Pozitif ve negatif sayılar, sayı doğrusu ve mutlak değer

Bir kış sabahı. Hava durumu Bakü’de +6 °C, Şahdağ’da −8 °C gösteriyor. Asansördeki −1 düğmesi yer altı otoparkına iniyor, banka uygulaması ise kart bakiyesini −15 manat olarak gösteriyor. Bu sayıların her birinde işaret önemli bir bilgi taşır: sıfırın üstü mü altı mı, yerin üstü mü altı mı, para mı borç mu? +6 °C ile −8 °C arasında kaç derece fark vardır? Bu derste bu soruyu sayı doğrusunda birimleri sayarak cevaplayacağız.

Doğal sayıları, kesirleri ve ondalık gösterimleri zaten biliyorsun (“Kesirler: anlamı, sadeleştirme ve karşılaştırma” ve “Ondalık gösterimler” derslerine bak). Bunların hepsi sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir. Şimdi sayılar dünyasını sıfırın soluna doğru genişletiyoruz. Negatif sayılarla hesap yapmayı ise bir sonraki derste, “Rasyonel sayılarla işlemler” dersinde öğreneceksin.

Sayı doğrusu

Pozitif sayılar O’nun sağında, negatif sayılar ise solunda yer alır: 3, O’nun 3 birim sağındaki; −3 ise 3 birim solundaki noktadır. Kesirli sayıların da kendi yeri vardır: −1,5 tam olarak −1 ile −2’nin ortasındadır; −2/3 noktasını bulmak için O ile −1 arasındaki parça üç eş parçaya bölünür ve O’dan sola doğru iki parça sayılır. Termometre de bir sayı doğrusudur, yalnızca dikeydir: sıfırın üstü “+”, altı “−”.

1. 1
   İşarete bak

   a > 0 ise O’dan sağa, a < 0 ise sola gidersin. a = 0 ise nokta O’nun kendisidir.

2. 2
   Birimleri say

   İşareti dikkate almadan sayı kadar birim say: −4 için 4 birim.

3. 3
   Kesirli kısmı böl

   Sayı kesirliyse birim uzunluğu payda kadar eş parçaya böl: −2,5 için 2 tam birim ve yarım birim, −3/4 için birimin 4 parçasından 3’ü.

4. 4
   Adlandır

   Noktayı işaretle, yanına harfini ve koordinatını yaz: C(−2,5).

Tam sayılar ve rasyonel sayılar

Sıfırdan büyük sayılara pozitif, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Sıfır ne pozitif ne negatiftir; iki tarafı ayıran sınırdır. Pozitif sayının önündeki “+” yazılmayabilir: +6 = 6. Negatif sayının önündeki “−” ise asla atlanmaz: −6 ile 6 bambaşka sayılardır.

Günlük hayatta negatif sayılar bir büyüklüğün iki zıt yönünü göstermek için kullanılır. Hangi yönün pozitif sayılacağı bir anlaşmadır; ama bir kez seçildikten sonra ona uyulmalıdır:

• Sıcaklık: sıfırın 5 derece altı −5 °C, sıfırın 12 derece üstü +12 °C diye yazılır.
• Yükseklik ve derinlik: deniz seviyesinin 40 m altında yüzen bir dalgıç −40 m’de, 4466 m yüksekliğindeki Bazardüzü zirvesi +4466 m’dedir.
• Banka hesabı: hesaba yatan 50 manat +50, harcanan 20 manat −20 diye yazılır; −15 manat bakiye 15 manat borç demektir.
• Asansör: −2 düğmesi yerin altındaki ikinci kata götürür.

Ters işaretli sayılar

Dikkat: −a yazımı “negatif bir sayı” diye değil, “a’nın ters işaretlisi” diye okunur. a = 4 ise −a = −4 negatiftir; a = −4 ise −a = −(−4) = 4 pozitiftir. Ters işaretliyi iki kez alırsak simetri bizi başladığımız yere geri getirir; tıpkı aynada iki kez yansımak gibi.

Mutlak değer

Formül ilk bakışta tuhaf görünür: mutlak değer negatif olamaz, o hâlde neden “−a” yazılmış? Çünkü a negatif olduğunda −a pozitiftir. Örneğin a = −7 ise |a| = −a = −(−7) = 7 olur. Yani buradaki “−a” negatif bir sayı değil, ters işaretli sayıdır.

Sayıları karşılaştırma ve sıralama

Sayı doğrusunda sayılar soldan sağa doğru büyür: sağda olan sayı soldakinden büyüktür. Buradan üç kural çıkar. Her pozitif sayı sıfırdan büyüktür. Her negatif sayı sıfırdan, dolayısıyla her pozitif sayıdan küçüktür. En ilginç olanı üçüncü kuraldır: iki negatif sayının karşılaştırılması.

1. 1
   Gruplara ayır

   Sayıları üç gruba ayır: negatifler, sıfır, pozitifler. Mutlak değer işareti varsa önce onu hesapla: |−5| = 5 pozitiftir.

2. 2
   Negatifleri sırala

   Negatif sayıları mutlak değerlerine göre karşılaştır: mutlak değeri en büyük olan en küçüktür ve sıranın başına yazılır.

3. 3
   Pozitifleri sırala

   Pozitif sayıları her zamanki gibi sırala; gerekirse kesirleri ortak paydaya getir ya da ondalık gösterime çevir.

4. 4
   Birleştir ve kontrol et

   Negatifler → 0 → pozitifler. Kontrol et: bu sıra sayı doğrusunda soldan sağa mı gidiyor?

Artık pozitif ve negatif sayıları sayı doğrusunda görebiliyor, karşılaştırabiliyor ve mutlak değerlerini bulabiliyorsun. Bir sonraki derste, “Rasyonel sayılarla işlemler” dersinde, bu sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmayı öğreneceksin; orada mutlak değer ve ters işaretli sayı her kuralın temel aracı olacak.