İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri10–11. sınıf25 dk44 / 82

Üstel fonksiyon, üstel denklemler ve eşitsizlikler

y = aˣ üstel fonksiyonu, grafiği ve özellikleri, e sayısı, büyüme ve azalma modelleri (bileşik faiz, ikiye katlanma, yarı ömür), üstel denklemlerin dört çözüm yöntemi ve üstel eşitsizlikler.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • y = aˣ fonksiyonunun grafiğini çizmek, özelliklerini söylemek ve kuvvetleri karşılaştırmak
  • Bileşik faiz, ikiye katlanma ve yarı ömür problemlerini üstel modelle çözmek
  • Üstel denklemleri ortak tabana getirme, ortak çarpan parantezine alma, değişken değiştirme ve homojen denklem yöntemleriyle çözmek
  • Üstel eşitsizlikleri tabanın 1'den büyük ya da küçük olmasına dikkat ederek çözmek

Aysel bankaya 1000 manat yatırıyor; banka her yıl bakiyeye %10 ekliyor. İlk yıl 100 manat kazanıyor, ikinci yıl ise 110 manat, çünkü faiz yeni bakiyeye işler. Bakiye her yıl aynı sayıyla, 1,1 ile çarpılır ve n yıl sonra hesapta 1000 · 1,1ⁿ manat olur. 10 yılda bu 2593,74 manat eder; düz “yılda +100 manat” artış ise yalnızca 2000 manat verirdi. Değişkenin üste bulunduğu bu tür bağıntıları üstel fonksiyon tanımlar.

“Tam sayı üslü ifadeler ve özellikleri” ile “Karekök, n. dereceden kök ve rasyonel üslü ifadeler” derslerinde aⁿ ifadesini tam sayı ve rasyonel üsler için incelemiştik. Şimdi değişken üsse geçiyor: önce bu fonksiyonun özelliklerini, sonra üstel denklem ve eşitsizliklerin çözüm yöntemlerini öğreneceğiz. Sonraki derste, “Logaritma ve özellikleri. Logaritma fonksiyonu”, 2ˣ = 5 gibi denklemleri çözen yeni bir işlemle tanışacağız.

Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Bakiye her yıl aynı sayıyla (1,1 ile) çarpılır: bu üstel büyümedir. Faiz oranını değiştir ve bakiyenin kaç yılda ikiye katlandığına bak.

Üstel fonksiyon ve grafiği

Tanım
Üstel fonksiyon

y = aˣ biçimindeki fonksiyon; burada taban a sabit bir sayıdır (a > 0, a ≠ 1), değişken x ise üstedir. Örnekler: y = 2ˣ, y = (1/3)ˣ, y = 10ˣ, y = eˣ. y = x² ise üstel değil, kuvvet fonksiyonudur: orada değişken tabandadır.

Bu koşullar rastgele değildir. a < 0 olsaydı (−4)^(1/2) = √(−4) gibi değerler anlamsız olurdu; a = 1 iken de yalnızca 1ˣ = 1 sabitini elde ederiz. a > 0 iken aˣ her gerçek x için anlamlıdır: rasyonel üsler kökler yardımıyla, irrasyonel üsler ise yaklaşımla tanımlanır; 2^√2 ≈ 2,665 sayısı 2^1,4, 2^1,41, 2^1,414, … kuvvetlerinin yaklaştığı sayıdır.

y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
burada:
  • ataban; 1'den farklı sabit pozitif bir sayı
  • xüs; herhangi bir gerçek sayı
  • yfonksiyonun değeri; her zaman pozitif

Üstel fonksiyon: tanım kümesi tüm gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, +∞). a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalandır.

xy = 2ˣy = (1/2)ˣ
−31/88
−21/44
−11/22
011
121/2
241/4
381/8
2ˣ artar, (1/2)ˣ azalır; ikisi de x = 0'da 1'e eşittir ve hiçbir zaman 0 ya da negatif olmaz. (1/2)ˣ = 2⁻ˣ olduğundan sütunlar birbirinin ayna görüntüsüdür.
  • Tanım kümesi tüm gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, +∞): aˣ > 0. Bu yüzden 2ˣ = −4 ve 3ˣ = 0 denklemlerinin çözümü yoktur.
  • Grafik (0, 1) ve (1, a) noktalarından geçer, çünkü a⁰ = 1 ve a¹ = a.
  • a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise azalandır.
  • x ekseni (y = 0) yatay asimptottur: grafik ona istediğimiz kadar yaklaşır ama onu hiçbir zaman kesmez.
  • y = aˣ ve y = (1/a)ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir, çünkü (1/a)ˣ = a⁻ˣ.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Birinci grafik y = aˣ, ikincisi y = (1/a)ˣ. a'yı değiştir: iki grafik de (0, 1) noktasından geçer, x ekseninin altına inmez ve y eksenine göre birbirinin ayna görüntüsüdür. a = 1 iken ikisi de y = 1 doğrusuna dönüşür.

Monotonluk, kuvvetleri hesaplamadan karşılaştırmamızı sağlar: a > 1 ise büyük üs büyük kuvvet verir, 0 < a < 1 ise tersi olur. Tabanlar farklıysa önce onları aynı tabana getir.

Kuvvetleri karşılaştırma ve görüntü kümesi

Karşılaştırın:
1) 2^0,7 ve 2^0,5
2) 0,3⁻² ve 0,3⁻¹
3) 4^0,3 ve 8^0,25
4) (1/3)^√2 ve (1/3)^1,5
5) y = 2ˣ + 3 fonksiyonunun görüntü kümesini bulun.

Çözümü göster
1) Taban 2 > 1, fonksiyon artan; 0,7 > 0,5 ⇒ 2^0,7 > 2^0,5.
2) Taban 0,3 < 1, fonksiyon azalan; −2 < −1 ⇒ 0,3⁻² > 0,3⁻¹ (kontrol: 11,1 > 3,3).
3) Aynı tabana getiririz: 4^0,3 = 2^0,6, 8^0,25 = 2^0,75. 0,6 < 0,75 ⇒ 4^0,3 < 8^0,25.
4) √2 ≈ 1,414 < 1,5 ve taban 1/3 < 1 ⇒ (1/3)^√2 > (1/3)^1,5.
5) 2ˣ her pozitif değeri alır, yani 2ˣ + 3 > 3. Görüntü kümesi: (3, +∞).

Büyüme ve azalma modelleri. e sayısı

Aysel'in birikimi şu yasaya uyar: eşit zaman aralıklarında büyüklük aynı sayıyla çarpılır. Çarpan 1'den büyükse bu üstel büyümedir (bakterilerin çoğalması, fiyat artışı); 1'den küçükse üstel azalmadır (arabanın değer kaybı, radyoaktif bozunma). Her seferinde aynı miktarın eklendiği doğrusal artıştan farklı olarak burada büyüklük her seferinde aynı kat kadar artar.

N(t) = N₀ · a^(t/T)
burada:
  • N₀başlangıç miktarı (t = 0 anında)
  • abir dönemdeki çarpan: %p artışta a = 1 + p/100, %p azalışta a = 1 − p/100, ikiye katlanmada a = 2, yarıya inmede a = 1/2
  • Tbir dönemin uzunluğu (yıl, saat, gün…)
  • tgeçen süre; t/T geçen dönem sayısıdır

Her T sürede büyüklük a ile çarpılır. Bileşik faiz: S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ (T = 1 yıl, n yıl sayısı). Radyoaktif bozunma: m = m₀ · (1/2)^(t/T); burada T yarı ömürdür.

Faiz, değer kaybı, çoğalma ve bozunma

1) Aysel 1000 manatı yıllık %10 bileşik faizle 3 yıllığına yatırıyor. Sonunda hesabında ne kadar olur?
2) 20 000 manatlık bir araba her yıl değerinin %20'sini kaybediyor. 3 yıl sonra değeri ne kadar olur?
3) Bakteriler her 20 dakikada bir ikiye katlanıyor. 500 bakteriden 2 saat sonra kaç bakteri olur?
4) İyot-131'in yarı ömrü yaklaşık 8 gündür. 80 mg iyottan 24 gün sonra ne kadar kalır?

Çözümü göster
1) a = 1,1, n = 3: S = 1000 · 1,1³ = 1000 · 1,331 = 1331 manat.
2) a = 1 − 0,2 = 0,8: 20 000 · 0,8³ = 20 000 · 0,512 = 10 240 manat.
3) T = 20 dk, t = 120 dk ⇒ t/T = 6: N = 500 · 2⁶ = 500 · 64 = 32 000.
4) t/T = 24 : 8 = 3: m = 80 · (1/2)³ = 80 : 8 = 10 mg.

Faiz yılda bir kez değil de daha sık işletilirse ne olur? Diyelim ki 1 manat yıllık %100 faizle yatırıldı ve faiz yılda n kez, her seferinde %100/n oranıyla işletiliyor. Yıl sonunda (1 + 1/n)ⁿ manat olur. n büyüdükçe bu sayı da büyür ama sınırsız büyümez; belirli bir sayıya yaklaşır.

Faiz işletilirn(1 + 1/n)ⁿ
yılda bir kez12
altı ayda bir22,25
ayda bir122,613035…
günde bir3652,714567…
bir milyon kez1 000 0002,718280…
Kazanç artıyor ama giderek yavaşlıyor: sayılar e ≈ 2,71828'e yaklaşıyor.
(1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,71828 (n → ∞)(1 + 1/n)ⁿ → e ≈ 2,71828 (n → ∞)
burada:
  • eEuler sayısı; irrasyonel bir sayı, doğal logaritmanın tabanı
  • nfaizin yılda kaç kez işletildiği

e tabanlı y = eˣ fonksiyonuna doğal üstel fonksiyon denir. Bir büyüklük her an kendi miktarıyla orantılı bir hızla değişiyorsa (bakteriler, nüfus, radyoaktif madde) e'nin kuvvetleriyle ifade edilir.

N(t) = N₀ · e^(kt)
burada:
  • N₀başlangıç miktarı
  • khız sabiti: k > 0 büyüme, k < 0 azalma
  • tzaman

Sürekli büyüme ve azalma modeli. e'nin kuvvetleri hesap makinesiyle bulunur: e ≈ 2,718, e⁻¹ ≈ 0,368, e^0,1 ≈ 1,105.

e tabanlı modeller

1) Laboratuvarda 2000 bakteri var ve N(t) = 2000 · e^(0,5t) (t saat cinsinden). 2 saat sonra kaç bakteri olur?
2) Bir maddenin kütlesi m(t) = 100 · e^(−0,1t) gram yasasıyla azalıyor (t gün cinsinden). 10 gün sonra ne kadar kalır?
3) 1000 manat, yıllık %10 sürekli faizle 1 yıl tutuluyor: S = 1000 · e^0,1. Faizin yılda bir kez işletilmesiyle karşılaştırın.

Çözümü göster
1) N(2) = 2000 · e^(0,5 · 2) = 2000 · e ≈ 2000 · 2,718 ≈ 5437.
2) m(10) = 100 · e⁻¹ ≈ 100 · 0,368 ≈ 36,8 g.
3) S = 1000 · e^0,1 ≈ 1105,17 manat; yılda bir kez işletilirse 1000 · 1,1 = 1100 manat. Sürekli faiz yalnızca 5,17 manat fazla verir: artış sınırsız değildir, onu e sayısı sınırlar.

Üstel denklemler: dört temel yöntem

Tanım
Üstel denklem

Bilinmeyenin üste bulunduğu denklem: 2^(x + 1) = 32, 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0. Bütün yöntemlerin amacı aynıdır: denklemi a^f(x) = a^g(x) biçimine getirmek.

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (a > 0, a ≠ 1)
burada:
  • aiki tarafta aynı taban
  • f(x), g(x)üslerdeki ifadeler

Neden doğru: aˣ monotondur ve her değeri yalnızca bir kez alır; bu yüzden eşit kuvvetlerin üsleri de eşittir. aˣ = b denkleminin b > 0 iken tek çözümü vardır, b ≤ 0 iken çözümü yoktur.

  1. 1
    Tabanlara bak

    Bütün kuvvetleri aynı tabanla yazmaya çalış: 4 = 2², 0,25 = 2⁻², √2 = 2^(1/2), 1/27 = 3⁻³.

  2. 2
    Aynı tabanlı birkaç terim

    Üssü en küçük olan kuvveti ortak çarpan olarak paranteze al: 3^(x + 2) − 3ˣ = 3ˣ(9 − 1).

  3. 3
    a^(2x) ile aˣ birlikte

    t = aˣ değişken değiştirmesi yap, t > 0 koşulunu yaz ve ikinci dereceden denklemi çöz.

  4. 4
    İki farklı taban: 4ˣ, 6ˣ, 9ˣ

    Homojen bir denklemdir: 9ˣ'e böl ve t = (2/3)ˣ al.

  5. 5
    Kontrol et

    Bulduğun kökü ilk denklemde yerine koy ya da en azından t > 0 koşulunu kontrol et.

1. yöntem: ortak tabana getirme

Çözün:
1) 2^(x + 1) = 32
2) 9ˣ = 27
3) (1/5)ˣ = 125
4) 4^(x² − x) = 16
5) 2ˣ = 4√2

Çözümü göster
1) 32 = 2⁵ ⇒ x + 1 = 5 ⇒ x = 4.
2) 9ˣ = 3^(2x), 27 = 3³ ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2.
3) 1/5 = 5⁻¹ ⇒ 5^(−x) = 5³ ⇒ x = −3.
4) 16 = 4² ⇒ x² − x = 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = 2 veya x = −1.
5) 4√2 = 2² · 2^(1/2) = 2^(5/2) ⇒ x = 5/2.
a^(x + k) = aˣ · aᵏ
burada:
  • ksabit bir sayı (üslerin farkı)

Üsleri sabit bir sayı kadar farklı olan kuvvetlerin ortak çarpanı aˣ'tir. Onu paranteze alırız, parantezin içinde sıradan bir sayı kalır.

2. yöntem: ortak çarpan parantezine alma

Çözün:
1) 3^(x + 2) − 3ˣ = 72
2) 2^(x + 1) + 2^(x − 1) = 20
3) 5ˣ + 5^(x + 1) = 150

Çözümü göster
1) 3^(x + 2) = 9 · 3ˣ ⇒ 3ˣ(9 − 1) = 72 ⇒ 3ˣ = 9 ⇒ x = 2.
2) En küçük üs x − 1: 2^(x − 1)(2² + 1) = 20 ⇒ 2^(x − 1) = 4 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3.
Kontrol: 2⁴ + 2² = 16 + 4 = 20.
3) 5ˣ(1 + 5) = 150 ⇒ 5ˣ = 25 ⇒ x = 2.
a^(2x) = (aˣ)² = t², t = aˣ > 0
burada:
  • tyeni değişken; aˣ > 0 olduğundan her zaman pozitiftir

a^(2x), aˣ ve sabit terimden oluşan denklem t'ye göre ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. a^(−x) = 1/t olduğundan aˣ + a^(−x) içeren denklemler de böyle çözülür.

3. yöntem: değişken değiştirme

Çözün:
1) 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0
2) 4ˣ − 2ˣ − 12 = 0
3) 2ˣ + 2^(2 − x) = 5

Çözümü göster
1) 9ˣ = (3ˣ)². t = 3ˣ > 0: t² − 4t + 3 = 0 ⇒ t = 1 veya t = 3.
3ˣ = 1 ⇒ x = 0; 3ˣ = 3 ⇒ x = 1. Cevap: 0 ve 1.
2) t = 2ˣ > 0: t² − t − 12 = 0 ⇒ t = 4 veya t = −3.
2ˣ negatif olamayacağı için t = −3 atılır. 2ˣ = 4 ⇒ x = 2.
3) 2^(2 − x) = 4/2ˣ. t = 2ˣ > 0: t + 4/t = 5 ⇒ t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 veya t = 4.
Cevap: x = 0 ve x = 2.
A · a^(2x) + B · aˣbˣ + C · b^(2x) = 0 | : b^(2x) ⇒ A · t² + B · t + C = 0, t = (a/b)ˣ > 0A · a^(2x) + B · aˣbˣ + C · b^(2x) = 0 | : b^(2x) ⇒ A · t² + B · t + C = 0, t = (a/b)ˣ > 0
burada:
  • a, biki farklı pozitif taban (örneğin 2 ve 3)
  • A, B, Csayısal katsayılar

Homojen denklem: her terimin “derecesi” aynıdır (a^(2x), aˣbˣ, b^(2x)). b^(2x) hiçbir zaman 0 olmadığından ona bölebilir ve tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. En basit durum: aˣ = bˣ ⇔ (a/b)ˣ = 1 ⇔ x = 0.

4. yöntem: homojen denklemler

Çözün:
1) 5ˣ = 7ˣ
2) 3 · 4ˣ − 5 · 6ˣ + 2 · 9ˣ = 0
3) 9ˣ + 6ˣ = 2 · 4ˣ

Çözümü göster
1) 7ˣ > 0'a böleriz: (5/7)ˣ = 1 = (5/7)⁰ ⇒ x = 0.
2) 4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)², 6ˣ = 2ˣ · 3ˣ. 9ˣ'e böleriz: 3 · (2/3)^(2x) − 5 · (2/3)ˣ + 2 = 0.
t = (2/3)ˣ > 0: 3t² − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 1 veya t = 2/3.
(2/3)ˣ = 1 ⇒ x = 0; (2/3)ˣ = 2/3 ⇒ x = 1. Cevap: 0 ve 1.
Kontrol (x = 1): 12 − 30 + 18 = 0.
3) 4ˣ'e böleriz: (3/2)^(2x) + (3/2)ˣ − 2 = 0. t = (3/2)ˣ > 0: t² + t − 2 = 0 ⇒ t = 1 veya t = −2 (atılır).
(3/2)ˣ = 1 ⇒ x = 0.

Üstel eşitsizlikler

Eşitsizlikte de iki tarafı aynı tabana getiririz, ama üslere geçerken tek bir soru belirleyicidir: fonksiyon artan mı, azalan mı? Artan fonksiyon büyük değişkene büyük değer verir, bu yüzden yön korunur; azalan fonksiyonda ise yön değişir.

a > 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x); 0 < a < 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)
burada:
  • aortak taban
  • f(x), g(x)üslerdeki ifadeler

Taban 1'den küçükse yön değişir. Sağ taraf negatif ya da sıfırsa çözecek bir şey yoktur: aˣ > −3 her x için doğrudur, aˣ < 0 ise hiçbir zaman.

Ortak tabana getirilen eşitsizlikler

Çözün:
1) 2^(x − 1) > 8
2) (1/3)ˣ ≥ 27
3) 0,5^(x² − 2x) ≥ 1/8
4) 3^(x²) < 9^(x + 4)

Çözümü göster
1) 8 = 2³, taban 2 > 1, yön korunur: x − 1 > 3 ⇒ x > 4.
2) 27 = (1/3)⁻³, taban 1/3 < 1, yön değişir: x ≤ −3.
3) 1/8 = 0,5³, taban 0,5 < 1: x² − 2x ≤ 3 ⇒ (x − 3)(x + 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−1, 3].
4) 9^(x + 4) = 3^(2x + 8), taban 3 > 1: x² < 2x + 8 ⇒ (x − 4)(x + 2) < 0 ⇒ x ∈ (−2, 4).
Son ikisini “İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu” dersindeki işaret tablosu yöntemiyle bitirdik.
Değişken değiştirmeyle eşitsizlikler

Çözün:
1) 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 < 0
2) 9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 > 0

Çözümü göster
1) t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 < 0 ⇒ (t − 1)(t − 4) < 0 ⇒ 1 < t < 4.
2⁰ < 2ˣ < 2² ve taban 2 > 1 ⇒ 0 < x < 2.
2) t = 3ˣ > 0: (t − 3)(t + 1) > 0. t > 0 olduğundan t + 1 > 0; demek ki t − 3 > 0, yani t > 3.
3ˣ > 3¹ ⇒ x > 1.

Önemli noktalar

  • y = aˣ (a > 0, a ≠ 1): tanım kümesi tüm gerçek sayılar, görüntü kümesi (0, +∞); grafik (0, 1) noktasından geçer.
  • a > 1 ise aˣ artan, 0 < a < 1 ise azalandır; y = aˣ ve y = (1/a)ˣ grafikleri y eksenine göre simetriktir.
  • Büyüme ve azalma modeli: N(t) = N₀ · a^(t/T); e ≈ 2,718, (1 + 1/n)ⁿ sayılarının yaklaştığı sayıdır; sürekli model: N₀ · e^(kt).
  • a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x). Yöntemler: ortak taban, ortak çarpan, t = aˣ > 0 dönüşümü, homojen denklemde b^(2x)'e bölme.
  • Eşitsizlikte a > 1 ise yön korunur, 0 < a < 1 ise değişir; aˣ > 0 olduğunu unutma.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?