- Bir diferansiyel denklemin mertebesini belirlemek ve çözümü yerine koyarak kontrol etmek
- Değişkenlerine ayrılabilen ve birinci mertebeden doğrusal denklemleri çözmek
- Büyüme, radyoaktif bozunma ve soğumayı modellemek
- Sabit katsayılı ikinci mertebeden denklemleri karakteristik denklemle çözmek
Çay soğur, bir bakteri kolonisi büyür, radyoaktif atomlar bozunur, bir yaya asılı kütle salınır. Bu süreçlerin yasaları niceliğin kendisini değil, ne kadar hızlı değiştiğini söyler: “soğuma hızı sıcaklık farkıyla orantılıdır”, “kuvvet, yer değiştirmeyle orantılı olarak geri çeker”. Bilinmeyen bir fonksiyonu türevleriyle birlikte içeren denkleme diferansiyel denklem denir; onu çözmek, değişim yasasından geleceği tahmin etmek demektir.
Diferansiyel denklem nedir?
Bilinmeyen bir y(x) fonksiyonunu türevlerine bağlayan denklem: F(x, y, y′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0. Denklemdeki en yüksek türevin mertebesi, denklemin mertebesidir. Denklemi özdeşliğe dönüştüren fonksiyon bir çözümdür. n. mertebeden bir denklemin genel çözümü n keyfi sabit içerir; başlangıç koşulları (başlangıç değer problemi) bunların arasından bir özel çözüm seçer.
y′ = 2x birinci mertebeden bir denklemdir; integral alınca y = x² + C, yani bütün bir parabol ailesi elde edilir. y(0) = 1 koşulu bu aileden bir parabol seçer: y = x² + 1. y″ + y = 0 ise ikinci mertebedendir; genel çözümü y = C₁ cos x + C₂ sin x iki sabite bağlıdır.
Değişkenlerine ayrılabilen denklemler
- f(x)yalnızca x'e bağlı çarpan
- g(y)yalnızca y'ye bağlı çarpan, g(y) ≠ 0
y içeren her şeyi sola, x içeren her şeyi sağa alın, sonra iki tarafın integralini alın.
a) dy/dx = x · y, y(0) = 2 problemini çözün.
b) dy/dx = −x/y denkleminin genel çözümünü bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
y(0) = C = 2 ⇒ y = 2e^(x²/2).
Kontrol: y′ = 2e^(x²/2) · x = x · y ✓.
b) y dy = −x dx ⇒ y²/2 = −x²/2 + C₀ ⇒ x² + y² = C: çözümler merkezi orijinde olan çemberlerdir (türev dersindeki y′ = −x/y ile karşılaştırın).
Üstel büyüme, bozunma ve soğuma
- N₀başlangıç miktarı (t = 0'da)
- khız sabiti, 1/zaman: k > 0 büyüme, k < 0 azalma
- tzaman
Değişim hızı miktarın kendisiyle orantılıdır. Yarı ömür (k < 0): T = ln 2 / |k|; ikiye katlanma süresi (k > 0): T = ln 2 / k.
Karbon-14'ün yarı ömrü yaklaşık 5730 yıldır. 11.460 yıl sonra ne kadarı kalır? Peki 1000 yıl sonra?
Çözümü gösterÇözümü gizle
11.460 = 2 · 5730 yıl: iki yarı ömür, dolayısıyla 1/4'ü kalır.
1000 yıl: (1/2)^(1000/5730) = 2^(−0,1745) ≈ 0,886, yani yaklaşık %88,6.
Radyokarbon tarihleme bu hesabı tersine yapar: ölçülen orandan t'yi bulur.
- Tₘortamın (odanın) sıcaklığı
- T₀başlangıç sıcaklığı
- ksoğuma sabiti, k > 0
Newton'un soğuma yasası: sıcaklık farkı üstel olarak azalır.
90 °C'lik çay 20 °C'lik bir odada bırakılıyor. 5 dakika sonra sıcaklığı 60 °C oluyor. Çay ne zaman 40 °C'ye iner?
Çözümü gösterÇözümü gizle
60 = 20 + 70e⁻⁵ᵏ ⇒ e⁻⁵ᵏ = 4/7 ⇒ k = ln(7/4)/5 ≈ 0,112 dk⁻¹.
40 = 20 + 70e⁻ᵏᵗ ⇒ e⁻ᵏᵗ = 2/7 ⇒ t = ln 3,5 / k = 5 · ln 3,5 / ln 1,75 ≈ 11,2 dk.
Mantık kontrolü: ilk 30 derece 5 dakika sürdü, sonraki 20 derece yaklaşık 6 dakika daha sürer; fark azaldıkça soğuma yavaşlar.
Birinci mertebeden doğrusal denklemler
- p(x), q(x)verilen fonksiyonlar
- μ(x)integrasyon çarpanı
μ ile çarpınca sol taraf bir çarpımın türevine dönüşür: (μ · y)′ = μ · q.
Neden işe yarar? μ = e^(∫ p dx) için μ′ = p · μ'dür. Denklemi μ ile çarpınca sol taraf μy′ + μ′y olur; bu da çarpım kuralına göre tam olarak (μ · y)′'dür. Yani tek bir integral denklemi çözer.
y′ + y = x, y(0) = 1 problemini çözün.
Çözümü gösterÇözümü gizle
(eˣ · y)′ = x eˣ ⇒ eˣ · y = ∫ x eˣ dx = x eˣ − eˣ + C (kısmi integrasyon).
y = x − 1 + C e⁻ˣ.
y(0) = −1 + C = 1 ⇒ C = 2: y = x − 1 + 2e⁻ˣ.
Kontrol: y′ = 1 − 2e⁻ˣ, y′ + y = 1 − 2e⁻ˣ + x − 1 + 2e⁻ˣ = x ✓. Büyük x için 2e⁻ˣ terimi söner ve y ≈ x − 1 olur.
Sabit katsayılı ikinci mertebeden doğrusal denklemler
- a, b, csabit katsayılar, a ≠ 0
- rkarakteristik denklemin kökü
y = eʳˣ yerine konunca diferansiyel denklem ikinci dereceden bir denkleme, yani karakteristik denkleme dönüşür.
| Δ = b² − 4ac | Kökler | Genel çözüm |
|---|---|---|
| Δ > 0 | gerçek r₁ ≠ r₂ | y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) |
| Δ = 0 | çakışık kök r₁ = r₂ = r | y = (C₁ + C₂x) eʳˣ |
| Δ < 0 | karmaşık r = α ± βi | y = eᵅˣ (C₁ cos βx + C₂ sin βx) |
a) y″ − 5y′ + 6y = 0
b) y″ + 4y′ + 4y = 0
c) y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) r² + 4r + 4 = (r + 2)² = 0 ⇒ r = −2 (çift kök): y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ.
c) r² + 2r + 5 = 0, Δ = 4 − 20 = −16 ⇒ r = −1 ± 2i: y = e⁻ˣ(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x).
y(0) = C₁ = 1; y′(0) = −C₁ + 2C₂ = 0 ⇒ C₂ = 1/2.
y = e⁻ˣ(cos 2x + (1/2) sin 2x): sönümlü bir salınım.
Harmonik osilatör. Yay sabiti k olan bir yaya bağlı m kütlesi için Newton'un ikinci yasası m · x″ = −k · x verir; yani ω = √(k/m) olmak üzere x″ + ω²x = 0. Karakteristik kökler r = ±iω'dır (α = 0 olan Δ < 0 durumu); bu yüzden x(t) = A cos(ωt + φ): basit harmonik hareket. Küçük açılarda basit sarkaç da aynı denkleme uyar: θ″ + (g/L)θ = 0, çünkü sin θ ≈ θ (seriler dersini hatırlayın!).
- Agenlik, m
- φbaşlangıç fazı, rad
- ωaçısal frekans, rad/s
- Tperiyot, s
- m, kkütle (kg) ve yay sabiti (N/m)
Harmonik salınım: periyot genliğe bağlı değildir.
m = 0,5 kg'lık bir kütle, yay sabiti k = 50 N/m olan bir yaya asılıdır. Kütle 5 cm çekilip durgun hâlden bırakılıyor. ω, T ve x(t)'yi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
T = 2π/10 ≈ 0,63 s.
Başlangıç koşulları x(0) = 0,05 m, x′(0) = 0 ⇒ A = 0,05 m, φ = 0: x(t) = 0,05 cos 10t (m).
Kontrol: x″ = −5 cos 10t = −100 · x ✓.
Önemli noktalar
- Diferansiyel denklem bir fonksiyonu türevlerine bağlar; mertebe en yüksek türevdir ve genel çözümde mertebe kadar sabit bulunur.
- Değişkenlerine ayrılabilen: dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx.
- N′ = kN ⇒ N = N₀eᵏᵗ; yarı ömür T = ln 2/|k|; soğuma: T(t) = Tₘ + (T₀ − Tₘ)e⁻ᵏᵗ.
- y′ + p y = q: denklemi μ = e^(∫ p dx) ile çarpın, sonra (μy)′ = μq.
- ay″ + by′ + cy = 0: ar² + br + c = 0'ı çözün; Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 durumları üsteller, (C₁ + C₂x)eʳˣ veya salınımlar verir.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.