Diziler ve aritmetik dizi — Matematik

Bu derste öğreneceklerin

Genel terim formülüyle ya da indirgemeli olarak verilen bir dizinin terimlerini hesaplamak
Aritmetik diziyi tanımak; ortak farkını, herhangi bir terimini, iki terimden a₁ ve r’yi bulmak
Ortalama özelliğiyle eksik terimleri bulmak ve sayıların aritmetik dizi oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek
İlk n terimin toplamını, ardışık sayıların ve tek sayıların toplamı dâhil, hesaplamak

Aysel her hafta kumbarasına bir önceki haftadan 2 manat fazla para atıyor: ilk hafta 5 manat, sonra 7, 9, 11, … manat. 10. hafta kaç manat atacak? Hangi hafta 45 manat atacak? 10 haftada toplam ne kadar biriktirecek? Haftaları tek tek saymak mümkün ama 100 hafta için bu çok uzun sürer. Bu derste bu tür soruların hepsini tek satırlık formüllerle yanıtlamayı öğreneceksin.

Aysel her hafta aynı miktarı ekliyor. “Doğrusal fonksiyon ve grafiği” dersindeki y = kx + b fonksiyonu da böyle eşit adımlarla değişiyordu. Aritmetik dizi, aynı fikrin sıra numarası olan sayılara uygulanmış hâlidir. Bir sonraki derste, “Geometrik diziler” dersinde, eklemek yerine her seferinde aynı sayıyla çarpacağız.

Dizi ve diziyi tanımlama yolları

Tanım

Dizi

Her n pozitif tam sayısına bir aₙ sayısının karşılık getirildiği sayı sırası: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Bu sayılar dizinin terimleri, n ise terimin sıra numarasıdır. Örneğin çift sayılar dizisinde a₁ = 2, a₂ = 4, a₁₀ = 20’dir. Başka bir deyişle dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyondur.

Bir dizi genellikle iki yolla verilir. Genel terim formülü aₙ’yi doğrudan n cinsinden ifade eder: herhangi bir terimi, örneğin a₁₀₀’ü, komşularını bilmeden hesaplayabiliriz. İndirgemeli (rekürsif) tanım ise ilk terimi (bazen ilk iki terimi) ve sonraki terimi öncekilerden elde etme kuralını verir: bu durumda terimler ancak sırayla, tek tek bulunur.

Terimleri hesaplayalım

1) aₙ = n² − 1 dizisinin a₁, a₂, a₃ ve a₁₀ terimlerini bulun.
2) a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 indirgemeli kuralıyla verilen dizinin ilk beş terimini yazın.
3) Fibonacci dizisi: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. İlk sekiz terimi yazın.

Çözümü göster

1) a₁ = 1 − 1 = 0, a₂ = 4 − 1 = 3, a₃ = 9 − 1 = 8, a₁₀ = 100 − 1 = 99. a₁₀ için önceki terimlere gerek kalmadı.
2) a₂ = 3 · 2 − 1 = 5, a₃ = 3 · 5 − 1 = 14, a₄ = 3 · 14 − 1 = 41, a₅ = 3 · 41 − 1 = 122.
Dizi: 2, 5, 14, 41, 122, …
3) Her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Bu sayı dizinin bir terimi mi?

125 ve 100 sayıları aₙ = 4n + 1 dizisinin terimleri midir?

Çözümü göster

Sayı bir terimse sıra numarası pozitif tam sayı olmalıdır.
4n + 1 = 125 ⇒ 4n = 124 ⇒ n = 31, pozitif tam sayı; demek ki 125 = a₃₁.
4n + 1 = 100 ⇒ 4n = 99 ⇒ n = 24,75, tam sayı değil; demek ki 100 bu dizinin terimi değildir.

Aritmetik dizi: ortak fark ve genel terim

Tanım

Aritmetik dizi

İkinci terimden başlayarak her terimin, bir önceki terime aynı r sayısı eklenerek elde edildiği dizi: aₙ₊₁ = aₙ + r. r sayısına dizinin ortak farkı denir: r = aₙ₊₁ − aₙ (herhangi bir terimden bir öncekini çıkarırız). Türkiye’deki ders kitaplarında ortak fark r harfiyle gösterilir.

Ortak farkın işareti dizinin “yönünü” gösterir: r > 0 ise dizi artan (3, 7, 11, 15, …; r = 4), r < 0 ise azalan (20, 17, 14, 11, …; r = −3), r = 0 ise bütün terimler eşittir (5, 5, 5, …; sabit dizi). Aysel’in dizisinde a₁ = 5, r = 2’dir.

Genel terimi adımları tek tek atmadan nasıl buluruz? Adımları sayalım: a₂ = a₁ + r, a₃ = a₁ + 2r, a₄ = a₁ + 3r. r’nin katsayısı her seferinde sıra numarasından 1 eksiktir, çünkü birinci terimden n. terime ulaşmak için n − 1 adım atarız ve her adımda r eklenir.

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

burada:

aₙn. terim (genel terim)
a₁ilk terim
rortak fark
nterimin sıra numarası (pozitif tam sayı)

n. terim = ilk terim + (n − 1) adım.

Aysel’in kumbarası

a₁ = 5, r = 2.
1) Aysel 10. hafta kaç manat atacak?
2) Hangi hafta 45 manat atacak?

Çözümü göster

1) a₁₀ = a₁ + 9r = 5 + 9 · 2 = 23 manat.
2) 5 + (n − 1) · 2 = 45 ⇒ (n − 1) · 2 = 40 ⇒ n − 1 = 20 ⇒ n = 21, yani 21. hafta.

Üç durum daha

1) a₁ = 12, r = −4 olan dizinin 15. terimini bulun.
2) 7, 11, 15, …, 207 dizisinde kaç terim vardır?
3) 50, 46, 42, … dizisinin ilk negatif terimi hangisidir?

Çözümü göster

1) a₁₅ = 12 + 14 · (−4) = 12 − 56 = −44.
2) r = 4. 7 + (n − 1) · 4 = 207 ⇒ (n − 1) · 4 = 200 ⇒ n − 1 = 50 ⇒ n = 51 terim.
3) r = −4, aₙ = 50 − 4(n − 1) = 54 − 4n.
54 − 4n < 0 ⇒ n > 13,5 ⇒ n = 14.
a₁₄ = 54 − 56 = −2 (a₁₃ = 2 hâlâ pozitiftir).

Çoğu zaman a₁ ve r verilmez; bunun yerine dizinin iki terimi bilinir. aₘ’den aₙ’ye n − m adım vardır, bu yüzden bilinen herhangi bir terimden sayabiliriz:

aₙ = aₘ + (n − m) · r ⇒ r = (aₙ − aₘ) / (n − m)aₙ = aₘ + (n − m) · r ⇒ r = (aₙ − aₘ) / (n − m)

burada:

aₘ, aₙbilinen iki terim (m < n)
n − maralarındaki adım sayısı

Ortak fark = terimlerin farkı ÷ sıra numaralarının farkı. Sonra a₁ = aₘ − (m − 1) · r.

İki terimden diziyi bulalım

1) a₃ = 10, a₇ = 22. a₁ ve r’yi bulun.
2) a₅ = 17, a₁₂ = −4. a₁ ve r’yi bulun.

Çözümü göster

1) a₃’ten a₇’ye 4 adım vardır: r = (22 − 10) ÷ 4 = 3.
a₁ = a₃ − 2r = 10 − 6 = 4. Dizi: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …
2) r = (−4 − 17) ÷ (12 − 5) = −21 ÷ 7 = −3.
a₁ = a₅ − 4r = 17 + 12 = 29.
Kontrol: a₁₂ = 29 + 11 · (−3) = −4 ✓

Ortalama özelliği: her terim komşularının ortalamasıdır

Art arda üç terim alalım: aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁. Ortadaki terim soldakinden r kadar büyük, sağdakinden r kadar küçüktür: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ. Buradan 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁ elde edilir: ilk terim dışındaki her terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır. Tersi de doğrudur: bir dizinin her terimi (ikinciden başlayarak) komşularının aritmetik ortalaması ise dizi aritmetiktir. Dizinin adı da bu özellikle bağlantılıdır.

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2

burada:

aₙ₋₁, aₙ₊₁aₙ’nin komşu terimleri
aₙ₋ₖ, aₙ₊ₖaₙ’nin k adım solundaki ve sağındaki terimler, k < n

Ortadaki terim, dıştaki iki terimin ortalamasıdır; bu, hem komşular hem de ondan eşit uzaklıktaki terimler için geçerlidir.

Özelliği kullanalım

1) Bir aritmetik dizide a₄ = 11, a₆ = 19’dur. a₅’i bulun.
2) x − 1, 2x + 1, 4x − 3 sayıları (bu sırayla) bir aritmetik dizi oluşturuyor. x’i ve bu sayıları bulun.
3) 2, 9, 16 ve 3, 8, 14 üçlülerinden hangisi aritmetik dizidir?

Çözümü göster

1) a₅ = (11 + 19) ÷ 2 = 15.
2) 2(2x + 1) = (x − 1) + (4x − 3) ⇒ 4x + 2 = 5x − 4 ⇒ x = 6.
Sayılar: 5, 13, 21 (r = 8).
3) (2 + 16) ÷ 2 = 9 — 2, 9, 16 aritmetik dizidir.
(3 + 14) ÷ 2 = 8,5 ≠ 8 — 3, 8, 14 aritmetik dizi değildir.

İlk n terimin toplamı: Gauss yöntemi

Ünlü bir anlatıya göre, sonradan büyük bir matematikçi olan Carl Friedrich Gauss, daha okul çağındayken 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamını çok hızlı bulmuş. Sayıları ikişer ikişer eşlemiş: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … Her çift 101 eder ve 50 çift vardır: 50 · 101 = 5050. Aynı fikir her aritmetik dizide işe yarar.

Toplamı iki kez yazalım, düz ve ters sırayla: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ ve Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Alt alta gelen terimleri toplayalım: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁, … Sağa doğru gittikçe üstteki terim r kadar artar, alttaki r kadar azalır; bu yüzden her çiftin toplamı aynıdır ve a₁ + aₙ’ye eşittir. n tane çift vardır: 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

Her sütunun yüksekliği 11’dir: 1 + 10 = 2 + 9 = … = 10 + 1. Bütün sütunlar birlikte 10 · 11 = 110 eder; bu, toplamın iki katıdır, yani 1 + 2 + … + 10 = 55.

Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · nSₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n

burada:

Sₙilk n terimin toplamı
a₁, aₙilk ve son (n.) terim
ntoplanan terim sayısı

Toplam = ilk ve son terimin ortalaması × terim sayısı.

Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · r) / 2 · nSₙ = (2a₁ + (n − 1) · r) / 2 · n

burada:

a₁, rilk terim ve ortak fark
nterim sayısı

Son terim bilinmiyorsa: ilk formülde aₙ yerine a₁ + (n − 1)r yazarız.

Gauss ve Aysel

1) 1 + 2 + 3 + … + 100 toplamını formülle bulun.
2) Aysel 10 haftada toplam ne kadar biriktirir (a₁ = 5, r = 2)?

Çözümü göster

1) a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100:
S₁₀₀ = (1 + 100) ÷ 2 · 100 = 50,5 · 100 = 5050.
2) Yukarıda a₁₀ = 23 bulmuştuk:
S₁₀ = (5 + 23) ÷ 2 · 10 = 14 · 10 = 140 manat.

Toplamla ilgili üç problem

1) 7, 4, 1, … dizisinin ilk 20 teriminin toplamını bulun.
2) 7’ye bölünen bütün iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
3) Bir amfitiyatronun ilk sırasında 20 koltuk var, sonraki her sırada bir öncekinden 2 koltuk fazla var. 15 sırada toplam kaç koltuk vardır?

Çözümü göster

1) a₁ = 7, r = −3, n = 20:
S₂₀ = (2 · 7 + 19 · (−3)) ÷ 2 · 20 = (14 − 57) · 10 = −430.
2) Bu sayılar 14, 21, …, 98 dizisini oluşturur (r = 7). Terim sayısı: (98 − 14) ÷ 7 + 1 = 13.
S₁₃ = (14 + 98) ÷ 2 · 13 = 56 · 13 = 728.
3) a₁ = 20, r = 2: a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48.
S₁₅ = (20 + 48) ÷ 2 · 15 = 34 · 15 = 510 koltuk.

Ters problem: kaç terim?

3 + 7 + 11 + … toplamında kaç terim toplanırsa 210 elde edilir?

Çözümü göster

a₁ = 3, r = 4: Sₙ = (6 + 4(n − 1)) ÷ 2 · n = (2n + 1) · n.
(2n + 1) · n = 210 ⇒ 2n² + n − 210 = 0.
Δ = 1 + 8 · 210 = 1681 = 41², n = (−1 + 41) ÷ 4 = 10. Diğer kök −10,5 pozitif tam sayı olmadığı için atılır (“İkinci dereceden denklemler” dersine bak).
Kontrol: a₁₀ = 39, S₁₀ = (3 + 39) ÷ 2 · 10 = 210 ✓

Ardışık sayıların ve tek sayıların toplamı

İki toplamla çok sık karşılaşılır, bu yüzden onları hazır formül olarak akılda tutmak faydalıdır. 1, 2, …, n dizisinde a₁ = 1, aₙ = n’dir; 1, 3, 5, …, 2n − 1 tek sayılar dizisinde ise a₁ = 1, aₙ = 2n − 1’dir. Bunları toplam formülünde yerine koyarsak aşağıdakileri elde ederiz.

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

burada:

ntoplanan sayıların adedi
2n − 1n. tek sayı

Çift sayılar için de: 2 + 4 + … + 2n = 2 · n(n + 1)/2 = n(n + 1).

Hazır formüllerle

1) 1 + 2 + … + 50 = ?
2) 1 + 3 + 5 + … + 99 = ?
3) 2 + 4 + 6 + … + 100 = ?

Çözümü göster

1) n = 50: 50 · 51 ÷ 2 = 1275.
2) 2n − 1 = 99 ⇒ n = 50 tek sayı: 50² = 2500.
3) 2 + 4 + … + 100 = 2 · (1 + 2 + … + 50) = 2 · 1275 = 2550.

1
Bilinenleri yaz
a₁, r, n, aₙ, Sₙ: hangileri verilmiş, hangisi isteniyor? Sözel problemde ilk terimin ve adımın ne olduğunu belirle.
2
Formülü seç
Terim için aₙ = a₁ + (n − 1)r, toplam için Sₙ formüllerinden biri. İki terim verilmişse önce r’yi bul.
3
Denklemi çöz
Bilinmeyeni bul. Bilinmeyen n ise cevap pozitif tam sayı olmalıdır; kesirli veya negatif kökleri at.
4
Kontrol et
İlk birkaç terimi yaz ya da cevabı diğer formülle yeniden hesapla: sonuçlar aynı çıkmalıdır.

Kendini dene: boşluğu doldur

1.2, 9, 16, 23, … dizisinin ortak farkı r =
2.a₁ = 3, r = 5 ise a₁₁ =
3.a₆ = 14, a₈ = 20 ise a₇ =
4.1 + 2 + 3 + … + 20 =
5.1 + 3 + 5 + … + 19 =
6.5, 8, 11, … dizisinin ilk 10 teriminin toplamı S₁₀ =

Önemli noktalar

Bir dizi, genel terim formülü aₙ = f(n) ile ya da indirgemeli kuralla (ilk terim + sonraki terimi bulma kuralı) verilir.
Aritmetik dizi: aₙ₊₁ = aₙ + r; aₙ = a₁ + (n − 1)r, yani ilk terimden n − 1 adım.
İki terimden: r = (aₙ − aₘ) / (n − m), sonra a₁ = aₘ − (m − 1)r.
Her terim komşularının aritmetik ortalamasıdır: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2; m + n = p + k ise aₘ + aₙ = aₚ + aₖ.
Toplam: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + (n − 1)r)/2 · n (Gauss yöntemi).
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

2, 5, 8, 11, … aritmetik dizisinin ortak farkı kaçtır?