Limit ve süreklilik

Hız göstergesi, aracın belirli bir andaki hızını nasıl bilir? Hız, alınan yolun zamana oranıdır; ancak tek bir anda hem yol hem de zaman sıfırdır ve 0/0 hiçbir anlam taşımaz. Çözüm, giderek kısalan zaman aralıklarına bakıp oranın hangi sayıya yaklaştığını sormaktır. Bu fikir, yani limit, analizin temelidir: türev, integral ve seriler limit yardımıyla tanımlanır.

Limit kavramı

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) fonksiyonunu ele alalım. x = 1'de tanımlı değildir (0/0), fakat x ≠ 1 için kesri sadeleştirebiliriz: f(x) = x + 1. 1'e yakın değerler yazalım: f(0,9) = 1,9, f(0,99) = 1,99, f(0,999) = 1,999, f(1,01) = 2,01. x, 1'e ne kadar yaklaşırsa f(x) de 2'ye o kadar yaklaşır. Bunu lim (x→1) f(x) = 2 diye yazarız. Limit, fonksiyonun noktanın yakınındaki davranışını anlatır; noktadaki değerin bir rolü yoktur, hatta bu değer hiç olmayabilir.

Bunu bir oyun gibi düşünün. Rakip, fonksiyonun değeri için bir ε toleransı söyler, örneğin 0,001. Siz de girdi için öyle bir δ toleransı vermelisiniz ki f(x), L'den ε'dan fazla uzaklaşmasın. Her ε için, ne kadar küçük olursa olsun, kazanabiliyorsanız limit L'dir. Genellikle δ, |f(x) − L| < ε eşitsizliğinden geriye doğru çalışılarak bulunur.

Tek taraflı limitler ve sonsuzluk

Bazen bir fonksiyon a'nın iki yanında farklı davranır. Soldan limit lim (x→a⁻) f(x) yalnızca x < a değerlerini, sağdan limit lim (x→a⁺) f(x) ise yalnızca x > a değerlerini kullanır. İki taraflı limit, ancak iki tek taraflı limit de var ve birbirine eşitse vardır. f(x) = |x|/x için 0'da soldan limit −1, sağdan limit 1'dir; bu yüzden lim (x→0) |x|/x yoktur.

Limitlerde sonsuzluk da yer alabilir. lim (x→0⁺) 1/x = +∞ ve lim (x→0⁻) 1/x = −∞ olduğundan grafiğin x = 0 düşey asimptotu vardır. lim (x→∞) 1/x = 0 ise y = 0 yatay asimptotunu verir. x → ∞ iken iki polinomun oranının limitini bulmak için pay ve paydayı x'in en büyük kuvvetine böleriz: lim (x→∞) (3x² + 5)/(2x² − x) = lim (3 + 5/x²)/(2 − 1/x) = 3/2.

İki önemli limit

Neden doğru? 0 < x < π/2 için birim çemberde küçük bir üçgenin, bir daire diliminin ve daha büyük bir üçgenin alanları karşılaştırılınca sin x < x < tan x elde edilir. sin x'e bölüp kesirleri ters çevirelim: cos x < sin x / x < 1. x → 0 iken cos x → 1 olduğundan oran, 1'e giden iki ifade arasında sıkışır ve kendisi de 1'e gider (sıkıştırma teoremi). sin x / x çift fonksiyon olduğu için sonuç x < 0 için de geçerlidir. Sonuçlar: lim (x→0) tan x / x = 1 ve lim (x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2.

İkinci limitin parayla ilgili bir anlamı var. 1 manat yıllık %100 faize yatırılır ve faiz yılda n kez eklenirse bir yıl sonra (1 + 1/n)ⁿ manat olur: yılda bir kez 2, her ay ≈ 2,613, her gün ≈ 2,715 manat. Faiz sürekli eklense bile tutar e ≈ 2,718 manatı geçmez.

Belirsizlikler

Doğrudan yerine koyma 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ veya ∞⁰ veriyorsa cevap henüz belli değildir: limit herhangi bir sayı olabilir ya da hiç olmayabilir. Böyle bir ifadeye belirsizlik denir; limiti bulmadan önce ifadeyi dönüştürmek gerekir.

Süreklilik ve ara değer teoremi

• Kaldırılabilir süreksizlik: limit vardır, fakat f(a) ya tanımsızdır ya da limite eşit değildir; örneğin x = 1'de (x² − 1)/(x − 1). f(1) = 2 tanımlanırsa boşluk kapanır.
• Sıçrama süreksizliği (birinci tür): iki tek taraflı limit de sonludur ama farklıdır; örneğin |x|/x, 0'da −1'den 1'e sıçrar.
• Sonsuz veya esaslı süreksizlik (ikinci tür): tek taraflı limitlerden en az biri sonsuzdur ya da yoktur; örneğin 0'da 1/x veya 0 yakınında sonsuz kez salınan sin(1/x).

Tüm temel fonksiyonlar (polinomlar, rasyonel fonksiyonlar, kökler, üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar) tanım kümelerinin her noktasında süreklidir. Sürekli fonksiyonların toplamı, çarpımı, bölümü (payda 0 olmadığı yerde) ve bileşkesi de süreklidir. Bu yüzden sürekli bir fonksiyonun limiti doğrudan yerine koyarak bulunur: lim (x→2) (x³ + eˣ⁻²) = 8 + 1 = 9.