- Üçgenleri açılarına ve kenarlarına göre sınıflandırmak
- İç açılar toplamı ve dış açı teoremiyle, ikizkenar üçgenin açıları da dahil, bilinmeyen açıları bulmak
- Üçgen eşitsizliğiyle bir üçgenin var olup olmadığını kontrol etmek ve kenarları karşılarındaki açılara göre karşılaştırmak
- Kenarortay, açıortay, yükseklik ve orta tabanı çizmek, bunlarla açı problemleri çözmek
Aysel kâğıttan rastgele bir üçgen kesti, üç köşesini koparıp köşe noktaları aynı noktada buluşacak biçimde yan yana dizdi. Köşeler bir doğru boyunca dizildi; bir doğru açı oluştu. Murad aynı deneyi bambaşka, uzun ve ince bir üçgenle yaptı ve yine aynı sonucu buldu. Bu bir tesadüf değil: her üçgenin iç açılarının toplamı 180°’dir. Bu derste bunu “Açılar. Paralel doğrular” dersindeki açılarla ispatlayacak, sonra üçgenin kenarları, açıları ve özel doğru parçaları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
Üçgen ve çeşitleri
Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan ve bu noktaları ikişer ikişer birleştiren üç doğru parçasından oluşan şekil. Noktalar üçgenin köşeleri, doğru parçaları ise kenarlarıdır; △ABC biçiminde yazılır. Bir kenar çoğu zaman karşısındaki köşenin küçük harfiyle gösterilir: a = BC (A’nın karşısında), b = AC, c = AB.
| Açılarına göre | Kenarlarına göre |
|---|---|
| Dar açılı: bütün açıları dar | Çeşitkenar: bütün kenarları farklı |
| Dik: bir açısı dik açı | İkizkenar: iki kenarı eşit |
| Geniş açılı: bir açısı geniş | Eşkenar: üç kenarı da eşit |
İki sınıflandırma birlikte kullanılır: örneğin açıları 90°, 45°, 45° olan bir üçgen hem dik hem de ikizkenardır. Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin özel bir hâlidir. Dik üçgende dik açının kenarlarına dik kenarlar, karşısındaki kenara ise hipotenüs denir.
İç açılar toplamı ve dış açı
- ∠A, ∠B, ∠Cüçgenin iç açıları
Üçgenin iç açıları toplamı teoremi: her üçgenin iç açılarının toplamı 180°’dir.
İspat. B köşesinden AC’ye paralel a doğrusunu çizelim (paralellik aksiyomuna göre böyle bir doğru tektir). B noktasında üç açı yan yana dizilip bir doğru açı oluşturur: ∠1 + ∠B + ∠2 = 180°. a ∥ AC ve AB bir kesen olduğundan ∠1 = ∠A (iç ters açılar). Aynı şekilde BC keseni için ∠2 = ∠C. Yerine yazınca ∠A + ∠B + ∠C = 180° elde edilir. Aysel’in kâğıt üzerinde gördüğü tam da buydu.
- Bir üçgende en fazla bir dik açı ya da bir geniş açı olabilir; bu yüzden en az iki açısı dardır.
- Dik üçgenin dar açılarının toplamı 90°’dir: ∠A + ∠B = 180° − 90°.
- Eşkenar üçgenin her açısı 180° ÷ 3 = 60°’dir.
- Bir üçgenin iki açısı başka bir üçgenin iki açısına eşitse üçüncü açılar da eşittir.
1) Bir üçgenin iki açısı 48° ve 67°’dir. Üçüncü açıyı bulun ve üçgenin türünü belirleyin.
2) Bir dik üçgenin dar açılarından biri 34°’dir. Diğer dar açıyı bulun.
3) Bir üçgenin açılarının oranı 2 : 3 : 4’tür. Açıları bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Dar açıların toplamı 90°’dir: 90° − 34° = 56°.
3) Açılar 2k, 3k, 4k olsun: 9k = 180°, k = 20°.
Cevap: 40°, 60°, 80°; dar açılı bir üçgen.
1) ABC üçgeninde ∠B, ∠A’dan 20° büyük, ∠C ise ∠A’nın 3 katıdır. Açıları bulun ve üçgenin türünü belirleyin.
2) Açıları 100°, 50° ve 40° olan bir üçgen var mıdır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
Cevap: ∠A = 32°, ∠B = 52°, ∠C = 96°. 96° > 90° olduğundan üçgen geniş açılıdır.
2) 100° + 50° + 40° = 190° ≠ 180°; böyle bir üçgen yoktur.
Üçgenin bir iç açısının komşu bütünleri olan açı; bir kenarı köşeden öteye uzatınca oluşur. Her köşede dış açı = 180° − iç açı.
- ∠BCDC köşesindeki dış açı (D noktası AC’nin C’den öteye uzantısında)
- ∠A, ∠Bona komşu olmayan iki iç açı
Dış açı teoremi: bir üçgenin dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. İspat: ∠BCD = 180° − ∠C; ∠A + ∠B de 180° − ∠C’ye eşittir. Sonuç: dış açı, kendisine komşu olmayan her iç açıdan büyüktür.
1) ABC üçgeninde C köşesindeki dış açı 130° ve ∠A = 55°. ∠B’yi bulun.
2) Bir üçgenin dış açısı 120°; ona komşu olmayan iki iç açının oranı 1 : 3. Üçgenin açılarını bulun.
3) Bir üçgenin açıları 50°, 60° ve 70°. Her köşede birer dış açı alıp bunları bulun. Toplamları kaç derecedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) İç açılar x ve 3x olsun: x + 3x = 120°, x = 30°. Açılar 30° ve 90°, üçüncü açı ise 180° − 120° = 60°; üçgen diktir.
3) Dış açılar: 180° − 50° = 130°, 180° − 60° = 120°, 180° − 70° = 110°. Toplamları 130° + 120° + 110° = 360°. Bu bir tesadüf değil: üç çift komşu bütünler açının toplamı 3 · 180° = 540°’dir; iç açıların 180°’si çıkarılınca 360° kalır.
İkizkenar ve eşkenar üçgen
İki kenarı eşit olan üçgen. Eşit kenarlara yan kenarlar, üçüncü kenara taban denir. Yan kenarlar arasındaki açı tepe açısı, tabandaki iki açı ise taban açılarıdır.
İkizkenar üçgenin temel özelliği: taban açıları eşittir. Tersi de doğrudur: bir üçgenin iki açısı eşitse karşılarındaki kenarlar da eşittir, yani üçgen ikizkenardır. Bu özellikler “Üçgenlerde eşlik” dersinde ispatlanacak; şimdilik onları açı hesaplamak için kullanalım. Eşkenar üçgende her iki kenar eşit olduğundan üç açının hepsi eşittir ve her biri 60°’dir; tersine, üç açısı da 60° olan üçgen eşkenardır.
- βtepe açısı (yan kenarlar arasındaki açı)
- αtaban açısı (ikisinin her biri)
İkizkenar üçgen için iç açılar toplamı: tepe açısı ile iki eşit taban açısı birlikte 180° eder. Buradan taban açıları her zaman dardır: α < 90°.
1) Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 40°’dir. Taban açılarını bulun.
2) Taban açısı 35°’dir. Tepe açısını bulun ve üçgenin türünü belirleyin.
3) İkizkenar ABC üçgeninde (AB = BC) B köşesindeki dış açı 100°’dir. Üçgenin açılarını bulun.
4) Taban açısı tepe açısının 2 katıdır. Açıları bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) β = 180° − 2 · 35° = 110° > 90°; üçgen geniş açılıdır.
3) AB = BC olduğundan taban AC’dir ve ∠A = ∠C. B’deki dış açı ∠A + ∠C = 100° olduğundan ∠A = ∠C = 50°, ∠B = 180° − 100° = 80°.
4) β = x, α = 2x olsun: x + 2x + 2x = 180°, x = 36°.
Cevap: 36°, 72°, 72°.
Bir ikizkenar üçgenin bir açısı a) 100°; b) 50°’dir. Diğer iki açıyı bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) İki durum mümkündür.
• 50° tepe açısıysa taban açıları (180° − 50°) / 2 = 65° ve 65°’dir.
• 50° taban açısıysa diğer taban açısı da 50°, tepe açısı ise 180° − 100° = 80°’dir.
Cevap: 65° ve 65° ya da 50° ve 80°.
Kenarlar ve açılar: üçgen eşitsizliği
İki nokta arasındaki en kısa yol, onları birleştiren doğru parçasıdır. Bu yüzden A’dan C’ye doğrudan gitmek B’ye uğrayarak gitmekten her zaman daha kısadır: AC < AB + BC. Bu, üçgenin her kenarı için doğrudur.
- a, b, cüçgenin kenarları
Üçgen eşitsizliği: üçgenin her kenarı diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Buradan başka bir biçim çıkar: her kenar diğer ikisinin farkından büyüktür, |b − c| < a < b + c.
1) Kenarları a) 3 cm, 4 cm, 8 cm; b) 5 cm, 6 cm, 7 cm; c) 2 cm, 3 cm, 5 cm olan bir üçgen var mıdır?
2) Bir üçgenin iki kenarı 3 cm ve 8 cm’dir. Üçüncü kenar hangi değerler arasındadır? Uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayıysa kaç tane böyle üçgen vardır?
3) Bir ikizkenar üçgenin iki kenarı 4 cm ve 9 cm’dir. Çevresini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
a) 3 + 4 = 7 < 8; üçgen yoktur: kısa parçalar uzun parçanın iki ucuna ulaşamaz.
b) 5 + 6 = 11 > 7; üçgen vardır.
c) 2 + 3 = 5; eşitlik çıkar: üç nokta bir doğru üzerindedir, üçgen yoktur.
2) 8 − 3 < x < 8 + 3, yani 5 cm < x < 11 cm. Tam sayı değerleri: 6, 7, 8, 9, 10; 5 üçgen.
3) Yan kenarlar 4 cm olsaydı 4 + 4 = 8 < 9 olurdu; böyle bir üçgen yoktur. Demek ki yan kenarlar 9 cm, taban 4 cm: 9 + 9 > 4.
Cevap: Ç = 9 + 9 + 4 = 22 cm.
- a, büçgenin iki kenarı (a = BC, b = AC)
- ∠A, ∠Bbu kenarların karşısındaki açılar
Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur; eşit kenarların karşısında eşit açılar bulunur.
Neden? AC > AB olsun. AC üzerinde AD = AB olacak şekilde D noktasını işaretleyelim. ABD üçgeni ikizkenardır; bu yüzden ∠ABD = ∠ADB. ∠ADB ise BDC üçgeninin dış açısıdır; demek ki ∠C’den büyüktür. O hâlde ∠B > ∠ABD = ∠ADB > ∠C: AC’nin karşısındaki ∠B, AB’nin karşısındaki ∠C’den büyüktür.
1) ABC üçgeninde AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 9 cm. En büyük ve en küçük açı hangisidir?
2) ABC üçgeninde ∠A = 50°, ∠B = 60°. Kenarları küçükten büyüğe sıralayın.
3) Bir dik üçgenin en uzun kenarı hangisidir? Geniş açılı bir üçgeninki?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°. ∠A < ∠B < ∠C olduğundan karşılarındaki kenarlar da aynı sırayla dizilir: BC < AC < AB.
3) Dik açı üçgenin en büyük açısıdır (diğer ikisi dardır); bu yüzden hipotenüs en uzun kenardır. Geniş açılı üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır.
Kenarortay, açıortay, yükseklik ve orta taban
Üçgenin köşelerinden üç tür özel doğru parçası çıkar; problemlerde bunlar sık sık yardımcı çizgi olarak çizilir. Her üçgenin üç kenarortayı, üç açıortayı ve üç yüksekliği vardır.
Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası.
Üçgenin bir açısının açıortayının köşeden karşı kenara kadar olan parçası.
Üçgenin bir köşesinden karşı kenarı içeren doğruya indirilen dikme.
Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası. Her üçgenin üç orta tabanı vardır.
Dar açılı üçgende üç yükseklik de üçgenin içindedir. Dik üçgende iki yükseklik dik kenarlarla çakışır. Geniş açılı üçgende dar açıların köşelerinden çizilen yükseklikler üçgenin dışına düşer; onları çizmek için karşı kenarı uzatmak gerekir. İkizkenar üçgende tepeden tabana çizilen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir; çeşitkenar üçgende ise bir köşeden çizilen kenarortay, açıortay ve yükseklik üç farklı doğru parçasıdır. Orta tabanın temel özelliğini, yani üçüncü kenara paralel olup onun yarısına eşit olmasını, “Dörtgenler: paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare ve yamuk” dersinde ispatlayacağız.
- OA ve B açılarının açıortaylarının kesişme noktası
- ∠Cüçgenin üçüncü açısı
İki açıortay arasındaki açı. İspat: AOB üçgeninde ∠OAB + ∠OBA = (∠A + ∠B) / 2 = (180° − ∠C) / 2 = 90° − ∠C / 2; bu yüzden ∠AOB = 180° − (90° − ∠C / 2) = 90° + ∠C / 2.
1) ABC üçgeninde ∠A = 70°, ∠B = 50°. A ve B açılarının açıortayları O noktasında kesişiyor. ∠AOB’yi bulun.
2) ABC üçgeninde A ve B açılarının açıortayları 125°’lik bir açıyla kesişiyor. ∠C’yi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Formülü tersinden kullanalım: 90° + ∠C / 2 = 125°, ∠C / 2 = 35°, ∠C = 70°.
Açı hesaplama problemlerinde şu plan işe yarar:
- 1Şekli işaretle
Bilinen açıları, eşit kenarları, dik açıları ve açıortayların ayırdığı eşit parçaları şekle yaz.
- 2Bağlantıları ara
Üçgende toplam 180°, bir doğru üzerindeki komşu bütünler açılar 180°, ters açılar eşittir; paralel doğrularda Z, F, C; ikizkenar üçgende taban açıları eşittir; dış açı uzaktaki iki açının toplamıdır.
- 3Bilinmeyene x de
Açılar birbirine bağlıysa (“2 katı”, “20° küçük”) birine x deyip bir denklem kur.
- 4Kontrol et
Her üçgende açıların toplamı 180° olmalı, bütün açılar pozitif olmalı, büyük kenarın karşısında büyük açı bulunmalıdır.
1) ABC üçgeninde ∠B = 70°, ∠C = 30°. A köşesinden AH yüksekliği ve AL açıortayı çizilmiş. ∠HAL’yi bulun.
2) ABC üçgeninde ∠C = 90°, ∠A = 35° ve CH bir yüksekliktir. ∠ACH ve ∠BCH’yi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) ACH üçgeninde ∠AHC = 90° olduğundan ∠ACH = 90° − 35° = 55°. ∠BCH = 90° − 55° = 35°; ∠A’ya eşittir.
ABC üçgeninde BM kenarortayı çizilmiş, AB = 7 cm, BC = 10 cm. CBM ve ABM üçgenlerinin çevreleri arasındaki farkı bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
Ç(CBM) − Ç(ABM) = (BC + BM + MC) − (AB + BM + AM) = BC − AB = 10 − 7 = 3 cm.
İlginç olan, cevap için ne AC’ye ne de BM’ye gerek kalmamasıdır.
- 1.Bir üçgenin iki açısı 70° ve 45°. Üçüncü açı °’dir.
- 2.Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 80°. Taban açısı °’dir.
- 3.Bir dış açı 140°, ona komşu olmayan iç açılardan biri 60°. Diğeri °’dir.
- 4.Bir üçgenin iki kenarı 1 cm ve 6 cm, üçüncü kenar ise bir tam sayı. Bu kenar cm’dir.
- 5.Bir dik üçgenin dar açılarından biri 27°. Diğeri °’dir.
Önemli noktalar
- Üçgenler açılarına göre dar açılı, dik ve geniş açılı; kenarlarına göre çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar olur.
- İç açıların toplamı 180°’dir (bir köşeden karşı kenara paralel doğru çizilerek ispatlanır); dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- İkizkenar üçgende taban açıları eşittir: α = (180° − β) / 2; eşkenar üçgenin bütün açıları 60°’dir.
- Her kenar diğer ikisinin toplamından küçüktür; en uzun kenarı kontrol etmek yeter. Büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur.
- Kenarortay karşı kenarı, açıortay açıyı ikiye böler; yükseklik karşı kenara diktir; orta taban iki kenarın orta noktalarını birleştirir. İki açıortay arasındaki açı 90° + ∠C / 2’dir.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.