Uzayda doğrular ve düzlemler — Matematik

Bu derste öğreneceklerin

Aksiyomlar ve ölçütlerle iki doğrunun, bir doğru ile düzlemin ve iki düzlemin birbirine göre durumunu belirlemek, aykırı doğrular arasındaki açıyı bulmak
Dikme, eğik ve izdüşümle çalışmak, üç dikme teoremini hesaplamalarda ve ispatlarda kullanmak
Doğru ile düzlem arasındaki açıyı, iki yüzlü açının düzlem açısını ve iki düzlem arasındaki açıyı (≤ 90°) bulmak
Uzayda uzaklıkları hesaplamak ve DİM’in kapalı uçlu, kodlanan ve yazılı sorularını tam gerekçeyle çözmek

Sınıfa bir bak: zemin ve duvar düzlemlerin parçalarıdır, birleştikleri köşe çizgisi ise bir doğrudur. Lambanın kablosu zemine dik sarkar; ön duvarın zeminle birleştiği çizgi ile yan duvarın tavanla birleştiği çizgi ise ne kesişir ne de paraleldir. Düzlem geometride bütün şekiller tek bir düzlemdeydi; uzay geometri (stereometri) şekilleri uzayda inceler. Bu, uzay geometrinin ilk dersidir: sonraki «Çok yüzlüler: prizma ve piramit» ve «Dönel cisimler: silindir, koni ve küre» derslerinde gereken her şey — paralellik, diklik, açılar ve uzaklıklar — burada kurulur. Azerbaycan’daki DİM giriş sınavının II aşamasında «Fəzada düz xətlər və müstəvilər» (uzayda doğrular ve düzlemler) konusundan 2026’da her iki grubun (I ve II) matematik sınavında soru vardı: birinde iki yüzlü açının ölçüsü, diğerinde iki düzlem arasındaki açının alamayacağı değerler soruldu. Konu 11. sınıf bitirme sınavının programında da yer alır.

Temel kavramlar ve uzay geometrinin aksiyomları

Nokta, doğru ve düzlem tanımlanmaz; özellikleri aksiyomlarla verilir. Noktalar büyük Latin harfleriyle (A, B, C), doğrular küçük harflerle (a, b) ya da iki noktayla (AB), düzlemler Yunan harfleriyle (α, β, γ) ya da üç noktayla (ABC) gösterilir. Düzlem her yönde sonsuza uzanır; çizimde onu bir paralelkenar olarak gösteririz. Düzlem geometrinin bütün teoremleri uzayda her düzlemin içinde de geçerlidir.

A1. Bir doğru üzerinde olmayan herhangi üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer.
A2. Bir doğrunun iki noktası bir düzlemdeyse doğrunun bütün noktaları o düzlemdedir.
A3. İki farklı düzlemin ortak bir noktası varsa bu düzlemler o noktadan geçen bir doğru boyunca kesişir.

Aksiyomlardan bir düzlemin dört yolla belirlenebileceği çıkar: 1) bir doğru üzerinde olmayan üç nokta; 2) bir doğru ve onun dışındaki bir nokta; 3) kesişen iki doğru; 4) paralel iki doğru. Bu yüzden üç ayaklı fotoğraf makinesi sehpası hiç sallanmaz, dört ayaklı masa ise sallanabilir: dört ayağın uçları aynı düzlemde olmayabilir.

Kaç düzlem?

1) Aynı düzlemde olmayan 4 nokta veriliyor. Bunların her üçünden geçen kaç farklı düzlem vardır?
2) Hiçbir dördü aynı düzlemde olmayan 5 nokta için aynı soru.
3) a, b, c doğruları bir noktada kesişiyor ve aynı düzlemde değil. Bu doğruların ikişerli çiftleri kaç düzlem belirtir?

Çözümü göster

1) Her düzlem 3 noktayla belirlenir; üçlülerin sayısı C(4, 3) = 4’tür. Bunlar bir dört yüzlünün (üçgen piramidin) 4 yüzüdür.
2) C(5, 3) = 5 · 4 · 3 / 6 = 10 düzlem. Hiçbir dört nokta aynı düzlemde olmadığından her üçlü ayrı bir düzlem verir.
3) (a, b), (a, c), (b, c) çiftleri 3 düzlem verir: kesişen iki doğru bir düzlem belirtir. Üçü aynı düzlemde olsaydı cevap 1 olurdu.

İki doğrunun birbirine göre durumu. Aykırı doğrular

Düzlemde iki doğru ya kesişir ya da paraleldir. Uzayda üçüncü bir durum daha vardır. Uzayda paralel doğrular, aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen doğrulardır; yalnızca “kesişmiyor” demek yetmez.

Tanım

Aykırı doğrular

Aynı düzlemde bulunmayan doğrulara aykırı doğrular denir: ne kesişirler ne de paraleldirler. Ölçüt: a doğrusu α düzlemindeyse ve b doğrusu α’yı a üzerinde olmayan bir noktada kesiyorsa a ile b aykırıdır.

Şekiller	Durum	Ortak noktalar
iki doğru	kesişen	bir nokta
iki doğru	paralel (aynı düzlemde)	yok
iki doğru	aykırı (aynı düzlemde değil)	yok
doğru ve düzlem	doğru düzlemin içinde	sonsuz sayıda
doğru ve düzlem	kesişen	bir nokta
doğru ve düzlem	paralel	yok
iki düzlem	kesişen	bir doğru
iki düzlem	paralel	yok

Uzayda mümkün olan bütün durumlar. Yeni olan yalnızca aykırı doğrulardır; diğerlerini düzlem geometriden biliyorsun.

Problemlerde en çok şu ölçütler ve özellikler kullanılır:

Doğru ile düzlemin paralellik ölçütü: düzlemde olmayan bir doğru, düzlemdeki herhangi bir doğruya paralelse düzleme de paraleldir.
Düzlemlerin paralellik ölçütü: bir düzlemin kesişen iki doğrusu sırasıyla diğer düzlemin iki doğrusuna paralelse düzlemler paraleldir.
Paralel iki düzlem üçüncü bir düzlemle kesilirse kesişim doğruları paraleldir. 2026’da I. grubun silindir biçimli kaba konan çubukla ilgili yazılı görevinde ana adım tam olarak bu özellikti.
Üçüncü bir doğruya paralel iki doğru uzayda da birbirine paraleldir; paralel düzlemler arasında kalan paralel doğru parçaları eşittir.

∠(a, b) = ∠(a′, b), a′ ∥ a, 0° < ∠(a, b) ≤ 90°

burada:

a, baykırı doğrular
a′a’ya paralel olup b’yi kesen doğru

Aykırı doğrular arasındaki açı: doğrulardan birini diğerini kesene kadar paralel ötelenir. Bu açı 90°’den büyük olmaz; 90° ise aykırı doğrulara dik denir.

Küpte AB ile CC₁ aykırıdır; AB₁ ∥ DC₁ olduğundan AB₁ ile BC₁ arasındaki açı eşkenar BC₁D üçgeninin açısına, 60°’ye eşittir.

Küpte doğrular ve açılar

ABCDA₁B₁C₁D₁ küpünde:
1) AB ve CC₁ doğrularının birbirine göre durumunu belirleyiniz;
2) AA₁ ile BC doğruları arasındaki açıyı bulunuz;
3) AB₁ ile BC₁ doğruları arasındaki açıyı bulunuz;
4) AC ile B₁D₁ doğruları arasındaki açıyı bulunuz.

Çözümü göster

1) AB, alt yüzün (ABCD) düzlemindedir; CC₁ ise bu düzlemi AB üzerinde olmayan C noktasında keser. Ölçüte göre AB ile CC₁ aykırıdır.
2) AA₁ ∥ BB₁ olduğundan aranan açı BB₁ ile BC arasındaki açıya eşittir. BB₁C₁C bir karedir, ∠B₁BC = 90°. Cevap: 90°.
3) AB₁C₁D dikdörtgeninde AB₁ ∥ DC₁. Demek ki aranan açı DC₁ ile BC₁ arasındaki ∠BC₁D açısıdır. BC₁D üçgeninin üç kenarı da küpün yüz köşegenleridir (a√2), yani üçgen eşkenardır. Cevap: 60°.
4) AA₁C₁C dikdörtgen olduğundan AC ∥ A₁C₁; A₁C₁ ile B₁D₁ ise karenin köşegenleridir ve diktir. Cevap: 90° — AC ile B₁D₁ birbirine dik aykırı doğrulardır.

Dikme, eğik ve izdüşüm. Üç dikme teoremi

Tanım

Doğrunun düzleme dikliği

Bir doğru, bir düzlemdeki her doğruya dikse o düzleme diktir (a ⊥ α). Ölçüt: bir doğru düzlemdeki kesişen iki doğruya dikse düzleme de diktir. Örneğin küpün AA₁ ayrıtı AB’ye ve AD’ye diktir; dolayısıyla bütün alt yüze diktir.

Tanım

Dikme, eğik, izdüşüm

A noktası α düzleminin dışındadır. AH ⊥ α ise AH doğru parçası dikme, H onun ayağı, AH uzunluğu da A noktasının α düzlemine uzaklığıdır. A’yı α’nın H’den farklı herhangi bir M noktasına birleştiren AM doğru parçasına eğik, HM’ye de eğiğin dik izdüşümü denir.

AHM üçgeni dik üçgendir. a ⊥ HM olduğundan üç dikme teoremine göre a ⊥ AM.

AM² = AH² + HM²

burada:

AMeğik
AHdikme — A noktasının düzleme uzaklığı
HMeğiğin izdüşümü

AHM dik üçgeninde Pisagor teoremi. Sonuçlar: dikme her eğikten kısadır; aynı noktadan çizilen eşit eğiklerin izdüşümleri eşittir ve tersi de doğrudur; uzun eğiğin izdüşümü de uzundur.

Eğikler ve izdüşümler

1) Bir noktadan düzleme 5 cm uzunluğunda bir dikme ve 13 cm uzunluğunda bir eğik çiziliyor. Eğiğin izdüşümünü bulunuz.
2) Bir noktadan düzleme uzunlukları 10 cm ve 17 cm olan iki eğik çiziliyor; izdüşümlerinin oranı 2 : 5’tir. Noktanın düzleme uzaklığını bulunuz.

Çözümü göster

1) HM = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.
2) İzdüşümler 2x ve 5x olsun (kısa eğiğin izdüşümü kısadır). Dikme ortaktır: 10² − (2x)² = 17² − (5x)² ⇒ 100 − 4x² = 289 − 25x² ⇒ 21x² = 189 ⇒ x² = 9, x = 3. İzdüşümler 6 cm ve 15 cm, uzaklık √(100 − 36) = 8 cm. Kontrol: √(289 − 225) = 8. ✓

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

AHM üçgenini modelle: dik kenarlardan biri izdüşüm HM, diğeri dikme AH, hipotenüs ise eğik AM’dir. Sayıları değiştir ve eğiğin her zaman hem dikmeden hem de izdüşümden uzun olduğunu gör.

a ⊂ α: a ⊥ HM ⇔ a ⊥ AM

burada:

aα düzleminde eğiğin M ayağından geçen doğru
HMeğiğin izdüşümü
AMeğik

Üç dikme teoremi: düzlemde eğiğin ayağından izdüşüme dik çizilen doğru eğiğin kendisine de diktir; tersi de doğrudur. “Üç dikme”: AH ⊥ α, a ⊥ HM ve a ⊥ AM.

Neden doğrudur? AH ⊥ α olduğundan AH, düzlemdeki a doğrusuna diktir. a ⊥ HM koşuluyla birlikte a doğrusu AHM düzleminin kesişen iki doğrusuna (AH ve HM) dik olur; dolayısıyla bu düzleme, bu yüzden de AM’ye diktir. Tersi de aynı yolla ispatlanır: a ⊥ AM ve a ⊥ AH ⇒ a ⊥ (AHM) ⇒ a ⊥ HM. Teoremin başlıca uygulaması bir noktanın doğruya uzaklığıdır: önce düzlemde izdüşümün ayağından doğruya dikme çizilir, sonra Pisagor teoremi uygulanır.

Bir noktanın doğruya uzaklığı

1) ABC üçgeninde AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. A köşesinden üçgenin düzlemine AD dikmesi çıkılmıştır, AD = 9 cm. D noktasının BC doğrusuna uzaklığını bulunuz.
2) ABCD karesinin kenarı 6 cm, SA ⊥ (ABC) ve SA = 8 cm. S noktasının CD ve BD doğrularına uzaklıklarını bulunuz.

Çözümü göster

1) M, BC’nin orta noktası olsun. İkizkenar üçgende kenarortay aynı zamanda yüksekliktir: AM ⊥ BC, AM = √(13² − 5²) = 12 cm. AM, DM eğiğinin izdüşümüdür ve BC ⊥ AM; o hâlde üç dikme teoremine göre BC ⊥ DM. Aranan uzaklık DM = √(AD² + AM²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
2) AD ⊥ CD (karenin komşu kenarları), AD de SD eğiğinin izdüşümüdür; o hâlde SD ⊥ CD ve uzaklık SD = √(8² + 6²) = 10 cm. BD için: O köşegenlerin kesişim noktası, AO ⊥ BD, AO = 6√2 / 2 = 3√2 cm; o hâlde SO ⊥ BD ve SO = √(64 + 18) = √82 cm.

DİM tarzı: ispat sorusu

ABC üçgeninde ∠C = 90°. SA doğru parçası üçgenin düzlemine diktir. SCB üçgeninin dik üçgen olduğunu ispatlayınız.

Çözümü göster

İspat.
1) SA ⊥ (ABC) olduğundan SC bir eğik, AC de onun (ABC) düzlemindeki izdüşümüdür.
2) BC doğrusu (ABC) düzlemindedir ve eğiğin C ayağından geçer; koşula göre BC ⊥ AC, yani BC izdüşüme diktir.
3) Üç dikme teoremine göre BC ⊥ SC.
4) Demek ki ∠SCB = 90° ve SCB üçgeni dik üçgendir; ispatlanması istenen buydu.
Yazılı cevapta her adımı gerekçelendir: hangi doğru parçasının eğik, hangisinin izdüşüm olduğunu ve hangi teoremi kullandığını yaz. Aynı yöntemle, SA ⊥ (ABCD) olan bir ABCD dikdörtgeninde SBC ve SDC üçgenlerinin de dik üçgen olduğu ispatlanır.

Doğru ile düzlem arasındaki açı

Tanım

Doğru ile düzlem arasındaki açı

Bir eğik ile düzlem arasındaki açı, eğik ile onun bu düzlemdeki izdüşümü arasındaki açıdır. Doğru düzleme dikse açı 90°, düzleme paralelse ya da düzlemin içindeyse 0° kabul edilir. Yani her zaman 0° ≤ φ ≤ 90°.

sin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tan φ = AH / HMsin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tan φ = AH / HM

burada:

φeğik ile düzlem arasındaki açı (AHM üçgeninde M köşesindeki açı)
AHnoktanın düzleme uzaklığı
HMizdüşüm
AMeğik

Aynı noktadan çizilen eğiklerden düzlemle büyük açı yapanı daha kısadır: AM = AH / sin φ.

Açı, eğik ve uzaklık

1) 12 cm uzunluğundaki bir eğik düzlemle 30° açı yapıyor. Eğiğin üst ucunun düzleme uzaklığını ve eğiğin izdüşümünü bulunuz.
2) 10 cm uzunluğundaki AB doğru parçasının A ucu düzlemin üzerinde, B ucu ise düzlemden 5 cm uzaklıktadır. AB ile düzlem arasındaki açıyı bulunuz.
3) Düzlemden 6 cm uzaklıktaki bir noktadan düzlemle 30° ve 45° açı yapan iki eğik çiziliyor; eğiklerin izdüşümleri birbirine diktir. Eğiklerin uzunluklarını ve ayakları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözümü göster

1) AH = AM · sin 30° = 12 · ½ = 6 cm; HM = AM · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 cm.
2) sin φ = 5/10 = ½ ⇒ φ = 30°.
3) Eğikler: 6 : sin 30° = 12 cm ve 6 : sin 45° = 6√2 cm. İzdüşümler: 6 : tan 30° = 6√3 cm ve 6 : tan 45° = 6 cm. İzdüşümler H noktasında dik açı oluşturur; bu yüzden ayaklar arasındaki uzaklık bu dik üçgenin hipotenüsüdür: √(108 + 36) = √144 = 12 cm.

İki yüzlü açı ve iki düzlem arasındaki açı

Tanım

İki yüzlü açı ve düzlem açısı

Ortak bir sınır doğrusu olan iki yarı düzlemin oluşturduğu şekle iki yüzlü açı denir; yarı düzlemler açının yüzleri, ortak doğru da ayrıtıdır. Ayrıtın herhangi bir C noktasından her yüzde ayrıta dik CA ve CB ışınlarını çizelim: ∠ACB, iki yüzlü açının düzlem açısıdır. Bütün düzlem açıları eşittir ve iki yüzlü açının ölçüsü düzlem açısının ölçüsüdür: 0° < φ < 180°, yani iki yüzlü açı geniş açı da olabilir.

Düzlem açısı ayrıta dik iki ışınla kurulur. ABC üçgeninde kosinüs teoremi φ’yi verir.

İki düzlem arasındaki açı ise farklı bir kavramdır. Kesişen iki düzlem dört iki yüzlü açı oluşturur (ikişer ikişer eşit; komşu olanların toplamı 180°); bunların küçüğü düzlemler arasındaki açı kabul edilir. Bu yüzden kesişen düzlemler arasındaki açı 0° < φ ≤ 90° aralığındadır; paralel düzlemler için 0° alınır. φ = 90° ise düzlemler diktir. Ölçüt: bir düzlem, diğer düzleme dik olan bir doğrudan geçiyorsa bu düzlemler diktir. Kapı her konumda zemine diktir, çünkü menteşe doğrusu zemine diktir.

DİM tarzı: kapalı uçlu soru “hangileri olamaz”

Aşağıdakilerden hangileri kesişen iki düzlem arasındaki açının ölçüsü olamaz?
I. 0° II. 150° III. 90° IV. 92° V. 45°
A) I, II ve IV B) II ve IV C) I ve III D) II, III ve IV E) I, IV ve V

Çözümü göster

Kesişen düzlemler arasındaki açı dört iki yüzlü açının en küçüğüdür; bu yüzden 0° < φ ≤ 90°.
I. 0° yalnızca paralel düzlemlerde olur, kesişen düzlemler için olamaz.
II. 150° ve IV. 92° 90°’den büyüktür, olamaz. Böyle iki yüzlü açılar vardır, ama o zaman düzlemler arasındaki açı 30° ve 88° olur.
III. 90° (dik düzlemler) ve V. 45° olabilir.
Cevap: A. En sık yapılan hatalar: “iki yüzlü açı” ile “düzlemler arasındaki açıyı” karıştırmak ya da 0°’yi unutup yalnızca II ve IV’ü seçmek (B).

DİM tarzı: kodlanan soru

Bir iki yüzlü açının farklı yüzlerinde A ve B noktaları alınıyor. Bu noktalardan ayrıta indirilen AC ve BC dikmelerinin ayağı aynı C noktasıdır; AC = 3, BC = 5, AB = 7. İki yüzlü açının ölçüsünü derece cinsinden bulunuz.

Çözümü göster

AC ve BC ayrıta diktir ve ayrıtın aynı C noktasından çıkar; demek ki ∠ACB, iki yüzlü açının düzlem açısıdır.
ABC üçgeninde kosinüs teoremi: cos ∠ACB = (AC² + BC² − AB²) / (2 · AC · BC) = (9 + 25 − 49) / 30 = −15/30 = −½.
∠ACB = 120°.
Cevap: 120. Dikkat: iki yüzlü açı 120°’dir, bu yüzlerin düzlemleri arasındaki açı ise 180° − 120° = 60° olurdu; sorunun ne istediğini dikkatle oku. AC = BC = AB olsaydı ABC üçgeni eşkenar olur, iki yüzlü açı 60° çıkardı.

S′ = S · cos φ

burada:

S′bir çokgenin düzlemdeki dik izdüşümünün alanı
Sçokgenin alanı
φçokgenin düzlemi ile izdüşüm düzlemi arasındaki açı

Dik izdüşümün alanı teoremi. Bir sonraki derste piramidin yanal alanı bu formülle tek satırda bulunacak.

İki yüzlü açı, uzaklık ve izdüşümün alanı

1) Bir iki yüzlü açı 60°’dir. Bir yüzdeki M noktası ayrıttan 4√3 cm uzaklıktadır. M’nin diğer yüzün düzlemine uzaklığını bulunuz.
2) Alanı 20 cm² olan bir üçgen, α düzlemiyle 60° açı yapan bir düzlemdedir. Üçgenin α’daki izdüşümünün alanını bulunuz.
3) Bir karenin α düzlemindeki izdüşümü alanı 18 cm² olan bir şekildir; karenin düzlemi ile α arasındaki açı 60°’dir. Karenin kenarını bulunuz.

Çözümü göster

1) M’den ayrıta MC dikmesini, diğer yüzün düzlemine MH dikmesini indirelim. Üç dikme teoreminin tersine göre HC ⊥ ayrıt, yani ∠MCH düzlem açısıdır ve 60°’dir. MCH dik üçgeninde MH = MC · sin 60° = 4√3 · √3/2 = 6 cm.
2) S′ = 20 · cos 60° = 20 · ½ = 10 cm².
3) S = S′ : cos 60° = 18 : ½ = 36 cm², karenin kenarı √36 = 6 cm.

Uzayda uzaklıklar

Bir noktanın düzleme uzaklığı, noktadan düzleme indirilen dikmenin uzunluğudur.
Bir doğru ile ona paralel düzlem arasındaki ve paralel düzlemler arasındaki uzaklık, birinin herhangi bir noktasından diğerine indirilen dikmenin uzunluğudur; bütün noktalar için aynıdır.
Aykırı doğrular arasındaki uzaklık, ortak dikmelerinin (her ikisini kesen ve her ikisine dik olan doğru parçasının) uzunluğudur. Bu aynı zamanda doğrulardan birinin, diğerinden ona paralel geçen düzleme uzaklığıdır.

d_M = (d_A + d_B) / 2 (A ve B aynı tarafta), d_M = |d_A − d_B| / 2 (farklı taraflarda)d_M = (d_A + d_B) / 2 (A ve B aynı tarafta), d_M = |d_A − d_B| / 2 (farklı taraflarda)

burada:

d_A, d_BAB doğru parçasının uçlarının düzleme uzaklıkları
d_Mdoğru parçasının M orta noktasının düzleme uzaklığı

Birinci durumda dikmeler bir yamuk oluşturur ve formül onun orta tabanıdır; ikinci durumda doğru parçası düzlemi keser.

Küpte uzaklıklar ve doğru parçasının orta noktası

1) ABCDA₁B₁C₁D₁ küpünün ayrıtı 6 cm’dir. Bulunuz: a) AB ve CC₁ aykırı doğruları arasındaki uzaklığı; b) A noktasının BB₁D₁D düzlemine uzaklığını; c) AA₁ ve BD doğruları arasındaki uzaklığı.
2) AB doğru parçasının uçları düzlemden 7 cm ve 3 cm uzaklıktadır. Doğru parçasının orta noktasının düzleme uzaklığını iki durum için bulunuz: uçlar düzlemin aynı tarafında; farklı taraflarında.

Çözümü göster

1a) BC ⊥ AB ve BC ⊥ CC₁’dir ve BC her iki doğruyu keser; ortak dikmedir. Uzaklık 6 cm.
1b) O, ABCD karesinin merkezi olsun. AO ⊥ BD (karenin köşegenleri) ve AO ⊥ BB₁ (BB₁ alt yüze diktir); dolayısıyla AO ⊥ (BB₁D₁D). Uzaklık AO = 6√2 / 2 = 3√2 cm.
1c) AO doğru parçası AA₁’i A’da, BD’yi O’da keser ve ikisine de diktir; ortak dikmedir. Uzaklık 3√2 cm.
2) Aynı tarafta: (7 + 3)/2 = 5 cm. Farklı taraflarda: (7 − 3)/2 = 2 cm.

DİM tarzı: yazılı görev (tam çözüm)

ABC üçgeninde ∠C = 90°, AC = 6 cm, BC = 8 cm. SC doğru parçası üçgenin düzlemine diktir, SC = 4,8√3 cm. Bulunuz: a) S noktasının AB doğrusuna uzaklığını; b) SAB ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı; c) SAB üçgeninin alanını. Çözümün bütün adımlarını yazınız.

Çözümü göster

Çözüm.
1) ABC üçgeninde CH ⊥ AB yüksekliğini çizelim. AB = √(36 + 64) = 10 cm, CH = AC · BC / AB = 6 · 8 / 10 = 4,8 cm.
2) SC ⊥ (ABC) olduğundan SH bir eğik, CH de onun izdüşümüdür. AB ⊥ CH olduğundan üç dikme teoremine göre AB ⊥ SH. Demek ki S’nin AB’ye uzaklığı SH’dir.
3) SCH üçgeni dik üçgendir (∠C = 90°): SH = √(SC² + CH²) = √(69,12 + 23,04) = √92,16 = 9,6 cm.
4) SH ⊥ AB ve CH ⊥ AB olduğundan ∠SHC, ayrıtı AB olan iki yüzlü açının düzlem açısıdır: tan ∠SHC = SC / CH = 4,8√3 / 4,8 = √3, ∠SHC = 60°. Bu açı dar açıdır; dolayısıyla düzlemler arasındaki açı da 60°’dir.
5) S(SAB) = ½ · AB · SH = ½ · 10 · 9,6 = 48 cm². İzdüşüm formülüyle kontrol: S(ABC) = ½ · 6 · 8 = 24 = 48 · cos 60°. ✓
Cevap: a) 9,6 cm; b) 60°; c) 48 cm².

Bir sonraki derste, «Çok yüzlüler: prizma ve piramit», bu araçlarla prizma ve piramidin elemanlarını bulacağız: piramidin yüksekliği bir dikme, yan ayrıtı bir eğik, yan ayrıt ile taban arasındaki açı da doğru ile düzlem arasındaki açıdır.

Kendini dene: boşluğu doldur

1.Küpte AB₁ ile BC₁ doğruları arasındaki açı °’dir.
2.Eğik 10, dikme 6 ⇒ izdüşüm =
3.8 cm’lik eğik düzlemle 30° açı yapıyor ⇒ ucunun düzleme uzaklığı cm’dir.
4.Kesişen iki düzlem arasındaki açının en büyük değeri °’dir.
5.Alanı 12 olan bir şeklin düzlemi α ile 60° açı yapıyor ⇒ izdüşümün alanı

Önemli noktalar

Bir düzlem; doğrusal olmayan üç nokta, bir doğru ve bir nokta ya da kesişen veya paralel iki doğru ile belirlenir.
Uzayda iki doğru kesişir, paraleldir (aynı düzlemde) ya da aykırıdır; aykırı doğrular arasındaki açı paralel ötelemeyle bulunur ve 90°’den büyük değildir.
AM² = AH² + HM²: dikme her eğikten kısadır; üç dikme teoremi: a ⊥ izdüşüm ⇔ a ⊥ eğik.
Doğru ile düzlem arasındaki açı, eğik ile izdüşümü arasındaki açıdır (0°–90°); iki yüzlü açı düzlem açısıyla ölçülür (0°–180°), düzlemler arasındaki açı ise 90°’den büyük değildir.
Aykırı doğrular arasındaki uzaklık ortak dikmenin uzunluğudur; izdüşümün alanı S′ = S · cos φ.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Hangi doğrulara aykırı doğrular denir?