- Dik üçgende sin, cos ve tan'ı tanımlamak
- 30°, 45° ve 60° açılarının trigonometrik değerlerini bilmek
- Bilinmeyen bir kenarı veya yüksekliği hesaplamak
- Birim çemberde sinüs ve kosinüsü görmek
Bakü'deki Kız Kulesi'nin yüksekliğini tepesine çıkmadan nasıl ölçebiliriz? Kuleden belli bir uzaklıkta durup tepeye bakış açısını ölçmek ve trigonometri kullanmak yeterlidir. Trigonometri, bir üçgenin açıları ile kenarları arasındaki ilişkiyi inceler; mühendislikte, astronomide ve navigasyonda her gün kullanılır.
Dik üçgende sinüs, kosinüs ve tanjant
Bir dik üçgende dar bir α açısı alalım. Açının karşısındaki dik kenara karşı dik kenar, açının kolu olan dik kenara ise komşu dik kenar denir. Kenarların oranları üçgenin büyüklüğüne değil, yalnızca açıya bağlıdır; bu yüzden onlara özel adlar verilmiştir.
- akarşı dik kenar — α açısının karşısındaki dik kenar
- bkomşu dik kenar — α açısının kolu olan dik kenar
- chipotenüs
Ayrıca tan α = sin α / cos α'dır. Hipotenüs en uzun kenar olduğundan dar açılarda 0 < sin α < 1 ve 0 < cos α < 1'dir.
Bir dik üçgenin dik kenarları 3 ve 4, hipotenüsü 5'tir. Uzunluğu 3 olan dik kenarın karşısındaki α açısının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
sin α = 3/5 = 0,6
cos α = 4/5 = 0,8
tan α = 3/4 = 0,75
Özel açılar
| α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin α | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos α | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan α | √3/3 | 1 | √3 |
Elvin kuleden 40 m uzakta duruyor ve kulenin tepesini 35°'lik bir açıyla görüyor. Gözleri yerden 1,5 m yüksekte. Kulenin yüksekliği ne kadardır? (tan 35° ≈ 0,70)
Çözümü gösterÇözümü gizle
tan 35° = x / 40 ⇒ x = 40 · tan 35° ≈ 40 · 0,70 = 28 m.
Göz yüksekliğini ekleriz: 28 + 1,5 = 29,5 m; bu, kulenin bilinen yüksekliğiyle örtüşür.
6 m uzunluğundaki bir merdiven yerle 60°'lik açı yapıyor. Merdivenin üst ucu hangi yükseklikte?
Çözümü gösterÇözümü gizle
h = 6 · sin 60° = 6 · √3/2 = 3√3 ≈ 5,2 m.
Temel özdeşlik ve birim çember
Bu özdeşlik Pisagor teoreminden gelir. Örneğin dar bir açı için sin α = 0,6 ise cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8 olur.
Merkezi başlangıç noktasında olan ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. Çember üzerinde x ekseninden α açısı kadar dönmüş noktanın koordinatları (cos α, sin α)'dır. Bu tanım sinüs ve kosinüsü her açı için, 90°'den büyük açılar için bile belirler: örneğin cos 120° = −1/2.
Önemli noktalar
- Sinüs ve kosinüs bir dik kenarın hipotenüse, tanjant ise dik kenarların birbirine oranıdır: sin α = a/c, cos α = b/c, tan α = a/b.
- sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1.
- Temel özdeşlik: sin²α + cos²α = 1.
- Birim çemberde noktanın koordinatları (cos α, sin α)'dır.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.