim ve yüzdeyi birbirine çevirmek
  • Üç temel yüzde problemi türünü tanımak ve çözmek
  • Artış, azalış ve art arda değişimleri çarpanla hesaplamak
  • Banka faizi ve karışım derişimi problemlerini çözmek, yüzde değişimi yüzde puandan ayırmak

Bir mağaza 100 manatlık bir cekette tek seferde %30 indirim yapıyor. Bir başkası önce %20, sonra yeni fiyat üzerinden %10 daha indirim yapıyor. İkisi aynı mı? İlk bakışta %20 + %10 = %30, ama ikinci mağazada ceket 70 değil, 72 manat. Fiyatlar, indirimler, banka mevduatları, sınav sonuçları hep yüzdeyle ifade edilir ve bu derste göreceksin ki asıl soru her zaman aynıdır: “Neyin yüzdesi?” Ders, “Ondalık gösterimler” dersinin üzerine kuruludur: her yüzde aslında bir ondalık gösterimdir.

Yüzde nedir?

Tanım
Yüzde

Bir sayının yüzde biri: %1 = 1/100 = 0,01. Bütün miktar %100’dür. “%” işareti “100’e bölünmüş” demektir.

%p = p/100%p = p/100
burada:
  • pyüzde miktarı

Yüzdeyi ondalık gösterime çevirmek için 100’e böl (virgül iki basamak sola kayar); bir sayıyı yüzdeyle yazmak için %100 ile çarp (virgül iki basamak sağa kayar).

Kesir, ondalık gösterim ve yüzde

1) Ondalık gösterimle yaz: %7; %45; %120; %0,5. 2) Yüzdeyle yaz: 0,3; 1,25; 0,045. 3) Yüzdeyle yaz: 3/5; 7/8; 2/3.

Çözümü göster
1) %7 = 0,07; %45 = 0,45; %120 = 1,2 (bütünden fazla); %0,5 = 0,005 (yarım yüzde).
2) 0,3 = %30; 1,25 = %125; 0,045 = %4,5.
3) 3/5 = 60/100 = %60; 7/8 = 7 ÷ 8 = 0,875 = %87,5; 2/3 = 0,666… ≈ %66,7.
KesirOndalık gösterimYüzde
1/20,5%50
1/40,25%25
3/40,75%75
1/50,2%20
1/100,1%10
1/200,05%5
1/80,125%12,5
1/30,3̅≈ %33,3
3/21,5%150
Bunları ezberle, pek çok problemi zihinden çözersin: bir sayının %25’i dörtte biri, %20’si beşte biri, %50’si yarısıdır.

Üç temel yüzde problemi

Her yüzde probleminde üç nicelik vardır: bütün a (%100’dür), parça b ve yüzde miktarı p. Bunlardan ikisi verilir, üçüncüsü bulunur; bu yüzden üç temel problem vardır ve hepsi tek bir formülden çıkar.

b = a · p/100b = a · p/100
burada:
  • abütün (%100 kabul edilen miktar)
  • bparça — a’nın %p’si
  • pyüzde miktarı

Bir sayının yüzdesini bulmak: yüzdeyi ondalık gösterime çevir ve sayıyla çarp.

Problem 1: bir sayının yüzdesini bulmak

1) 40 manatlık spor ayakkabıda %25 indirim var. İndirim ne kadar, yeni fiyat kaç manat? 2) Bir okulun 250 öğrencisinin %12’si satranç kulübüne gidiyor. Bu kaç öğrencidir?

Çözümü göster
1) %25 = 0,25. İndirim: 40 · 0,25 = 10 manat; yeni fiyat: 40 − 10 = 30 manat. Kısa yol: %100 − %25 = %75 ödüyoruz: 40 · 0,75 = 30 manat.
2) 250 · 0,12 = 30 öğrenci.
a = b ÷ (p/100) = b · 100/pa = b ÷ (p/100) = b · 100/p
burada:
  • aaranan bütün (%100)
  • bbilinen parça
  • pbu parçanın yüzdesi

Yüzdesi verilen sayıyı bulmak: parçayı, ondalık gösterimle yazılmış yüzdeye böl.

Problem 2: yüzdesi verilen sayıyı bulmak

1) Aysel parasının %15’ini, yani 30 manatı kitaplara harcadı. Ne kadar parası vardı? 2) Bir sınıfta 8 öğrenci, yani sınıfın %32’si en yüksek notu aldı. Sınıfta kaç öğrenci var?

Çözümü göster
1) Bütün bilinmiyor: a = 30 ÷ 0,15 = 3000 ÷ 15 = 200 manat. Kontrol: 200 · 0,15 = 30.
2) a = 8 ÷ 0,32 = 800 ÷ 32 = 25 öğrenci. Kontrol: 25 · 0,32 = 8.
p = b/a · 100p = b/a · 100
burada:
  • pb’nin, a’nın yüzde kaçı olduğu
  • abütün
  • bparça

Bir sayının diğerinin yüzde kaçı olduğunu bulmak: parçayı bütüne böl ve 100 ile çarp.

Problem 3: yüzde kaç?

1) Elvin 40 soruluk bir testte 34 soruyu doğru cevapladı. Bu yüzde kaçtır? 2) Bir sınıftaki 25 öğrenciden 9’u yüzmeye gidiyor. Bu, sınıfın yüzde kaçıdır? 3) 60 manatlık bir çanta 45 manata satıldı. Fiyat yüzde kaç indirildi?

Çözümü göster
1) 34/40 = 0,85 = %85.
2) 9/25 = 0,36 = %36.
3) İndirim 60 − 45 = 15 manattır ve onu eski fiyatla karşılaştırırız: 15/60 = 0,25 = %25.
  1. 1
    Bütünü bul

    Kendine sor: “Neyin yüzdesi?” O miktar %100’dür: değişimden önceki fiyat, bütün sınıf, bütün karışım.

  2. 2
    Bilinmeyeni belirle

    Bilinmeyen parça mı, bütün mü, yoksa yüzde miktarı mı? Hangi formülün gerektiğini bu gösterir.

  3. 3
    Hesapla ve kontrol et

    Yüzdeyi ondalık gösterime çevir, hesapla ve tersinden kontrol et: parça, bütünün %p’si olmalıdır.

Aynı problemler orantıyla da çözülebilir: a, %100’e; b, %p’ye karşılık gelir, yani a : b = 100 : p (“Oran ve orantı” dersine bak).

Artış ve azalış: çarpan yöntemi

Fiyat %15 artınca yeni fiyat eskisinin %100 + %15 = %115’i olur, %15 azalınca ise %100 − %15 = %85’i. Yani bütün işi tek bir çarpma yapar:

a · (1 + p/100) a · (1 − p/100)a · (1 + p/100) a · (1 − p/100)
burada:
  • abaşlangıç miktarı (%100)
  • 1 + p/1001 + p/100artış çarpanı: %15 artış → · 1,15
  • 1 − p/1001 − p/100azalış çarpanı: %15 azalış → · 0,85

%p artırmak (1 + p/100) ile, %p azaltmak ise (1 − p/100) ile çarpmak demektir.

Çarpanla hesaplama

1) 80 manatlık ayakkabının fiyatı %15 düştü. 2) 600 manatlık maaşa %12 zam yapıldı. 3) %20 zamdan sonra bir kitap 54 manat. Önceki fiyatı neydi?

Çözümü göster
1) 80 · 0,85 = 68 manat.
2) 600 · 1,12 = 672 manat.
3) eski fiyat · 1,2 = 54, yani eski fiyat = 54 ÷ 1,2 = 540 ÷ 12 = 45 manat. 54 · 0,8 = 43,2 değil: %20, 54’ten değil, eski fiyattan alınmıştı.
değişim (%) = fark / eski değer · 100değişim (%) = fark / eski değer · 100
burada:
  • farkyeni ve eski değerin farkı (büyükten küçük çıkarılır)
  • eski değerdeğişimden önceki değer — %100’dür

Yüzde değişim her zaman eski (başlangıç) değere göre ölçülür.

Yüzde değişim

Fiyat yüzde kaç değişti: 1) 40 manattan 50 manata; 2) 50 manattan yeniden 40 manata; 3) 20 manattan 50 manata?

Çözümü göster
1) Fark 10 manat, eski fiyat 40: 10/40 = 0,25 — %25 artış.
2) Fark yine 10 manat ama eski fiyat artık 50: 10/50 = 0,2 — %20 azalış. Fark aynı, temel farklı olduğu için yüzdeler de farklı.
3) Fark 30 manat: 30/20 = 1,5 — %150 artış. Yüzde 100’den büyük olabilir.

Değişimler art arda geldiğinde her yeni yüzde artık yeni miktardan alınır. Bu yüzden yüzdeler toplanmaz, çarpanlar çarpılır.

a · (1 ± p₁/100) · (1 ± p₂/100)a · (1 ± p₁/100) · (1 ± p₂/100)
burada:
  • p₁birinci değişimin yüzdesi
  • p₂ikinci değişimin yüzdesi (yeni miktardan)
  • ±artışta “+”, azalışta “−”

Art arda değişimlerde çarpanlar çarpılır; toplam değişim bu çarpımdan okunur.

Art arda değişimler

1) Dersin başındaki ceket: önce %20, sonra %10 indirim. Toplam indirim yüzde kaç? 2) 80 manatlık bir fiyat önce %10 arttı, sonra %10 azaldı. 3) 40 manatlık spor ayakkabı %25 indirimle 30 manata satılıyor; sonra bu fiyat %25 artırılıyor.

Çözümü göster
1) 0,8 · 0,9 = 0,72: fiyat ilk fiyatın %72’si olur, 100 manatlık ceket 72 manata düşer, toplam indirim %30 değil, %28’dir.
2) 80 · 1,1 = 88; 88 · 0,9 = 79,2 manat, çünkü 1,1 · 0,9 = 0,99: toplamda %1 azalış.
3) 30 · 1,25 = 37,5 manat, 40 değil: ikinci %25 30’dan, birincisi ise 40’tan alınır.

Banka faizi: basit ve bileşik faiz

Banka mevduata faiz öder: yıllık faiz oranı, her yıl paranın yüzde kaçının ekleneceğini gösterir. Basit faizde faiz her zaman anaparadan hesaplanır, bu yüzden her yıl aynı tutar eklenir. Bileşik faizde ise faiz anaparaya eklenir ve ertesi yıl bu faize de faiz işler; tutar her yıl aynı çarpanla çarpılır.

S = P · (1 + n · p/100)S = P · (1 + n · p/100)
burada:
  • Sn yıl sonraki tutar
  • Panapara
  • pyıllık faiz oranı (yüzde olarak)
  • nyıl sayısı

Basit faiz: her yıl P · p/100 eklenir.

S = P · (1 + p/100)ⁿS = P · (1 + p/100)ⁿ
burada:
  • (1 + p/100)ⁿ(1 + p/100)ⁿartış çarpanı n kez uygulanır
  • S, P, p, nbasit faiz formülündeki gibi

Bileşik faiz: her biri %p olan n art arda artış.

Basit ve bileşik faiz

1) 1000 manat, yıllık %10 faizle 3 yıllığına bankaya yatırıldı. Basit ve bileşik faizde hesapta ne kadar para olur? 2) 2000 manat, yıllık %8 bileşik faizle 2 yıllığına yatırıldı. Sonunda ne kadar para olur? 3) 800 manata alınan bir telefon her yıl değerinin %20’sini kaybediyor. 2 yıl sonra değeri ne olur?

Çözümü göster
1) Basit faiz: 1000 · (1 + 3 · 0,1) = 1300 manat. Bileşik faiz: 1000 · 1,1 = 1100; 1100 · 1,1 = 1210; 1210 · 1,1 = 1331 manat = 1000 · 1,1³. Aradaki 31 manat, faizin faizidir.
2) 2000 · 1,08² = 2000 · 1,1664 = 2332,8 manat (basit faizle 2320 manat olurdu).
3) Her yıl çarpan 0,8’dir: 800 · 0,8² = 800 · 0,64 = 512 manat.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Anaparayı, oranı ve süreyi değiştir: bileşik ve basit faiz arasındaki fark her yıl büyür.

Karışımlar ve yüzde puan

Tanım
Derişim (karışımdaki yüzde oran)

Bir maddenin (tuz, şeker) karışımın ya da çözeltinin toplam kütlesinin yüzde kaçı olduğu.

c = m / M · 100c = m / M · 100
burada:
  • cderişim (yüzde olarak)
  • mmaddenin kütlesi
  • Mbütün karışımın kütlesi (madde + su)

Su eklenince M değişir, m değişmez; iki çözelti karıştırılınca hem m’ler hem de M’ler toplanır.

Çözeltiler ve karışımlar

1) 200 g suda 50 g tuz çözüldü. Çözeltinin derişimi nedir? 2) %15’lik 300 g şurupta ne kadar şeker vardır? 3) %10’luk 200 g ve %20’lik 300 g tuzlu su karıştırıldı. Karışımın derişimi nedir? 4) %30’luk 400 g tuzlu suya ne kadar su eklenmeli ki %20’lik bir karışım elde edilsin?

Çözümü göster
1) M = 50 + 200 = 250 g (200 g değil!): c = 50/250 = 0,2 = %20.
2) m = 300 · 0,15 = 45 g.
3) Tuz: 200 · 0,1 + 300 · 0,2 = 20 + 60 = 80 g; karışım: 200 + 300 = 500 g; c = 80/500 = 0,16 = %16. %10 ile %20’nin tam ortası olan %15 değil, çünkü daha tuzlu karışımdan daha fazla var.
4) Tuz: 400 · 0,3 = 120 g ve değişmez. 120 g, yeni kütlenin %20’si olmalı: 120 ÷ 0,2 = 600 g. Eklenecek su: 600 − 400 = 200 g.

Yüzdenin kendisi değiştiğinde dikkatli ol. Banka faiz oranını %8’den %10’a çıkarırsa oran 2 yüzde puan (10 − 8) artar, eski orana göre ise %25 artar (2/8 = 0,25). Haberlerde bu ikisi sık sık karıştırılır.

puan farkı = p₂ − p₁ göreli değişim = (p₂ − p₁)/p₁ · 100puan farkı = p₂ − p₁ göreli değişim = (p₂ − p₁)/p₁ · 100
burada:
  • p₁eski yüzde
  • p₂yeni yüzde

Yüzde puan iki yüzdenin farkıdır; göreli değişim bu farkı eski yüzdeyle karşılaştırır (azalışta p₁ − p₂ alınır).

Yüzde puan mı, yüzde mi?

Her değişimi yüzde puan ve yüzde olarak ifade et: 1) mevduat faiz oranı %8’den %10’a çıktı; 2) sınavı geçen öğrencilerin oranı %60’tan %75’e çıktı; 3) bir mağazanın internet satışlarının payı %20’den %16’ya düştü.

Çözümü göster
1) 10 − 8 = 2 yüzde puan artış; 2/8 = 0,25, yani %25 artış.
2) 75 − 60 = 15 yüzde puan artış; 15/60 = 0,25, yani yine %25 artış.
3) 20 − 16 = 4 yüzde puan azalış; 4/20 = 0,2, yani %20 azalış.

Önemli noktalar

  • %1 = 1/100 = 0,01; yüzdeyi ondalık gösterime çevirmek için 100’e böl, bir sayıyı yüzdeyle yazmak için 100 ile çarp.
  • b = a · p/100: parçayı çarparak, bütünü bölerek (a = b ÷ p/100), yüzdeyi ise b/a · 100 olarak bul.
  • %p artış 1 + p/100 ile, %p azalış 1 − p/100 ile çarpmaktır; art arda değişimlerde çarpanlar çarpılır.
  • Her zaman sor: “Neyin yüzdesi?” Değişim başlangıç değerine göre ölçülür.
  • Basit faiz: S = P · (1 + n · p/100); bileşik faiz: S = P · (1 + p/100)ⁿ.
  • Derişim = madde / bütün karışım · 100; iki yüzdenin farkı yüzde puanla ölçülür.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Bir sayının %1’i nedir?