Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Orta6–7-ci sinif22 dəq12 / 82

Cəbri ifadələr. Birhədlilər və çoxhədlilər

Dəyişən və ifadənin qiyməti, hədd və əmsal, oxşar hədlər və mötərizələrin açılması; birhədlinin standart şəkli və dərəcəsi; çoxhədlilərin toplanması, çıxılması və vurulması — addım-addım həll olunmuş nümunələrlə.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Məsələnin şərtini cəbri ifadə ilə yazmaq və ifadənin qiymətini hesablamaq
  • Mötərizələri açmaq və oxşar hədləri islah etmək
  • Birhədlini standart şəklə salmaq və onun dərəcəsini tapmaq
  • Çoxhədliləri toplamaq, çıxmaq və vurmaq

Taksiyə minmək 1 manat, hər kilometr isə 0,6 manatdır. 5 km-lik yol neçəyə başa gələr? Bəs 12 km-lik yol? Hər dəfə yenidən düşünmək əvəzinə ümumi qaydanı bir dəfə yazmaq olar: 1 + 0,6x, burada x kilometrlərin sayıdır. İndi istənilən yolun qiymətini bir saniyədə tapırıq — sadəcə x-in yerinə ədəd yazırıq. Hərflərlə belə yazılış cəbri ifadədir və bütün cəbr belə ifadələr üzərində qurulur.

Bu dərsdə cəbri ifadələrlə işləməyin əsas qaydalarını öyrənəcəyik: ifadəni necə yazmaq, onun qiymətini necə hesablamaq və onu necə sadələşdirmək, sonra isə birhədli və çoxhədliləri necə toplamaq, çıxmaq və vurmaq lazımdır. «Rasional ədədlər üzərində əməllər» dərsindəki işarə qaydaları və «Natural ədədlər və əməllərin ardıcıllığı» dərsindəki əməllərin sırası burada hər addımda lazım olacaq. Növbəti dərs — «Qısa vurma düsturları» — çoxhədlilərin ən çox rast gəlinən hasillərini hazır düsturlara çevirir.

Dəyişən və ifadənin qiyməti

Tərif
Dəyişən və cəbri ifadə

Müxtəlif qiymətlər ala bilən və hərflə (x, y, a, n, …) işarə olunan kəmiyyətə dəyişən deyilir. Ədədlərdən, dəyişənlərdən, əməl işarələrindən və mötərizələrdən düzəldilmiş yazılış cəbri ifadədir: 1 + 0,6x, 2a² − 3a + 1, 3(x − y). Dəyişənin yerinə ədəd yazıb əməlləri yerinə yetirsək, ifadənin qiymətini alırıq.

Məsələni ifadəyə çevirmək üçün sözləri bir-bir əməl işarələrinə «tərcümə» edirik. «… qədər çox» toplama, «… qədər az» çıxma, «… dəfə çox» və «misli» vurma, «yarısı» ikiyə bölmə deməkdir. Sözlərin sırasına diqqət et: «x və y-in cəminin kvadratı» ilə «x və y-in kvadratlarının cəmi» tamamilə fərqli ifadələrdir.

Sözləİfadə
x-dən 3 vahid çoxx + 3
x-dən 5 vahid azx − 5
x-in 4 misli4x
x-in yarısıx/2
x və y-in cəminin kvadratı(x + y)²
x və y-in kvadratlarının cəmix² + y²
ən kiçiyi n olan ardıcıl üç natural ədədn, n + 1, n + 2
Sağ sütunu bağla və hər ifadəni əvvəlcə özün yazmağa çalış.
  1. 1
    Yerinə yaz

    Hər dəyişənin yerinə onun qiymətini yaz. Mənfi ədədləri və kəsrləri mötərizəyə al: a = −2 olduqda a² ifadəsi (−2)² olur.

  2. 2
    Əməllərin sırası

    Əvvəlcə mötərizələr, sonra qüvvətə yüksəltmə, sonra vurma və bölmə, ən sonda toplama və çıxma.

  3. 3
    Mənasını yoxla

    Cavabın mənalı olub-olmadığını yoxla: yolun qiyməti mənfi ola bilməz, uzunluq sıfırdan böyük olmalıdır.

İfadənin qiyməti

a) Taksi ilə 5 km və 12 km getmək neçəyə başa gəlir (1 + 0,6x)?
b) a = −2 olduqda 2a² − 3a + 1 ifadəsinin qiymətini tap.
c) x = 2, y = −3 olduqda x²y − xy² ifadəsinin qiymətini tap.

Həllini göstər
a) x = 5: 1 + 0,6 · 5 = 1 + 3 = 4 manat.
x = 12: 1 + 0,6 · 12 = 1 + 7,2 = 8,2 manat.
b) 2 · (−2)² − 3 · (−2) + 1 = 2 · 4 + 6 + 1 = 15.
Diqqət: (−2)² = 4 və −3 · (−2) = +6.
c) 2² · (−3) − 2 · (−3)² = 4 · (−3) − 2 · 9 = −12 − 18 = −30.
Məsələdən ifadəyə

a) Düzbucaqlının eni x sm, uzunluğu isə enindən 3 sm çoxdur. Perimetri x ilə ifadə et və x = 5 olduqda hesabla.
b) Ən kiçiyi n olan ardıcıl üç natural ədədin cəmini yaz və n = 10 olduqda hesabla.

Həllini göstər
a) Uzunluq: x + 3 (sm). Perimetr iki enin və iki uzunluğun cəmidir:
P = 2(x + x + 3) (sm).
x = 5: P = 2(5 + 5 + 3) = 2 · 13 = 26 sm.
b) Ədədlər: n, n + 1, n + 2. Cəm: n + (n + 1) + (n + 2).
n = 10: 10 + 11 + 12 = 33.
Hər iki ifadəni növbəti bölmədə sadələşdirəcəyik — onda bu cəmin həmişə 3-ə bölündüyü görünəcək.

Oxşar hədlər və mötərizələrin açılması

3x + 5 ifadəsində toplananlar — 3x və 5 — ifadənin hədləridir, 3 ədədi isə x-in əmsalıdır. Çıxma mənfi ədədin toplanması kimi oxunur: 4a − 7b ifadəsinin hədləri 4a və −7b-dir, b-nin əmsalı −7-dir. Ədədlə hərf arasında vurma işarəsi yazılmır: 3 · x = 3x, a · b = ab. Əmsal 1 və ya −1 olduqda yalnız işarə qalır: 1 · x = x, −1 · x = −x.

Tərif
Oxşar hədlər

Hərfi hissəsi tamamilə eyni olan hədlər: 5x və −2x, 3ab və ab, 4y² və y². Oxşar hədləri islah etmək üçün onların əmsallarını toplayıb hərfi hissəni dəyişmədən saxlayırıq: 5x − 2x = 3x. Səbəbi paylama qanunudur: 5x − 2x = (5 − 2)x — necə ki 5 alma − 2 alma = 3 alma.

a(b + c) = ab + aca(b − c) = ab − ac
burada:
  • amötərizənin qarşısındakı vuruq (ədəd, dəyişən və ya ifadə)
  • b, cmötərizənin içindəki hədlər

Vurmanın paylama qanunu: mötərizənin qarşısındakı vuruq mötərizədəki hər bir həddə vurulur. Soldan sağa oxuyanda mötərizələri açırıq, sağdan sola oxuyanda ümumi vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.

+(a − b + c) = a − b + c−(a − b + c) = −a + b − c
burada:
  • a, b, cmötərizədəki istənilən hədlər

Mötərizənin qarşısında «+» varsa, içindəki hədlərin işarələri saxlanılır. «−» varsa, bütün hədlərin işarələri əksinə dəyişir, çünki «−» işarəsi −1-ə vurma deməkdir: −(x − 7) = (−1) · x + (−1) · (−7) = −x + 7.

Mötərizələri açaq

Mötərizələri aç:
1) −4(x − 5)
2) 0,5(6a + 8b − 2)
3) −(2a − 3b + 1)
4) x(3 − y)

Həllini göstər
1) (−4) · x + (−4) · (−5) = −4x + 20 (mənfinin mənfiyə hasili müsbətdir).
2) 0,5 · 6a + 0,5 · 8b − 0,5 · 2 = 3a + 4b − 1.
3) Qarşıda «−» var, bütün işarələr dəyişir: −2a + 3b − 1.
4) x · 3 − x · y = 3x − xy (əmsal əvvələ yazılır: x · 3 = 3x).
  1. 1
    Mötərizələri aç

    Paylama qanunu və işarə qaydası ilə bütün mötərizələri aç.

  2. 2
    Oxşar hədləri qruplaşdır

    Oxşar hədlərin altından eyni cür xətt çək (məsələn, x-li hədlərin altından bir, ədədlərin altından iki xətt); hər həddi öz işarəsi ilə götür.

  3. 3
    İslah et

    Hər qrupun əmsallarını topla və nəticəni dərəcələrin azalması sırası ilə yaz.

  4. 4
    Yoxla

    İlkin və sadələşmiş ifadənin qiymətini eyni ədəd üçün hesabla: nəticələr üst-üstə düşməlidir.

İfadələri sadələşdirək

1) 3(2x − 4) − (x − 7) ifadəsini sadələşdir və x = 3 olduqda qiymətini tap.
2) 2(3a − b) − 3(a − 2b) + 4 ifadəsini sadələşdir və a = 1, b = −2 olduqda hesabla.
3) Əvvəlki nümunənin ifadələrini sadələşdir: P = 2(x + x + 3) və n + (n + 1) + (n + 2).

Həllini göstər
1) 6x − 12 − x + 7 = (6x − x) + (−12 + 7) = 5x − 5.
x = 3: 5 · 3 − 5 = 10. Yoxlama: 3(6 − 4) − (3 − 7) = 6 + 4 = 10.
2) 6a − 2b − 3a + 6b + 4 = 3a + 4b + 4.
a = 1, b = −2: 3 + 4 · (−2) + 4 = −1. Yoxlama: 2(3 + 2) − 3(1 + 4) + 4 = 10 − 15 + 4 = −1.
3) P = 2(2x + 3) = 4x + 6; x = 5 olduqda yenə 26 sm alınır.
n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1): cəm ortadakı ədədin 3 mislidir, ona görə həmişə 3-ə bölünür.

Birhədlilər və onların standart şəkli

Cəbri ifadələrin ən sadə «kərpicləri» hissələri arasında toplama və çıxma işarəsi olmayan hasillərdir: 5x, −3a²b, 0,5xy³. Onları tanımaq və vurmaq çoxhədlilərlə işləməyin əsasıdır.

Tərif
Birhədli, standart şəkil və dərəcə

Ədədlərin, dəyişənlərin və onların natural üstlü qüvvətlərinin hasilinə birhədli deyilir: 5x, −3a²b, 0,5xy³, 7, x. Birhədlidə yalnız bir ədədi vuruq — əmsal — varsa və o, əvvəldə durursa, hər dəyişən isə yalnız bir dəfə, qüvvət şəklində yazılıbsa, birhədli standart şəkildədir: 3x · 2xy əvəzinə 6x²y. Standart şəkildə olan birhədlidə bütün dəyişənlərin üstlərinin cəminə birhədlinin dərəcəsi deyilir.

Məsələn, −3a²b birhədlisinin əmsalı −3, dərəcəsi 2 + 1 = 3-dür; 0,5xy³-ün əmsalı 0,5, dərəcəsi 1 + 3 = 4-dür; x-in əmsalı 1, dərəcəsi 1-dir (x = x¹). Sıfırdan fərqli ədəd, məsələn, 7, dərəcəsi 0 olan birhədlidir: onda dəyişən yoxdur.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
burada:
  • a, bədədlər və ya dəyişənlər (qüvvətin əsasları)
  • m, nnatural ədədlər (qüvvət üstləri)

Eyni əsaslı qüvvətləri vuranda üstlər toplanır: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. Qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlər vurulur: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶. Hasil qüvvətə yüksəldiləndə hər vuruq qüvvətə yüksəldilir: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Bu qaydalar «Tam üstlü qüvvət və onun xassələri» dərsində ətraflı öyrənilir.

  1. 1
    Ədədlər

    Bütün ədədi vuruqları işarələri ilə birlikdə bir-birinə vur — alınan ədəd əmsaldır.

  2. 2
    Hərflər

    Eyni hərfləri bir qüvvətdə birləşdir: üstləri topla (a² · a = a³).

  3. 3
    Yazılış və dərəcə

    Əmsalı əvvələ, hərfləri əlifba sırası ilə yaz; üstləri toplayaraq dərəcəni tap.

Standart şəklə salaq

Birhədlini standart şəklə sal, əmsalını və dərəcəsini göstər:
1) 3x · (−2)xy²
2) 0,5a²b · 4ab³
3) (−2x²y)³
4) −a · (−b) · (−3ab)

Həllini göstər
1) 3 · (−2) = −6; x · x = x²: −6x²y², əmsalı −6, dərəcəsi 2 + 2 = 4.
2) 0,5 · 4 = 2; a² · a = a³; b · b³ = b⁴: 2a³b⁴, dərəcəsi 3 + 4 = 7.
3) (−2)³ · (x²)³ · y³ = −8x⁶y³, dərəcəsi 6 + 3 = 9.
4) Üç mənfi vuruq var, hasil mənfidir: (−1) · (−1) · (−3) = −3; a · a = a², b · b = b²: −3a²b², dərəcəsi 4.

Çoxhədlilər: toplama və çıxma

Tərif
Çoxhədli və onun dərəcəsi

Birhədlilərin cəminə çoxhədli deyilir: 3x² − 5x + 2, a² + 2ab + b², 4x − 1. Toplanan birhədlilər çoxhədlinin hədləridir, dəyişənsiz hədd isə sərbəst hədd adlanır. Bütün hədləri standart şəkildə olan və oxşar hədləri islah edilmiş çoxhədli standart şəkildədir. Onun hədlərinin dərəcələrindən ən böyüyü çoxhədlinin dərəcəsidir.

Çoxhədlinin standart şəkli

Çoxhədlini standart şəklə sal və dərəcəsini tap:
1) 3x² − 5x + 2x² + 4x − 1
2) 2ab + a² − 3ab + b² − a²
3) 3x²y − 5x⁴ + 2

Həllini göstər
1) (3x² + 2x²) + (−5x + 4x) − 1 = 5x² − x − 1, dərəcəsi 2.
2) (a² − a²) + (2ab − 3ab) + b² = b² − ab, dərəcəsi 2. a² və −a² bir-birini yox etdi.
3) Oxşar hədd yoxdur, çoxhədli artıq standart şəkildədir. Hədlərin dərəcələri: 3x²y → 3, −5x⁴ → 4, 2 → 0. Çoxhədlinin dərəcəsi 4-dür: birinci həddin dərəcəsi yox, ən böyük dərəcə!

Çoxhədliləri toplamaq və çıxmaq üçün yeni qayda lazım deyil: hər çoxhədlini mötərizəyə alırıq, mötərizələri açırıq və oxşar hədləri islah edirik — yuxarıdakı sadələşdirmə addımlarında olduğu kimi. Yeganə təhlükə çıxmadadır: çıxılan çoxhədlinin qarşısında «−» durur və o, onun bütün hədlərinin işarəsini dəyişir.

Toplama və çıxma

A = 3x² − 5x + 2 və B = x² − 2x − 7 verilib.
1) A + B-ni tap.
2) A − B-ni tap.
3) Üçbucağın tərəfləri 2x + 1, 3x − 2 və x + 4 sm-dir. Perimetrini tap və x = 3 olduqda hesabla.

Həllini göstər
1) (3x² − 5x + 2) + (x² − 2x − 7) = 3x² − 5x + 2 + x² − 2x − 7 = 4x² − 7x − 5.
2) (3x² − 5x + 2) − (x² − 2x − 7) = 3x² − 5x + 2 − x² + 2x + 7 = 2x² − 3x + 9.
Yoxlama x = 1 ilə: A = 0, B = −8; A + B = −8 və 4 − 7 − 5 = −8; A − B = 8 və 2 − 3 + 9 = 8.
3) P = (2x + 1) + (3x − 2) + (x + 4) = 6x + 3 (sm).
x = 3: 6 · 3 + 3 = 21 sm. Maraqlıdır: x = 3 olduqda hər tərəf 7 sm-dir — üçbucaq bərabərtərəflidir.

Çoxhədlilərin vurulması

Birhədlini çoxhədliyə vurmaq üçün paylama qanunundan istifadə edirik: birhədlini çoxhədlinin hər həddinə vurub nəticələri toplayırıq. Hər belə hasil iki birhədlinin hasilidir: əmsallar vurulur, eyni hərflərin üstləri toplanır.

Birhədlinin çoxhədliyə vurulması

1) −2x(3x² − x + 4) hasilini tap.
2) 3ab(a − 2b + 1) hasilini tap.
3) x(x − 4) − 2x(3 − x) ifadəsini sadələşdir.

Həllini göstər
1) −2x · 3x² − 2x · (−x) − 2x · 4 = −6x³ + 2x² − 8x.
2) 3ab · a + 3ab · (−2b) + 3ab · 1 = 3a²b − 6ab² + 3ab.
3) x² − 4x − 6x + 2x² = 3x² − 10x. İkinci hasildə −2x · (−x) = +2x².
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
burada:
  • a, bbirinci çoxhədlinin hədləri
  • c, dikinci çoxhədlinin hədləri

Birinci çoxhədlinin hər həddi ikinci çoxhədlinin hər həddinə vurulur, sonra oxşar hədlər islah olunur. Səbəb paylama qanununun iki dəfə tətbiqidir: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Hədlər çox olanda da qayda eynidir: 2 hədd · 3 hədd = 6 hasil.

acbcadbdabcd
Bütün düzbucaqlının sahəsi (a + b)(c + d), dörd hissənin sahələrinin cəmi isə ac + bc + ad + bd-dir. Hər hissə bir «hədd · hədd» hasilidir — heç biri unudulmamalıdır.
  1. 1
    Hər həddi hər həddə vur

    Birinci çoxhədlinin birinci həddini ikincinin bütün hədlərinə vur, sonra ikinci həddini və s. Hər həddi öz işarəsi ilə götür.

  2. 2
    Hasilləri say

    m hədli çoxhədlini n hədliyə vuranda islahdan əvvəl m · n hasil alınmalıdır: 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6.

  3. 3
    İslah et və yoxla

    Oxşar hədləri islah et, nəticəni standart şəkildə yaz və bir ədədi yerinə yazaraq yoxla.

Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması

Hasili standart şəkildə yaz:
1) (x + 3)(x − 5)
2) (3x − 2y)(x + 4y)
3) (2a − 1)(a² + 3a − 4)

Həllini göstər
1) x · x + x · (−5) + 3 · x + 3 · (−5) = x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15.
2) 3x² + 12xy − 2xy − 8y² = 3x² + 10xy − 8y².
3) 2 · 3 = 6 hasil: 2a³ + 6a² − 8a − a² − 3a + 4 = 2a³ + 5a² − 11a + 4.
Yoxlama a = 2 ilə: (4 − 1)(4 + 6 − 4) = 3 · 6 = 18 və 16 + 20 − 22 + 4 = 18.
Çoxhədlilərlə düşünək

1) (n + 1)(n + 4) − n(n + 5) ifadəsinin qiymətinin n-dən asılı olmadığını göstər.
2) Kvadrat formalı bağçanın tərəfi x m-dir. Bir tərəfini 3 m uzadıb, digərini 2 m qısaltdılar. Bağçanın sahəsi artdımı?

Həllini göstər
1) n² + 4n + n + 4 − n² − 5n = 4. n hansı ədəd olursa olsun, cavab 4-dür. Yoxlama n = 10 ilə: 11 · 14 − 10 · 15 = 154 − 150 = 4.
2) Yeni sahə: (x + 3)(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6 (m²).
Köhnə sahə x²-dır, fərq: (x² + x − 6) − x² = x − 6.
x > 6 olduqda sahə artır, x = 6 olduqda dəyişmir, x < 6 olduqda azalır. Məsələn, x = 10: 13 · 8 = 104 > 100; x = 4: 7 · 2 = 14 < 16.
Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.5x − 8x + 2x =
  2. 2.−(4a − 3) = + 3
  3. 3.2x² · 3x³ = · x⁵
  4. 4.(−3a²)² = · a⁴
  5. 5.(x + 2)(x + 5) = x² + + 10
  6. 6.(x − 4)(x + 1) = x² − 3x −

Əsas fikirlər

  • İfadənin qiymətini tapmaq üçün dəyişənin yerinə ədədi (mənfi ədədi mötərizədə) yaz və əməllərin sırasına əməl et.
  • Yalnız oxşar hədlər islah olunur: əmsallar toplanır, hərfi hissə saxlanılır.
  • Vuruq mötərizədəki hər həddə vurulur; mötərizə qarşısındakı «−» içəridəki bütün işarələri dəyişir.
  • Birhədliləri vuranda əmsallar vurulur, eyni əsaslı qüvvətlərin üstləri toplanır: 2x² · 3x³ = 6x⁵. Birhədlinin dərəcəsi üstlərin cəmidir.
  • Çoxhədliləri vuranda hər hədd hər həddə vurulur: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd; nəticəni x = 1 yazaraq yoxla.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
5x − 3 ifadəsində x-in əmsalı neçədir?