İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu

Bu derste öğreneceklerin

İkinci dereceden eşitsizlikleri diskriminantın üç durumunda da parabol taslağıyla çözmek
Çarpım ve bölümlerde, çift katlı kökler dahil, işaret tablosunu kullanmak
Rasyonel eşitsizlikleri paydayla çarpmadan doğru çözmek
Birinci ve ikinci dereceden eşitsizlik sistemlerini çözmek, köklü ve kesirli ifadelerin tanım kümesini bulmak

Bir top 20 m/s hızla dik olarak yukarı atılıyor. t saniye sonra yüksekliği yaklaşık h = 20t − 5t² metredir. Top ne zaman 15 m’den yüksekte olur? 20t − 5t² > 15 eşitsizliğini çözmeliyiz. −5’e böleriz (yön değişir): t² − 4t + 3 < 0, yani (t − 1)(t − 3) < 0. Top t = 1 ile t = 3 saniye arasında, yani 2 saniye boyunca 15 m’nin üstündedir. Bu derste böyle eşitsizlikleri birkaç satırda çözmeyi öğreneceksin.

Önceki derslerden üç şeye ihtiyacın olacak: birinci dereceden eşitsizlikleri çözmek ve aralık yazmak (“Birinci dereceden eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri”), kökleri diskriminantla bulmak ve ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) biçiminde çarpanlara ayırmak (“İkinci dereceden denklemler”) ve parabolün şekli (“İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği”).

İkinci dereceden eşitsizlik ve parabol

Tanım

İkinci dereceden eşitsizlik

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c > 0 (veya < 0, ≥ 0, ≤ 0) biçimindeki eşitsizlik. Onu çözmek, ax² + bx + c üç terimlisinin istenen işareti aldığı bütün x değerlerini bulmaktır.

ax² + bx + c ifadesinin değeri, y = ax² + bx + c parabolünün x noktasındaki yüksekliğidir. Yani üç terimli, parabolün x ekseninin üstünde kaldığı yerde pozitif, altında kaldığı yerde negatiftir. Bunun için ayrıntılı bir grafik gerekmez, iki bilgi yeter: kolların yönü (a’nın işareti) ve parabolün ekseni kestiği noktalar (Δ = b² − 4ac diskriminantıyla bulunan kökler).

a > 0 iken	ax² + bx + c > 0	ax² + bx + c < 0
Δ > 0: iki kök x₁ < x₂, parabol ekseni keser	x < x₁ veya x > x₂	x₁ < x < x₂
Δ = 0: çift katlı kök x₀, parabol eksene teğet	x ≠ x₀ olan her x	çözüm yok
Δ < 0: kök yok, parabolün tamamı eksenin üstünde	her x	çözüm yok

a < 0 ise eşitsizliği −1 ile çarp (yönü çevir) ve bu tabloyu kullan. ≥ ve ≤ durumunda kökleri de ekle: örneğin Δ = 0 iken ax² + bx + c ≥ 0 her x için, ax² + bx + c ≤ 0 ise yalnızca x = x₀ için doğrudur.

a > 0, x₁ < x₂: a(x − x₁)(x − x₂) > 0 ⇔ x < x₁ veya x > x₂; a(x − x₁)(x − x₂) < 0 ⇔ x₁ < x < x₂

burada:

x₁, x₂üç terimlinin kökleri
abaşkatsayı (x²’nin katsayısı)

Neden: x > x₂ iken iki parantez de pozitiftir; kökler arasında x − x₁ > 0 ama x − x₂ < 0’dır; x < x₁ iken ikisi de negatiftir ve çarpım yine pozitif olur. a > 0 için aklında tut: “kökler arasında eksi, dışında artı”.

1
a > 0 yap
Her şeyi sola topla ki sağda 0 kalsın. a < 0 ise −1 ile çarp ve yönü çevir.
2
Kökleri bul
ax² + bx + c = 0 denklemini çöz (diskriminant, Viète bağıntıları veya çarpanlara ayırma ile).
3
Taslak çiz
x eksenini çiz, kökleri işaretle ve onlardan geçen, kolları yukarı bakan bir parabol çiz. Koordinatlara ve tepe noktasına gerek yok.
4
Cevabı oku
> 0 için eksenin üstündeki kısımları, < 0 için altındaki kısmı al. ≥ ve ≤ durumunda kökleri de dahil et (içi dolu noktalar).

İki kök: Δ > 0

Çözün: 1) x² − 2x − 3 > 0; 2) −x² + 5x − 6 ≥ 0; 3) 2x² − x − 1 ≤ 0; 4) x² > 5x.

Çözümü göster

1) Δ = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/2, yani x₁ = −1, x₂ = 3. a = 1 > 0 ve “> 0” isteniyor — köklerin dışı: (−∞, −1) ∪ (3, +∞).
2) −1 ile çarpar ve yönü çeviririz: x² − 5x + 6 ≤ 0. Kökler 2 ve 3 (2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Kökler arası, kökler dahil: [2, 3].
3) Δ = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/4, yani x₁ = −1/2, x₂ = 1. Kökler arası, kökler dahil: [−1/2, 1].
4) x’e bölmek yasak! x² − 5x > 0 ⇒ x(x − 5) > 0, kökler 0 ve 5, dışı: (−∞, 0) ∪ (5, +∞).

Çift katlı kök veya kök yok: Δ = 0, Δ < 0

Çözün: 1) x² − 6x + 9 > 0; 2) x² − 6x + 9 ≤ 0; 3) x² + 2x + 5 > 0; 4) x² + 2x + 5 < 0; 5) −x² + 4x − 4 ≥ 0.

Çözümü göster

1) x² − 6x + 9 = (x − 3)², Δ = 0. Bir kare, x = 3 dışında her yerde pozitiftir: (−∞, 3) ∪ (3, +∞).
2) (x − 3)² ≤ 0 ancak (x − 3)² = 0 iken mümkündür: x = 3.
3) Δ = 4 − 20 = −16 < 0 ve a = 1 > 0: parabolün tamamı eksenin üstündedir, eşitsizlik her x için doğrudur.
4) Aynı üç terimli, ama “< 0”: çözüm yok.
5) −1 ile çarparız: x² − 4x + 4 ≤ 0, yani (x − 2)² ≤ 0: x = 2.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Başlangıçta y = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): grafik x < −1 ve x > 3 için eksenin üstündedir; bu, x² − 2x − 3 > 0 eşitsizliğinin çözümüdür. c = 1 yap: y = (x − 1)², parabol eksene teğet olur (Δ = 0). c’yi daha da artır: parabol eksenden ayrılır (Δ < 0) ve üç terimli her yerde pozitif olur. a’yı negatif yap ve işaretlerin nasıl tersine döndüğünü izle.

İşaret tablosu yöntemi

Parabol taslağı ikinci dereceden üç terimliler için kullanışlıdır. (x + 3)(x − 1)(x − 4) gibi birkaç çarpanın çarpımı içinse işaret tablosu kullanılır. x − a çarpanı a’nın solunda negatif, sağında pozitiftir. Bu yüzden çarpımın işareti yalnızca çarpanların köklerinde değişebilir, komşu kökler arasında ise aynı kalır. Her aralıkta işareti bir kez bulmak yeterlidir.

f(x) = (x − x₁)(x − x₂)…(x − xₙ), x₁ < x₂ < … < xₙ: (xₙ, +∞) aralığında f(x) > 0, her kökten geçerken işaret değişir

burada:

x₁, …, xₙçarpanların farklı kökleri, küçükten büyüğe
f(x)birinci dereceden çarpanların çarpımı

En büyük kökün sağında bütün parantezler pozitiftir, bu yüzden çarpım da pozitiftir; bir kökten geçerken yalnızca bir parantezin işareti değişir. Bu, bütün çarpanlar (x − a) biçimindeyken, yani x’in katsayısı pozitifken geçerlidir.

1
Sağda 0, solda çarpanlar
Her şeyi bir tarafa topla ve çarpanlara ayır. Her çarpanı (x − a) biçiminde yaz: (a − x) yerine −(x − a) yaz ve yönü çevir.
2
Kökleri bul
Payın ve paydanın köklerini bul. Paydanın kökleri asla cevaba dahil değildir.
3
Sayı doğrusuna yerleştir
Kökleri küçükten büyüğe yerleştir: ≤ ve ≥ durumunda payın kökleri içi dolu, diğerleri içi boş noktadır.
4
İşaretleri yaz
En sağdaki aralığa “+” yaz, sonra sağdan sola işaretleri değiştir; çift katlı kökte işareti koru.
5
Cevabı yaz
İstenen işaretteki aralıkları ∪ ile birleştir.

Çarpımlar

Çözün: 1) (x + 3)(x − 1)(x − 4) < 0; 2) x³ − 4x ≥ 0; 3) (2 − x)(x + 5) > 0.

Çözümü göster

1) Kökler: −3, 1, 4. Sağdan sola işaretler: (4, +∞) “+”, (1, 4) “−”, (−3, 1) “+”, (−∞, −3) “−”. “−” isteniyor: (−∞, −3) ∪ (1, 4).
2) x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Kökler −2, 0, 2; sağdan işaretler: +, −, +, −. “+” ve kökler isteniyor: [−2, 0] ∪ [2, +∞).
3) 2 − x = −(x − 2), bu yüzden −(x − 2)(x + 5) > 0 ⇒ (x − 2)(x + 5) < 0 (−1 ile çarptık, yön döndü). Kökler −5 ve 2, “−” isteniyor: (−5, 2). Kontrol: x = 0 için (2 − 0)(0 + 5) = 10 > 0 — doğru.

Çift ve tek katlı kökler

(x − 3)²(x + 1) ifadesinde (x − 3) çarpanı iki kez tekrarlanır. Bir kare asla negatif olmaz, bu yüzden (x − 3)² çarpanı x = 3’te işaret değiştirmez, orada yalnızca sıfır olur. Kural: çift kuvvetli (2, 4, …) bir çarpanın kökünden, yani çift katlı kökten geçerken işaret aynı kalır; tek katlı kökten (1, 3, …) geçerken değişir.

(x − a)ⁿ: n çift ⇒ a’da işaret değişmez; n tek ⇒ a’da işaret değişir

burada:

nçarpanın kuvveti (kökün katlılığı)
açarpanın kökü

Kural paydanın köklerinde de geçerlidir: paydadaki (x − 2)² çarpanı 2’de işaret değiştirmez, ama 2 yine de cevaba dahil değildir.

Çift katlı kökler

Çözün: 1) (x − 3)²(x + 1) > 0; 2) (x − 3)²(x + 1) ≥ 0; 3) (x − 3)²(x + 1) < 0; 4) (x + 2)³(x − 5)⁴ ≤ 0.

Çözümü göster

İlk üçünün kökleri: −1 (tek katlı) ve 3 (çift katlı). Sağdan işaretler: (3, +∞) “+”; 3’te işaret korunur, (−1, 3) “+”; −1’de değişir, (−∞, −1) “−”.
1) Kökler hariç “+”: (−1, 3) ∪ (3, +∞) — 3 noktası atılır, çünkü orada çarpım 0’dır.
2) “+” ve kökler: [−1, 3] ∪ [3, +∞) = [−1, +∞).
3) “−”: (−∞, −1).
4) Kökler −2 (kuvvet 3, tek katlı) ve 5 (kuvvet 4, çift katlı). İşaretler: (5, +∞) “+”, (−2, 5) “+”, (−∞, −2) “−”. “−” veya 0 isteniyor: (−∞, −2] ∪ {5} — tek başına kalan 5 noktasını kaybetmek çok kolaydır!

Rasyonel eşitsizlikler

f/g bölümü, f · g çarpımıyla aynı işaretlidir, çünkü bölme ve çarpma aynı işaret kurallarına uyar. Bu yüzden rasyonel eşitsizlik de işaret tablosuyla çözülür, ek bir koşulla: payda sıfır olamaz. Asla yapmaman gereken şey, iki tarafı x içeren paydayla çarpmaktır: paydanın pozitif mi negatif mi olduğunu bilmiyorsun, dolayısıyla yönü çevirmen gerekip gerekmediğini de bilmiyorsun.

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 ve g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 ve g(x) ≠ 0

burada:

f(x)pay
g(x)payda, g(x) ≠ 0

Önce eşitsizliği “kesir ∨ 0” biçimine getir: her şeyi sola topla ve tek bir kesirde birleştir. Sonra payın ve paydanın kökleriyle işaret tablosunu kullan.

Rasyonel eşitsizlikler

Çözün: 1) (x + 2)(x − 1)/(x − 4) ≤ 0; 2) 1/x < 2; 3) (x + 3)/(x − 2) ≥ 1; 4) (x − 1)²/(x + 3) ≤ 0.

Çözümü göster

1) Kökler: −2 ve 1 (pay, ≤ olduğu için dahil) ve 4 (payda, her zaman dışarıda). Sağdan işaretler: +, −, +, −. Kontrol: x = 0 için (2 · (−1))/(−4) = 1/2 > 0; (−2, 1) gerçekten “+”. Cevap: (−∞, −2] ∪ [1, 4).
2) 1/x − 2 < 0 ⇒ (1 − 2x)/x < 0. −1 ile çarparız: (2x − 1)/x > 0. Kökler 0 ve 1/2, “+” isteniyor: (−∞, 0) ∪ (1/2, +∞).
3) (x + 3)/(x − 2) − 1 ≥ 0 ⇒ (x + 3 − x + 2)/(x − 2) ≥ 0 ⇒ 5/(x − 2) ≥ 0. Pay 5 pozitif, demek ki x − 2 > 0: (2, +∞).
4) Pay (x − 1)² negatif olmaz, payda −3’te sıfırdır. İşaretler: (1, +∞) “+”, (−3, 1) “+” (1’de çift katlı kök), (−∞, −3) “−”. “−” veya 0 isteniyor: (−∞, −3) ∪ {1}.

Sistemler ve tanım kümesi

Birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerden oluşan bir sistemde her eşitsizliği ayrı ayrı çöz, bütün cevapları aynı sayı doğrusunun üstünde göster ve hepsinin üst üste geldiği kısmı al; tıpkı birinci dereceden sistemlerde olduğu gibi.

Karma sistemler

Çözün: 1) {x² − 5x + 4 ≤ 0, 2x − 5 > 0}; 2) {x² − x − 6 < 0, x² ≥ 1} ve tam sayı çözümlerinin sayısını bulun.

Çözümü göster

1) x² − 5x + 4 ≤ 0: kökler 1 ve 4, arası: [1, 4]. 2x − 5 > 0: x > 5/2. Kesişim: (5/2, 4] (tam sayı çözümleri 3 ve 4).
2) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0: (−2, 3). x² ≥ 1: x ≤ −1 veya x ≥ 1. Ortak kısım: (−2, −1] ∪ [1, 3). Tam sayı çözümleri: −1, 1, 2; toplam 3.

Tanım

Tanım kümesi

Bir ifadenin tanım kümesi, ifadenin anlamlı olduğu (hesaplanabildiği) bütün x değerlerinin kümesidir. Köklü ve kesirli ifadelerde tanım kümesi eşitsizlik çözülerek bulunur.

√A ⇒ A ≥ 0; B’ye bölme ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0√A ⇒ A ≥ 0; B’ye bölme ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0

burada:

Akarekökün içindeki ifade
Bpayda
Cpaydadaki kökün içindeki ifade: hem ≥ 0 hem ≠ 0, yani > 0

Her kök ve her payda için bir koşul yaz ve hepsini birlikte sistem olarak çöz.

Tanım kümesini bulmak

Tanım kümesini bulun: 1) y = √(6 − 2x); 2) y = √(x² − 4x − 5); 3) y = 1/√(12 + x − x²); 4) y = √(x + 3)/(x² − 4); 5) y = √((x − 2)/(x + 4)).

Çözümü göster

1) 6 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3: (−∞, 3].
2) x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) ≥ 0 ⇒ (−∞, −1] ∪ [5, +∞).
3) 12 + x − x² > 0 ⇒ x² − x − 12 < 0 ⇒ (x − 4)(x + 3) < 0 ⇒ (−3, 4).
4) x + 3 ≥ 0 ve x² − 4 ≠ 0: x ≥ −3, x ≠ −2, x ≠ 2 ⇒ [−3, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞).
5) (x − 2)/(x + 4) ≥ 0: kökler −4 (payda) ve 2 (pay); “+” dışarıda: (−∞, −4) ∪ [2, +∞).

Kendini dene: boşluğu doldur

1.x² − 16 < 0 ⇒ < x < 4
2.(x − 1)(x − 7) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤
3.x² − 10x + 25 ≤ 0 ⇒ x =
4.(x + 3)/(x − 6) < 0 ⇒ −3 < x <
5.y = √(8 − 2x) fonksiyonunun tanım kümesi: x ≤
6.x² − 4x − 5 < 0 eşitsizliğinin tam sayı çözümlerinin sayısı:

Önemli noktalar

a > 0 iken ax² + bx + c kökler arasında negatif, dışında pozitiftir; a < 0 ise önce −1 ile çarp ve yönü çevir.
Δ = 0: (x − x₀)² > 0 her x ≠ x₀ için, ≤ 0 ise yalnızca x₀’da; Δ < 0 ve a > 0: üç terimli her x için pozitiftir.
İşaret tablosu: kökler küçükten büyüğe, en sağda “+”, sonra sırayla değişim; çift katlı kökte işaret korunur.
x içeren paydayla asla çarpma: eşitsizliği “kesir ∨ 0” biçimine getir; paydanın kökleri her zaman dışarıda kalır.
Tanım kümesi: kök içi ≥ 0, payda ≠ 0, paydadaki kökün içi > 0; koşullar birlikte sistem olarak çözülür.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

a > 0 ve Δ > 0 iken ax² + bx + c üç terimlisi nerede negatiftir?