İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri8. sınıf25 dk28 / 82

İkinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklem ve katsayıları, eksik denklemler, tam kareye tamamlama, diskriminant ve kök formülü, ikinci katsayı çift olduğunda Δ/4 kısayolu, kökler ile katsayılar arasındaki Viète bağıntıları ve tersi, ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılması, bikuadratik denklemler ve problemler — adım adım çözümlü örneklerle.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • İkinci dereceden denklemi standart biçime getirmek, a, b, c katsayılarını belirlemek ve eksik denklemleri formülsüz çözmek
  • Tam kareye tamamlayarak kök formülünü açıklamak ve her ikinci dereceden denklemi diskriminantla (b çiftse Δ/4 ile) çözmek
  • Viète bağıntılarını ve tersini uygulamak, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmak
  • Bikuadratik denklemleri, değişken değiştirmeyle çözülen denklemleri ve ikinci dereceden denkleme götüren problemleri çözmek

Aysel bahçede dikdörtgen biçiminde bir çiçek tarhı yapmak istiyor. Tarhın alanı 24 m² olmalı, uzunluğu da genişliğinden 2 m fazla olmalı. Genişliğe x metre dersek alan x(x + 2) olur; böylece x(x + 2) = 24, yani x² + 2x − 24 = 0 denklemi çıkar. “Birinci dereceden denklemler” dersindeki yöntem burada işe yaramaz: bilinmeyenin karesi alınmıştır ve onu bir tarafa toplamak yetmez. Bu derste bu türden her denklemi çözmeyi öğreneceksin; en sonda da Aysel’in tarhının boyutlarını bulacağız.

İkinci dereceden denklemler her yerde karşımıza çıkar: alan ve hareket problemlerinde, fizikte, ekonomide. Onları çözmek için “Özdeşlikler (kısa çarpma formülleri)” dersindeki (a ± b)² formüllerine ihtiyacın olacak. Burada bulmayı öğreneceğin kökler ise “İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” dersinde parabolün x eksenini kestiği noktalar olarak karşına çıkacak.

İkinci dereceden denklem ve katsayıları

Tanım
İkinci dereceden denklem

x bilinmeyen, a, b, c verilmiş sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklem. a’ya başkatsayı, b’ye ikinci katsayı (x’in katsayısı), c’ye sabit terim denir. a = 0 olsaydı x² yok olur ve denklem birinci dereceden olurdu; bu yüzden a ≠ 0 koşulu önemlidir.

Denklem her zaman hazır biçimde verilmez. Katsayıları doğru okumak için önce parantezleri aç, bütün terimleri sol tarafa al, benzer terimleri topla ve terimleri x’in azalan kuvvetlerine göre sırala: bu, standart biçimdir. Katsayı işaretiyle birlikte alınır: 2x² − 3x + 1 = 0 denkleminde b = −3’tür, 3 değil.

DenklemStandart biçimabc
2x² − 3x + 1 = 02x² − 3x + 1 = 02−31
x² = 16x² − 16 = 010−16
5x − x² = 0−x² + 5x = 0−150
3x² = 12 − x3x² + x − 12 = 031−12
(x + 2)² = 3x + 10x² + x − 6 = 011−6
Son satırda (x + 2)² = x² + 4x + 4 olur, sonra 3x + 10 sola geçirilir: x² + 4x + 4 − 3x − 10 = x² + x − 6. Katsayısı 0 olan terim yazılmaz; o zaman b = 0 ya da c = 0’dır.
Tanım
Eksik ikinci dereceden denklem

b ve c katsayılarından en az birinin sıfır olduğu ikinci dereceden denklem: ax² + bx = 0 (c = 0), ax² + c = 0 (b = 0) ya da ax² = 0. Bu tür denklemler diskriminant kullanmadan, çarpanlara ayırarak ya da karekök alarak daha hızlı çözülür.

ax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/aax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a
burada:
  • x(ax + b)ortak çarpan x paranteze alınmış
  • x₁ = 0c = 0 iken her zaman köklerden biridir

Bir çarpım ancak çarpanlardan biri sıfır olduğunda sıfırdır. Bu yüzden c = 0 olan denklemin her zaman iki kökü vardır ve bunlardan biri 0’dır.

c = 0 olan denklemler

Çöz: 1) 5x² + 7x = 0; 2) 4x² = 9x.

Çözümü göster
1) Ortak çarpanı paranteze alalım: x(5x + 7) = 0. Ya x = 0 ya da 5x + 7 = 0 ⇒ x = −7/5 = −1,4.
Cevap: 0 ve −1,4.
2) Her şeyi sola alalım: 4x² − 9x = 0 ⇒ x(4x − 9) = 0 ⇒ x = 0 veya x = 9/4 = 2,25.
Cevap: 0 ve 2,25. Denklemi x’e bölseydik 4x = 9 bulur ve x = 0 kökünü kaybederdik.
ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; −c/a > 0 ise x₁,₂ = ±√(−c/a)ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; −c/a > 0 ise x₁,₂ = ±√(−c/a)
burada:
  • −c/a−c/ax²’nin eşit olduğu sayı; işareti kök sayısını belirler
  • ±karesi aynı olan iki zıt sayı: √9 = 3’tür ama x² = 9’un kökleri 3 ve −3’tür

−c/a > 0 ise iki zıt kök vardır; −c/a < 0 ise kök yoktur, çünkü hiçbir sayının karesi negatif değildir; c de sıfırsa (ax² = 0) tek kök x = 0’dır.

b = 0 olan denklemler ve tam kare

Çöz: 1) 2x² − 18 = 0; 2) 4x² + 25 = 0; 3) (x − 3)² = 16.

Çözümü göster
1) 2x² = 18 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3. Cevap: −3 ve 3.
2) 4x² = −25 ⇒ x² = −25/4 < 0. Bir kare negatif olamaz; demek ki kök yoktur.
3) Burada karenin içinde x − 3 var: x − 3 = 4 veya x − 3 = −4 ⇒ x = 7 veya x = −1.
Parantezi açmaya gerek kalmadı; bir sonraki bölümde bu fikir her ikinci dereceden denklemin anahtarı olacak.

Tam kareye tamamlama ve kök formülü

(x − 3)² = 16 denklemini tek adımda çözdük, çünkü sol taraf tam kareydi. Her ikinci dereceden denklem bu biçime getirilebilir: x² + 2px ifadesine p² eklersek (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğine göre tam kare elde ederiz: x² + 2px + p² = (x + p)². Bu yönteme tam kareye tamamlama denir.

  1. 1
    a’ya böl

    a ≠ 1 ise denklemin iki tarafını a’ya böl; böylece x²’nin katsayısı 1 olur.

  2. 2
    Sabit terimi sağa al

    Solda yalnızca x²’li ve x’li terim kalsın.

  3. 3
    Yarısının karesini ekle

    x’in katsayısının yarısının karesini al ve iki tarafa da ekle.

  4. 4
    Kare olarak yaz

    Sol tarafı (x + p)² biçiminde yaz, sağ tarafı hesapla.

  5. 5
    Karekök al

    Sağ taraf negatif değilse x + p = ±√(sağ taraf); negatifse kök yoktur.

Tam kareye tamamlayarak çözüm

Tam kareye tamamlayarak çöz: 1) x² + 6x − 7 = 0; 2) x² − 4x + 1 = 0.

Çözümü göster
1) x² + 6x = 7. 6’nın yarısı 3, karesi 9: x² + 6x + 9 = 7 + 9 ⇒ (x + 3)² = 16.
x + 3 = 4 veya x + 3 = −4 ⇒ x = 1 veya x = −7.
2) x² − 4x = −1. −4’ün yarısı −2, karesi 4: x² − 4x + 4 = −1 + 4 ⇒ (x − 2)² = 3.
x − 2 = ±√3 ⇒ x = 2 ± √3 (≈ 3,73 ve ≈ 0,27). Kökler irrasyonel olabilir; bu, hata yaptığın anlamına gelmez.

Şimdi aynı adımları harflerle, ax² + bx + c = 0 denklemi için atalım. a’ya bölelim: x² + (b/a)x = −c/a. İki tarafa (b/(2a))² ekleyelim: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Payda 4a² her zaman pozitiftir; bu yüzden sağ tarafın işaretini yalnızca pay, yani b² − 4ac belirler. Karekök alıp x’i yalnız bırakınca ünlü kök formülü elde edilir.

Tanım
Diskriminant

Δ = b² − 4ac sayısı. Latince discriminare “ayırt etmek” demektir: diskriminant, denklemi çözmeden önce kaç kök olduğunu söyler. Türkiye’de diskriminant Δ (delta) harfiyle gösterilir.

Δ = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)Δ = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
burada:
  • Δdiskriminant; işareti kök sayısını gösterir
  • a, b, cstandart biçimdeki katsayılar, işaretleriyle
  • ±biri “+”, diğeri “−” ile hesaplanan iki kök
  • 2apayda payın tamamına aittir: −b ± √Δ ifadesinin tamamı 2a’ya bölünür

Δ > 0 ise iki farklı kök; Δ = 0 ise bir kök (çakışık iki kök) x = −b/(2a); Δ < 0 ise gerçek kök yoktur.

Diskriminantın üç durumu

Çöz: 1) 2x² + 3x − 2 = 0; 2) 9x² − 6x + 1 = 0; 3) x² + 2x + 5 = 0.

Çözümü göster
1) a = 2, b = 3, c = −2. Δ = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, √Δ = 5.
x₁ = (−3 + 5)/4 = 1/2, x₂ = (−3 − 5)/4 = −2.
2) Δ = (−6)² − 4 · 9 · 1 = 36 − 36 = 0; tek kök var: x = 6/18 = 1/3. Gerçekten de 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)².
3) Δ = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0; gerçek kök yoktur.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = x² + bx + c grafiği. Denklemin kökleri eğrinin x eksenini kestiği noktalardır: başlangıçta x² − 5x + 6 = 0 için 2 ve 3. c’yi artır: Δ = b² − 4c önce sıfıra iner (eğri eksene değer), sonra negatif olur (eğri eksenden ayrılır, kök kalmaz). Grafik, “İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” dersinde ayrıntılı incelenir.
Negatif a ve irrasyonel kökler

Çöz: 1) −x² + 4x + 5 = 0; 2) 3x² − 2x − 2 = 0.

Çözümü göster
1) Önce denklemi −1 ile çarpalım ki a pozitif olsun: x² − 4x − 5 = 0. Δ = 16 + 20 = 36, √Δ = 6.
x = (4 ± 6)/2 ⇒ x₁ = 5, x₂ = −1.
2) Δ = (−2)² − 4 · 3 · (−2) = 4 + 24 = 28, √28 = 2√7.
x = (2 ± 2√7)/6 = (1 ± √7)/3, yani x₁ ≈ 1,22 ve x₂ ≈ −0,55.
Payın iki terimini de, paydayı da 2’ye böldük.

Çift ikinci katsayı ve başkatsayısı 1 olan denklem

b çift olduğunda (b = 2k) formüldeki bütün sayılar 2’ye, Δ ise 4’e bölünür. Bu sadeleştirmeyi baştan yaparsak daha küçük sayılarla çalışır ve daha az hesap hatası yaparız.

b = 2k: Δ/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(Δ/4)) / ab = 2k: Δ/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(Δ/4)) / a
burada:
  • kikinci katsayının yarısı, k = b/2 (işaretiyle)
  • Δ/4Δ/4dörde bölünmüş diskriminant; işareti Δ’nın işaretiyle aynıdır
  • apaydada artık 2a değil, a kalır

Formül, olağan formülde pay ve paydayı 2’ye bölerek elde edilir: (−2k ± √(4(k² − ac)))/(2a) = (−k ± √(k² − ac))/a.

Δ/4 ile üç denklem

Çöz: 1) x² − 14x + 40 = 0; 2) 3x² + 8x − 3 = 0; 3) 5x² − 12x + 7 = 0.

Çözümü göster
1) k = −7: Δ/4 = 49 − 40 = 9, x = 7 ± 3 ⇒ 10 ve 4.
2) k = 4: Δ/4 = 16 − 3 · (−3) = 16 + 9 = 25, x = (−4 ± 5)/3 ⇒ 1/3 ve −3.
3) k = −6: Δ/4 = 36 − 35 = 1, x = (6 ± 1)/5 ⇒ 7/5 ve 1.
Karşılaştır: 1) denkleminde olağan formülle Δ = 196 − 160 = 36 çıkardı; sayılar çok daha büyük olurdu.
Tanım
Başkatsayısı 1 olan denklem

Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden denklem: x² + px + q = 0. Her denklem a’ya bölünerek bu biçime getirilebilir: 2x² − 6x + 4 = 0 ⇒ x² − 3x + 2 = 0.

x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
burada:
  • px’in katsayısı
  • qsabit terim

Sözle: x’in katsayısının ters işaretli yarısı, artı-eksi (bu yarının karesi eksi sabit terim) ifadesinin karekökü. p çift olduğunda özellikle kullanışlıdır.

Başkatsayısı 1 olan denklemler

Çöz: 1) x² − 6x − 16 = 0; 2) x² + 10x + 21 = 0.

Çözümü göster
1) p/2 = −3: x = 3 ± √(9 + 16) = 3 ± 5 ⇒ 8 ve −2.
2) p/2 = 5: x = −5 ± √(25 − 21) = −5 ± 2 ⇒ −3 ve −7.
İki cevap da bir sonraki bölümdeki Viète bağıntılarıyla kontrol edilebilir: 8 + (−2) = 6 ve 8 · (−2) = −16.

Kökler ile katsayılar arasındaki bağıntılar ve çarpanlara ayırma

Formüldeki iki kökü toplayalım ve çarpalım. Toplamda ±√Δ terimleri birbirini götürür: x₁ + x₂ = (−b + √Δ)/(2a) + (−b − √Δ)/(2a) = −2b/(2a) = −b/a. Çarpımda (m + n)(m − n) = m² − n² özdeşliği işe yarar: x₁ · x₂ = (b² − Δ)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a. Bu bağıntılar 16. yüzyıl Fransız matematikçisi François Viète’in adını taşır.

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/ax₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a
burada:
  • x₁, x₂denklemin kökleri (Δ ≥ 0 olmalı)
  • −b/a−b/aköklerin toplamı
  • c/ac/aköklerin çarpımı

Başkatsayısı 1 olan x² + px + q = 0 denklemi için: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Bağıntılar ancak kökler varsa anlamlıdır: x² + x + 5 = 0 denkleminin kökü yoktur, dolayısıyla toplamı −1 olan kökleri de yoktur.

Tanım
Viète bağıntılarının tersi

m ve n sayıları için m + n = −p ve m · n = q ise bu sayılar x² + px + q = 0 denkleminin kökleridir. Bu sayede kökleri zihinden bulabilir ve kökleri verilen denklemi kurabiliriz.

Kökleri zihinden bulalım

Viète bağıntılarıyla şu denklemlerin köklerini bul: 1) x² − 11x + 30 = 0; 2) x² + 2x − 15 = 0; 3) x² + 9x + 20 = 0. 4) Kökleri −2 ve 5 olan, başkatsayısı 1 olan denklemi yaz.

Çözümü göster
1) Toplam 11, çarpım 30: 5 ve 6 (5 + 6 = 11, 5 · 6 = 30).
2) Toplam −2, çarpım −15. Çarpım negatif olduğundan köklerin işaretleri farklıdır: 3 ve −5.
3) Toplam −9, çarpım 20. Çarpım pozitif, toplam negatif; iki kök de negatiftir: −4 ve −5.
4) p = −(−2 + 5) = −3, q = (−2) · 5 = −10 ⇒ x² − 3x − 10 = 0.
Kökleri bulmadan hesaplamalar

1) x₁ ve x₂, x² − 5x + 3 = 0 denkleminin kökleridir. x₁² + x₂² ve 1/x₁ + 1/x₂ değerlerini bul.
2) x² + px − 12 = 0 denkleminin köklerinden biri 3’tür. Diğer kökü ve p’yi bul.

Çözümü göster
1) Δ = 25 − 12 = 13 > 0; kökler var ama irrasyoneldir. Viète’ye göre x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 3.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 6 = 19.
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 5/3.
2) x₁ · x₂ = −12 ve x₁ = 3 ⇒ x₂ = −4. x₁ + x₂ = −p ⇒ −1 = −p ⇒ p = 1.

İkinci dereceden üç terimli, ax² + bx + c ifadesidir; kökleri ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleridir. Viète bağıntılarından b = −a(x₁ + x₂) ve c = a · x₁x₂ yazıp yerine koyarsak: ax² + bx + c = a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂) = a(x − x₁)(x − x₂).

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
burada:
  • abaşkatsayı — parantezlerin önünde kalmalıdır
  • x₁, x₂üç terimlinin kökleri

Δ = 0 iken ax² + bx + c = a(x − x₁)²; Δ < 0 iken üç terimli birinci dereceden çarpanlara ayrılamaz. Diğer yöntemler (ortak çarpan, gruplama) “Polinomları çarpanlarına ayırma” dersindedir.

Çarpanlara ayıralım

Çarpanlarına ayır: 1) 2x² − 5x − 3; 2) −x² + x + 6. 3) (x² − 4x + 3)/(x² − 1) kesrini sadeleştir.

Çözümü göster
1) Δ = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4 ⇒ x₁ = 3, x₂ = −1/2.
2x² − 5x − 3 = 2(x − 3)(x + 1/2) = (x − 3)(2x + 1).
2) Kökler: −x² + x + 6 = 0 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ 3 ve −2. a = −1 olduğundan
−x² + x + 6 = −(x − 3)(x + 2); a = −1 çarpanını unutma.
3) x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) (a + b + c = 0: kökler 1 ve 3), x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Kesir, x ≠ ±1 için (x − 3)/(x + 1) olur.
  1. 1
    Standart biçime getir

    Parantezleri aç ve bütün terimleri sola al: ax² + bx + c = 0.

  2. 2
    Sadeleştir

    Bütün katsayıların ortak çarpanı varsa ona böl; a < 0 ise denklemi −1 ile çarp.

  3. 3
    Kısa yolu dene

    Denklem eksik mi? a + b + c = 0 ya da a − b + c = 0 mı? Kökler Viète ile kolayca bulunuyor mu?

  4. 4
    Diskriminantı hesapla

    Δ = b² − 4ac (b çiftse Δ/4 = k² − ac). Δ < 0 ise gerçek kök yoktur.

  5. 5
    Kökleri bul ve kontrol et

    Formülü uygula, sonra cevabı Viète bağıntılarıyla ya da denklemde yerine koyarak kontrol et.

İkinci dereceden denkleme dönüşen denklemler ve problemler

Tanım
Bikuadratik denklem

ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklem. t = x² dönüşümü onu at² + bt + c = 0 ikinci dereceden denklemine çevirir. t = x² negatif olamayacağı için yalnızca t ≥ 0 olan kökleri alırız.

  1. 1
    Tekrar eden ifadeyi bul

    x², x² − 2x ya da başka bir ifade denklemde hem karesiyle hem de birinci kuvvetiyle yer alır.

  2. 2
    Yeni değişken tanımla

    t bu ifade olsun; t için koşulu yaz (t = x² için t ≥ 0).

  3. 3
    t için denklemi çöz

    Diskriminant, Δ/4 ya da Viète bağıntılarıyla.

  4. 4
    Uymayanları ele

    Koşula uymayan t değerlerini at.

  5. 5
    x’e dön

    Her t için x’i bul ve kökleri ilk denklemde kontrol et.

Bikuadratik denklemler ve değişken değiştirme

Çöz: 1) x⁴ − 5x² + 4 = 0; 2) x⁴ + 3x² − 4 = 0; 3) (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0.

Çözümü göster
1) t = x² ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 veya t = 4 (a + b + c = 0).
x² = 1 ⇒ x = ±1; x² = 4 ⇒ x = ±2. Cevap: −2, −1, 1, 2; dört kök.
2) t² + 3t − 4 = 0 ⇒ t = 1 veya t = −4. t = −4 < 0 olduğu için atılır.
x² = 1 ⇒ x = ±1; yalnızca iki kök.
3) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 ⇒ t = 3 veya t = −1 (a − b + c = 0).
x² − 2x = 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1.
x² − 2x = −1 ⇒ (x − 1)² = 0 ⇒ x = 1.
Cevap: −1, 1, 3. Burada t negatif olabilir, çünkü x² − 2x bir kare değildir.

Bir problemde denklem kurmak birinci dereceden denklemlerdeki gibidir: bilinmeyeni seç, koşulları denklem olarak yaz, çöz. Yeni olan son adımdır: ikinci dereceden denklemin çoğu zaman iki kökü vardır, ama ikisi de problemin anlamına uymayabilir; bir uzunluk negatif, bir kişi sayısı kesirli olamaz.

Üç problem

1) Aysel’in tarhının alanı 24 m², uzunluğu genişliğinden 2 m fazla. Boyutlarını bul.
2) Ardışık iki doğal sayının çarpımı 132’dir. Bu sayıları bul.
3) Bir futbol turnuvasında her takım diğer her takımla birer kez oynadı; toplam 28 maç yapıldı. Kaç takım katıldı?

Çözümü göster
1) Genişlik x m olsun: x(x + 2) = 24 ⇒ x² + 2x − 24 = 0. k = 1: Δ/4 = 1 + 24 = 25, x = −1 ± 5 ⇒ 4 ve −6.
Genişlik negatif olamaz; demek ki tarhın genişliği 4 m, uzunluğu 6 m. Kontrol: 4 · 6 = 24.
2) n(n + 1) = 132 ⇒ n² + n − 132 = 0. Δ = 1 + 528 = 529 = 23², n = (−1 ± 23)/2 ⇒ 11 ve −12.
−12 doğal sayı değildir. Cevap: 11 ve 12.
3) n takımın her biri n − 1 maç yapar, ama her maç iki kez sayılır: n(n − 1)/2 = 28 ⇒ n² − n − 56 = 0.
Δ = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15)/2 ⇒ 8 ve −7. Cevap: 8 takım.
Kendini dene
  1. 1.x² − 3x − 4 = 0 denkleminin diskriminantı: Δ =
  2. 2.2x² − 8x + 5 = 0 denkleminin köklerinin toplamı:
  3. 3.2x² − 8x + 5 = 0 denkleminin köklerinin çarpımı:
  4. 4.x² − x − 6 = 0 denkleminin büyük kökü:
  5. 5.x⁴ − 10x² + 9 = 0 denkleminin kök sayısı:

Önemli noktalar

  • İkinci dereceden denklem: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0; katsayılar standart biçimden, işaretleriyle okunur.
  • Eksik denklem: c = 0 ise x’i paranteze al (x = 0 her zaman köktür); b = 0 ise x²’yi bul. Denklemi x’e bölme.
  • Δ = b² − 4ac, x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a): Δ > 0 ise iki kök, Δ = 0 ise bir kök, Δ < 0 ise gerçek kök yok.
  • b = 2k ise: Δ/4 = k² − ac, x₁,₂ = (−k ± √(Δ/4))/a.
  • Viète: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a; a + b + c = 0 ise kökler 1 ve c/a; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Bikuadratik denklemde t = x² ≥ 0 dönüşümü yapılır; problemde anlamsız kök atılır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
3x² − 2x + 7 = 0 denkleminde b katsayısı kaçtır?