İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Başlangıç5–7. sınıf22 dk4 / 82

Kalanlı bölme, basamaklar ve son basamak problemleri

Kalanlı bölme a = bq + r ve bölünenin bulunması, toplamın, çarpımın ve kuvvetin kalanı, kuvvetlerin son basamak döngüleri, sayının basamaklarıyla yazılışı ve basamak problemleri, bilinmeyen basamaklı bölünebilme soruları, aralarında asal sayılar ve yuvarlama — DİM’in “Doğal sayılar” konusu.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • a = bq + r eşitliğiyle bölüneni ve kalanı bulmak, 0 ≤ r < b koşulunu kontrol etmek
  • Toplamın, çarpımın ve kuvvetin kalanını, kuvvetin son basamağını döngüyle bulmak
  • a̅b̅ = 10a + b yazılışıyla basamak problemlerini ve bilinmeyen basamaklı bölünebilme sorularını çözmek
  • Aralarında asal sayılar ve yuvarlama ile ilgili DİM sorularını çözmek

Bugün çarşamba. 100 gün sonra haftanın hangi günü olacak? Günleri tek tek saymaya gerek yok: 100 = 7 · 14 + 2, yani 14 tam hafta geçecek ve 2 gün daha kalacak — cuma olacak. Burada asıl işi kalan yaptı. DİM’in “Doğal sayılar” konusu 2026’da üç sınavın hepsinde (I. ve II. grup giriş sınavları ile 11. sınıf bitirme sınavı) sorulmuştur ve en sık çıkan soruları tam da kalan, basamak ve son basamak üzerinedir. Bölünebilme kurallarını “Bölünebilme kuralları, asal ve bileşik sayılar”, EBOB ve EKOK’u “En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat” dersinde öğrendik; burada bunları sınav sorularında kullanacağız.

Kalanlı bölme

Tanım
Kalanlı bölme

a doğal sayısını b doğal sayısına kalanlı bölmek a = bq + r biçiminde yazmak demektir; burada q bölüm, r kalandır ve 0 ≤ r < b’dir. r = 0 ise a, b’ye kalansız bölünür.

a = b · q + r, 0 ≤ r < b
burada:
  • abölünen
  • bbölen
  • qbölüm
  • rkalan

Kalan her zaman bölenden küçüktür: 7’ye bölmede olası kalanlar 0, 1, …, 6’dır. En büyük kalan b − 1’dir.

Bölüneni ve kalanı buluyoruz

1) 100’ü 7’ye kalanlı böl.
2) Bölen 9, bölüm 12, kalan 5’tir. Bölüneni bul.
3) Bölüm 3, kalan 16’dır. Bölünen en az kaç olabilir?
4) Bir sayı 7’ye bölünüyor, bölüm 5’tir. Kalan en çok kaç olabilir ve bu durumda bölünen kaçtır?

Çözümü göster
1) 100 = 7 · 14 + 2: bölüm 14, kalan 2.
2) a = 9 · 12 + 5 = 113.
3) Kalan bölenden küçük olmalıdır: b > 16, en küçük bölen b = 17. a = 17 · 3 + 16 = 67.
4) En büyük kalan 7 − 1 = 6. a = 7 · 5 + 6 = 41.

Sayının kendisi bilinmiyor da yalnızca kalanı biliniyorsa onu a = bq + r biçiminde yazar ve bu ifadeyle hesap yaparız. Bu yöntem DİM’in “kalanı bulun” türündeki sorularının anahtarıdır.

Kalanı bilinen sayıyla

1) Bir sayı 6’ya bölündüğünde kalan 5’tir. Bu sayı 3’e bölündüğünde kalan kaç olur?
2) a sayısı 7’ye bölündüğünde kalan 3’tür. 2a + 5 sayısı 7’ye bölündüğünde kalan kaç olur?

Çözümü göster
1) a = 6q + 5 = 6q + 3 + 2 = 3(2q + 1) + 2. Kalan 2’dir. Kontrol: 11 = 3 · 3 + 2, 17 = 3 · 5 + 2.
2) a = 7q + 3 ⇒ 2a + 5 = 14q + 11 = 14q + 7 + 4 = 7(2q + 1) + 4. Kalan 4’tür. Kontrol: a = 10 ⇒ 25 = 7 · 3 + 4.

Toplamın, çarpımın ve kuvvetin kalanı. Son basamak

a = bq₁ + r₁ ve c = bq₂ + r₂ olsun. O zaman a + c = b(q₁ + q₂) + (r₁ + r₂) olur, a · c ise b’nin bir katı ile r₁ · r₂’nin toplamıdır. Demek ki toplamın ve çarpımın kalanı yalnızca kalanlara bağlıdır: sayıları kalanlarıyla değiştirebiliriz. Kuvvet tekrarlanan çarpım olduğundan bu kural kuvvet için de geçerlidir.

kalan(a + c) = kalan(r₁ + r₂); kalan(a · c) = kalan(r₁ · r₂); kalan(aⁿ) = kalan(r₁ⁿ)
burada:
  • r₁, r₂a ve c’nin aynı b sayısına bölümünden kalanlar

Sayıları kalanlarıyla değiştir, hesapla, sonra sonucun kalanını yeniden al.

Büyük hesap yapmadan kalan

1) 2026 · 2027 + 15 sayısının 5’e bölümünden kalan kaçtır?
2) 7¹⁰⁰ sayısının 6’ya bölümünden kalan kaçtır?
3) a sayısının 5’e bölümünden kalan 3’tür. a²’nin 5’e bölümünden kalan kaçtır?
4) 2¹⁰⁰ sayısının 3’e bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü göster
1) 2026 → 1, 2027 → 2, 15 → 0: 1 · 2 + 0 = 2. Kalan 2.
2) 7 = 6 + 1 → 1, bu yüzden 7¹⁰⁰ → 1¹⁰⁰ = 1. Kalan 1.
3) a² → 3² = 9 = 5 + 4. Kalan 4.
4) 2 → 2, 2² = 4 → 1, 2³ → 2, 2⁴ → 1, … çift kuvvetlerde kalan 1’dir. 100 çifttir: kalan 1.

Bir sayının son basamağı, 10’a bölümünden kalandır. Demek ki bir kuvvetin son basamağı yalnızca tabanın son basamağına bağlıdır: 13²⁰²⁶ ile 3²⁰²⁶ aynı rakamla biter. Kuvvetleri art arda yazarsak son basamaklar en geç 4 adımda bir tekrarlanır — bir döngü oluşur.

Son basamakn = 1n = 2n = 3n = 4Döngü uzunluğu
224864
339714
446462
779314
884264
991912
0, 1, 5, 60, 1, 5, 60, 1, 5, 60, 1, 5, 60, 1, 5, 61
Tabanın son basamağına göre aⁿ kuvvetinin son basamağı. 0, 1, 5 veya 6 ile biten sayıların bütün kuvvetleri de aynı rakamla biter.
  1. 1
    1. Tabanın son basamağı

    Tabanın yalnızca son basamağını tut: 13²⁰²⁶ → 3²⁰²⁶.

  2. 2
    2. Üssü 4’e böl

    Üssü 4’e kalanlı böl: kalan r.

  3. 3
    3. Döngüden oku

    r = 1, 2, 3 ise döngünün r’inci rakamını, r = 0 ise 4’üncüsünü al.

  4. 4
    4. Toplam ve çarpım

    Her kuvvetin son basamağını ayrı bul, sonra bunları topla veya çarp ve sonucun son basamağını al.

Son basamağı buluyoruz

Son basamağı bul:
1) 3²⁰²⁶;
2) 7¹⁰¹;
3) 13²⁰²⁶;
4) 2⁵⁰ + 8⁵⁰.

Çözümü göster
1) 2026 = 4 · 506 + 2, r = 2: (3, 9, 7, 1) döngüsünün 2’nci rakamı — 9.
2) 101 = 4 · 25 + 1, r = 1: (7, 9, 3, 1) döngüsünün 1’inci rakamı — 7.
3) Taban 3 ile biter, bu yüzden cevap 3²⁰²⁶ ile aynıdır — 9.
4) 50 = 4 · 12 + 2: 2⁵⁰ → 4, 8⁵⁰ → 4; 4 + 4 = 8. Son basamak 8.
DİM tarzı: kapalı uçlu soru

3²⁰ · 7³¹ çarpımının son basamağını bulun.
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 5

Çözümü göster
3²⁰: 20 = 4 · 5, r = 0 — döngünün 4’üncü rakamı, 1.
7³¹: 31 = 4 · 7 + 3, r = 3 — (7, 9, 3, 1) döngüsünün 3’üncü rakamı, 3.
Çarpım: 1 · 3 = 3.
Cevap: B.
Başka yol: 3²⁰ · 7³¹ = (3 · 7)²⁰ · 7¹¹ = 21²⁰ · 7¹¹; 21²⁰ 1 ile, 7¹¹ ise 3 ile biter (11 = 4 · 2 + 3).

Sayının basamaklarıyla yazılışı ve basamak problemleri

a̅b̅ = 10a + b; a̅b̅c̅ = 100a + 10b + c
burada:
  • ailk basamak, a ≠ 0
  • b, csonraki basamaklar, 0’dan 9’a kadar

Üstteki çizgi a ve b’nin çarpım değil, basamak olduğunu gösterir: a̅b̅ ≠ a · b. Örneğin 47 = 10 · 4 + 7.

a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b); a̅b̅ + b̅a̅ = 11(a + b); a̅b̅c̅ − c̅b̅a̅ = 99(a − c)
burada:
  • b̅a̅basamakları yer değiştirmiş sayı

Basamaklar yer değiştirdiğinde fark 9’a (üç basamaklıda 99’a), toplam ise 11’e bölünür. Bu, cevabı kontrol etmeye ve seçenekleri daraltmaya yardım eder.

Basamak problemleri

1) İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının 4 katıdır. Bu sayıya 27 eklenince basamakları yer değiştirmiş sayı elde ediliyor. Sayıyı bul.
2) Basamakları yer değiştirince iki basamaklı bir sayı 45 azalıyor ve yine iki basamaklı bir sayı elde ediliyor. Böyle kaç sayı vardır?
3) a̅b̅c̅ − c̅b̅a̅ = 594 eşitliğini sağlayan en küçük üç basamaklı a̅b̅c̅ sayısını bul (c ≠ 0).

Çözümü göster
1) a̅b̅ = 10a + b. Koşullar: 10a + b = 4(a + b) ⇒ 6a = 3b ⇒ b = 2a; 10a + b + 27 = 10b + a ⇒ 9(b − a) = 27 ⇒ b − a = 3.
b = 2a ve b − a = 3 ⇒ a = 3, b = 6. Sayı 36’dır. Kontrol: 4 · (3 + 6) = 36, 36 + 27 = 63. ✓
2) a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b) = 45 ⇒ a − b = 5, b ≠ 0 (yoksa b̅a̅ tek basamaklı olur). Sayılar: 61, 72, 83, 94 — toplam 4 tane.
3) 99(a − c) = 594 ⇒ a − c = 6. En küçük sayı için a en küçük olmalıdır: c = 1, a = 7, b = 0. Cevap: 701 (701 − 107 = 594).

Bilinmeyen basamaklar, bölünebilme ve aralarında asal sayılar

Bölünebilme kurallarını hatırlayalım: 2, 5, 10 — son basamağa göre; 4 ve 25 — son iki basamağa göre; 3 ve 9 — rakamların toplamına göre. Bileşik bir bölen için onu aralarında asal çarpanlara ayırır ve her birini kontrol ederiz: 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9.

m = p · q, EBOB(p, q) = 1: a ⋮ m ⇔ a ⋮ p ve a ⋮ q
burada:
  • ⋮“kalansız bölünür”
  • p, qaralarında asal çarpanlar

Çarpanlar aralarında asal olmalıdır: 12’ye bölünebilme 2 ve 6 ile kontrol edilemez — 18 hem 2’ye hem 6’ya bölünür ama 12’ye bölünmez.

Bilinmeyen basamakları buluyoruz

1) 2̅x̅3̅5̅4̅ sayısı 9’a bölünüyor. x basamağını bul.
2) 2̅x̅3̅5̅4̅ sayısı 3’e bölünüyor. x’in alabileceği bütün değerlerin toplamını bul.
3) 5̅a̅7̅b̅ sayısı 45’e bölünüyor. Bu tür bütün sayıları bul.
4) 3̅x̅4̅y̅ sayısı 36’ya bölünüyor. Bu tür bütün sayıları bul.

Çözümü göster
1) Rakamların toplamı 2 + x + 3 + 5 + 4 = 14 + x, 9’a bölünmelidir: 14 + x = 18 ⇒ x = 4.
2) 14 + x ∈ {15, 18, 21} ⇒ x ∈ {1, 4, 7}. Toplam: 1 + 4 + 7 = 12.
3) 45 = 5 · 9. 5’e bölünme: b = 0 veya b = 5. 9’a bölünme: b = 0 ⇒ 12 + a, 9’a bölünür ⇒ a = 6; b = 5 ⇒ 17 + a, 9’a bölünür ⇒ a = 1. Cevap: 5670 ve 5175.
4) 36 = 4 · 9. 4’e bölünme: 4̅y̅ sayısı 4’e bölünmeli ⇒ y ∈ {0, 4, 8}. 9’a bölünme: 7 + x + y, 9’a bölünmeli. y = 0 ⇒ x = 2; y = 4 ⇒ x = 7; y = 8 ⇒ x = 3. Cevap: 3240, 3744, 3348.

Tek ortak böleni 1 olan sayılar aralarında asaldır. EBOB · EKOK = a · b eşitliğinden (bkz. “En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat”) aralarında asal a ve b için EKOK(a, b) = ab olduğu çıkar. DİM soruları bunu toplamın karesi formülüyle birleştirir.

EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b; a² + b² = (a + b)² − 2ab
burada:
  • a, bdoğal sayılar

a ve b aralarında asalsa EBOB = 1 ve EKOK = ab olur.

Aralarında asal sayılar

1) a ve b aralarında asal doğal sayılardır, a + b = 13, EKOK(a, b) = 42. a² + b²’yi bul.
2) EBOB(a, b) = 6, EKOK(a, b) = 90, a < b ve a, b’nin böleni değildir. a + b’yi bul.

Çözümü göster
1) Aralarında asal oldukları için ab = EKOK = 42. a² + b² = 13² − 2 · 42 = 169 − 84 = 85. (Sayılar 6 ve 7’dir: 36 + 49 = 85.)
2) a = 6m, b = 6n; burada m ve n aralarında asaldır. ab = 6 · 90 = 540 ⇒ 36mn = 540 ⇒ mn = 15. Ya m = 1, n = 15 (a = 6, b = 90 — ama 6, 90’ın bölenidir) ya da m = 3, n = 5: a = 18, b = 30. Cevap: 48.

Çok basamaklı sayıların yuvarlanması

  1. 1
    1. Basamak

    Hangi basamağa yuvarlandığını bul ve o basamaktaki rakamı işaretle.

  2. 2
    2. Sonraki rakam

    Sağdaki ilk rakama bak: 0–4 ise işaretli rakam değişmez; 5–9 ise 1 artar (9 ise 0 olur ve 1 sola aktarılır).

  3. 3
    3. Sıfırlar

    Sağdaki bütün rakamları 0 yap.

Yuvarlama

1) 3 845 297 sayısını binler, on binler ve milyonlar basamağına yuvarla.
2) 9 996 sayısını yüzler basamağına yuvarla.
3) Bir doğal sayı yüzler basamağına yuvarlanınca 4 500 elde ediliyor. Bu sayı en çok ve en az kaç olabilir? Böyle kaç sayı vardır?

Çözümü göster
1) Binler: sonraki rakam 2 ⇒ 3 845 000. On binler: sonraki rakam 5 ⇒ 3 850 000. Milyonlar: sonraki rakam 8 ⇒ 4 000 000.
2) Yüzler basamağı 9, sonraki 9 ⇒ 1 artar, eldelerle 10 000 elde edilir.
3) En büyüğü 4 549 (4 550 artık 4 600’e yuvarlanır), en küçüğü 4 450. Sayı: 4 549 − 4 450 + 1 = 100.
Kodlanan sorular: cevabı sayıyla yaz
  1. 1.Bölen 8, bölüm 11, kalan 5 ⇒ bölünen =
  2. 2.7²⁰²⁶ sayısının son basamağı:
  3. 3.2026 · 2028 çarpımının 7’ye bölümünden kalan:
  4. 4.4̅x̅8̅ sayısı 6’ya bölünüyor. x’in bütün değerlerinin toplamı:
  5. 5.a + b = 9, ab = 20 ⇒ a² + b² =

Önemli noktalar

  • a = bq + r, 0 ≤ r < b: kalan her zaman bölenden küçüktür; sayının yalnızca kalanı biliniyorsa onu bq + r biçiminde yaz.
  • Toplamın, çarpımın veya kuvvetin kalanını bulmak için sayıları kalanlarıyla değiştir.
  • Kuvvetin son basamağı: tabanın son basamağı ve üssün 4’e bölümünden kalan (0 → döngünün 4’üncü rakamı).
  • a̅b̅ = 10a + b; a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b), a̅b̅ + b̅a̅ = 11(a + b).
  • Bileşik bir sayıya bölünebilmeyi aralarında asal çarpanlarla kontrol et; aralarında asal sayılar için EKOK = ab.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Kalanlı bölmede (a = bq + r) kalan hangi koşulu sağlamalıdır?