Triqonometrik funksiyalar və onların qrafikləri

Evdəki elektrik rozetkasında gərginlik sabit qalmır: o, hər saniyədə 50 tam rəqs edir — müsbət qiymətlərdən mənfi qiymətlərə və yenidən geri. Azərbaycanda şəbəkə gərginliyinin effektiv qiyməti 220 V, ən böyük qiyməti isə 220√2 ≈ 311 V-dur. Gərginlik u(t) = 311 · sin(100πt) qanunu ilə dəyişir və onun qrafiki bir-birinin eyni olan dalğalar zənciridir — sinusoidadır. Rəqqas, yaya bağlanmış yük, səs dalğası, fırlanan çarxın kabinəsi də eyni cür «dalğalanır». Bu dalğaları başa düşmək üçün triqonometrik funksiyaların qrafiklərini tanımaq lazımdır.

«Radian ölçüsü, əsas triqonometrik eyniliklər və çevirmə düsturları» dərsində hər bucağa vahid çevrədə P(cos α; sin α) nöqtəsi uyğun gəldi; dövrilik və cüt-təklik düsturları da oradan tanışdır. İndi bir addım irəli gedirik: bucağın radian ölçüsünü adi həqiqi ədəd kimi x ilə işarə edirik. Hər x ədədinə bir sin x ədədi uyğun gəlir — bu, funksiyadır və onun qrafiki var. Bu dərsdə dörd triqonometrik funksiyanın qrafiklərini qurur, xassələrini qrafikdən oxuyur, sonra isə qrafiki dartmağı, sıxmağı və sürüşdürməyi öyrənirik. Növbəti dərs — «Triqonometrik tənliklər və bərabərsizliklər» — bu qrafiklərə əsaslanır.

y = sin x funksiyası və sinusoida

Qrafikdə hər iki ox eyni vahidlə ölçülməlidir, ona görə x radianla götürülür: x ədədi vahid çevrədə uzunluğu x olan qövsdür, sin x isə bu qövsün ucundakı nöqtənin ordinatıdır. x 0-dan π/2-yə qədər artanda nöqtə çevrənin ən yuxarı nöqtəsinə qalxır və sin x 0-dan 1-ə qədər artır; x = π olduqda sinus yenidən 0-dır; π ilə 2π arasında nöqtə aşağı yarımçevrədədir və sinus mənfidir. 2π ≈ 6,28-dən sonra nöqtə ikinci dövrə başlayır və hər şey təkrarlanır.

Niyə məhz 2π və daha kiçik dövr yoxdur? Tutaq ki, T sinusun dövrüdür. Onda sin(π/2 + T) = sin(π/2) = 1 olmalıdır. Sinus 1-ə yalnız π/2 + 2πn nöqtələrində bərabərdir, deməli, T = 2πn, bunların ən kiçik müsbəti isə 2π-dir. Buna görə sinusun qrafikini [0; 2π] parçasında qurmaq kifayətdir: qalan hissə bu bir «dalğanın» sağa və sola təkrarıdır. Beş əsas nöqtəni yadda saxla: 0, π/2, π, 3π/2, 2π nöqtələrində sinus 0, 1, 0, −1, 0 qiymətlərini alır — «sıfır, zirvə, sıfır, çuxur, sıfır».

• Sıfırlar: x = πn olduqda sin x = 0 (n ∈ ℤ) — qrafik Ox oxunu 0, ±π, ±2π, … nöqtələrində kəsir.
• Ən böyük və ən kiçik qiymət: x = π/2 + 2πn olduqda sin x = 1, x = −π/2 + 2πn olduqda sin x = −1.
• Monotonluq: [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] parçalarında artır, [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] parçalarında azalır.
• İşarə: (2πn; π + 2πn) aralıqlarında sin x > 0, (π + 2πn; 2π + 2πn) aralıqlarında sin x < 0.

y = cos x: sürüşdürülmüş sinusoida

Çevirmə düsturlarından birini xatırlayaq: sin(x + π/2) = cos x. Bu o deməkdir ki, kosinusun x nöqtəsindəki qiyməti sinusun π/2 qədər sağdakı qiymətinə bərabərdir: sinus hansı qiyməti x + π/2-də alırsa, kosinus onu π/2 əvvəl, x-də alır. Deməli, kosinusun qrafiki π/2 qədər sola sürüşdürülmüş sinusoidadır — yəni o da sinusoidadır. Kosinus cüt funksiyadır, ona görə qrafiki Oy oxuna nəzərən simmetrikdir: dalğa x = 0-da ən yuxarı nöqtədən başlayır.

y = tg x və y = ctg x: asimptotlu qrafiklər

tg x = sin x / cos x kəsri cos x = 0 olduqda, yəni x = π/2 + πn nöqtələrində mənasını itirir. x soldan π/2-yə yaxınlaşanda sin x 1-ə, cos x isə müsbət qalaraq 0-a yaxınlaşır, ona görə kəsr hüdudsuz böyüyür: tg x → +∞. Sağdan yaxınlaşanda cos x mənfidir və tg x → −∞. Qrafik x = π/2 düz xəttinə sonsuz yaxınlaşır, amma onu heç vaxt kəsmir. Tangensin dövrü π-dir, ona görə eyni «budaq» hər π-dən bir təkrarlanır; tangens tək funksiyadır və qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

Qrafiklərin çevrilməsi: y = A·sin(kx + b) + c

«Kvadrat funksiya və onun qrafiki» dərsində y = a(x − m)² + n parabolasını y = x²-dən sürüşdürmə və dartılma ilə almışdıq. Sinusoida ilə də eyni dörd hərəkət işləyir, sadəcə hər birinin öz adı var. A bütün qiymətləri A-ya vurur: dalğa şaquli istiqamətdə dartılır, onun hündürlüyü — amplitud — |A| olur, A < 0 olduqda isə qrafik həm də Ox oxuna nəzərən əks olunur. k arqumenti «sürətləndirir»: y = sin kx funksiyası x nöqtəsində sinusun kx nöqtəsindəki qiymətini alır, ona görə dalğa üfüqi istiqamətdə k dəfə sıxılır və dövr 2π/|k| olur.

b faza sürüşməsini verir. k-nı mötərizə xaricinə çıxaraq: sin(kx + b) = sin(k(x + b/k)). Deməli, y = sin kx qrafiki b/k qədər sola (b/k < 0 olduqda sağa) sürüşür; dalğanın «başlanğıcı» kx + b = 0 tənliyindən tapılır: x₀ = −b/k. Nəhayət, c bütün qrafiki c qədər yuxarı qaldırır: dalğanın orta xətti y = c olur, qiymətlər isə c − |A|-dan c + |A|-ya qədər dəyişir.

İstənilən y = A · sin(kx + b) + c qrafikini cədvəlsiz, beş əsas nöqtə ilə qurmaq olar:

1. 1
   Parametrləri oxu

   A, k, b və c-ni tap; lazım olsa, funksiyanı əvvəlcə y = A · sin(kx + b) + c şəklinə sal.

2. 2
   Başlanğıcı və dövrü tap

   x₀ = −b/k və T = 2π/|k|. Dövrü dörd bərabər hissəyə böl: addım T/4-dür.

3. 3
   Beş nöqtəni qeyd et

   x₀, x₀ + T/4, x₀ + T/2, x₀ + 3T/4 və x₀ + T nöqtələrində y uyğun olaraq c, c + A, c, c − A, c qiymətlərini alır: orta xətt, zirvə, orta xətt, çuxur, orta xətt (A > 0 olduqda).

4. 4
   Dalğanı çək və davam etdir

   Nöqtələri hamar dalğa ilə birləşdir və onu hər iki tərəfə dövr qədər təkrarla.

5. 5
   Yoxla

   Bir nöqtəni, məsələn, x = 0-ı düsturda yerinə yaz və alınan qiyməti qrafiklə müqayisə et.

Harmonik rəqslər

Sinusoidanın bu qədər tez-tez rast gəlinməsinin səbəbi var: bərabər sürətlə fırlanan nöqtənin hündürlüyü zamanın sinus funksiyasıdır. Vahid çevrə üzrə sabit bucaq sürəti ilə hərəkət edən nöqtə t anında ωt + φ₀ bucağı qədər dönmüş olur və onun ordinatı sin(ωt + φ₀)-dır. Yaya bağlanmış yük, rəqqasın kiçik rəqsləri, dəyişən cərəyan və səs də bu qanuna tabedir.