- Bir vektörün koordinatlarını ve uzunluğunu bulmak
- Vektörleri koordinatlarla ve geometrik olarak toplamak, çıkarmak ve bir sayıyla çarpmak
- İç çarpımla açı hesaplamak ve dikliği kontrol etmek
Bir kayık Kura Nehri'ni geçiyor: kıyıya dik yönde 4 m/s hızla ilerliyor, akıntı ise onu 3 m/s hızla aşağı sürüklüyor. Kayığın gerçek hızı nedir? 4 + 3 = 7 m/s değil, 5 m/s! Hızı yalnızca bir sayıyla vermek yetmez, yönü de önemlidir. Hız, kuvvet ve yer değiştirme gibi hem büyüklüğü hem de yönü olan nicelikler vektörlerle gösterilir; kütle ve sıcaklık ise sıradan sayılardır (skaler niceliklerdir).
Vektör ve koordinatları
Yönlü doğru parçası: başlangıcı, bitişi, uzunluğu (büyüklüğü) ve yönü vardır. AB⃗ vektörü A'da başlar ve B'de biter; bir vektör tek harfle de gösterilir: a⃗. Uzunlukları ve yönleri aynı olan vektörler eşittir; aynı doğru veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere paralel (doğrusal) vektörler denir.
- A(x₁, y₁)vektörün başlangıç noktası
- B(x₂, y₂)vektörün bitiş noktası
Vektörün koordinatlarını bulmak için bitiş noktasının koordinatlarından başlangıcın koordinatları çıkarılır (“bitiş eksi başlangıç”). Kural uzayda da geçerlidir.
- x, ya⃗ vektörünün koordinatları
- |a⃗|vektörün uzunluğu (büyüklüğü)
Bu, Pisagor teoremidir. Uzayda vektörün üç koordinatı vardır ve |a⃗| = √(x² + y² + z²): örneğin (2, 3, 6) vektörünün uzunluğu √(4 + 9 + 36) = 7'dir.
A(1, −2) ve B(4, 2) noktaları veriliyor. AB⃗ vektörünün koordinatlarını ve uzunluğunu bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
|AB⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Bu, aynı zamanda A ile B arasındaki uzaklıktır.
Vektörlerle işlemler
- a⃗ = (x₁, y₁), b⃗ = (x₂, y₂)verilen vektörler
- kbir sayı (skaler)
Vektörler koordinat koordinat toplanır ve çıkarılır; bir sayıyla çarpınca her koordinat o sayıyla çarpılır.
Geometrik olarak iki vektör üçgen kuralıyla (b⃗'nin başlangıcı a⃗'nın bitişine konur) veya paralelkenar kuralıyla (ortak başlangıçtan çizilen köşegen) toplanır. k > 0 ise k · a⃗ vektörü a⃗ ile aynı yönlü, k < 0 ise zıt yönlüdür; uzunluğu |k| · |a⃗|'dır.
- x₁, y₁, x₂, y₂a⃗ ve b⃗ vektörlerinin koordinatları
Paralel vektörlerin koordinatları orantılıdır: b⃗ = k · a⃗. İkinci yazım, bir koordinat sıfır olduğunda da işe yarar.
a⃗ = (2, −1), b⃗ = (−3, 4).
a) 2a⃗ − b⃗ vektörünü ve uzunluğunu bulun.
b) m'nin hangi değeri için c⃗ = (m, 3) vektörü a⃗'ya paraleldir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
|2a⃗ − b⃗| = √(49 + 36) = √85 ≈ 9,22.
b) Koordinatlar orantılı olmalıdır: m/2 = 3/(−1) ⇒ m = −6.
Kontrol: c⃗ = (−6, 3) = −3 · a⃗; c⃗, a⃗ ile zıt yönlüdür.
İç çarpım
- φvektörler arasındaki açı, 0° ≤ φ ≤ 180°
- |a⃗|, |b⃗|vektörlerin uzunlukları
İç çarpım bir vektör değil, bir sayıdır (skalerdir); bu yüzden skaler çarpım da denir. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².
- x₁, y₁, x₂, y₂a⃗ ve b⃗ vektörlerinin koordinatları
Koordinatlarla iç çarpım, karşılıklı koordinatların çarpımlarının toplamıdır. Uzayda z₁z₂ eklenir.
- a⃗, b⃗sıfırdan farklı vektörler
İç çarpımın işareti açıyı gösterir: > 0 dar açı, = 0 dik açı (dik vektörler), < 0 geniş açı.
a⃗ = (1, 2) ve b⃗ = (3, 1) vektörleri arasındaki açıyı bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
|a⃗| = √(1 + 4) = √5, |b⃗| = √(9 + 1) = √10.
cos φ = 5 / (√5 · √10) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.
a) k'nın hangi değeri için a⃗ = (k, 2) ve b⃗ = (3, −6) vektörleri diktir?
b) 50 N'luk bir kuvvet, 10 m'lik yer değiştirmeyle 60°'lik açı yapıyor. Kuvvetin yaptığı işi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) İş, kuvvet ile yer değiştirmenin iç çarpımıdır: W = F⃗ · s⃗ = F · s · cos φ = 50 · 10 · cos 60° = 50 · 10 · 0,5 = 250 J.
Önemli noktalar
- AB⃗ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁), “bitiş eksi başlangıç”; |a⃗| = √(x² + y²).
- Vektörler koordinat koordinat toplanır ve çıkarılır; k · a⃗ her koordinatı k ile çarpar.
- Zincir kuralı: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
- a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ = x₁x₂ + y₁y₂.
- a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0; a⃗ ∥ b⃗ ⇔ koordinatlar orantılıdır.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.