İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Başlangıç5–6. sınıf20 dk5 / 82

Kesirler: anlamı, sadeleştirme ve karşılaştırma

Bütünün parçası ve bölme işlemi olarak kesir, basit ve bileşik kesirler, tam sayılı kesirler, denk kesirler, sadeleştirme, EKOK ile ortak payda, kesirleri karşılaştırma ve sayı doğrusunda gösterme.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Kesri bütünün parçası ve bir bölme işlemi olarak açıklamak
  • Bileşik kesri tam sayılı kesre, tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek
  • Temel özelliği kullanarak kesirleri sadeleştirmek ve genişletmek
  • Kesirleri ortak paydaya getirip karşılaştırmak ve sayı doğrusunda göstermek

Leyla pizzasını 8 eş dilime bölüp 3 dilim yedi. Murad aynı büyüklükteki pizzasını 4 eş dilime bölüp 2 dilim yedi. Kim daha çok yedi? Leyla daha çok dilim yedi ama onun dilimleri yarı yarıya küçük. Leyla pizzanın sekizde üçünü (3/8), Murad ise dörtte ikisini (2/4), yani tam yarısını yedi. 2/4 = 4/8 ve 4/8 > 3/8 olduğu için Murad daha çok yedi. Bu derste bu tür soruları hızlı ve doğru yanıtlamayı öğreneceksin.

“En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat” dersinden tanıdığımız iki yardımcı işin çoğunu yapacak: EBOB kesri sadeleştirmeye, EKOK ise ortak paydayı bulmaya yarar. Kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme bir sonraki dersin, “Kesirlerle işlemler” dersinin konusudur.

Kesir nedir: bütünün parçası ve bölme

Bir bütünü — pizzayı, bir şeridi, 1 saati, 1 km yolu — b eş parçaya bölelim ve bunlardan a tanesini alalım. Aldığımız miktar a/b kesriyle yazılır. Kesir çizgisinin altındaki sayı parçalara “adını” verir (sekizde bir, dörtte bir), üstündeki sayı ise onları sayar. Önemli bir koşul var: parçalar eş olmalıdır; pizzayı farklı büyüklükte 8 dilime kesersek bir dilim 1/8 olmaz.

Tanım
Kesir

a ve b doğal sayılar olmak üzere a/b biçiminde yazılan sayı. a’ya pay, b’ye payda, aradaki çizgiye kesir çizgisi denir. 3/8 “sekizde üç” diye okunur.

a/b = a ÷ ba/b = a ÷ b
burada:
  • apay — alınan eş parçaların sayısı (bölünen)
  • bpayda — bütünün kaç eş parçaya bölündüğü (bölen, b ≠ 0)

Kesir çizgisi bir bölme işaretidir: iki doğal sayının bölümü her zaman kesir olarak yazılabilir.

Neden a/b = a ÷ b? 3 pastayı 4 arkadaş arasında eşit paylaştıralım. Her pastayı 4 eş parçaya kesersek 12 çeyrek elde ederiz ve her arkadaşa 3 çeyrek, yani 3/4 pasta düşer. Demek ki 3 ÷ 4 = 3/4. Buradan iki sonuç çıkar: her doğal sayı paydası 1 olan bir kesirdir (5 = 5/1), payı paydasına eşit olan kesir ise 1’e eşittir (7/7 = 1).

Kesrin anlamı

1) Bir yılda 12 ay vardır. Yaz ayları yılın ne kadarını oluşturur?
2) 5 m kurdele 8 çocuk arasında eşit paylaştırılıyor. Her çocuğa kaç metre düşer?
3) 18/6 ve 7/7 kesirleri hangi sayılara eşittir?

Çözümü göster
1) Bütün 12 ay, parça ise 3 yaz ayıdır: 3/12. Biraz sonra bunun 1/4 olduğunu göreceğiz.
2) Kesir bir bölmedir: 5 ÷ 8 = 5/8 m.
3) 18/6 = 18 ÷ 6 = 3; 7/7 = 7 ÷ 7 = 1.
Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
Payı ve paydayı değiştir; kesrin dairede ve şeritte nasıl göründüğüne, denk kesirlere, ondalık gösterimine ve yüzdesine bak.

Basit ve bileşik kesirler, tam sayılı kesirler

Tanım
Basit ve bileşik kesir

Payı paydasından küçük olan kesre basit kesir denir (3/8, 5/6); basit kesir her zaman 1’den küçüktür. Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesre bileşik kesir denir (7/4, 9/9); bileşik kesir 1’den küçük değildir.

Tanım
Tam sayılı kesir

Bir doğal sayı ile bir basit kesrin “+” işareti yazılmadan gösterilen toplamı: 1 tam 3/4 = 1 + 3/4. Burada 1 tam kısım, 3/4 ise kesir kısmı olarak adlandırılır.

Bileşik kesrin içinde tam parçalar “saklıdır”. 7/4 pizza, 7 çeyrek demektir: bunların 4’ü bir bütün pizza eder, 3’ü artar. Demek ki 7/4 = 1 tam 3/4. Başka bir deyişle 7’yi 4’e kalanlı böleriz: bölüm tam kısmı, kalan ise yeni payı verir.

a/b = q tam r/b, a = b · q + ra/b = q tam r/b, a = b · q + r
burada:
  • qa ÷ b bölmesinin bölümü — tam kısım
  • rkalan (r < b) — kesir kısmının payı
  • bpayda değişmez

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için payı paydaya kalanlı böleriz. Kalan 0 ise kesir bir doğal sayıya eşittir.

Bileşik kesirden tam sayılı kesre

Tam sayılı kesir ya da doğal sayı olarak yazın: 1) 17/5; 2) 23/4; 3) 24/6.

Çözümü göster
1) 17 ÷ 5 = 3, kalan 2; yani 17/5 = 3 tam 2/5.
2) 23 ÷ 4 = 5, kalan 3; yani 23/4 = 5 tam 3/4.
3) 24 ÷ 6 = 4, kalan 0; yani 24/6 = 4.
Kontrol: 3 · 5 + 2 = 17, 5 · 4 + 3 = 23.

Ters dönüşüm de aynı fikre dayanır: 2 tam 3/7 sayısında her bütün 7 tane yedide birdir; iki bütün 14 yedide bir eder, üstüne 3 yedide bir daha eklenince 17/7 olur.

q tam r/b = (q · b + r)/bq tam r/b = (q · b + r)/b
burada:
  • qtam kısım
  • r/br/bkesir kısmı

Tam kısmı paydayla çarp, payı ekle, paydayı aynen yaz.

Tam sayılı kesirden bileşik kesre

1) 2 tam 3/7 ve 4 tam 1/6 sayılarını bileşik kesir olarak yazın.
2) 5 sayısını paydası 3 olan bir kesir olarak yazın.

Çözümü göster
1) 2 tam 3/7 = (2 · 7 + 3)/7 = 17/7; 4 tam 1/6 = (4 · 6 + 1)/6 = 25/6.
2) Kesir kısmı yok (r = 0): 5 = (5 · 3)/3 = 15/3. Kontrol: 15 ÷ 3 = 5.

Denk kesirler: genişletme ve sadeleştirme

Yarım pizza alalım: bu 1/2’dir. Her dilimi ikiye kesersek dilimler 2 katına çıkar (4), aldıklarımız da 2 katına çıkar (2), ama pizza miktarı değişmez: 1/2 = 2/4. Bir kez daha kesersek 4/8 elde ederiz. Pay ve payda aynı sayıyla çarpıldı, kesrin değeri ise aynı kaldı.

a/b = (a · k)/(b · k) = (a ÷ m)/(b ÷ m)a/b = (a · k)/(b · k) = (a ÷ m)/(b ÷ m)
burada:
  • kherhangi bir doğal sayı: kesir genişletilir
  • ma ile b’nin bir ortak böleni: kesir sadeleştirilir

Kesrin temel özelliği: pay ve payda aynı doğal sayıyla çarpılır ya da bölünürse kesrin değeri değişmez. Bu tür kesirlere denk kesirler denir.

Kesri genişletmek

1) 3/5 kesrini paydası 20 olan bir kesir olarak yazın.
2) Boşluğu doldurun: 5/8 = 35/?
3) 3/4 kesri paydası 10 olan bir kesir olarak yazılabilir mi?

Çözümü göster
1) Genişletme sayısı: 20 ÷ 5 = 4. 3/5 = (3 · 4)/(5 · 4) = 12/20.
2) Pay 5’ten 35’e, yani 7 katına çıktı. Payda da 7 katına çıkmalı: 8 · 7 = 56, yani 5/8 = 35/56.
3) 10 ÷ 4 bir doğal sayı değildir; bu yüzden 3/4, paydası 10 ve payı doğal sayı olan bir kesir olarak yazılamaz. Paydası 100 olabilir: 3/4 = 75/100.
Tanım
Kesri sadeleştirme

Pay ve paydayı bir ortak bölenlerine bölmek. Payı ve paydası aralarında asal olan (EBOB = 1) kesir en sade hâldedir; EBOB’a bölmek kesri tek adımda en sade hâline getirir.

  1. 1
    EBOB’u bul

    Pay ile paydanın en büyük ortak bölenini bul (bölenleri listeleyerek ya da asal çarpanlara ayırarak).

  2. 2
    İkisini de böl

    Payı ve paydayı EBOB’a böl.

  3. 3
    Kontrol et

    Yeni pay ile paydanın 1’den başka ortak böleni olmamalıdır. EBOB’u bulmak zorsa küçük ortak bölenlere (2, 3, 5 …) art arda böl; sonuç aynı olur.

Kesirleri sadeleştirme

Sadeleştirin: 1) 18/24; 2) 42/56; 3) 35/63; 4) 120/180.

Çözümü göster
1) EBOB(18, 24) = 6: 18/24 = 3/4.
2) EBOB(42, 56) = 14: 42/56 = 3/4.
3) EBOB(35, 63) = 7: 35/63 = 5/9.
4) Adım adım: 120/180 = 12/18 (10’a böldük) = 2/3 (6’ya böldük). Tek adımda: EBOB(120, 180) = 60.
Artık ilk örneğin cevabı da belli: 3/12 = 1/4, yani yaz, yılın dörtte biridir.

Ortak payda ve kesirleri karşılaştırma

5/6 mı büyük, 7/8 mi? Altıda birlerle sekizde birler doğrudan karşılaştırılamaz, çünkü parçaların büyüklüğü farklıdır. Temel özellik yardımımıza koşar: iki kesri de paydaları aynı olan denk kesirlerle değiştiririz. Bu ortak payda iki paydaya da bölünmelidir; en küçüğü paydaların EKOK’udur ve sayıların küçük kalmasını sağlar.

K = EKOK(b, d), a/b = (a · m)/K, m = K ÷ bK = EKOK(b, d), a/b = (a · m)/K, m = K ÷ b
burada:
  • b, dkesirlerin paydaları
  • Ken küçük ortak payda
  • mgenişletme sayısı — K’nin paydaya bölümü

Her kesrin payını ve paydasını kendi genişletme sayısıyla çarparız; ikinci kesir için de aynısı: c/d = (c · (K ÷ d))/K.

  1. 1
    Paydaların EKOK’unu bul

    Büyük paydanın katlarını dene: 6 ve 8 için 8, 16, 24; 24 altıya bölünür, yani K = 24.

  2. 2
    Genişletme sayılarını bul

    K’yi her paydaya böl: 24 ÷ 6 = 4, 24 ÷ 8 = 3.

  3. 3
    Çarp ve karşılaştır

    Her kesrin payını ve paydasını kendi sayısıyla çarp: 5/6 = 20/24, 7/8 = 21/24. 21 > 20 olduğundan 7/8 > 5/6.

İki özel durum işi kısaltır. Paydalardan biri diğerine bölünüyorsa ortak payda büyük paydadır (3/4 ve 5/12 için 12). Paydalar aralarında asalsa ortak payda onların çarpımıdır (2/5 ve 3/7 için 35).

Ortak paydaya getirme

En küçük ortak paydaya getirin: 1) 3/4 ve 5/12; 2) 2/5 ve 3/7; 3) 1/4, 5/6 ve 7/9.

Çözümü göster
1) 12, 4’e bölünür; K = 12: 3/4 = 9/12, 5/12 değişmez.
2) 5 ile 7 aralarında asaldır; K = 35: 2/5 = 14/35, 3/7 = 15/35.
3) EKOK(4, 6, 9) = 36; genişletme sayıları 9, 6 ve 4: 1/4 = 9/36, 5/6 = 30/36, 7/9 = 28/36.
DurumKuralÖrnek
Paydalar eşitPayı büyük olan kesir büyüktür5/9 > 4/9
Paylar eşitPaydası küçük olan kesir büyüktür: parçalar daha büyüktür5/7 > 5/9
Paylar da paydalar da farklıOrtak paydaya getir, sonra payları karşılaştır2/3 = 10/15 > 9/15 = 3/5
Basit ve bileşik kesirbasit kesir < 1 ≤ bileşik kesir11/12 < 1 < 12/11
Karşılaştırma ve sıralama

1) 2/3 ile 3/5 kesirlerini karşılaştırın.
2) 2/3, 3/5 ve 7/10 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayın.
3) Hangisi büyüktür: 11/12 mi, 12/11 mi?

Çözümü göster
1) K = 15: 2/3 = 10/15, 3/5 = 9/15. 10 > 9 olduğundan 2/3 > 3/5.
2) K = 30: 2/3 = 20/30, 3/5 = 18/30, 7/10 = 21/30. Paylar 18 < 20 < 21, yani 3/5 < 2/3 < 7/10.
3) 11/12 basit kesirdir (< 1), 12/11 ise bileşik kesirdir (> 1); bu yüzden 12/11 > 11/12. Hiç hesap yapmaya gerek yok.

Kesirler sayı doğrusunda

Sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındaki birim uzunluğu b eş parçaya bölelim ve 0’dan sağa doğru a parça sayalım: a/b noktasını buluruz. Basit kesirler 0 ile 1 arasında, bileşik kesirler 1’de ya da 1’in sağında bulunur; q tam r/b ise q ile q + 1 arasındadır. Denk kesirler aynı noktadır (1/2, 2/4 ve 4/8 çakışır); iki kesirden sağda olanı büyüktür.

0123/45/43/2
5/4 = 1 tam 1/4 ve 3/2 = 6/4 = 1 tam 1/2: bileşik kesirler 1’in sağındadır.
Sayı doğrusuyla

1) Birim uzunluk 6 karedir. 5/6, 7/6 ve 1 tam 1/2 noktaları 0’ın kaç kare sağındadır?
2) 1/3 ile 1/2 arasında bulunan bir kesir bulun.
3) 17/5 ile 31/4 arasında hangi doğal sayılar vardır?

Çözümü göster
1) Bir kare, birimin 1/6 kadarıdır. 5/6 → 5 kare, 7/6 → 7 kare, 1 tam 1/2 = 3/2 = 9/6 → 9 kare.
2) Payda 6 olunca 2/6 ve 3/6 elde ederiz; aralarında paydası 6 olan bir kesir yoktur. Paydayı 12 alalım: 4/12 ve 6/12; aralarında 5/12 vardır.
3) 17/5 = 3 tam 2/5, 31/4 = 7 tam 3/4. Aralarında 4, 5, 6 ve 7 bulunur.
Kendini dene
  1. 1.15/25 = 3/
  2. 2.2 tam 1/3 = /3
  3. 3.29/6 = 4 tam /6
  4. 4.3/8 = /40
  5. 5.4/9 ve 5/12 için en küçük ortak payda:
  6. 6.2/3 5/8 (>, < ya da = yazın)

Kesirleri sadeleştirmeyi, ortak paydaya getirmeyi ve karşılaştırmayı biliyorsan onlarla işlem yapmaya hazırsın: “Kesirlerle işlemler” dersinde bu becerilerin hepsi toplama ve çıkarmada gerekecek.

Önemli noktalar

  • a/b kesrinde payda b bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, pay a kaç parçanın alındığını gösterir; kesir çizgisi bölmedir: a/b = a ÷ b.
  • Basit kesir 1’den küçüktür; bileşik kesir kalanlı bölmeyle tam sayılı kesre çevrilir (23/4 = 5 tam 3/4), geri dönüş ise (q · b + r)/b ile yapılır.
  • Pay ve paydayı aynı doğal sayıyla çarpmak ya da bölmek kesrin değerini değiştirmez; EBOB’a bölmek kesri hemen en sade hâline getirir.
  • En küçük ortak payda paydaların EKOK’udur; her kesrin genişletme sayısı EKOK ÷ payda olur.
  • Paydalar eşitse payı büyük olan, paylar eşitse paydası küçük olan kesir büyüktür; sayı doğrusunda büyük kesir sağdadır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
5/8 kesrinin paydası kaçtır?