Köklü (irrasyonel) denklemler ve eşitsizlikler

Aysel ile Elvin aynı denklemi çözüyor: √(x + 2) = x. İkisi de iki tarafın karesini alıyor: x + 2 = x², yani x² − x − 2 = 0; kökler x = 2 ve x = −1. Aysel iki sayıyı da cevap olarak yazıyor, Elvin ise kontrol ediyor. x = 2 için √4 = 2, doğru. x = −1 için sol taraf √1 = 1, sağ taraf −1: 1 ≠ −1. Hesaplarda hiç hata yoksa −1 nereden çıktı? Bu derste bu “davetsiz misafirin” sırrını çözecek ve bu tür köklerin cevaba hiç girmediği yöntemler öğreneceğiz.

Önceki derslerden üç şeye ihtiyacımız olacak: karekökün tanımı, yani √a ≥ 0 ve (√a)² = a (“Karekök, n. dereceden kök ve rasyonel üslü ifadeler”), ikinci dereceden denklemlerin çözümü (“İkinci dereceden denklemler”) ve tanım kümesini bulup sistem çözme becerisi (“İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu”).

Köklü denklem: en basit durum

Karekökün iki özelliği ders boyunca işimize yarayacak. Birincisi, √f(x) yalnızca f(x) ≥ 0 iken anlamlıdır; bu, denklemin tanım kümesidir. İkincisi, karekök negatif olamaz; bu yüzden √(x + 1) = −2 gibi bir denklemin hiç hesap yapmadan çözümü yoktur. Kök bir tarafta tek başına, diğer tarafta bir sayı varsa denklem tek adımda çözülür.

Kare alma ve yabancı kökler

Baştaki sırra dönelim. Doğru bir eşitliğin iki tarafının karesini alırsak yine doğru bir eşitlik elde ederiz. Ters yönde bu işlemez: 1² = (−1)², ama 1 ≠ −1. Kare alma, tarafların işaretini “unutur”. Bu yüzden x + 2 = x² denklemi bir değil, iki denklemi birleştirir: √(x + 2) = x ve −√(x + 2) = x. x = 2 birincinin, x = −1 ise ikincinin köküdür: −√(−1 + 2) = −1.

1. 1
   Kökü yalnız bırak

   Bir tarafta yalnızca kök kalsın; geri kalan her şeyi diğer tarafa geçir.

2. 2
   Karesini al

   İki tarafın karesini al. Sağ taraf iki terimliyse (a − b)² = a² − 2ab + b² özdeşliğini unutma.

3. 3
   Yeni denklemi çöz

   Genellikle birinci ya da ikinci dereceden bir denklem çıkar.

4. 4
   İlk denklemde kontrol et

   Her kökü ilk denklemde yerine koy. Karesi alınmış denklemde kontrol işe yaramaz: yabancı kök onu da sağlar.

Kontrolsüz çözüm: denk sistem

Kontrol bazen zordur: kök, x = 2 + √3 gibi irrasyonel bir sayı olabilir. O zaman yabancı kökleri önceden tanımak daha kolaydır. Bunlar −√f = g denkleminden gelir, yani g(x) < 0 olan yerlerde ortaya çıkar. Demek ki √f = g denklemine g(x) ≥ 0 koşulunu eklersek kare alma denk bir adım olur.

İki tarafta da kök varsa kök içlerini eşitleriz, ama bunlardan biri negatif olmamalıdır; diğeri o zaman otomatik olarak ona eşittir. Bir çarpım sıfıra eşitse karar tanım kümesinindir: çarpanlardan biri sıfırsa diğeri yine de anlamlı olmalıdır.

Değişken değiştirme ve iki köklü ifade içeren denklemler

Aynı kök denklemde birkaç kez geçiyorsa ya da kök içindeki ifade kökün dışında da varsa onu yeni bir değişkenle değiştiririz. Karekök negatif olmadığından yeni değişken de negatif olamaz; bu koşul negatif değerleri hemen eler.

Denklemde iki kök varsa tek kare alma yetmez: (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b, yani yine bir kök kalır. Bu yüzden kökleri farklı taraflara ayırır ve iki kez kare alırız.

1. 1
   Tanım kümesi

   Her kök içi için ≥ 0 koşulunu yaz ve sistemi çöz.

2. 2
   Kökleri ayır

   Bir kökü bir tarafta yalnız bırak, diğerini öbür tarafa geçir.

3. 3
   Birinci kare alma

   Karesini al ve kalan kökü yine yalnız bırak.

4. 4
   İkinci kare alma ve kontrol

   Yeniden karesini al, denklemi çöz ve her kökü ilk denklemde kontrol et.

En basit köklü eşitsizlikler

Eşitsizliklerde kontrol işe yaramaz; çözümler genellikle sonsuz tanedir. Bu yüzden her adım denk olmalıdır. Temel kural: negatif olmayan iki sayıdan karesi büyük olan kendisi de büyüktür, yani 0 ≤ a < b ⇔ a² < b². Demek ki kare ancak iki taraf da negatif değilken alınabilir. Tanım kümesini de unutmamak gerekir: f(x) ≥ 0.

Sağ tarafta x içeren bir ifade varsa işareti bilinmez; bu yüzden durumlara ayırırız. “Küçüktür” durumunda sağ taraf kesinlikle pozitif olmalıdır, çünkü negatif olmayan bir kökten büyüktür. “Büyüktür” durumunda iki hâl vardır: sağ taraf negatifse eşitsizlik bütün tanım kümesinde doğrudur; negatif değilse kare alınabilir.