Modullu tənliklər və bərabərsizliklər

Bu dərsdə öyrənəcəksən

|a − b|-ni iki nöqtə arasındakı məsafə kimi oxumaq və |f(x)| = a, |f(x)| = g(x), |f| = |g| tənliklərini həll etmək
Bir neçə modullu tənlikləri intervallar üsulu ilə həll etmək və tapılan kökləri yoxlamaq
|f| < g, |f| > g və |f| ≤ |g| bərabərsizliklərini həll etmək və tam həlləri saymaq
y = |f(x)| və y = f(|x|) qrafiklərinə görə parametrli tənliyin köklərinin sayını tapmaq

|x − 3| = 2 tənliyini iki cür oxumaq olar: «x − 3 ifadəsinin modulu 2-dir» və ya «ədəd oxunda x nöqtəsi 3-dən 2 vahid uzaqdadır». İkinci oxunuş cavabı dərhal verir: x = 1 və ya x = 5. |x| = a tənliyini «Müsbət və mənfi ədədlər. Koordinat düz xətti və modul», |x − a| < b bərabərsizliyini isə «Xətti bərabərsizliklər və onların sistemləri» dərsində öyrəndik. DİM isə daha mürəkkəb tapşırıqlar verir: modulun içində kvadrat üçhədli, sağ tərəfdə x olan ifadə, iki modul, parametr. Cavab çox vaxt «köklərin cəmi» və ya «tam həllərin sayı» kimi soruşulur.

Modul məsafə kimi. |f(x)| = a

Tərif

Ədədin modulu

a ≥ 0 olduqda |a| = a, a < 0 olduqda |a| = −a. Həndəsi mənası: |a| — ədəd oxunda 0-dan a nöqtəsinə qədər məsafə, |a − b| isə a və b nöqtələri arasındakı məsafədir. Modul heç vaxt mənfi olmur.

3-dən 2 vahid uzaqda iki nöqtə var: 1 və 5.

«Modulu açmaq» o deməkdir ki, içindəki ifadənin işarəsinə baxırıq: ifadə mənfi deyilsə, modul işarəsini sadəcə atırıq, mənfidirsə, ifadəni əks işarə ilə yazırıq. Məsələn, x < 3 olduqda |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x. Tənliklərdə, bərabərsizliklərdə və ifadələrin sadələşdirilməsində bütün iş bu qaydaya əsaslanır. Bir neçə xassə hesablamanı qısaldır:

|−a| = |a|; |a · b| = |a| · |b|; |a|² = a²; √(a²) = |a|; |a + b| ≤ |a| + |b|

burada:

a, bistənilən həqiqi ədədlər

√(a²) = |a| bərabərliyi səbəbindən √((x − 3)²) = |x − 3| yazılır, x − 3 yox. |a|² = a² isə iki modulu kvadrata yüksəltməyə imkan verir.

Şərt daxilində sadələşdirmə

1) −1 < x < 3 olduqda √((x − 3)²) + |x + 1| ifadəsini sadələşdir.
2) a < 0 < b olduqda |a − b| + |a| − |b| ifadəsini sadələşdir.

Həllini göstər

1) √((x − 3)²) = |x − 3| = 3 − x, çünki x − 3 < 0; |x + 1| = x + 1, çünki x + 1 > 0. Cəm: 3 − x + x + 1 = 4 — x-dən asılı deyil.
2) a − b < 0 ⇒ |a − b| = b − a; |a| = −a; |b| = b. Nəticə: (b − a) + (−a) − b = −2a. Yoxlama: a = −2, b = 3 ⇒ 5 + 2 − 3 = 4 = −2 · (−2).

|f(x)| = a: a < 0 — kök yoxdur; a = 0 ⇒ f(x) = 0; a > 0 ⇒ f(x) = a və ya f(x) = −a

burada:

f(x)modulun içindəki ifadə
aədəd (x-dən asılı deyil)

Sağ tərəf ədəddirsə, modul iki tənliyə ayrılır; sağ tərəf mənfidirsə, həll yoxdur.

|f(x)| = a tənlikləri

Həll et:
1) |2x − 5| = 7;
2) |x² − 5| = 4 (köklərin cəmini də tap);
3) ||x| − 3| = 2;
4) |3x + 1| = −2.

Həllini göstər

1) 2x − 5 = 7 ⇒ x = 6; 2x − 5 = −7 ⇒ x = −1. Cavab: −1; 6.
2) x² − 5 = 4 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3; x² − 5 = −4 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1. Dörd kök: −3; −1; 1; 3, cəmi 0.
3) |x| − 3 = 2 ⇒ |x| = 5 ⇒ x = ±5; |x| − 3 = −2 ⇒ |x| = 1 ⇒ x = ±1. Cavab: ±1; ±5.
4) Modul mənfi ola bilməz: kök yoxdur.

|f(x)| = g(x) və |f(x)| = |g(x)|

|f(x)| = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 və [ f(x) = g(x) və ya f(x) = −g(x) ]

burada:

g(x)sağ tərəf — x-dən asılı ifadə

Modul mənfi olmadığı üçün sağ tərəf də mənfi ola bilməz: əvvəlcə g(x) ≥ 0 şərtini yaz, sonda hər kökü bu şərtlə yoxla.

Niyə bu şərt vacibdir? f = ±g tənlikləri modulsuz yazılıb və onların kökləri arasında g(x) < 0 olanlar da ola bilər — belə kökdə sol tərəf (məsafə) müsbət, sağ tərəf isə mənfi alınır. Başqa yol da var: f(x) ≥ 0 və f(x) < 0 hallarına ayırıb hər halda modulu açmaq. Modulun içi sadədirsə, ikinci yol, sağ tərəf sadədirsə, birinci yol daha qısadır. Hansını seçsən də, sonda kökləri ilkin tənlikdə yoxla.

Sağ tərəfdə x

Həll et:
1) |x − 3| = 2x − 9;
2) |x² − 4x| = 3x − 6;
3) |x − 1| = 3 − x.

Həllini göstər

1) Şərt: 2x − 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4,5.
x − 3 = 2x − 9 ⇒ x = 6 — şərtə uyğundur.
x − 3 = −(2x − 9) ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 — 4 < 4,5, atılır (yoxlama: |4 − 3| = 1, amma 2 · 4 − 9 = −1).
Cavab: 6.
2) Şərt: 3x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.
x² − 4x = 3x − 6 ⇒ x² − 7x + 6 = 0 ⇒ x = 1 (atılır) və ya x = 6.
x² − 4x = −3x + 6 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = −2 (atılır) və ya x = 3.
Cavab: 3; 6 (köklərin cəmi 9).
3) Şərt: x ≤ 3. x − 1 = 3 − x ⇒ x = 2; x − 1 = x − 3 ⇒ −1 = −3 — həll yoxdur. Cavab: 2.

|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) və ya f(x) = −g(x)

burada:

f, gmodulların içindəki ifadələr

Hər iki tərəf mənfi olmadığı üçün əlavə şərt lazım deyil. |x − a| = |x − b| (a ≠ b) tənliyinin yeganə kökü a ilə b-nin ortasıdır: x = (a + b)/2.

İki modul bərabərdir

1) |2x − 1| = |x + 4| tənliyini həll et və köklərin cəmini tap.
2) |x − 2| = |x + 6| tənliyini həll et.

Həllini göstər

1) 2x − 1 = x + 4 ⇒ x = 5; 2x − 1 = −x − 4 ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1. Cəm: 5 + (−1) = 4.
2) x − 2 = x + 6 ⇒ −2 = 6 — həll yoxdur; x − 2 = −x − 6 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2. Həndəsi yoxlama: −2 nöqtəsi 2 və −6 nöqtələrinin tam ortasıdır.

Bir neçə modul: intervallar üsulu

1
1. Sıfırlar
Hər modulun içini sıfıra bərabərləşdir: |x − 1| üçün x = 1, |x − 5| üçün x = 5.
2
2. İntervallar
Sıfırlar ədəd oxunu intervallara bölür; hər intervalda modulların içi işarəsini dəyişmir.
3
3. Modulları aç
İçi müsbət olan modulu olduğu kimi, mənfi olanı əks işarə ilə yaz.
4
4. Həll və yoxlama
Hər intervalda tənliyi həll et və kökün həmin intervala düşdüyünü yoxla; düşməyəni at.
5
5. Birləşdir
Bütün intervallardan alınan kökləri birlikdə yaz.

İntervallar üsulu ilə

Həll et:
1) |x − 1| + |x − 5| = 6;
2) |x − 2| − |x + 1| = 1.

Həllini göstər

1) Sıfırlar: 1 və 5.
x < 1: (1 − x) + (5 − x) = 6 ⇒ 6 − 2x = 6 ⇒ x = 0 — 0 < 1, uyğundur.
1 ≤ x ≤ 5: (x − 1) + (5 − x) = 4 ≠ 6 — kök yoxdur.
x > 5: (x − 1) + (x − 5) = 6 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 — uyğundur.
Cavab: 0; 6.
2) Sıfırlar: −1 və 2.
x < −1: (2 − x) − (−x − 1) = 3 ≠ 1 — kök yoxdur.
−1 ≤ x ≤ 2: (2 − x) − (x + 1) = 1 − 2x = 1 ⇒ x = 0 — uyğundur.
x > 2: (x − 2) − (x + 1) = −3 ≠ 1 — kök yoxdur.
Cavab: 0.

DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

|x − 2| + |x + 3| = 9 tənliyinin köklərinin cəmini tapın.
A) −1 B) 1 C) 9 D) −9 E) 0

Həllini göstər

Sıfırlar −3 və 2; aralarındakı məsafə 5 < 9, deməli, iki kök var.
x < −3: (2 − x) + (−x − 3) = −2x − 1 = 9 ⇒ x = −5 ✓.
x > 2: (x − 2) + (x + 3) = 2x + 1 = 9 ⇒ x = 4 ✓.
−3 ≤ x ≤ 2 aralığında cəm 5-dir, 9 deyil.
Cəm: −5 + 4 = −1. Asan yolla: köklər ortaya, −1/2 nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir, cəmi 2 · (−1/2) = −1.
Cavab: A.

Modullu bərabərsizliklər

|f| < g ⇔ −g < f < g; |f| > g ⇔ f > g və ya f < −g; |f| < |g| ⇔ (f − g)(f + g) < 0

burada:

f, gx-dən asılı ifadələr (g sabit də ola bilər)

«Kiçikdir» — sistem (hər iki şərt birlikdə), «böyükdür» — birləşmə (bərabərsizliklər heyəti: ən azı biri). İki modulda hər iki tərəf mənfi olmadığı üçün kvadrata yüksəltmək olar: f² < g².

Məsafə dili burada da kömək edir: |x − a| < b — a-dan b-dən az uzaqlıqda olan nöqtələr (mərkəzi a olan interval), |x − a| > b — b-dən çox uzaqlıqda olanlar (iki şüa). |x − a| < |x − b| isə «x nöqtəsi a-ya b-dən daha yaxındır» deməkdir: a və b-nin ortasından a tərəfdə qalan bütün nöqtələr.

Məsafə ilə həll

1) |x − 1| + |x − 5| ≤ 6 bərabərsizliyini həll et və tam həllərin sayını tap.
2) |x + 3| > |x − 1| bərabərsizliyini həll et.

Həllini göstər

1) Bərabərlik 0 və 6 nöqtələrində ödənir; aralarında məsafələrin cəmi 6-dan kiçikdir, kənarda böyükdür. Həll: [0; 6], tam həllər 0, 1, …, 6 — 7 dənə.
2) x nöqtəsi 1-ə −3-dən daha yaxındır. Ortası (−3 + 1)/2 = −1, deməli x > −1. Cəbri yoxlama: (x + 3)² > (x − 1)² ⇒ 8x + 8 > 0 ⇒ x > −1. Cavab: (−1; +∞).

Bərabərsizlikləri həll edirik

1) |x² − 5x| < 6 bərabərsizliyini həll et və tam həllərin sayını tap.
2) |x − 3| > 2x bərabərsizliyini həll et.
3) |2x − 1| ≤ |x + 4| bərabərsizliyinin tam həllərinin cəmini tap.

Həllini göstər

1) −6 < x² − 5x < 6 — sistem:
x² − 5x + 6 > 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) > 0 ⇒ x < 2 və ya x > 3;
x² − 5x − 6 < 0 ⇒ (x + 1)(x − 6) < 0 ⇒ −1 < x < 6.
Kəsişmə: (−1; 2) ∪ (3; 6). Tam həllər: 0, 1, 4, 5 — 4 dənə.
2) Birləşmə: x − 3 > 2x ⇒ x < −3; və ya x − 3 < −2x ⇒ 3x < 3 ⇒ x < 1. Birləşmə x < 1 verir: (−∞; 1). Yoxlama: x = 0 ⇒ 3 > 0 ✓; x = 1 ⇒ 2 > 2 ✗.
3) Kvadrata yüksəldək: (2x − 1)² ≤ (x + 4)² ⇒ (2x − 1 − x − 4)(2x − 1 + x + 4) ≤ 0 ⇒ (x − 5)(3x + 3) ≤ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5.
Tam həllər −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5; cəmi 14.

Kvadrat bərabərsizliklərin həlli üçün bax: «Kvadrat bərabərsizliklər və intervallar üsulu». Bərabərsizlikdə də intervallar üsulu işləyir: modulları hər intervalda açır, alınan bərabərsizliyi həll edir və nəticəni həmin intervalla kəsişdiririk.

Qrafiklər və parametr: y = |f(x)| və y = f(|x|)

y = |f(x)| qrafikini qurmaq üçün y = f(x) qrafikinin Ox oxundan aşağıdakı hissəsini yuxarı əks etdiririk. y = f(|x|) üçün isə qrafikin x ≥ 0 olan hissəsini saxlayır və onu Oy oxuna nəzərən sola əks etdiririk — funksiya cüt olur (qrafiklərin çevrilmələri: «Funksiya və onun xassələri»). F(x) = a tənliyinin köklərinin sayı y = F(x) qrafiki ilə y = a üfüqi düz xəttinin kəsişmə nöqtələrinin sayıdır. Parametrli tapşırıqda düz xətti yuxarı-aşağı «sürüşdürürük».

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

y = |x² − 6|x| + 5| qrafiki və y = a düz xətti. a sürgüsünü hərəkət etdir və kəsişmə nöqtələrini say: 0 < a < 4 olduqda 8, a = 4 olduqda 6, a = 5 olduqda 3 nöqtə.

y = |f(x)|: köklərin sayı

a-nın qiymətindən asılı olaraq |x² − 4| = a tənliyinin neçə kökü var?

Həllini göstər

y = x² − 4 parabolasının (−2; 2) aralığındakı hissəsi Ox-dan aşağıdadır; onu yuxarı əks etdiririk və x = 0-da hündürlüyü 4 olan «təpə» alınır.
a < 0 — 0 kök; a = 0 — 2 kök (±2); 0 < a < 4 — 4 kök; a = 4 — 3 kök (0 və ±2√2); a > 4 — 2 kök.
Yoxlama, a = 4: x² − 4 = 4 ⇒ x = ±2√2; x² − 4 = −4 ⇒ x = 0.

DİM üslubunda: kodlaşdırılan tapşırıq

a-nın neçə tam qiymətində |x² − 6|x| + 5| = a tənliyinin düz 8 kökü var?

Həllini göstər

1) x ≥ 0 üçün y = x² − 6x + 5: sıfırları 1 və 5, təpəsi (3; −4), x = 0 olduqda y = 5.
2) Bu hissəni Oy-a nəzərən əks etdiririk: y = x² − 6|x| + 5 qrafiki «W» formasındadır, minimumları x = ±3 nöqtələrində −4-dür.
3) Modulu alırıq: (−5; −1) və (1; 5) intervallarındakı hissələr yuxarı qalxır və x = ±3 nöqtələrində hündürlüyü 4 olan iki «təpə» yaranır; x = 0-da qiymət 5-dir.
4) y = a düz xətti: a < 0 — 0 kök; a = 0 — 4; 0 < a < 4 — 8; a = 4 — 6; 4 < a < 5 — 4; a = 5 — 3; a > 5 — 2 kök.
Düz 8 kök: 0 < a < 4, tam qiymətlər 1, 2, 3.
Cavab: 3.

Kodlaşdırılan tapşırıqlar: cavabı ədədlə yaz

1.|2x + 3| = 7 tənliyinin köklərinin cəmi:
2.|x − 4| ≤ 3 bərabərsizliyinin tam həllərinin sayı:
3.|x − 2| + |x + 3| = 5 tənliyinin tam köklərinin sayı:
4.|x² − x| = 2 tənliyinin köklərinin hasili:
5.|x² − 6|x| + 5| = 5 tənliyinin köklərinin sayı:

Əsas fikirlər

|a − b| — a və b nöqtələri arasındakı məsafədir; |f(x)| = a (a > 0) ⇔ f(x) = ±a, a < 0 olduqda kök yoxdur.
|f| = g üçün əvvəlcə g ≥ 0 şərti, sonra f = ±g; |f| = |g| ⇔ f = ±g şərtsiz.
Bir neçə modul: sıfırlar → intervallar → modulları aç → həll et və kökü intervalla yoxla.
|f| < g — sistem, |f| > g — birləşmə, |f| < |g| ⇔ (f − g)(f + g) < 0.
Parametrli tənlikdə köklərin sayı y = F(x) qrafikinin y = a düz xətti ilə kəsişmələrinin sayıdır.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

|x − 5| ifadəsinin həndəsi mənası nədir?