Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Başlanğıc5-ci sinif22 dəq7 / 82

Onluq kəsrlər

Vergüldən sonrakı mərtəbələr, onluq kəsrlərin oxunuşu, müqayisəsi və yuvarlaqlaşdırılması, onlar üzərində dörd əməl, adi kəsrlə onluq kəsr arasında keçid və dövri kəsrlərlə ilk tanışlıq.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Onluq kəsrin hər rəqəminin mərtəbəsini müəyyən etmək, onu oxumaq və yazmaq
  • Onluq kəsrləri müqayisə etmək və verilmiş mərtəbəyə qədər yuvarlaqlaşdırmaq
  • Onluq kəsrləri toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək, o cümlədən 10, 100 və 0,1-ə
  • Adi kəsri onluq kəsrə və əksinə çevirmək, dövri kəsri tanımaq

Termometr 36,6 °C göstərir, Bakıdakı mağazanın qiymət etiketində 2,45 manat yazılıb, məktəb yarışının qalibi 60 m məsafəni 8,7 saniyəyə qaçıb. Bu üç ədədin hamısı onluq kəsrdir — kəsr xətti olmadan yazılmış kəsrlər. «Adi kəsrlər üzərində əməllər» dərsində 3/10 ilə 7/100-ü toplamaq üçün ortaq məxrəc axtarırdıq; onluq kəsrlərlə eyni cəm sadəcə 0,3 + 0,07 = 0,37 olur. Kalkulyatorlar, mağazalar və elm onluq kəsrlərdən ona görə istifadə edir ki, onlarla natural ədədlər kimi hesablamaq olur. Növbəti dərs — «Faizlər» — tamamilə onların üzərində qurulub.

Onluq kəsr və mərtəbələr

Natural ədəddə hər mərtəbə sağındakı mərtəbədən 10 dəfə böyükdür: təkliklər, onluqlar, yüzlüklər. Onluq kəsr bu qaydanı təkliklərdən sağa, vergüldən sonra davam etdirir: hər növbəti mərtəbə əvvəlkindən 10 dəfə kiçikdir — onda birlər, yüzdə birlər, mində birlər, on mində birlər. Deməli, onluq kəsr məxrəci 10, 100, 1000, … olan adi kəsrin başqa yazılışıdır: 3/10 = 0,3; 47/100 = 0,47; 5/1000 = 0,005.

Tərif
Onluq kəsr

Məxrəci 10, 100, 1000, … olan və vergüllə yazılan kəsr. Vergüldən əvvəlki rəqəmlər tam hissəni, vergüldən sonrakılar isə kəsr hissəni əmələ gətirir.

MərtəbəOnluqlarTəkliklərOnda birlərYüzdə birlərMində birlər
Rəqəm32475
Qiyməti3020,40,070,005
Adi kəsr kimi3024/107/1005/1000
32,475 = 30 + 2 + 0,4 + 0,07 + 0,005 — «otuz iki tam mində dörd yüz yetmiş beş».
k,d₁d₂d₃ = k + d₁/10 + d₂/100 + d₃/1000k,d₁d₂d₃ = k + d₁/10 + d₂/100 + d₃/1000
burada:
  • ktam hissə
  • d₁onda birlər mərtəbəsindəki rəqəm
  • d₂yüzdə birlər mərtəbəsindəki rəqəm
  • d₃mində birlər mərtəbəsindəki rəqəm

Onluq kəsrin mərtəbə toplananlarına ayrılışı. Buradan qayda çıxır: vergüldən sonra neçə rəqəm varsa, adi kəsrin məxrəcində 1-dən sonra o qədər sıfır olur.

Oxumaq, yazmaq və mərtəbələr

1) 5,07 və 0,308 ədədlərini oxu. 2) Onluq kəsr şəklində yaz: 3 tam mində 45; 7/100; 23/1000. 3) 2 m 5 sm-i metrlə, 450 q-ı kiloqramla ifadə et.

Həllini göstər
1) 5,07 — «beş tam yüzdə yeddi»; 0,308 — «sıfır tam mində üç yüz səkkiz».
2) Mində birlər üçün vergüldən sonra üç rəqəm lazımdır: 3,045. 7/100 → iki rəqəm: 0,07. 23/1000 → üç rəqəm: 0,023. Boş qalan mərtəbələrə sıfır yazılır.
3) 1 sm = 1/100 m, deməli, 2 m 5 sm = 2 + 5/100 = 2,05 m (2,5 m yox!). 1 q = 1/1000 kq, ona görə də 450 q = 450/1000 = 0,45 kq.

Müqayisə və yuvarlaqlaşdırma

Onluq kəsrin sonuna yazılan sıfırlar onun qiymətini dəyişmir: 0,5 = 0,50 = 0,500, çünki 5/10 = 50/100 = 500/1000. Müqayisənin açarı da budur: iki ədədin vergüldən sonrakı rəqəmlərinin sayı bərabər olanda onları natural ədədlər kimi müqayisə edirik.

  1. 1
    Tam hissələri müqayisə et

    Tam hissəsi böyük olan ədəd böyükdür: 12,1 > 9,99.

  2. 2
    Kəsr hissələri bərabərləşdir

    Tam hissələr bərabərdirsə, sağdan sıfırlar yazaraq vergüldən sonrakı rəqəmlərin sayını eyni et.

  3. 3
    Mərtəbə-mərtəbə müqayisə et

    Soldan sağa get — onda birlər, sonra yüzdə birlər, sonra mində birlər; ilk fərqli rəqəm cavabı müəyyən edir.

Onluq kəsrlərin müqayisəsi

1) Hansı böyükdür: 0,45, yoxsa 0,5? 2) Hansı böyükdür: 3,089, yoxsa 3,1? 3) Artma sırası ilə düz: 2,3; 2,03; 2,303; 2,33.

Həllini göstər
1) 0,45 və 0,50: 45 yüzdə bir < 50 yüzdə bir, deməli, 0,45 < 0,5.
2) 3,089 və 3,100: tam hissələr bərabərdir, onda birlər mərtəbəsində 0 < 1, deməli, 3,089 < 3,1.
3) Hamısında vergüldən sonra üç rəqəm edək: 2,300; 2,030; 2,303; 2,330. İndi 300, 30, 303, 330 ədədlərini müqayisə edirik: 2,03 < 2,3 < 2,303 < 2,33.

Çox vaxt bütün rəqəmlər lazım olmur: mağaza 2,345 manat ala bilməz, 3,14159… ilə hesablamaq isə çətindir. Yuvarlaqlaşdırma ədədi ona ən yaxın, daha az rəqəmli ədədlə əvəz edir. Qayda natural ədədlərdəki kimidir.

  1. 1
    Mərtəbəni tap

    Saxlanan sonuncu rəqəmin altından xətt çək (məsələn, yüzdə birlər).

  2. 2
    Növbəti rəqəmə bax

    O, 0, 1, 2, 3 və ya 4-dürsə, saxlanan rəqəm dəyişmir; 5, 6, 7, 8 və ya 9-dursa, saxlanan rəqəm 1 vahid artır.

  3. 3
    Qalanını at

    Sonrakı rəqəmləri at və ≈ işarəsi yaz. Sonda alınan sıfır saxlanır: 4,96 ≈ 5,0 — bu sıfır dəqiqliyi göstərir.

Yuvarlaqlaşdırma

1) 3,14159-u yüzdə birlərə qədər yuvarlaqlaşdır. 2) 2,678-i onda birlərə qədər. 3) 4,96-nı onda birlərə qədər. 4) 12,5-i tam ədədə qədər. 5) 0,0473-ü mində birlərə qədər.

Həllini göstər
1) 3,14 saxlanır, növbəti rəqəm 1 < 5: 3,14159 ≈ 3,14.
2) 2,6 saxlanır, növbəti rəqəm 7 ≥ 5: 2,678 ≈ 2,7.
3) 4,9 saxlanır, növbəti rəqəm 6-dır, 9 onda bir 10 onda bir, yəni 1 tam olur: 4,96 ≈ 5,0.
4) Növbəti rəqəm 5-dir, yuxarı yuvarlaqlaşdırırıq: 12,5 ≈ 13.
5) Növbəti rəqəm 3-dür: 0,0473 ≈ 0,047.

Toplama və çıxma. 10, 100 və 0,1-ə vurma və bölmə

Onluq kəsrləri toplayanda onda birləri onda birlərlə, yüzdə birləri yüzdə birlərlə toplamalıyıq — natural ədədlərdə təklikləri təkliklərlə topladığımız kimi. Ona görə ədədlər vergül vergülün altında olmaqla yazılır.

  1. 1
    Vergülləri bir sütuna yaz

    Ədədləri elə yaz ki, vergüllər bir sütunda olsun — onda eyni mərtəbələr də bir sütunda olacaq.

  2. 2
    Sıfırları əlavə et

    Vergüldən sonrakı rəqəmlərin sayını sıfırlarla bərabərləşdir; natural ədədə vergül və sıfırlar yaz: 10 = 10,00.

  3. 3
    Hesabla və vergülü qoy

    Natural ədədlər kimi topla və ya çıx, cavabda vergülü digər vergüllərin altına qoy.

Toplama və çıxma

Hesabla: 1) 3,75 + 1,5; 2) 10 − 3,46; 3) 12,3 + 4,56 − 7,8.

Həllini göstər
1) 3,75 + 1,50 = 5,25.
2) 10,00 − 3,46 = 6,54 (natural ədədlərdəki kimi mərtəbədən borc alırıq: 1000 − 346 = 654 yüzdə bir).
3) 12,30 + 4,56 = 16,86; 16,86 − 7,80 = 9,06.

10-a vurduqda hər rəqəm 10 dəfə böyüyür və bir mərtəbə sola keçir — sanki vergül bir rəqəm sağa sürüşür: 4,56 · 10 = 45,6. 100-ə vurduqda vergül iki rəqəm, 1000-ə vurduqda üç rəqəm sağa keçir; bölmədə isə vergül sola keçir. 0,1 = 1/10 olduğuna görə 0,1-ə vurmaq 10-a bölmək deməkdir.

a · 0,1 = a : 10 a · 0,01 = a : 100 a : 0,1 = a · 10 a : 0,01 = a · 100
burada:
  • aistənilən ədəd
  • 0,1; 0,01onda bir (1/10) və yüzdə bir (1/100)

10, 100, 1000-ə vurduqda vergül 1, 2, 3 rəqəm sağa, bölmədə isə sola keçir. 0,1-ə vurmaq 10-a bölməyə, 0,1-ə bölmək isə 10-a vurmağa bərabərdir.

Vergülün sürüşdürülməsi

1) 4,56 · 10; 4,56 · 100; 7,2 : 100. 2) 35 · 0,1; 2,4 : 0,01; 0,8 · 0,01. 3) 3,5 km-i metrlə, 250 q-ı kiloqramla ifadə et.

Həllini göstər
1) 45,6; 456; 0,072 (çatışmayan mərtəbəyə sıfır yazılır: 7,2 → 0,072).
2) 35 · 0,1 = 35 : 10 = 3,5; 2,4 : 0,01 = 2,4 · 100 = 240; 0,8 · 0,01 = 0,8 : 100 = 0,008.
3) 1 km = 1000 m: 3,5 · 1000 = 3500 m. 1 q = 0,001 kq: 250 · 0,001 = 250 : 1000 = 0,25 kq.

Onluq kəsrlərin vurulması və bölünməsi

1,2 · 0,3 niyə 0,36-ya bərabərdir? Vuruqları adi kəsr kimi yazaq: 12/10 · 3/10 = 36/100 = 0,36. 12 və 3 natural ədədləri vurulur, 10 və 10 məxrəcləri isə 100 verir — vergüldən sonra iki rəqəm. Bu, istənilən onluq kəsrlər üçün doğrudur:

a/10ᵐ · b/10ⁿ = (a · b)/10ᵐ⁺ⁿa/10ᵐ · b/10ⁿ = (a · b)/10ᵐ⁺ⁿ
burada:
  • a, bvergülsüz yazılmış vuruqlar (natural ədədlər)
  • m, nhər vuruqda vergüldən sonrakı rəqəmlərin sayı

Vergüllərə fikir vermədən vur, sonra hasildə sağdan m + n rəqəm ayır.

Onluq kəsrlərin vurulması

1) 1,2 · 0,3; 2) 0,25 · 0,4; 3) 0,05 · 0,02. 4) Murad bazardan kiloqramı 2,4 manat olan almadan 1,5 kq, kiloqramı 4,5 manat olan üzümdən 0,8 kq aldı və satıcıya 10 manat verdi. O, nə qədər qalıq aldı?

Həllini göstər
1) 12 · 3 = 36; 1 + 1 = 2 rəqəm ayırırıq: 0,36.
2) 25 · 4 = 100; 2 + 1 = 3 rəqəm: 0,100 = 0,1.
3) 5 · 2 = 10; 2 + 2 = 4 rəqəm: 0,0010 = 0,001 (çatışmayan rəqəmlərin yerinə soldan sıfırlar yazılır).
4) Alma: 15 · 24 = 360, 2 rəqəm ayırırıq → 3,60 = 3,6 manat. Üzüm: 8 · 45 = 360 → 3,6 manat. Cəmi: 3,6 + 3,6 = 7,2 manat; qalıq: 10 − 7,2 = 2,8 manat.

Onluq kəsri natural ədədə bölmək adi künc üsulu ilə bölmədir; yeni olan yalnız budur: bölünənin vergülünə çatanda qismətdə də vergül qoyulur. Qalıq qalırsa, bölünənə sıfırlar yazıb bölməyə davam edirik. Onluq kəsrə bölmək üçün isə böləni natural ədədə çeviririk. Buna icazə var, çünki bölünən və bölən eyni ədədə vurulanda qismət dəyişmir (kəsrin əsas xassəsi kimi: 4,8/0,4 = 48/4).

a : b = (a · 10ⁿ) : (b · 10ⁿ)
burada:
  • abölünən
  • bbölən (onluq kəsr)
  • nbölənin vergüldən sonrakı rəqəmlərinin sayı

Hər iki ədəddə vergülü n rəqəm sağa keçir — bölən natural ədəd olur, sonra natural ədədə bölürük.

  1. 1
    Bölənə bax

    Bölənin vergüldən sonra neçə rəqəmi var? Bu say n-dir.

  2. 2
    Hər iki vergülü sürüşdür

    Bölənin və bölünənin vergülünü n rəqəm sağa keçir (lazım olsa, bölünənə sıfırlar yaz).

  3. 3
    Natural ədədə böl

    Künc üsulu ilə böl; bölünənin vergülünə çatanda qismətə vergül qoy.

Onluq kəsrlərin bölünməsi

1) 7,2 : 6; 2) 3 : 8; 3) 4,8 : 0,4; 4) 7,2 : 0,09; 5) 1,44 : 1,2. 6) 6 m uzunluğunda lent 0,25 m-lik hissələrə kəsildi. Neçə hissə alındı?

Həllini göstər
1) 72 onda bir : 6 = 12 onda bir: 1,2.
2) 3 = 3,000; 30 : 8 = 3 (qalıq 6), 60 : 8 = 7 (qalıq 4), 40 : 8 = 5: 0,375.
3) n = 1: 48 : 4 = 12.
4) n = 2: 720 : 9 = 80.
5) n = 1: 14,4 : 12 = 1,2.
6) 6 : 0,25 = 600 : 25 = 24 hissə.
Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.4,56 · 100 =
  2. 2.0,3 · 0,2 =
  3. 3.9 : 0,3 =
  4. 4.2,678 ≈ (onda birlərə qədər)
  5. 5.10 − 3,46 =

Adi kəsrlər və onluq kəsrlər. Dövri kəsrlər

Onluq kəsr dərhal adi kəsrə çevrilir: vergüldən sonrakı rəqəmləri surətə, məxrəcə isə 1 və vergüldən sonrakı rəqəmlərin sayı qədər sıfır yazırıq, sonra ixtisar edirik: 0,75 = 75/100 = 3/4. Əksinə, adi kəsr bölmədir: 3/8 elə 3 : 8 deməkdir.

a/b = a : ba/b = a : b
burada:
  • akəsrin surəti (bölünən)
  • bkəsrin məxrəci (bölən), b ≠ 0

İstənilən adi kəsri surəti məxrəcə bölməklə onluq kəsrə çevirmək olar. Məxrəci 10, 100 və ya 1000-ə gətirmək mümkündürsə, bu daha tezdir: 3/5 = 6/10 = 0,6.

Adi kəsrdən onluq kəsrə və əksinə

1) Adi kəsr şəklində yaz və ixtisar et: 0,75; 2,4; 0,125. 2) Onluq kəsr şəklində yaz: 3/5; 7/20; 7/25; 5/8.

Həllini göstər
1) Vergüldən sonra 2, 1 və 3 rəqəm var, deməli, məxrəclər 100, 10 və 1000-dir: 0,75 = 75/100 = 3/4 (25-ə ixtisar etdik); 2,4 = 24/10 = 12/5 = 2⅖; 0,125 = 125/1000 = 1/8 (125-ə ixtisar etdik).
2) Məxrəci 10 və ya 100-ə gətiririk: 3/5 = 6/10 = 0,6; 7/20 = 35/100 = 0,35; 7/25 = 28/100 = 0,28. 8 üçün ən yaxın belə məxrəc 1000-dir: 5/8 = 625/1000 = 0,625; ya da sadəcə bölürük: 5 : 8 = 0,625.

İndi 1 : 3 bölməsini yoxla: 10 : 3 = 3 (qalıq 1), yenə 10 : 3 = 3 (qalıq 1), … Qalıq 1 hər dəfə geri qayıdır, ona görə 3 rəqəmi sonsuz təkrarlanır: 1/3 = 0,333… Belə kəsr bitmir.

Tərif
Dövri onluq kəsr və onun dövrü

Bir və ya bir neçə rəqəmin (dövrün) sonsuz təkrarlandığı onluq kəsr. Dövr mötərizədə yazılır: 1/3 = 0,(3); 2/11 = 0,1818… = 0,(18); 1/6 = 0,1666… = 0,1(6).

Hansı kəsrin sonlu, hansının dövri onluq kəsr verdiyini bölmədən də demək olar. Sonlu onluq kəsrin məxrəci 10, 100, 1000, … olmalıdır, 10 = 2 · 5 isə yalnız 2 və 5 sadə vuruqlarından ibarətdir (sadə vuruqlara ayırma «Bölünmə əlamətləri. Sadə və mürəkkəb ədədlər» dərsindədir).

a/b sonlu onluq kəsrdir ⇔ b = 2ᵏ · 5ᵐa/b sonlu onluq kəsrdir ⇔ b = 2ᵏ · 5ᵐ
burada:
  • a/ba/bixtisar olunmayan kəsr
  • k, m0, 1, 2, … ədədləri

Əvvəlcə kəsri ixtisar et. Məxrəcdə 2 və 5-dən başqa sadə vuruq (3, 7, 11, …) varsa, onluq kəsr dövri olur.

Sonlu, yoxsa dövri?

Bölmədən müəyyən et, hansı kəsrlər sonlu onluq kəsr verir, sonra yoxla: 1) 9/12; 2) 5/6; 3) 4/11; 4) 7/40.

Həllini göstər
1) Əvvəlcə ixtisar: 9/12 = 3/4, 4 = 2² — sonlu: 0,75. (12-də 3 vuruğu olsa da, ixtisardan sonra o itir!)
2) 6 = 2 · 3, 3 vuruğu var — dövri: 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
3) 11 sadə ədəddir və 2 və ya 5 deyil — dövri: 4 : 11 = 0,3636… = 0,(36).
4) 40 = 2³ · 5 — sonlu: 7/40 = 175/1000 = 0,175.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
5/8 = 0,625 sonlu onluq kəsrdir. Məxrəci 3, 6, 7, 9, 11 və ya 12 et — rəqəmlər təkrarlanmağa başlayır; 2, 4, 5, 8 və ya 10 olanda isə kəsr həmişə bitir.

Praktikada dövri kəsr yuvarlaqlaşdırılır: 2/3 = 0,666… ≈ 0,67. Dəqiq hesablamada isə adi kəsri saxlamaq daha yaxşıdır: 1/3 + 0,5 = 1/3 + 1/2 = 5/6 dəqiq cavabdır, 0,33 + 0,5 = 0,83 isə təqribidir. İstənilən dövri kəsri adi kəsrə çevirməyi (0,(36) = 4/11) «Həndəsi silsilə» dərsində öyrənəcəksən. Adi kəsrlər və onluq kəsrlər növbəti dərsdə — «Faizlər»də yenidən birləşir: 3/4 = 0,75 = 75%.

Əsas fikirlər

  • Onluq kəsr məxrəci 10, 100, 1000, … olan kəsrdir; vergüldən sonrakı rəqəmlər onda birləri, yüzdə birləri, mində birləri göstərir.
  • Sondakı sıfırlar onluq kəsri dəyişmir: müqayisə üçün rəqəmlərin sayını bərabərləşdir və mərtəbə-mərtəbə müqayisə et.
  • Növbəti rəqəmə görə yuvarlaqlaşdır: 0–4 olduqda dəyişmir, 5–9 olduqda 1 artır — bir addımda, ilkin ədəddən.
  • Toplama və çıxmada vergül vergülün altında; vurmada rəqəmləri say (m + n); onluq kəsrə bölmədə hər iki vergülü bölən natural ədəd olana qədər sürüşdür.
  • a/b = a : b; ixtisar olunmayan kəsr yalnız məxrəci 2ᵏ · 5ᵐ olduqda sonlu onluq kəsr verir, əks halda kəsr dövri olur: 1/3 = 0,(3).

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Hansı kəsr 0,07-yə bərabərdir?