Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Orta7-ci sinif25 dəq13 / 82

Qısa vurma düsturları

Cəmin və fərqin kvadratı, kvadratlar fərqi, cəmin və fərqin kubu, kubların cəmi və fərqi — sahə və həcm şəkilləri ilə; düsturları hər iki istiqamətdə tətbiq etmək, şifahi hesab, tam kvadratın ayrılmasına ilk baxış və tipik səhvlər.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Cəmin və fərqin kvadratı, kvadratlar fərqi düsturlarını izah etmək və mötərizələri açmaq üçün tətbiq etmək
  • Cəmin və fərqin kubu, kubların cəmi və fərqi düsturlarından istifadə etmək
  • Düsturları sağdan sola oxumaq: tam kvadratı tanımaq, şifahi hesablamaq və tam kvadrat ayırmaq
  • Qısa vurma düsturları ilə ifadələri sadələşdirmək və qiymətini hesablamaq

Leyla sinif yoldaşlarına oyun təklif etdi: «Mənə 49 · 51 və ya 99² kimi misal deyin, kalkulyatordan tez hesablayacağam». Murad 49 · 51 dedi — Leyla iki saniyədən sonra cavab verdi: 2499. Elvin 99² dedi — cavab: 9801. Leylanın sirri sehrdə yox, bu dərsin düsturlarındadır: 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1.

«Cəbri ifadələr. Birhədlilər və çoxhədlilər» dərsində çoxhədliləri vurmağı öyrəndik: hər hədd hər həddə vurulur. Bəzi hasillər o qədər tez-tez rast gəlinir ki, onların nəticəsini hər dəfə yenidən hesablamaq əvəzinə bir dəfə düstur kimi yadda saxlamaq sərfəlidir. Belə düsturlara qısa vurma düsturları deyilir. Növbəti dərsdə — «Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması» — həmin düsturlar tərsinə işləyəcək.

Tərif
Eynilik

Dəyişənlərin istənilən qiymətində doğru olan bərabərlik: a + b = b + a, 2(x + 3) = 2x + 6. Eyniliyi isbat etmək üçün onun bir tərəfini çevirərək o biri tərəfə gətirmək lazımdır. Bir-iki ədədlə yoxlamaq isbat deyil, amma səhvi tutmaq üçün yaxşı üsuldur.

Cəmin kvadratı və fərqin kvadratı

(a + b)² ifadəsi (a + b)(a + b) deməkdir. Hər həddi hər həddə vuraq: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Ortadakı iki eyni hədd birləşib 2ab verir — bütün sirr bu «ikiqat hasil»dədir.

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a − b)² = a² − 2ab + b²
burada:
  • abirinci hədd (ədəd, dəyişən və ya birhədli)
  • bikinci hədd
  • 2abbirinci ilə ikincinin ikiqat hasili

Sözlə: birincinin kvadratı, üstəgəl (fərqdə: çıx) birinci ilə ikincinin ikiqat hasili, üstəgəl ikincinin kvadratı. Fərqin kvadratı cəmin kvadratından alınır, çünki a − b = a + (−b): yalnız ortadakı həddin işarəsi dəyişir, kvadratlar isə həmişə «+» ilədir.

a²ababb²abab
Böyük kvadratın sahəsi (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Yalnız a² və b² götürsək, iki narıncı düzbucaqlı itər — (a + b)² ≠ a² + b² olmasının səbəbi budur.
Cəmin və fərqin kvadratı

Mötərizələri qısa vurma düsturu ilə aç:
1) (x + 5)²
2) (3a − 2)²
3) (2x + 3y)²
4) (−m − 4)²

Həllini göstər
1) x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25.
2) (3a)² − 2 · 3a · 2 + 2² = 9a² − 12a + 4.
3) (2x)² + 2 · 2x · 3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y².
4) −m − 4 = −(m + 4), kvadrat isə mənfi işarəni «udur»: (−m − 4)² = (m + 4)² = m² + 8m + 16.
İnteraktiv
Simulyasiya yüklənir…
Sürüşdürücü ilə b-ni dəyiş: y = (x + b)² və y = x² + b² qrafikləri yalnız x = 0 olduqda (və ya b = 0 olduqda) görüşür. Onların arasındakı fərq həmişə 2bx-dir — itirilmiş ikiqat hasil.

Kvadratlar fərqi

İki ifadənin fərqini onların cəminə vuraq: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². Bu dəfə ortadakı hədlər bir-birini yox edir və yalnız iki hədd qalır. Mötərizələrdə eyni iki ifadə bir dəfə «+», bir dəfə «−» ilə durursa, bu düsturu xatırla.

(a − b)(a + b) = a² − b²
burada:
  • a − biki ifadənin fərqi
  • a + bhəmin ifadələrin cəmi
  • a² − b²onların kvadratlarının fərqi

İki ifadənin fərqi ilə cəminin hasili onların kvadratlarının fərqinə bərabərdir. Soldan sağa: hasil bir addımda açılır. Sağdan sola: kvadratlar fərqi hasil kimi yazılır — bu, şifahi hesabda və vuruqlara ayırmada lazım olacaq.

1212b²aababa + ba − b
Kəsilmiş fiqurun sahəsi a² − b²-dır. Hissələri yenidən düzəndə sahə dəyişmir, amma fiqur tərəfləri a + b və a − b olan düzbucaqlıya çevrilir: a² − b² = (a + b)(a − b).
Fərqin cəmə hasili

Hasili tap:
1) (x − 7)(x + 7)
2) (3a + 2b)(3a − 2b)
3) (5 − y²)(5 + y²)
4) (x − 2)(x + 2)(x² + 4)

Həllini göstər
1) x² − 7² = x² − 49.
2) Vuruqların yeri dəyişə bilər: (3a − 2b)(3a + 2b) = (3a)² − (2b)² = 9a² − 4b².
3) 5² − (y²)² = 25 − y⁴.
4) Düsturu iki dəfə tətbiq edirik: (x − 2)(x + 2) = x² − 4, sonra (x² − 4)(x² + 4) = x⁴ − 16.
Yoxlama x = 3 ilə: 1 · 5 · 13 = 65 və 81 − 16 = 65.

Cəmin və fərqin kubu. Kubların cəmi və fərqi

Kub kvadratdan bir addım uzaqdadır: (a + b)³ = (a + b)² · (a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b). Hər həddi hər həddə vurub oxşar hədləri islah edək: a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
burada:
  • 3a²bbirincinin kvadratı ilə ikincinin üçqat hasili
  • 3ab²birinci ilə ikincinin kvadratının üçqat hasili

Əmsallar 1, 3, 3, 1-dir; a-nın üstü 3-dən 0-a qədər azalır, b-nin üstü isə 0-dan 3-ə qədər artır. Fərqin kubunda işarələr növbələşir: +, −, +, −. Hər həddin dərəcəsi 3-dür.

HissəÖlçüləriSayıÜmumi həcm
böyük kuba × a × a1a³
lövhəa × a × b33a²b
çubuqa × b × b33ab²
kiçik kubb × b × b1b³
Tili a + b olan kubu hər üç istiqamətdə a və b uzunluqlu hissələrə bölsək, 8 hissə alınır. Onların həcmlərinin cəmi a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³ — düsturun həndəsi mənası budur.
Cəmin və fərqin kubu

1) (x + 2)³ ifadəsini çoxhədli şəklində yaz.
2) (2a − 1)³ ifadəsini çoxhədli şəklində yaz.
3) 11³-u şifahi hesabla.

Həllini göstər
1) x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
2) (2a)³ − 3 · (2a)² · 1 + 3 · 2a · 1² − 1³ = 8a³ − 12a² + 6a − 1.
Yoxlama a = 1 ilə: 1³ = 1 və 8 − 12 + 6 − 1 = 1.
3) (10 + 1)³ = 1000 + 3 · 100 · 1 + 3 · 10 · 1 + 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.

Kubların cəmi a³ + b³ ilə cəmin kubu (a + b)³ tamamilə fərqli ifadələrdir: məsələn, 1³ + 2³ = 9, amma (1 + 2)³ = 27. Kubların cəmi və fərqi hasil şəklində belə yazılır:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
burada:
  • a² − ab + b²fərqin natamam kvadratı (ortada 2ab yox, ab durur)
  • a² + ab + b²cəmin natamam kvadratı

Yoxlama: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³ — ortadakı dörd hədd cüt-cüt yox olur. Eyni qayda ilə (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Kubların cəmi və fərqi

1) (x − 2)(x² + 2x + 4) hasilini tap.
2) (3 + y)(9 − 3y + y²) hasilini tap.
3) a³ + 8 ifadəsini hasil şəklində yaz.
4) 7³ + 3³-u hesabla.

Həllini göstər
1) a = x, b = 2: ikinci mötərizə x² + x · 2 + 2²-dır, deməli, hasil x³ − 2³ = x³ − 8.
2) a = 3, b = y: 9 − 3y + y² = 3² − 3 · y + y², deməli, hasil 3³ + y³ = 27 + y³.
3) a³ + 2³ = (a + 2)(a² − 2a + 4).
4) (7 + 3)(7² − 7 · 3 + 3²) = 10 · (49 − 21 + 9) = 10 · 37 = 370. Yoxlama: 343 + 27 = 370.

Düsturlar hər iki istiqamətdə. Şifahi hesab

Hər eynilik iki istiqamətdə oxunur. Soldan sağa hasili açırıq: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Sağdan sola isə uzun ifadəni yenidən «bükürük»: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Üçhədlinin tam kvadrat olduğunu belə tanıyırıq: kənar hədlər iki ifadənin kvadratıdır (x² və 5²), ortadakı hədd isə onların ikiqat hasilidir (2 · x · 5 = 10x). Bu bacarıq ədədi hesablamalarda da, «Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması» dərsində də lazım olacaq.

Düsturu sağdan sola oxuyaq

1) 4a² − 12a + 9 ifadəsini ikihədlinin kvadratı şəklində yaz.
2) 37² + 2 · 37 · 13 + 13²-u hesabla.
3) 87² − 13²-u hesabla.
4) x² + 6x + 4 tam kvadratdırmı?

Həllini göstər
1) 4a² = (2a)², 9 = 3², 12a = 2 · 2a · 3 və orta hədd «−» ilədir: (2a − 3)².
2) Bu, a = 37, b = 13 olduqda (a + b)²-nın açılışıdır: (37 + 13)² = 50² = 2500.
3) (87 − 13)(87 + 13) = 74 · 100 = 7400.
4) Xeyr. x² və 6x = 2 · x · 3 olduğuna görə tam kvadrat (x + 3)² = x² + 6x + 9 olardı, amma 4 ≠ 9.
Şifahi hesab

Şifahi hesabla:
1) 51²
2) 99²
3) 49 · 51
4) 102 · 98
5) 29²
6) 998 · 1002

Həllini göstər
1) (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
2) (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
3) (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
4) (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996.
5) (30 − 1)² = 900 − 60 + 1 = 841.
6) (1000 − 2)(1000 + 2) = 1000000 − 4 = 999996.

Tam kvadratın ayrılması. İfadələrin sadələşdirilməsi

x² + 6x + 11 tam kvadrat deyil, amma ona çox yaxındır. x² + 6x + 9 = (x + 3)² olduğundan x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2. Bu çevirməyə tam kvadratın ayrılması deyilir. Faydası dərhal görünür: heç bir ədədin kvadratı mənfi deyil, ona görə (x + 3)² + 2 ≥ 2. Deməli, ifadənin ən kiçik qiyməti 2-dir və o, x = −3 olduqda alınır.

x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²
burada:
  • px-in əmsalı
  • p/2p/2onun yarısı — mötərizəyə məhz o yazılır
  • (p/2)²(p/2)²tam kvadrat üçün əlavə olunan və dərhal çıxılan ədəd

x-in əmsalını yarıya böl, x ilə birlikdə mötərizəyə yaz və kvadrata yüksəldəndə «artıq» yaranan (p/2)²-ni çıx. «Kvadrat tənliklər» dərsində kvadrat tənliklər bu üsulla həll olunur.

Tam kvadratı ayıraq

1) x² − 8x + 20 ifadəsində tam kvadrat ayır və onun ən kiçik qiymətini tap.
2) x² + 5x ifadəsində tam kvadrat ayır.
3) İstənilən a və b üçün a² + b² ≥ 2ab olduğunu isbat et.

Həllini göstər
1) p = −8, p/2 = −4, (p/2)² = 16: x² − 8x + 20 = (x² − 8x + 16) + 4 = (x − 4)² + 4.
(x − 4)² ≥ 0, ona görə ən kiçik qiymət 4-dür və x = 4 olduqda alınır.
2) p = 5, p/2 = 2,5: x² + 5x = (x + 2,5)² − 6,25. Ən kiçik qiyməti −6,25-dir (x = −2,5 olduqda).
3) a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, deməli, a² + b² ≥ 2ab. Bərabərlik yalnız a = b olduqda ödənilir.
  1. 1
    Düsturları tanı

    Hər hasildə qısa vurma düsturu axtar: ikihədlinin kvadratı və ya kubu, eyni ifadələrin fərqi ilə cəminin hasili.

  2. 2
    Mötərizədə aç

    Qarşısında «−» olan hasili əvvəlcə mötərizənin içində aç, sonra mötərizəni işarələri dəyişərək at: −(x − 3)(x + 3) = −(x² − 9) = −x² + 9.

  3. 3
    İslah et

    Oxşar hədləri islah et — çox vaxt ifadə xeyli qısalır.

  4. 4
    Ədədi sonda yaz

    Ədədi yalnız sadələşmiş ifadəyə yaz və cavabı ilkin ifadədə yoxla.

Sadələşdir və hesabla

1) (x + 3)² − (x − 3)(x + 3) ifadəsini sadələşdir və x = −0,5 olduqda hesabla.
2) (2a − 1)² − 4a(a − 1) ifadəsinin qiymətinin a-dan asılı olmadığını göstər.
3) (a + b)² − (a − b)² ifadəsini sadələşdir və a = 2,5, b = 0,4 olduqda hesabla.
4) (y + 1)³ − (y³ + 1) ifadəsini sadələşdir və y = 2 olduqda hesabla.

Həllini göstər
1) x² + 6x + 9 − (x² − 9) = x² + 6x + 9 − x² + 9 = 6x + 18.
x = −0,5: 6 · (−0,5) + 18 = −3 + 18 = 15. Yoxlama: 2,5² − (−3,5) · 2,5 = 6,25 + 8,75 = 15.
2) 4a² − 4a + 1 − 4a² + 4a = 1 — a hansı ədəd olursa olsun, ifadə 1-ə bərabərdir.
3) a² + 2ab + b² − (a² − 2ab + b²) = 4ab; 4 · 2,5 · 0,4 = 4.
4) y³ + 3y² + 3y + 1 − y³ − 1 = 3y² + 3y; y = 2: 12 + 6 = 18. Yoxlama: 3³ − 9 = 27 − 9 = 18.
Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.(x + 6)² = x² + + 36
  2. 2.(a − 5)² = a² − 10a +
  3. 3.(2y + 1)(2y − 1) = · y² − 1
  4. 4.x² − 14x + 49 = (x − )²
  5. 5.x³ − 27 = (x − 3)(x² + + 9)
  6. 6.48 · 52 =

Əsas fikirlər

  • (a ± b)² = a² ± 2ab + b²: ikiqat hasili unutma, (a + b)² ≠ a² + b².
  • (a − b)(a + b) = a² − b²: iki ifadənin fərqi ilə cəminin hasili onların kvadratlarının fərqidir.
  • (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ (əmsallar 1, 3, 3, 1); a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).
  • Düsturlar sağdan sola da oxunur: x² + 10x + 25 = (x + 5)², 87² − 13² = 74 · 100 = 7400.
  • Tam kvadratın ayrılması: x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²; kvadrat mənfi olmadığı üçün ifadənin ən kiçik qiyməti dərhal görünür.
  • İfadəni əvvəlcə sadələşdir, ədədi sonra yerinə yaz; qarşısında «−» olan hasili mötərizədə aç.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
(x + 4)² nəyə bərabərdir?