İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri9–11. sınıf25 dk57 / 82

Çok yüzlüler: prizma ve piramit

Çok yüzlünün elemanları ve Euler teoremi, dikdörtgenler prizması ve küp (9. sınıf sınavı), prizma ve piramidin yanal alanı, tüm alanı ve hacmi, yükseklik ayağının yeri, kesitler, kesik piramit ve benzer cisimler — DİM tarzı sorularla.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Bir çok yüzlünün köşe, ayrıt ve yüzlerini saymak, Euler teoremiyle kontrol etmek
  • Dikdörtgenler prizmasının ve küpün alanını, hacmini ve cisim köşegenini bulmak, boyut oranı problemlerini çözmek
  • Prizma ve piramidin yanal alanını, tüm alanını ve hacmini hesaplamak; yükseklik ayağının yerini (çevrel ya da iç teğet çemberin merkezi) belirlemek
  • Kesitler, kesik piramit ve benzer cisimler (k², k³) üzerine DİM sorularını tam çözümle yapmak

Kibrit kutusu, tuğla, akvaryum, Mısır piramitleri, tuz kristalleri — hepsi çok yüzlüdür. Böyle bir kutuyu kaplamak için ne kadar kâğıt gerekir, içine kaç litre su sığar? Bu derste prizma ve piramidi inceliyoruz: elemanlarını, yanal ve tüm alanlarını, hacimlerini, kesitlerini ve kesik piramidi. Önceki «Uzayda doğrular ve düzlemler» dersinin araçları — dikme, eğik, izdüşüm, iki yüzlü açı — burada her adımda işe yarayacak. «Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi» (çok yüzlüler, alanları ve hacimleri) konusundan 2026’da hem giriş sınavının II aşamasında (I ve II gruplar) hem de 11. sınıf bitirme sınavında soru vardı. 9. sınıf bitirme sınavının programındaki tek uzay cismi ise dikdörtgenler prizması ve küptür; dersin ikinci bölümü tam olarak bunlara ayrılmıştır.

Çok yüzlü ve elemanları. Euler teoremi

Tanım
Çok yüzlü

Yüzeyi sonlu sayıda çokgenden oluşan cisme çok yüzlü denir. Bu çokgenler onun yüzleri, yüzlerin kenarları ayrıtları, yüzlerin köşeleri de çok yüzlünün köşeleridir. Aynı yüzde olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası köşegendir. Çok yüzlü, her yüzünün düzleminin bir tarafında kalıyorsa dışbükeydir; okul problemlerindeki bütün çok yüzlüler dışbükeydir.

K − A + Y = 2
burada:
  • Kköşe sayısı
  • Aayrıt sayısı
  • Yyüz sayısı

Euler teoremi her dışbükey çok yüzlü için geçerlidir; sayımı kontrol etmenin harika bir yoludur.

Çok yüzlüKöşelerAyrıtlarYüzler
n-gen prizma2n3nn + 2
n-gen piramitn + 12nn + 1
küp8126
üçgen prizma695
altıgen piramit7127
Prizmada her tabanın n ayrıtı ve n yan ayrıt vardır (3n); piramitte tabanın n ayrıtı ve n yan ayrıt vardır (2n).
Köşeler, ayrıtlar, yüzler

1) Bir prizmanın 30 ayrıtı var. Kaç yüzü ve kaç köşesi vardır?
2) Bir piramidin 14 ayrıtı var. Kaç köşesi vardır?
3) Dışbükey bir çok yüzlünün 12 köşesi ve 30 ayrıtı var. Kaç yüzü vardır?

Çözümü göster
1) 3n = 30 ⇒ n = 10, taban ongendir. Yüzler: n + 2 = 12, köşeler: 2n = 20. Kontrol: 20 − 30 + 12 = 2. ✓
2) 2n = 14 ⇒ n = 7, köşeler: n + 1 = 8.
3) Euler teoremi: 12 − 30 + Y = 2 ⇒ Y = 20. Bu, düzgün yirmi yüzlüdür (ikosahedron).

Dikdörtgenler prizması ve küp (9. sınıf sınavı da)

Tabanı paralelkenar olan prizmaya paralelyüz denir. Karşılıklı yüzleri paralel ve eştir; dört cisim köşegeni bir noktada kesişir ve bu noktada birbirini ortalar. Bütün yüzleri dikdörtgen olan paralelyüze dikdörtgenler prizması denir; bir köşeden çıkan üç ayrıtın uzunlukları a, b, c onun boyutlarıdır (uzunluk, genişlik, yükseklik). Bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizması küptür.

S = 2(ab + bc + ca), V = a · b · c
burada:
  • a, b, cdikdörtgenler prizmasının boyutları
  • Stüm alan (altı yüzün toplamı)
  • Vhacim

Altı yüz üç eş çifttir: ab, bc ve ca. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.

d² = a² + b² + c²
burada:
  • dcisim köşegeni

“Uzayda Pisagor teoremi”: önce taban köşegeni AC² = a² + b², sonra ACC₁ dik üçgeninde AC₁² = AC² + c².

ABCDA₁B₁C₁D₁abcd
d² = AC² + c² = a² + b² + c².
S = 6a², V = a³, d = a√3
burada:
  • aküpün ayrıtı

Küp için a = b = c. Yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3’tür.

Alan, hacim ve köşegen

1) Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3 cm, 4 cm ve 12 cm’dir. Tüm alanını, hacmini ve cisim köşegenini bulunuz.
2) Bir küpün cisim köşegeni 6√3 cm’dir. Alanını ve hacmini bulunuz.

Çözümü göster
1) S = 2(3 · 4 + 4 · 12 + 12 · 3) = 2(12 + 48 + 36) = 192 cm²; V = 3 · 4 · 12 = 144 cm³; d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.
2) a√3 = 6√3 ⇒ a = 6 cm; S = 6 · 36 = 216 cm², V = 6³ = 216 cm³.
DİM tarzı: kodlanan soru

Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 2 : 3 : 6 oranındadır, hacmi 288 cm³’tür. Cisim köşegenini (cm olarak) bulunuz.

Çözümü göster
Boyutlar 2k, 3k, 6k olsun. V = 2k · 3k · 6k = 36k³ = 288 ⇒ k³ = 8 ⇒ k = 2.
Boyutlar: 4 cm, 6 cm, 12 cm.
d = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14.
Cevap: 14. İlginç bir ayrıntı: bu prizmanın alanı da 2(24 + 72 + 48) = 288 cm²’dir.
Yüz alanlarından hacim ve litreler

1) Bir dikdörtgenler prizmasının üç yüzünün alanları 6 cm², 10 cm² ve 15 cm²’dir. Hacmini ve boyutlarını bulunuz.
2) Boyutları 50 cm, 30 cm ve 40 cm olan bir akvaryum kaç litre su alır?
3) Bir küpün ayrıtı 2 katına çıkarıldı. Alanı ve hacmi kaç kat artar?

Çözümü göster
1) ab = 6, bc = 15, ca = 10. Üçünü çarpalım: (abc)² = 6 · 15 · 10 = 900 ⇒ V = abc = 30 cm³. Sonra a = 30 : 15 = 2, b = 30 : 10 = 3, c = 30 : 6 = 5 (cm).
2) V = 50 · 30 · 40 = 60 000 cm³ = 60 dm³ = 60 L (1 L = 1 dm³ = 1000 cm³).
3) Alan a² ile orantılıdır: 2² = 4 kat; hacim a³ ile: 2³ = 8 kat.

Prizma: yanal alan, tüm alan, hacim ve kesitler

Tanım
Prizma

İki yüzü (tabanları) paralel düzlemlerde bulunan eş n-genler, kalan n yüzü (yan yüzleri) paralelkenarlar olan çok yüzlüye prizma denir. Yan ayrıtları tabana dik olan prizma dik prizma, dik olmayan eğik prizmadır. Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaya düzgün prizma denir. Prizmanın yüksekliği tabanlar arasındaki uzaklıktır: dik prizmada yan ayrıta eşittir, eğik prizmada ise h = l · sin φ (l yan ayrıt, φ yan ayrıtın tabanla yaptığı açı).

Syanal = Ptaban · h, Stüm = Syanal + 2S_taban, V = Staban · h
burada:
  • Ptabantaban çevresi
  • Stabantaban alanı
  • hyükseklik

Syanal = Ptaban · h formülü dik prizma içindir: yan yüzleri yüksekliği h olan dikdörtgenlerdir. V = Staban · h ise her prizma için geçerlidir.

Düzgün prizmalar

1) Düzgün üçgen prizmanın taban kenarı 6 cm, yüksekliği 10 cm’dir. Yanal alanını, tüm alanını ve hacmini bulunuz.
2) Düzgün altıgen prizmanın taban kenarı 2 cm, yüksekliği 5 cm’dir. Yanal alanını ve hacmini bulunuz.

Çözümü göster
1) Staban = (√3/4) · 6² = 9√3 cm²; Syanal = Ptaban · h = 18 · 10 = 180 cm²; Stüm = 180 + 2 · 9√3 = 180 + 18√3 cm²; V = 9√3 · 10 = 90√3 cm³.
2) Düzgün altıgen, kenarı 2 olan 6 eşkenar üçgene ayrılır: Staban = 6 · (√3/4) · 4 = 6√3 cm². Syanal = 12 · 5 = 60 cm², V = 6√3 · 5 = 30√3 cm³.
DİM tarzı: kapalı uçlu soru

Bir dik prizmanın tabanı köşegenleri 10 cm ve 24 cm olan bir eşkenar dörtgendir. Prizmanın yanal alanı 520 cm²’dir. Prizmanın yüksekliğini bulunuz.
A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 13 cm E) 5 cm

Çözümü göster
Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir ve birbirini ortalar: kenar a = √(5² + 12²) = 13 cm, Ptaban = 4 · 13 = 52 cm.
Syanal = Ptaban · h ⇒ 520 = 52 · h ⇒ h = 10 cm.
Cevap: B. D seçeneği eşkenar dörtgenin kenarıdır; köşegenlerin tamamı alınırsa kenar √(10² + 24²) = 26 ve h = 5 (E) çıkar. Ek bilgi: V = ½ · 10 · 24 · 10 = 1200 cm³.

Prizmanın düzlem kesitleri. Tabana paralel kesit tabana eş bir çokgendir. Dik prizmada komşu olmayan iki yan ayrıttan geçen kesit (köşegen kesit) bir dikdörtgendir: kenarları taban köşegeni ve yüksekliktir. Kesitin biçimini bulmak için kesen düzlemin her yüzü hangi doğru parçası boyunca kestiğini bul; paralel yüzleri paralel doğru parçaları boyunca keser.

Eğik prizma ve küpün kesitleri

1) Bir eğik prizmanın yan ayrıtı 10 cm’dir ve taban düzlemiyle 30° açı yapar; taban alanı 12 cm²’dir. Prizmanın hacmini bulunuz.
2) ABCDA₁B₁C₁D₁ küpünün ayrıtı 4 cm’dir. a) AA₁C₁C köşegen kesitinin; b) A, B₁ ve D₁ noktalarından geçen kesitin alanını bulunuz.

Çözümü göster
1) Yükseklik yan ayrıt değildir: h = 10 · sin 30° = 5 cm. V = Staban · h = 12 · 5 = 60 cm³.
2a) AA₁C₁C bir dikdörtgendir: AC = 4√2, AA₁ = 4 ⇒ S = 16√2 cm².
2b) AB₁, B₁D₁ ve AD₁ küpün yüz köşegenleridir, her biri 4√2. Kesit eşkenar üçgendir: S = (√3/4) · (4√2)² = (√3/4) · 32 = 8√3 cm².

Piramit: yükseklik ayağı, apotem, alan ve hacim

Tanım
Piramit

Bir yüzü (tabanı) n-gen, kalan n yüzü (yan yüzleri) ortak bir S köşesi olan üçgenler olan çok yüzlüye piramit denir. Tepeden taban düzlemine indirilen SO dikmesi yüksekliktir. Tabanı düzgün çokgen olan ve yükseklik ayağı bu çokgenin merkezine düşen piramit düzgün piramittir: yan ayrıtları eşittir, yan yüzleri eş ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün piramitte yan yüzün tepeden çizilen yüksekliğine apotem (m) denir.

SABCDOMhmrφ
SOM dik üçgeni: m² = h² + r², h = r · tan φ. φ, yan yüz ile taban arasındaki iki yüzlü açının düzlem açısıdır.
Syanal = ½ · Ptaban · m, V = ⅓ · Staban · h
burada:
  • mapotem
  • hpiramidin yüksekliği
  • Stabantaban alanı

Yanal alan formülü düzgün piramit içindir (bütün yan yüzlerin yüksekliği m’dir). Hacim formülü her piramit için geçerlidir: piramidin hacmi, aynı tabanlı ve aynı yükseklikli prizmanın hacminin üçte biridir. Örneğin küp, ortak tepeli üç eş kare piramide ayrılır; her birinin hacmi a³/3’tür.

m² = h² + r², l² = h² + R²
burada:
  • r, Rtabanın iç teğet ve çevrel çemberlerinin yarıçapları (OM ve OA)
  • lyan ayrıt

Düzgün piramitte iki dik üçgen: SOM (apotemle) ve SOA (yan ayrıtla). Kare için r = a/2, R = a√2/2; eşkenar üçgen için r = a√3/6, R = a√3/3.

Düzgün piramitler

1) Düzgün kare piramidin taban kenarı 6 cm, yüksekliği 4 cm’dir. Apotemini, yan ayrıtını, yanal ve tüm alanını, hacmini bulunuz.
2) Düzgün üçgen piramidin taban kenarı 6√3 cm, yan ayrıtı 10 cm’dir. Hacmini bulunuz.

Çözümü göster
1) r = 6/2 = 3, m = √(4² + 3²) = 5 cm; R = 3√2, l = √(16 + 18) = √34 cm. Syanal = ½ · 24 · 5 = 60 cm², Stüm = 60 + 36 = 96 cm², V = ⅓ · 36 · 4 = 48 cm³.
2) R = a√3/3 = 6√3 · √3/3 = 6 cm, h = √(10² − 6²) = 8 cm. Staban = (√3/4) · (6√3)² = 27√3 cm². V = ⅓ · 27√3 · 8 = 72√3 cm³.

Piramit düzgün değilse temel soru yükseklik ayağının nerede olduğudur. DİM sorularında iki durum tekrar eder:

  • Bütün yan ayrıtlar eşitse ya da hepsi tabanla eşit açı yapıyorsa yükseklik ayağı tabanın çevrel çemberinin merkezidir (eşit eğiklerin izdüşümleri eşittir: OA = OB = OC = R). Dik üçgende bu nokta hipotenüsün orta noktası, dikdörtgende köşegenlerin kesişim noktasıdır.
  • Bütün yan yüzler tabanla eşit iki yüzlü açı yapıyorsa (ya da yan yüzlerin tepeden çizilen yükseklikleri eşitse) yükseklik ayağı tabanın iç teğet çemberinin merkezidir. O zaman h = r · tan φ ve yanal alan Syanal = Staban / cos φ olur.
  • Yan ayrıtlardan biri tabana dikse yükseklik o ayrıtın kendisidir; üçgen piramidin herhangi bir yüzü taban olarak alınabilir.
h = r · tan φ, Syanal = Staban / cos φh = r · tan φ, Syanal = Staban / cos φ
burada:
  • φyan yüzlerin tabanla yaptığı iki yüzlü açı (hepsi eşit)
  • rtabanın iç teğet çemberinin yarıçapı

İkinci formül, «Uzayda doğrular ve düzlemler» dersindeki S′ = S · cos φ formülüdür: taban, yanal yüzeyin izdüşümüdür.

DİM tarzı: kapalı uçlu soru

Bir piramidin tabanı kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgendir; bütün yan ayrıtları taban düzlemiyle 45° açı yapar. Piramidin hacmini bulunuz.
A) 240 cm³ B) 80 cm³ C) 160 cm³ D) 80√2 cm³ E) 48 cm³

Çözümü göster
Yan ayrıtlar tabanla eşit açı yapıyor ⇒ yükseklik ayağı dikdörtgenin çevrel çemberinin merkezi, yani köşegenlerin kesişim noktası O’dur.
Köşegen √(36 + 64) = 10 cm, R = OA = 5 cm.
SOA üçgeninde ∠A = 45° ⇒ h = SO = OA · tan 45° = 5 cm.
V = ⅓ · 6 · 8 · 5 = 80 cm³.
Cevap: B. A’da ⅓ unutulmuş; C’de yükseklik olarak köşegen (10), D’de yan ayrıt (5√2) alınmış.
Yükseklik ayağı: çevrel ve iç teğet çember

Bir piramidin tabanı dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgendir.
1) Bütün yan ayrıtlar 13 cm’dir. Piramidin hacmini bulunuz.
2) Bütün yan yüzler tabanla 45°’lik iki yüzlü açı yapıyor. Hacmi ve yanal alanı bulunuz.
3) Başka bir piramitte tepedeki üç yan ayrıt ikişer ikişer diktir ve uzunlukları 3 cm, 4 cm, 5 cm’dir. Hacmi bulunuz.

Çözümü göster
Staban = ½ · 6 · 8 = 24 cm², hipotenüs 10 cm.
1) Yan ayrıtlar eşit ⇒ O hipotenüsün orta noktasıdır, R = 5. h = √(13² − 5²) = 12 cm. V = ⅓ · 24 · 12 = 96 cm³.
2) İki yüzlü açılar eşit ⇒ O iç teğet çemberin merkezidir. Dik üçgende r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 cm. h = r · tan 45° = 2 cm, V = ⅓ · 24 · 2 = 16 cm³. Syanal = Staban / cos 45° = 24 : (√2/2) = 24√2 cm².
3) Dik iki ayrıtı (3 ve 4) tabanın dik kenarları olarak alalım: üçüncü ayrıt (5) bunların düzlemine diktir ve yüksekliktir. V = ⅓ · (½ · 3 · 4) · 5 = 10 cm³.

Paralel kesitler, kesik piramit ve benzer cisimler

Bir piramidi tabana paralel bir düzlemle tepeden h₁ uzaklıkta keselim. Kesit, tabana benzer bir çokgendir; benzerlik oranı k = h₁ / h’dir ve kesilen küçük piramit bütün piramide benzerdir. Kesitin altında kalan parça kesik piramittir: tabanları (alanları S₁ ve S₂) paralel düzlemlerdeki benzer çokgenlerdir, yan yüzleri yamuklardır, yüksekliği tabanlar arasındaki uzaklıktır. Düzgün kesik piramitte yan yüzün yüksekliği onun apotemidir.

S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³
burada:
  • kbenzerlik oranı (karşılık gelen uzunlukların oranı)
  • S₁, S₂karşılık gelen alanlar (kesitler, yüzeyler)
  • V₁, V₂benzer cisimlerin hacimleri

Benzer cisimlerin alanları benzerlik oranının karesi, hacimleri ise küpü oranındadır; bu, her benzer cisim (küp, prizma, piramit, silindir, küre) için geçerlidir.

Paralel kesit ve benzer cisimler

1) Bir piramidin yüksekliği 12 cm, taban alanı 72 cm²’dir. Tepeden 4 cm uzaklıktaki, tabana paralel kesitin alanını bulunuz.
2) Aynı piramit yüksekliğin orta noktasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Küçük piramidin ve kesik piramidin hacimlerini bulunuz.
3) Benzer iki piramidin hacimleri 8 cm³ ve 27 cm³, küçüğünün tüm alanı 20 cm²’dir. Büyüğünün tüm alanını bulunuz.

Çözümü göster
1) k = 4/12 = ⅓ ⇒ S = 72 · (⅓)² = 8 cm².
2) Bütün piramit: V = ⅓ · 72 · 12 = 288 cm³. k = ½ ⇒ küçük piramit 288 · (½)³ = 36 cm³, kesik piramit 288 − 36 = 252 cm³. Kesitin alanı tabanın dörtte biridir (18 cm²), hacim ise sekizde biri!
3) k³ = 27/8 ⇒ k = 3/2, k² = 9/4. Büyüğünün alanı 20 · 9/4 = 45 cm².
V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)), Syanal = ½ · (P₁ + P₂) · m
burada:
  • S₁, S₂kesik piramidin taban alanları
  • P₁, P₂tabanların çevreleri
  • h, mkesik piramidin yüksekliği ve (düzgünse) apotemi

Hacim formülü iki piramidin hacimleri farkından elde edilir; yanal alan formülü eş yamukların alanlarının toplamıdır (düzgün kesik piramit için).

Kesik piramit

1) Bir kesik piramidin taban alanları 4 cm² ve 16 cm², yüksekliği 6 cm’dir. Hacmini bulunuz.
2) Düzgün kare kesik piramidin taban kenarları 2 cm ve 8 cm, yüksekliği 4 cm’dir. Apotemini, yanal ve tüm alanını, hacmini bulunuz.

Çözümü göster
1) V = ⅓ · 6 · (4 + 16 + √64) = 2 · 28 = 56 cm³.
2) Tabanların merkezlerinden kenarlarına uzaklıklar 1 ve 4’tür, farkı 3. Apotem m = √(4² + 3²) = 5 cm. Syanal = ½ · (8 + 32) · 5 = 100 cm², Stüm = 100 + 4 + 64 = 168 cm². V = ⅓ · 4 · (4 + 64 + √256) = ⅓ · 4 · 84 = 112 cm³.
Kontrol: kesik piramit, yüksekliği 16/3 cm olan piramitten yüksekliği 4/3 cm olan piramidin çıkarılmasıdır: ⅓ · 64 · 16/3 − ⅓ · 4 · 4/3 = 1024/9 − 16/9 = 112. ✓
DİM tarzı: yazılı görev (tam çözüm)

Düzgün kare piramidin taban kenarı 8 cm’dir, yan yüzleri taban düzlemiyle 60° açı yapar. Piramidin yüksekliğini, apotemini, tüm alanını ve hacmini bulunuz. Çözümün bütün adımlarını yazınız.

Çözümü göster
Çözüm.
1) O, ABCD karesinin merkezi; M, AB’nin orta noktası olsun. SO ⊥ (ABC) ve OM ⊥ AB olduğundan üç dikme teoremine göre SM ⊥ AB. Demek ki SM apotemdir, ∠SMO da yan yüz ile taban arasındaki iki yüzlü açının düzlem açısıdır: ∠SMO = 60°.
2) OM = 8/2 = 4 cm (karenin iç teğet çemberinin yarıçapı).
3) SOM üçgeninde: h = SO = OM · tan 60° = 4√3 cm; m = SM = OM / cos 60° = 4 : ½ = 8 cm.
4) Staban = 8² = 64 cm²; Syanal = ½ · Ptaban · m = ½ · 32 · 8 = 128 cm² (kontrol: Staban / cos 60° = 64 : ½ = 128 ✓); Stüm = 128 + 64 = 192 cm².
5) V = ⅓ · Staban · h = ⅓ · 64 · 4√3 = 256√3/3 cm³ ≈ 147,8 cm³.
Cevap: h = 4√3 cm; m = 8 cm; Stüm = 192 cm²; V = 256√3/3 cm³.

Sıradaki ders «Dönel cisimler: silindir, koni ve küre». Orada aynı fikirler yuvarlak cisimlere geçer: silindir prizmaya, koni piramide benzer (V = Staban · h ve V = ⅓ · Staban · h); çok yüzlülerin küreyle birleşimleri ise eksen kesitinde bir düzlem geometri problemine dönüşür.

Kendini dene: boşluğu doldur
  1. 1.Boyutları 2, 3 ve 6 olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni ’dir.
  2. 2.Prizmanın 18 ayrıtı var ⇒ tabanı -gendir.
  3. 3.Piramit: S_taban = 27, h = 10 ⇒ V =
  4. 4.Benzer cisimlerin hacimleri 8 : 27 ⇒ alanları 4 :
  5. 5.Küpün ayrıtı 3 katına çıkarıldı ⇒ hacmi katına çıktı.

Önemli noktalar

  • Euler teoremi: K − A + Y = 2; n-gen prizmanın 3n, piramidin 2n ayrıtı vardır.
  • Dikdörtgenler prizması: S = 2(ab + bc + ca), V = abc, d² = a² + b² + c²; küp: S = 6a², V = a³, d = a√3.
  • Prizma: V = Staban · h (her prizma), Syanal = Ptaban · h (dik); piramit: V = ⅓ · Staban · h, düzgün piramitte Syanal = ½ · Ptaban · m.
  • Yan ayrıtlar eşit ⇒ yükseklik ayağı çevrel çemberin merkezi; iki yüzlü açılar eşit ⇒ iç teğet çemberin merkezi, Syanal = Staban / cos φ.
  • Paralel kesitler ve benzer cisimler: alanlar k², hacimler k³ oranında; kesik piramit: V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)).

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Dik prizmanın yanal alanı nasıl hesaplanır?