Tənlik və tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Mətnli məsələnin modelini qurmaq: məchulu seçmək, qalan kəmiyyətləri onunla ifadə etmək və tənlik və ya sistem yazmaq
Hərəkət, birgə iş, qarışıq və faiz məsələlərinin əsas münasibətlərini tətbiq etmək
Cədvəllə verilmiş məsələləri və rəqəm məsələlərini sistemlə həll etmək
Yazılı tapşırığın tam həllini yazmaq və şərtə uyğun gəlməyən kökləri atmaq

Buraxılış imtahanlarında yazılı tapşırıqların çoxu mətnli məsələdir: qayıq çayla üzür, iki boru hovuzu doldurur, iki məhlul qarışdırılır, konsertə bilet satılır. Belə məsələdə ən çətin addım tənliyi həll etmək deyil, onu qurmaqdır. Bu dərsdə hər tipin modelini öyrənəcək və həlli DİM-in yazılı tapşırığında tələb olunduğu kimi yazacağıq. Tənliklərin özünün həlli «Xətti tənliklər», «Kvadrat tənliklər» və «Xətti tənliklər sistemi» dərslərində izah olunub.

Modeli necə qurmalı: beş addım

1
1. Məchul
«Tutaq ki, … x-dir» yaz: x nədir və hansı vahiddə ölçülür (km/saat, saat, kq). Çox vaxt soruşulan kəmiyyəti götürürük.
2
2. Cədvəl
Qalan kəmiyyətləri x ilə ifadə et; hərəkətdə «sürət — vaxt — yol», işdə «məhsuldarlıq — vaxt — iş», qarışıqda «kütlə — faiz — saf maddə» cədvəli qur.
3
3. Tənlik
Hələ işlətmədiyin şərtdən iki bərabər ifadə tap və bərabərləşdir.
4
4. Həll və seçim
Tənliyi həll et və kökləri şərtlə yoxla: mənfi sürət, kəsr sayda adam, axının sürətindən kiçik qayıq sürəti atılır.
5
5. Cavab
Soruşulan kəmiyyəti vahidlə yaz: bəzən cavab x deyil, 2x və ya x + 5-dir.

Həllin mərhələsi	Nümunə meyar
Məchul seçilib, tənlik (sistem) düzgün qurulub	⅓
Tənlik düzgün həll olunub	⅔
Kənar kök atılıb, cavab vahidlə yazılıb	1

DİM-in yazılı tapşırıqları mərhələlərlə qiymətləndirilir və yalnız 0, ⅓, ½, ⅔ və ya 1 bal verilir. Meyarlar hər tapşırıq üçün ayrıca yazılır; cədvəl tipik nümunədir. Yalnız cavabı yazmaq risklidir — hər mərhələni aydın göstər.

Hərəkət məsələləri

s = v · t

burada:

syol (km, m)
vsürət (km/saat, m/s)
tvaxt (saat, s)

Vahidlər uyğun olmalıdır: 1 m/s = 3,6 km/saat, 20 dəq = 1/3 saat.

Vəziyyət	Hansı sürət və ya yol
Qarşı-qarşıya hərəkət	yaxınlaşma sürəti v₁ + v₂
Eyni istiqamətdə, çatma	yaxınlaşma sürəti v₁ − v₂ (v₁ > v₂)
Çayda: axın üzrə / axına qarşı	v + u / v − u
Qatar dirəyin yanından keçir	yol = qatarın uzunluğu L
Qatar tuneldən (körpüdən) tam keçir	s = Lₜ + L

v — qayığın durğun sudakı sürəti, u — axının sürəti. Sal və axınla üzən cisim axının sürəti ilə hərəkət edir.

Qarşı-qarşıya və çatma

1) A və B şəhərləri arasındakı məsafə 360 km-dir. Eyni vaxtda bir-birinə doğru 70 km/saat və 80 km/saat sürətlə iki avtomobil yola düşür. Onlar neçə saatdan sonra görüşəcəklər?
2) Velosipedçi 12 km/saat sürətlə yola düşdü. 1 saat sonra həmin yerdən onun ardınca 36 km/saat sürətlə motosikletçi çıxdı. Motosikletçi velosipedçiyə nə vaxt və başlanğıcdan hansı məsafədə çatacaq?

Həllini göstər

1) Yaxınlaşma sürəti 70 + 80 = 150 km/saat. t = 360 : 150 = 2,4 saat = 2 saat 24 dəqiqə.
2) Motosikletçi çıxanda aralarındakı məsafə 12 · 1 = 12 km-dir. Yaxınlaşma sürəti 36 − 12 = 24 km/saat. t = 12 : 24 = 0,5 saat. Məsafə: 36 · 0,5 = 18 km (yoxlama: velosipedçi 1,5 saatda 12 · 1,5 = 18 km gedir). Cavab: motosikletçi çıxandan 0,5 saat sonra, başlanğıcdan 18 km-də.

Yazılı tapşırıq: çayda hərəkət (tam həll)

Qayıq çayın axını ilə 48 km üzüb geri qayıtdı və bütün yola 7 saat sərf etdi. Çayın axınının sürəti 2 km/saatdır. Qayığın durğun sudakı sürətini tapın. Həllin bütün mərhələlərini yazın.

Həllini göstər

Həll. Tutaq ki, qayığın durğun sudakı sürəti x km/saatdır (x > 2, yoxsa qayıq axına qarşı üzə bilməz).
Axın üzrə sürət x + 2, axına qarşı x − 2 km/saatdır; vaxtlar 48/(x + 2) və 48/(x − 2) saatdır.
Tənlik: 48/(x + 2) + 48/(x − 2) = 7.
Hər tərəfi (x + 2)(x − 2) ifadəsinə vuraq: 48(x − 2) + 48(x + 2) = 7(x² − 4) ⇒ 96x = 7x² − 28 ⇒ 7x² − 96x − 28 = 0.
D = 96² + 4 · 7 · 28 = 9216 + 784 = 10000; x = (96 ± 100)/14 ⇒ x₁ = 14, x₂ = −2/7.
x₂ < 0 şərtə uyğun deyil, atılır.
Yoxlama: 48/16 + 48/12 = 3 + 4 = 7. ✓
Cavab: 14 km/saat.
Meyarlar: tənlik qurulub — ⅓; düzgün həll olunub — ⅔; kənar kök atılıb, cavab vahidlə yazılıb — 1.

Qatar tuneldən tam keçəndə onun önü tunelin uzunluğu ilə öz uzunluğunun cəmi qədər yol gedir.

Qatar, dirək, tunel və körpü

1) Qatar dirəyin yanından 15 saniyəyə, uzunluğu 450 m olan tuneldən isə 45 saniyəyə keçir. Qatarın uzunluğunu və sürətini tapın.
2) Uzunluğu 300 m olan qatar 72 km/saat sürətlə körpüdən 50 saniyəyə keçdi. Körpünün uzunluğunu tapın.

Həllini göstər

1) Sürət v m/s, uzunluq L m olsun. Dirək: L = 15v. Tunel: L + 450 = 45v.
Çıxaq: 450 = 30v ⇒ v = 15 m/s = 15 · 3,6 = 54 km/saat; L = 15 · 15 = 225 m.
2) 72 km/saat = 72 : 3,6 = 20 m/s. 50 saniyədə qatarın önü 20 · 50 = 1000 m gedir. Bu, körpü və qatarın uzunluqlarının cəmidir: körpü 1000 − 300 = 700 m.

Birgə iş və borular

Bütün işi 1 qəbul edirik. İşi t saata görən işçinin (borunun) məhsuldarlığı 1/t-dir: o, bir saatda işin 1/t hissəsini görür. Birlikdə işləyəndə məhsuldarlıqlar toplanır, boşaldan borunun məhsuldarlığı isə çıxılır.

1/t = 1/t₁ + 1/t₂1/t = 1/t₁ + 1/t₂

burada:

t₁, t₂hər birinin işi təkbaşına görmə vaxtı
tbirlikdə görmə vaxtı

Boşaldan boru üçün işarə mənfidir: 1/t = 1/t₁ − 1/t₂. Birlikdə vaxt həmişə ən sürətli işçinin vaxtından azdır.

Məhsuldarlıqlar toplanır

1) Birinci boru hovuzu 6 saata, ikinci boru 3 saata doldurur. Birlikdə neçə saata doldurarlar?
2) Doldurma borusu boş hovuzu 4 saata doldurur, boşaltma borusu dolu hovuzu 6 saata boşaldır. Hər ikisi açıq olsa, boş hovuz neçə saata dolar?
3) İki usta birlikdə işi 12 günə görür. Birinci usta təkbaşına bu işi 20 günə görür. İkinci usta təkbaşına neçə günə görər?

Həllini göstər

1) 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2 ⇒ t = 2 saat.
2) 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 ⇒ t = 12 saat.
3) İkincinin məhsuldarlığı: 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30 ⇒ 30 gün.

Yazılı tapşırıq: kvadrat tənliyə gətirən iş məsələsi

İki fəhlə birlikdə işi 6 günə görür. Birinci fəhlə təkbaşına bu işə ikincidən 5 gün çox vaxt sərf edir. Hər fəhlə təkbaşına işi neçə günə görər?

Həllini göstər

Həll. İkinci fəhlə işi x gündə (x > 0), birinci isə x + 5 gündə görsün. Məhsuldarlıqlar 1/x və 1/(x + 5)-dir.
Tənlik: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
6x(x + 5)-ə vuraq: 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) ⇒ x² + 5x − 12x − 30 = 0 ⇒ x² − 7x − 30 = 0.
Köklər: x₁ = 10, x₂ = −3 (Viyet: 10 + (−3) = 7, 10 · (−3) = −30). x₂ < 0 — vaxt mənfi ola bilməz.
İkinci fəhlə 10 günə, birinci 10 + 5 = 15 günə görür.
Yoxlama: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6. ✓
Cavab: 15 gün və 10 gün.

Qarışıqlar, ərintilər və faizlər

c = m/M · 100%c = m/M · 100%

burada:

cqatılıq (maddənin faizi)
msaf maddənin kütləsi
Mbütün qarışığın kütləsi

Faizlə yanaşı nisbət də verilə bilər: 3 : 2 nisbəti 3/5 = 60% və 2/5 = 40% deməkdir.

c₁ · M₁ + c₂ · M₂ = c · (M₁ + M₂)

burada:

c₁, c₂qarışdırılan hissələrin qatılığı (onluq kəsrlə)
M₁, M₂onların kütlələri

Əsas fikir: saf maddənin miqdarı qarışdırmadan əvvəl və sonra eynidir. Su əlavə edəndə c₂ = 0, saf maddə əlavə edəndə c₂ = 1 (100%).

Məhlul və ərinti

1) 300 q 20%-li duz məhluluna nə qədər su əlavə etmək lazımdır ki, 15%-li məhlul alınsın?
2) 10%-li və 30%-li məhlullardan 400 q 25%-li məhlul almaq üçün hər birindən neçə qram götürmək lazımdır?
3) 200 kq ərintidə mis və sinkin kütlələri 3 : 2 nisbətindədir. Ərintiyə nə qədər sink əlavə etmək lazımdır ki, sink ərintinin yarısını təşkil etsin?

Həllini göstər

1) Duz: 0,2 · 300 = 60 q; bu, dəyişmir. x q su əlavə edək: 60/(300 + x) = 0,15 ⇒ 300 + x = 400 ⇒ x = 100 q.
2) 10%-lidən x q, 30%-lidən y q: { x + y = 400; 0,1x + 0,3y = 0,25 · 400 = 100 }. y = 400 − x ⇒ 0,1x + 120 − 0,3x = 100 ⇒ 0,2x = 20 ⇒ x = 100 q, y = 300 q.
3) Mis 3/5 · 200 = 120 kq, sink 80 kq. Yalnız sink əlavə olunur, ona görə mis 120 kq qalır. Sonda mis də yarıdır: bütün ərinti 240 kq olmalıdır. Əlavə: 240 − 200 = 40 kq. Yoxlama: sink 80 + 40 = 120 kq, 120/240 = 50%. ✓
Yazılı tapşırıqda (2-ci məsələ): sistem qurulub — ⅓; düzgün həll olunub — ⅔; cavab hər iki məhlul üçün vahidlə yazılıb — 1.

Faiz və mükafat

1) Satıcının aylıq maaşı 600 manat və satışın 5%-i qədər mükafatdan ibarətdir. Bir ayda o, 950 manat alıb. Həmin ay neçə manatlıq satış edib?
2) Mal 15% endirimlə 68 manata satılır. Endirimdən əvvəlki qiyməti tapın.
3) Qiymət əvvəlcə 20% artdı, sonra 20% azaldı. Son qiymət ilkin qiymətə nisbətən necə dəyişdi?

Həllini göstər

1) Satış x manat: 600 + 0,05x = 950 ⇒ 0,05x = 350 ⇒ x = 7000 manat.
2) 68 manat ilkin qiymətin 85%-idir: x · 0,85 = 68 ⇒ x = 80 manat. (68-in 15%-ni əlavə etmək səhvdir: faiz ilkin qiymətdən hesablanır.)
3) x · 1,2 · 0,8 = 0,96x — qiymət 4% azalıb. Ətraflı: «Faizlər» dərsi.

Cədvəllə verilmiş və rəqəm məsələləri: sistem qururuq

İki məchul olanda iki tənlik lazımdır: biri «saylar» (bilet, səhifə, dəqiqə), digəri «pul» və ya «ümumi miqdar» üzrə qurulur. Cədvəl məlumatı nizamlayır, sistem isə əvəzetmə və ya toplama üsulu ilə həll olunur.

Bilet	Qiymət, manat	Satılıb
Böyük	5	x
Uşaq	3	y
Cəmi	164 manat	40

Konsert biletlərinin satışı — aşağıdakı birinci məsələnin məlumatları.

Biletlər, tarif və printer

1) Cədvələ görə neçə böyük və neçə uşaq bileti satılıb?
2) A tarifi: ayda 10 manat və hər dəqiqəyə 0,04 manat. B tarifi: hər dəqiqəyə 0,08 manat. Ayda neçə dəqiqə danışanda hər iki tarifdə ödəniş eyni olur?
3) Printer 1 dəqiqədə 20 ağ-qara və ya 8 rəngli səhifə çap edir. 30 dəqiqədə cəmi 444 səhifə çap olundu. Neçə rəngli səhifə çap olunub?

Həllini göstər

1) { x + y = 40; 5x + 3y = 164 }. y = 40 − x ⇒ 5x + 120 − 3x = 164 ⇒ 2x = 44 ⇒ x = 22, y = 18. Cavab: 22 böyük, 18 uşaq bileti.
2) t dəqiqə: 10 + 0,04t = 0,08t ⇒ 0,04t = 10 ⇒ t = 250 dəqiqə.
3) x dəqiqə ağ-qara, y dəqiqə rəngli: { x + y = 30; 20x + 8y = 444 }. 20x + 8(30 − x) = 444 ⇒ 12x = 204 ⇒ x = 17, y = 13. Rəngli səhifələr: 8 · 13 = 104 (diqqət: soruşulan y deyil, 8y-dir).
Yazılı tapşırıqda: sistem — ⅓; həll — ⅔; soruşulan kəmiyyət (8y) düzgün yazılıb — 1.

Rəqəm məsələsi sistemlə

İkirəqəmli ədədin rəqəmlərinin cəmi 11-dir. Rəqəmlərin yeri dəyişdikdə ədəd 45 artır. Ədədi tapın.

Həllini göstər

Onluqlar rəqəmi a, təkliklər rəqəmi b olsun: ədəd 10a + b. { a + b = 11; (10b + a) − (10a + b) = 45 } ⇒ { a + b = 11; b − a = 5 } ⇒ b = 8, a = 3. Ədəd 38 (83 − 38 = 45). Rəqəm yazılışı haqqında: «Qalıqlı bölmə, rəqəmlər və son rəqəm məsələləri».

Kodlaşdırılan tapşırıqlar: cavabı ədədlə yaz

1.54 km/saat = m/s
2.Borular hovuzu 10 və 15 saata doldurur. Birlikdə: saat
3.200 q 15%-li məhlulda q duz var
4.Qayığın öz sürəti 20 km/saat, axın 4 km/saat. Axın üzrə 48 km-ə saat
5.Yolun yarısı 60, yarısı 30 km/saat ilə: orta sürət km/saat

Əsas fikirlər

Model: məchul (vahidlə) → kəmiyyətlər cədvəli → işlədilməmiş şərtdən tənlik → həll və köklərin seçilməsi → soruşulana cavab.
Hərəkət: s = vt; qarşı-qarşıya v₁ + v₂, çatma v₁ − v₂, çayda v ± u, tuneldə s = Lₜ + L.
İş: bütün iş 1, məhsuldarlıq 1/t, birgə işdə məhsuldarlıqlar toplanır (boşaldan boru çıxılır).
Qarışıq: saf maddənin kütləsi saxlanılır; yalnız bir komponent əlavə olunanda digəri dəyişmir.
Yazılı tapşırıq mərhələlərlə qiymətləndirilir (0, ⅓, ½, ⅔, 1): tənliyi, həlli, köklərin seçimini və vahidli cavabı aydın yaz.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

İki avtomobil v₁ və v₂ sürətləri ilə bir-birinə doğru hərəkət edir. Onların yaxınlaşma sürəti nəyə bərabərdir?