- Kiriş, çap ve teğetin özellikleriyle uzunlukları hesaplamak
- Merkez açıları ve çevre açıları yaylar yardımıyla bulmak
- Kiriş, kesen ve teğet parçalarıyla ilgili teoremleri uygulamak
- Üçgenin iç teğet ve çevrel çemberlerinin yarıçaplarını bulmak, bir dörtgenin kirişler ya da teğetler dörtgeni olup olmadığını kontrol etmek
Arkeologlar bir kazıda eski bir tabağın küçük bir parçasını buldu. Tabağın tamamının boyutunu nasıl öğrenebiliriz? Parçanın kenarına iki kiriş çizip bunların orta dikmelerini çizmek yeter: orta dikmeler tabağın merkezinde kesişir. Bu derste çemberin böyle “gizli” özelliklerini öğreneceğiz: kirişleri ve teğetleri, merkez açıları ve çevre açıları, üçgenin dışına ve içine çizilen çemberleri.
“Çemberin uzunluğu ve dairenin alanı” dersinde çemberi, yarıçapı, çapı ve yay uzunluğunu öğrendik. Burada ana araçlarımız eş üçgenler (“Üçgenlerde eşlik”) ve benzer üçgenler (“Üçgenlerde benzerlik”) olacak.
Kiriş ve çap
Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir; merkezden geçen kiriş çaptır ve en uzun kiriştir. Kirişin uçları çemberi iki yaya ayırır. Yaylar derece ile de ölçülür: çemberin tamamı 360°, yarım çember 180°’dir.
O merkezini kirişin A ve B uçlarına birleştirelim: OA = OB = R olduğundan AOB üçgeni ikizkenardır ve OH yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. Buradan üç özellik çıkar: kirişe dik olan çap kirişi ortalar; kirişin orta dikmesi merkezden geçer; eşit kirişler merkeze eşit uzaklıktadır. OAH dik üçgeninden ise kirişin uzunluğunu merkeze uzaklığına bağlayan formül elde edilir.
- ABkirişin uzunluğu
- Rçemberin yarıçapı
- dmerkezin kirişe uzaklığı (OH)
OAH üçgeninde Pisagor teoremi: AH² + d² = R², AB ise AH’nin iki katıdır. Merkeze yakın olan kiriş daha uzundur.
1) Yarıçapı 13 cm olan bir çemberde bir kiriş merkezden 5 cm uzaktadır. Kirişin uzunluğunu bulunuz.
2) Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde 16 cm’lik bir kiriş merkezden ne kadar uzaktadır?
3) Yarıçapı 5 cm olan bir çemberde AB ve CD kirişleri paraleldir, AB = 8 cm, CD = 6 cm. Aralarındaki uzaklığı bulunuz. (İki durum.)
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) AH = 8 cm, d = √(10² − 8²) = √36 = 6 cm.
3) AB merkezden √(25 − 16) = 3 cm, CD ise √(25 − 9) = 4 cm uzaktadır. Kirişler merkezin aynı tarafındaysa uzaklık 4 − 3 = 1 cm, farklı taraflarındaysa 4 + 3 = 7 cm’dir.
Kırık tabağın merkezini bulmak: her kirişin orta dikmesi merkezden geçer:
- 1İki kiriş
Yay üzerinde üç nokta al (A, B, C) ve AB ile BC kirişlerini çiz.
- 2Orta dikmeler
Pergel ve cetvelle AB ve BC’nin orta dikmelerini çiz (“Üçgenlerde eşlik” dersindeki gibi).
- 3Merkez
Orta dikmelerin kesiştiği O noktası merkezdir, OA da yarıçaptır.
Teğet ve özellikleri
Çemberle yalnızca bir ortak noktası olan doğru; bu noktaya değme noktası denir.
Merkezin bir doğruya uzaklığına d diyelim. d < R ise doğru çemberi iki noktada keser, yani bir kesendir; d > R ise ortak nokta yoktur; d = R ise tek bir ortak nokta vardır, doğru çembere teğettir. Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir: OA yarıçapı doğruya dik olmasaydı, O’dan doğruya inilen dikme OA’dan, yani R’den kısa olurdu ve doğru çemberi iki noktada keserdi. Çemberin dışındaki bir P noktasından çembere iki teğet çizilebilir. PAO ve PBO dik üçgenlerinde OA = OB = R ve PO ortak hipotenüstür; bu yüzden üçgenler eştir (hipotenüs ve dik kenar).
- A, Bdeğme noktaları
- PA, PBP’den çizilen teğet parçaları
- POP’nin merkeze uzaklığı
- Ryarıçap
Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Bir noktadan çembere çizilen teğet parçaları eşittir ve PO, APB açısının açıortayıdır.
1) Yarıçapı 5 cm olan bir çemberin merkezinden 13 cm uzaktaki P noktasından bir teğet çiziliyor. Teğet parçasının uzunluğunu bulunuz.
2) P noktasından çizilen PA ve PB teğetleri arasındaki açı 60°, çemberin yarıçapı 4 cm’dir. PO ve PA’yı bulunuz.
3) Hazar kıyısında duran birinin gözleri deniz seviyesinden 1,7 m yüksekte. Dünya’nın yarıçapını 6371 km alarak ufka olan uzaklığı bulunuz.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) PO açıyı ortalar: ∠APO = 30°. PAO üçgeninde OA = 4 cm dik kenarı 30°’lik açının karşısındadır; bu yüzden PO = 2 · 4 = 8 cm, PA = √(64 − 16) = √48 = 4√3 ≈ 6,9 cm.
3) Bakış doğrusu Dünya’ya teğettir, göz ise merkezden R + h uzaklıktadır: PA² = (R + h)² − R² = 2Rh + h² ≈ 2 · 6371 · 0,0017 ≈ 21,7 km², PA ≈ 4,7 km.
Merkez açı ve çevre açı
Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir; ölçüsü kolları arasında kalan yayın ölçüsüne eşittir. Köşesi çemberin üzerinde olan ve kolları çemberi kesen açıya çevre açı denir; çevre açı, kolları arasında kalan yayı görür.
- ∠AOBAB yayını gören merkez açı; yayın ölçüsüne eşittir
- ∠ACBaynı yayı gören çevre açı (C çemberin üzerindedir)
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır; yani aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir.
İspat (basit durum: açının CB kolu bir çaptır, yani O merkezi bu kolun üzerindedir). OA = OC olduğundan AOC üçgeni ikizkenardır ve ∠OAC = ∠OCA’dır. AOB açısı bu üçgenin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: ∠AOB = 2∠ACB. Genel durumda C’den CD çapını çizeriz: O açının içindeyse çap açıyı iki parçaya ayırır, her parça için basit durum geçerlidir ve eşitlikleri toplarız; O açının dışındaysa onları çıkarırız. İki önemli sonuç: aynı yayı gören çevre açılar eşittir; çapı gören çevre açı dik açıdır (yarım çember 180°, yarısı 90°).
1) AB yayını gören merkez açı 110°’dir. Aynı yayı gören çevre açıyı bulunuz.
2) A, B, C noktaları bir çemberi 2 : 3 : 4 oranında üç yaya ayırıyor. ABC üçgeninin açılarını bulunuz.
3) AB bir çemberin çapı, C çemberin üzerinde, AC = 6 cm ve BC = 8 cm. Yarıçapı bulunuz.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Yaylar 2x, 3x, 4x ve 9x = 360°, x = 40°: 80°, 120°, 160°. Her açı karşısındaki yayın yarısıdır: 40°, 60°, 80°. Kontrol: toplam 180°.
3) ∠ACB çapı görür; bu yüzden 90°’dir. AB = √(6² + 8²) = 10 cm, R = 5 cm.
Kiriş, kesen ve teğet parçaları
AB ve CD kirişleri P noktasında kesişsin. △APC ve △DPB’de ∠APC = ∠DPB (ters açılar), ∠CAB = ∠CDB ise aynı CB yayını gören çevre açılardır. AA kuralına göre △APC ∼ △DPB; buradan AP / DP = CP / BP, yani AP · PB = CP · PD. Aynı akıl yürütme, çemberin dışındaki bir P noktasından çizilen kesenler için de geçerlidir; kesenlerden biri teğete dönüşünce iki kesişme noktası birleşir ve çarpım teğetin karesine dönüşür.
- AP · PB = CP · PDAB ve CD kirişleri çemberin içindeki P noktasında kesişir
- PA · PB = PT²P çemberin dışındadır: kesen çemberi A ve B noktalarında keser (PA dış parça, PB kesenin tamamı), PT teğet parçasıdır
Kesişen kirişlerin parçalarının çarpımları eşittir. Dış noktadan: kesenin tamamı ile dış parçasının çarpımı teğetin karesine eşittir; bu yüzden iki kesen için de PA · PB = PC · PD’dir.
1) AB ve CD kirişleri P noktasında kesişiyor; AP = 4 cm, PB = 6 cm, CP = 3 cm. PD ve CD’yi bulunuz.
2) P noktasından çizilen bir kesen çemberi A ve B noktalarında kesiyor; PA = 4 cm, AB = 5 cm. P’den çizilen teğetin uzunluğunu bulunuz.
3) Yarıçapı 7 cm olan bir çemberin içindeki M noktası merkezden 3 cm uzakta. M’den geçen bir kiriş M tarafından iki parçaya ayrılıyor, parçalardan biri 5 cm. Öbür parçayı bulunuz.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) PB = 4 + 5 = 9 cm, PT² = 4 · 9 = 36, PT = 6 cm.
3) M’den geçen çap, M tarafından 7 − 3 = 4 cm ve 7 + 3 = 10 cm’lik parçalara ayrılır ve 4 · 10 = 40’tır. Demek ki M’den geçen her kiriş için çarpım 40’tır: 5 · x = 40, x = 8 cm.
İç teğet çember, çevrel çember ve dörtgenler
Üçgenin köşelerinden geçen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. Merkezi her köşeye eşit uzaklıktadır; bu yüzden kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır (üç orta dikme tek noktada kesişir). Üç kenara da teğet olan çember üçgenin iç teğet çemberidir; merkezi kenarlara eşit uzaklıktadır, yani açıortayların kesim noktasıdır. Üç orta dikme neden tek noktada kesişir? AB ve BC’nin orta dikmeleri O noktasında kesişsin: o zaman OA = OB ve OB = OC olur; yani OA = OC’dir ve O üçüncü orta dikmenin de üzerindedir. Açıortaylar için aynı akıl yürütme kenarlara olan uzaklıklarla yapılır. Dar açılı üçgende O üçgenin içinde, dik üçgende hipotenüsün orta noktasında, geniş açılı üçgende ise üçgenin dışındadır.
- riç teğet çemberin yarıçapı
- Rçevrel çemberin yarıçapı
- Aüçgenin alanı
- uyarı çevre
- a, b, cüçgenin kenarları; dik üçgende a, b dik kenarlar, c hipotenüstür
I merkezini köşelere birleştirince üçgen, yüksekliği r olan üç üçgene ayrılır: A = ½r(a + b + c) = r · u. Dik üçgende hipotenüs çevrel çemberin çapıdır; r ise eşit teğet parçalarından elde edilir.
1) Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin çevrel ve iç teğet çemberlerinin yarıçaplarını bulunuz.
2) Kenarları 10 cm, 10 cm ve 12 cm olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapını bulunuz.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Üçgen ikizkenardır; tabana ait yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm, A = ½ · 12 · 8 = 48 cm², u = (10 + 10 + 12) ÷ 2 = 16 cm, r = 48 ÷ 16 = 3 cm.
Bir dörtgenin bütün köşeleri bir çemberin üzerindeyse bu dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşılıklı açıları (örneğin A ve C) birlikte çemberin tamamını görür; bu yüzden ∠A + ∠C = ½ · 360° = 180°’dir. Bütün kenarları bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir; her köşeden çizilen iki teğet parçası eşit olduğundan karşılıklı kenarların toplamları eşittir. İki özelliğin karşıtı da (dışbükey dörtgenler için) doğrudur.
- ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°ABCD kirişler dörtgeninin karşılıklı açıları
- AB + CD = BC + ADABCD teğetler dörtgeninin karşılıklı kenarları
Karşılıklı açılarının toplamı 180° olan bir dörtgenin köşelerinden bir çember geçer; karşılıklı kenarlarının toplamları eşit olan dışbükey bir dörtgenin içine bir çember çizilebilir.
1) ABCD bir kirişler dörtgeni, ∠A = 70°, ∠B = 95°. ∠C ve ∠D’yi bulunuz.
2) Hangi paralelkenarların köşelerinden bir çember geçer?
3) Bir teğetler dörtgeninde AB = 7 cm, BC = 9 cm, CD = 12 cm. AD’yi ve çevreyi bulunuz.
4) Tabanları 4 cm ve 16 cm olan bir ikizkenar yamuğun kenarları bir çembere teğettir. Yamuğun yan kenarını ve çemberin yarıçapını bulunuz.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir; toplamları 180° olacaksa her biri 90°’dir. Demek ki köşelerinden çember geçen tek paralelkenar dikdörtgendir (kare dahil).
3) AB + CD = BC + AD: 7 + 12 = 9 + AD, AD = 10 cm; Ç = 2 · 19 = 38 cm.
4) Yan kenarların toplamı tabanların toplamına eşittir: 2x = 4 + 16, x = 10 cm. Yan kenarın uzun taban üzerindeki izdüşümü (16 − 4) ÷ 2 = 6 cm, yükseklik √(10² − 6²) = 8 cm. İki taban da çembere teğet olduğundan yükseklik çapa eşittir: r = 4 cm.
- 1.Merkez açı 140° ⇒ aynı yayı gören çevre açı = °
- 2.Çapı gören çevre açı = °
- 3.Kesişen kirişler: AP = 2, PB = 9, CP = 3 ⇒ PD =
- 4.Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa .
Önemli noktalar
- Kirişe dik olan çap kirişi ortalar; kiriş uzunluğu AB = 2√(R² − d²).
- Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir; bir noktadan çizilen teğet parçaları eşittir.
- Çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısıdır; çapı gören çevre açı 90°’dir.
- Kesişen kirişler: AP · PB = CP · PD; dış noktadan: PA · PB = PT².
- Çevrel çemberin merkezi orta dikmelerin, iç teğet çemberin merkezi ise açıortayların kesim noktasıdır; r = A / u, dik üçgende R = c / 2.
- Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°’dir; teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamları eşittir.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.