İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri8. sınıf22 dk38 / 82

Birinci dereceden eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri

Eşitsizliklerin özellikleri, aralıklar ve gösterimleri, birinci dereceden eşitsizliklerin çözümü, sistemler ve çift taraflı eşitsizlikler, tam sayı çözümlerini sayma, basit mutlak değer eşitsizlikleri, tarife ve bütçe problemleri.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Çözüm kümesini aralık olarak yazmak ve sayı doğrusunda göstermek
  • Eşitsizliklerin özelliklerini (negatif sayıyla çarpınca yönü çevirmek dahil) uygulamak ve toplam, fark, çarpımın değer aralığını bulmak
  • Birinci dereceden eşitsizlikleri, sistemleri ve çift taraflı eşitsizlikleri çözmek, tam sayı çözümlerini saymak
  • |x − a| < b ve |x − a| > b eşitsizliklerini çözmek, tarife ve bütçe problemleri için eşitsizlik kurmak

Bir mobil tarife: ayda 5 manat sabit ücret ve her konuşma dakikası için 0,1 manat. Leyla ayda 12 manattan fazla harcamak istemiyor. Ne kadar konuşabilir? Dakika sayısına x dersek 5 + 0,1x ≤ 12, yani 0,1x ≤ 7 ve x ≤ 70. Cevap tek bir sayı değil, bütün bir kümedir: 0 ile 70 dakika arasındaki her süre. “En çok”, “en az”, “…den fazla olmamak üzere”, “daha ucuz” gibi ifadeler içeren sorular eşitsizliklere götürür.

“Birinci dereceden denklemler” dersinde terimleri eşitliğin öbür tarafına atıyor ve x’in katsayısına bölüyordun. Birinci dereceden eşitsizlikler de hemen hemen aynı şekilde çözülür; tek önemli farkı bu derste göreceğiz. Sonraki ders, “İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu”, burada öğrendiklerinin hepsine dayanır.

Eşitsizlik, çözüm kümesi ve aralıklar

Tanım
Eşitsizliğin çözümü

Değişkenli bir eşitsizliğin çözümü, yerine yazıldığında eşitsizliği doğru bir sayısal eşitsizliğe çeviren değerdir. Eşitsizliği çözmek, bütün çözümlerini (çözüm kümesini) bulmak ya da çözümü olmadığını göstermektir. Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere denk eşitsizlikler denir.

< ve > işaretleri kesin, ≤ (“küçük veya eşit”) ve ≥ (“büyük veya eşit”) işaretleri ise kesin olmayan eşitsizlik verir. Örneğin x = 3, x ≤ 3 eşitsizliğinin çözümüdür ama x < 3 eşitsizliğinin çözümü değildir. Birinci dereceden bir eşitsizliğin çözümleri sayı doğrusunun bütün bir parçasını kaplar; bu yüzden onları aralık olarak yazarız.

EşitsizlikGösterimAdıSayı doğrusunda
a < x < b(a, b)açık aralıkiki uç da içi boş nokta
a ≤ x ≤ b[a, b]kapalı aralıkiki uç da içi dolu nokta
a ≤ x < b[a, b)yarı açık aralıka dolu, b boş nokta
x > a(a, +∞)sağa sınırsız açık aralıka boş nokta, tarama sağa doğru
x ≥ a[a, +∞)sağa sınırsız aralıka dolu nokta, tarama sağa doğru
x ≤ a(−∞, a]sola sınırsız aralıka dolu nokta, tarama sola doğru
Köşeli parantez ucun dahil olduğunu, normal parantez dahil olmadığını gösterir. ∞ yanında her zaman normal parantez kullanılır: sonsuz bir sayı değildir. Bütün sayı doğrusu (−∞, +∞), boş küme ise ∅ ile gösterilir.
Aralıkları okumak ve yazmak

1) Aralık olarak yazın: a) −2 < x ≤ 5; b) x ≥ −1; c) x < 4.
2) Eşitsizlik olarak yazın: [0, 3) ve (−∞, −2].
3) (−2, 3] aralığında hangi tam sayılar vardır? −2 ve 3 bu aralığa dahil midir?

Çözümü göster
1) a) (−2, 5] — −2 dahil değil (normal parantez), 5 dahil (köşeli parantez); b) [−1, +∞); c) (−∞, 4).
2) [0, 3) ⇔ 0 ≤ x < 3; (−∞, −2] ⇔ x ≤ −2.
3) −2 dahil değil, 3 dahil. Tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3; toplam 5 sayı.

Eşitsizliklerin özellikleri

Kurallar nereden geliyor? Tanıma göre a > b, a − b farkının pozitif olması demektir. Aşağıdaki bütün özellikler bu tek fikirden çıkar: a ve b’ye aynı c sayısını eklemek farkı değiştirmez; c ile çarpmak farkı da c ile çarpar ve c(a − b) çarpımı işaretini yalnızca c > 0 iken korur. c < 0 iken çarpımın işareti değişir; eşitsizliğin yönünün dönmesinin nedeni tam olarak budur.

a < b ⇒ a + c < b + c; c > 0: ac < bc; c < 0: ac > bc
burada:
  • a, beşitsizliğin iki tarafı
  • ciki tarafa eklenen veya iki tarafın çarpıldığı sayı

Aynı sayıyı eklemek (çıkarmak) ve pozitif bir sayıyla çarpmak (bölmek) yönü korur. Negatif bir sayıyla çarparken veya bölerken eşitsizliğin yönü değişir.

Özellikleri kullanmak

a < b olduğu biliniyor. Karşılaştırın: 1) a − 7 ve b − 7; 2) 5a ve 5b; 3) −2a ve −2b; 4) 3 − a ve 3 − b.

Çözümü göster
1) İki taraftan 7 çıkarırız: a − 7 < b − 7.
2) 5 > 0 ile çarparız, yön aynı kalır: 5a < 5b.
3) −2 < 0 ile çarparız, yön değişir: −2a > −2b.
4) Önce −1 ile çarparız: −a > −b, sonra 3 ekleriz: 3 − a > 3 − b.
Kontrol: a = 1, b = 4 için 3 − 1 = 2 ve 3 − 4 = −1; gerçekten 2 > −1.
a < b ve c < d ⇒ a + c < b + d; a, b, c, d pozitifse: ac < bd
burada:
  • a < b, c < daynı yönlü iki eşitsizlik

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir, tarafları pozitif olanlar taraf tarafa çarpılabilir. Taraf tarafa çıkarma ve bölme yapılamaz: a − b’nin değer aralığını bulmak için önce b’den −b’ye geçilir, sonra toplanır.

Toplam, fark ve çarpımın değer aralığı

3 < x < 5 ve 1 < y < 2 olduğu biliniyor. Değer aralığını bulun: 1) x + y; 2) x − y; 3) xy; 4) kenarları x ve y olan dikdörtgenin çevresi P = 2(x + y).

Çözümü göster
1) Taraf tarafa toplarız: 3 + 1 < x + y < 5 + 2, yani 4 < x + y < 7.
2) Önce 1 < y < 2 eşitsizliğini −1 ile çarparız: −2 < −y < −1. Şimdi toplarız: 3 − 2 < x − y < 5 − 1, yani 1 < x − y < 4.
3) Bütün taraflar pozitif, taraf tarafa çarparız: 3 · 1 < xy < 5 · 2, yani 3 < xy < 10.
4) 4 < x + y < 7 eşitsizliğini 2 ile çarparız: 8 < P < 14.

Birinci dereceden eşitsizliklerin çözümü. Tarife ve bütçe problemleri

Tanım
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik

a ve b sayı, x değişken olmak üzere ax > b (veya ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b) biçimindeki eşitsizlik. x’in yalnızca birinci kuvvetle yer aldığı ve paydada bulunmadığı her eşitsizlik bu biçime getirilebilir.

  1. 1
    Parantezleri aç, paydalardan kurtul

    Kesir varsa iki tarafı pozitif ortak paydayla çarp; yön değişmez.

  2. 2
    Terimleri taşı

    x’li terimleri bir tarafa, sayıları öbür tarafa işaretlerini değiştirerek taşı.

  3. 3
    Benzer terimleri topla

    ax > b (veya başka işaretli) biçimine getir.

  4. 4
    Katsayıya böl

    a’ya böl. a < 0 ise yönü çevir!

  5. 5
    Yaz ve kontrol et

    Cevabı aralık olarak yaz; içinden bir sayıyı ve dışından bir sayıyı ilk eşitsizlikte dene.

ax > b: a > 0 ise x > b/a; a < 0 ise x < b/a; a = 0 ise: b < 0 için her x çözümdür, b ≥ 0 için çözüm yokturax > b: a > 0 ise x > b/a; a < 0 ise x < b/a; a = 0 ise: b < 0 için her x çözümdür, b ≥ 0 için çözüm yoktur
burada:
  • ax’in katsayısı
  • bsabit terim (sağ taraftaki sayı)
  • b/ab/asınır noktası — ax = b denkleminin kökü

a = 0 iken eşitsizlik 0 · x > b olur; bu, x’e bağlı olmayan sayısal bir eşitsizliktir: ya her x için doğrudur ya da hiçbiri için.

Birinci dereceden eşitsizlikler

Çözün: 1) 3(x − 2) − 5 ≤ 9 − x; 2) −2x + 7 > 1; 3) (x − 1)/2 − (x + 3)/3 < 1.

Çözümü göster
1) Parantezi açarız: 3x − 6 − 5 ≤ 9 − x, yani 3x − 11 ≤ 9 − x.
Terimleri taşırız: 3x + x ≤ 9 + 11, 4x ≤ 20, x ≤ 5. Cevap: (−∞, 5].
2) −2x > 1 − 7, −2x > −6. −2’ye böler ve yönü çeviririz: x < 3. Cevap: (−∞, 3).
3) İki tarafı 6 ile çarparız (pozitif sayı, yön aynı kalır): 3(x − 1) − 2(x + 3) < 6.
3x − 3 − 2x − 6 < 6, x − 9 < 6, x < 15. Cevap: (−∞, 15); en büyük tam sayı çözümü 14’tür.
Özel durumlar ve en büyük tam sayı çözümü

1) 2(x + 3) > 2x + 1; 2) 3x − 4 ≥ 3(x + 1); 3) 5 − 3x ≥ 2x − 12 eşitsizliğinin en büyük tam sayı çözümünü bulun.

Çözümü göster
1) 2x + 6 > 2x + 1 ⇒ 0 · x > −5, yani 0 > −5 — her x için doğrudur. Cevap: x her sayı olabilir, (−∞, +∞).
2) 3x − 4 ≥ 3x + 3 ⇒ 0 · x ≥ 7 — hiçbir x için doğru değildir. Cevap: çözüm yok (∅).
3) 5 + 12 ≥ 2x + 3x ⇒ 17 ≥ 5x ⇒ x ≤ 3,4. 3,4’ten büyük olmayan en büyük tam sayı 3’tür.

Bir sözel problemi eşitsizliğe çevirmek için bilinmeyene bir ad ver, iki tarafı onun cinsinden yaz ve işareti sözcüklere göre seç: “en çok” ⇒ ≤, “en az” ⇒ ≥, “daha ucuz” ⇒ <. Çözdükten sonra yalnızca anlamlı değerleri bırak: dakika, kişi veya defter sayısı negatif olamaz, defterler ise yalnızca tam sayıyla sayılır.

İki tarifenin karşılaştırılması

A tarifesi: ayda 8 manat ve dakikası 0,05 manat. B tarifesi: ayda 2 manat ve dakikası 0,15 manat. Murad ayda kaç dakika konuşursa A tarifesi ona daha ucuza gelir?

Çözümü göster
Dakika sayısı x olsun. A tarifesi 8 + 0,05x, B tarifesi 2 + 0,15x tutar.
A daha ucuz: 8 + 0,05x < 2 + 0,15x.
8 − 2 < 0,15x − 0,05x ⇒ 6 < 0,1x ⇒ x > 60.
Cevap: Murad ayda 60 dakikadan fazla konuşursa A tarifesi daha ucuzdur; tam 60 dakikada ikisi de 11 manat tutar.
Bütçe

Aysel’in 50 manatı var. 20 manata bir çanta alıyor, kalan parayı tanesi 3,5 manat olan defterlere harcamak istiyor. En çok kaç defter alabilir?

Çözümü göster
n defter alsın: 20 + 3,5n ≤ 50 ⇒ 3,5n ≤ 30 ⇒ n ≤ 60/7 ≈ 8,6.
n tam sayı olduğundan en çok 8 defter.
Kontrol: 8 defterle toplam 20 + 28 = 48 manat, 9 defterle ise 51,5 manat olurdu.

Eşitsizlik sistemleri ve çift taraflı eşitsizlikler

Tanım
Eşitsizlik sistemi

Aynı anda sağlanması gereken birkaç eşitsizlik (küme parantezi { ile yazılır). Sistemin bir çözümü her eşitsizliği sağlar; bu yüzden sistemin çözüm kümesi, eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir: sayı doğrusunda bütün taramaların üst üste geldiği kısım.

a < b: {x > a, x > b} ⇔ x > b; {x < a, x < b} ⇔ x < a; {x > a, x < b} ⇔ a < x < b; {x < a, x > b} — çözüm yok
burada:
  • a, biki sınır noktası, a < b

“İkisinden de büyük” büyüğünden büyük demektir; “ikisinden de küçük” küçüğünden küçük demektir; “arada” bir aralık verir; taramalar birbirinden uzaklaşıyorsa çözüm yoktur.

Eşitsizlik sistemleri

Sistemleri çözün ve tam sayı çözümlerinin sayısını bulun:
1) {2x − 1 > 3, 3x − 4 ≤ 11}
2) {x − 3 > 1, 2x < 6}
3) {3 − x < 5, 4x + 1 ≤ 13, x + 5 > 0}

Çözümü göster
1) 2x > 4 ⇒ x > 2; 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5. Kesişim: (2, 5]. Tam sayı çözümleri: 3, 4, 5; toplam 3.
2) x > 4 ve x < 3: hiçbir sayı aynı anda 4’ten büyük ve 3’ten küçük olamaz. Cevap: çözüm yok.
3) −x < 2 ⇒ x > −2; 4x ≤ 12 ⇒ x ≤ 3; x > −5. “−2’den ve −5’ten büyük” demek x > −2 demektir; öyleyse (−2, 3]. Tam sayı çözümleri: −1, 0, 1, 2, 3; toplam 5.

Çift taraflı eşitsizlik m < ax + b < n, iki eşitsizlikten oluşan bir sistemin kısa yazılışıdır. Parçalara ayırmadan çözülebilir: her adım aynı anda üç tarafa da uygulanır. Negatif bir sayıya bölerken iki işaret de döner; düzenli olması için sonuç küçük sayıdan büyüğe doğru yeniden yazılır.

Çift taraflı eşitsizlikler

1) −1 ≤ 2x + 3 < 9; 2) −3 < 1 − 2x ≤ 5 (tam sayı çözümlerinin toplamını da bulun).

Çözümü göster
1) Her taraftan 3 çıkarırız: −4 ≤ 2x < 6. Her tarafı 2’ye böleriz: −2 ≤ x < 3, yani x ∈ [−2, 3).
2) Her taraftan 1 çıkarırız: −4 < −2x ≤ 4. −2’ye böler ve iki işareti de çeviririz: 2 > x ≥ −2, yani −2 ≤ x < 2, x ∈ [−2, 2). Tam sayı çözümleri: −2, −1, 0, 1; toplamları −2’dir.
Not ortalaması: çift taraflı eşitsizlik

Elvin’in ilk üç testten aldığı puanlar 78, 90 ve 82. Dört testin ortalamasının en az 85 olması için dördüncü puan ne olmalıdır (en yüksek puan 100)?

Çözümü göster
(78 + 90 + 82 + x)/4 ≥ 85 ⇒ 250 + x ≥ 340 ⇒ x ≥ 90.
Puan 100’ü geçemeyeceği için {x ≥ 90, x ≤ 100} sistemini elde ederiz, yani 90 ≤ x ≤ 100.

Basit mutlak değer eşitsizlikleri

“Negatif sayılar ve tam sayılar” dersinden hatırla: |x|, sayı doğrusunda x’in 0’a uzaklığıdır. Aynı şekilde |x − a|, x ile a noktaları arasındaki uzaklıktır. Yani |x − 3| < 2 şunu sorar: hangi noktalar 3 noktasına 2’den daha yakındır? Bu noktalar 3 − 2 = 1’den 3 + 2 = 5’e kadar olan aralığı doldurur. |x − 3| > 2 ise 3’e uzaklığı 2’den fazla olan noktaları sorar: bunlar 1’in solunda ve 5’in sağındadır.

|x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b veya x > a + b (b > 0)
burada:
  • |x − a|sayı doğrusunda x ile a arasındaki uzaklık
  • amerkez — uzaklığın ölçüldüğü nokta
  • bizin verilen uzaklık, b > 0

“Küçüktür” a’nın çevresinde tek bir aralık verir (sistem gibi); “büyüktür” ise onun dışında iki sınırsız aralık verir (“veya” sözcüğü, birleşim ∪). ≤ ve ≥ durumunda a ± b uçları da dahildir. b < 0 ise |x − a| < b eşitsizliğinin çözümü yoktur, |x − a| > b ise her x için doğrudur, çünkü uzaklık negatif olamaz.

Mutlak değerli eşitsizlikler

Çözün: 1) |x − 3| < 2; 2) |x + 1| ≥ 4; 3) |2x − 1| ≤ 5; 4) |x − 4| < −1; 5) |x − 2| ≤ 3 eşitsizliğinin kaç tam sayı çözümü vardır?

Çözümü göster
1) Merkez 3, uzaklık 2: 1 < x < 5, yani (1, 5).
2) |x + 1| = |x − (−1)|: merkez −1, uzaklık 4. x ≤ −1 − 4 = −5 veya x ≥ −1 + 4 = 3: (−∞, −5] ∪ [3, +∞).
3) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −2 ≤ x ≤ 3, yani [−2, 3].
4) Mutlak değer hiçbir zaman negatif olmadığından −1’den küçük olamaz: çözüm yok.
5) −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5; −1’den 5’e kadar tam sayılar: 5 − (−1) + 1 = 7.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
V biçimindeki grafik y = |x − a|, yatay doğru ise y = b’dir. V’nin doğrunun altında kaldığı yerde |x − a| < b, üstünde kaldığı yerde |x − a| > b olur. Başlangıçta a = 3 ve b = 2: grafik x = 1 ile x = 5 arasında doğrunun altındadır. b’yi sıfırın altına indir ve o zaman |x − a| < b eşitsizliğinin neden çözümü olmadığını gör.

Önemli noktalar

  • İki taraf negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön değişir; sayı eklemek ve pozitif sayıyla çarpmak yönü korur.
  • Köşeli parantez ucu dahil eder, normal parantez etmez; ∞ yanında her zaman normal parantez olur.
  • a = 0 iken 0 · x > b eşitsizliği ya her x için doğrudur ya da hiçbiri için.
  • Sistemin çözümü, çözüm kümelerinin kesişimidir; çift taraflı eşitsizlikte her adım üç tarafa da uygulanır.
  • b > 0 için |x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b veya x > a + b.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
Eşitsizliğin iki tarafı −4’e bölününce yönüne ne olur?