- Verilmiş funksiya üçün arqumentin və funksiyanın artımını, orta dəyişmə sürətini və kəsənin bucaq əmsalını hesablamaq
- Δx → 0 olduqda kəsənin toxunana çevrilməsini izah etmək və törəmənin tərifini yazmaq
- Sabitin, kx + b, x², x³, 1/x, √x və ax² + bx + c funksiyalarının törəməsini tərifə əsasən 3 addımda tapmaq
- Funksiyanın nöqtədə diferensiallanmadığı halları tanımaq və diferensiallanma ilə kəsilməzliyin əlaqəsini izah etmək
Leyla şəhərlərarası avtobusla səfərə çıxıb. Avtobus 3 saatda 240 km yol gedib, deməli, onun orta sürəti 80 km/saat olub. Amma spidometr heç vaxt sabit 80 göstərmirdi: svetoforda 0, düz yolda 90, döngədə 50. Hər anın öz sürəti var. «Konkret bir anda sürət nə qədərdir?» sualı XVII əsrdə riyaziyyatçıları törəmə anlayışına gətirib çıxardı. Bu dərsdə həmin yolu addım-addım keçəcəyik: əvvəlcə dəyişməni ölçməyi (artımları), sonra orta dəyişmə sürətini, sonra isə aralıq sıfıra qədər kiçiləndə nə baş verdiyini öyrənəcəyik.
Arqumentin artımı və funksiyanın artımı
Törəmə dəyişməni təsvir edir, ona görə əvvəlcə dəyişməni ölçməyi öyrənək. y = f(x) funksiyası və onun təyin oblastından x₀ nöqtəsi verilsin. Arqument x₀-dan başqa bir x qiymətinə keçir, funksiyanın qiyməti də f(x₀)-dan f(x)-ə keçir. Bu dəyişmələri Δ («delta» oxunur) hərfi ilə işarə edirik: yunan hərfi Δ burada «fərq» deməkdir.
Δx = x − x₀ — arqumentin yeni və köhnə qiymətlərinin fərqi. Δx müsbət (sağa addım) və ya mənfi (sola addım) ola bilər, amma sıfır ola bilməz.
Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) — funksiyanın yeni və köhnə qiymətlərinin fərqi. Δf > 0 olarsa funksiya artıb, Δf < 0 olarsa azalıb, Δf = 0 olarsa dəyişməyib.
- x₀başlanğıc nöqtə (arqumentin köhnə qiyməti)
- x = x₀ + Δxarqumentin yeni qiyməti
- Δxarqumentin artımı, Δx ≠ 0
- Δffunksiyanın artımı (Δy də yazılır)
Artım həmişə «yeni qiymət çıx köhnə qiymət» kimi hesablanır — həm arqument, həm də funksiya üçün.
Bunu qrafikdə belə təsəvvür et: qrafikin A(x₀; f(x₀)) nöqtəsində dayanırsan. Əvvəlcə üfüqi istiqamətdə Δx qədər addım atırsan, sonra yenidən qrafikə çatana qədər şaquli istiqamətdə Δf qədər qalxırsan (Δf < 0 olarsa, enirsən). Beləliklə, qrafikin ikinci nöqtəsinə — B(x₀ + Δx; f(x₀ + Δx)) nöqtəsinə çatırsan. Δx bu «pilləkən pilləsinin» eni, Δf isə hündürlüyüdür.
| Δx | x₀ + Δx | f(x₀ + Δx) | Δf |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 9 | 8 |
| 1 | 2 | 4 | 3 |
| 0,5 | 1,5 | 2,25 | 1,25 |
| −0,5 | 0,5 | 0,25 | −0,75 |
| −1 | 0 | 0 | −1 |
1) f(x) = 3x − 1, x₀ = 2, Δx = 0,5. Δf-i tap. 2) f(x) = x², arqument x₀ = 3-dən x = 2-yə keçir. Δx-i və Δf-i tap. 3) f(x) = x² üçün Δf-i x₀ və Δx ilə ifadə et.
Həllini göstərHəllini gizlət
Δf = 6,5 − 5 = 1,5. Diqqət: 1,5 = 3 · 0,5, yəni xətti funksiyada həmişə Δf = k · Δx olur.
2) Δx = 2 − 3 = −1 (sola addım).
Δf = f(2) − f(3) = 4 − 9 = −5: funksiya azalıb.
3) Δf = (x₀ + Δx)² − x₀² = x₀² + 2x₀Δx + (Δx)² − x₀² = 2x₀Δx + (Δx)².
Yoxlama: x₀ = 3, Δx = −1 olduqda 2 · 3 · (−1) + (−1)² = −6 + 1 = −5 — 2-ci bənddəki cavabla eynidir.
Orta dəyişmə sürəti və kəsən
Artımın özü hələ az şey deyir: 10 km yolu 5 dəqiqəyə də, 5 saata da getmək olar. Dəyişmənin nə qədər sürətli olduğunu bilmək üçün funksiyanın artımını arqumentin artımına bölürük. Δf / Δx nisbəti orta dəyişmə sürətidir: arqument 1 vahid dəyişəndə funksiya orta hesabla neçə vahid dəyişir. Onun vahidi «funksiyanın vahidi / arqumentin vahidi» olur: km/saat, sm/il, manat/ay.
- Δf / ΔxΔf / Δxx₀ ilə x₀ + Δx arasında orta dəyişmə sürəti
- Δffunksiyanın artımı
- Δxarqumentin artımı, Δx ≠ 0
Orta dəyişmə sürəti. Yol–zaman funksiyası üçün bu, orta sürətdir: Δs / Δt.
1) Avtobus saat 10:00-da yolun 70-ci kilometrində, saat 12:00-da isə 230-cu kilometrində idi. Bu iki saatda orta sürət nə qədərdir? 2) Leylanın boyu 12 yaşında 148 sm, 15 yaşında 163 sm idi. Boyun orta artım sürətini tap. 3) f(x) = x² funksiyasının [1; 3] parçasında orta dəyişmə sürətini tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
Orta sürət: Δs / Δt = 160 / 2 = 80 km/saat.
2) Δt = 15 − 12 = 3 il, Δh = 163 − 148 = 15 sm.
Δh / Δt = 15 / 3 = 5 sm/il. Bu, Leylanın hər il düz 5 sm böyüdüyü demək deyil: bəzi illər çox, bəziləri az — 5 sm/il sadəcə orta göstəricidir.
3) x₀ = 1, Δx = 3 − 1 = 2, Δf = f(3) − f(1) = 9 − 1 = 8.
Δf / Δx = 8 / 2 = 4: bu parçada x-in hər vahidinə orta hesabla funksiyanın 4 vahid artımı düşür.
İndi həndəsəyə baxaq. Qrafikin A(x₀; f(x₀)) və B(x₀ + Δx; f(x₀ + Δx)) nöqtələrindən keçən düz xəttə kəsən deyilir (o, qrafiki ən azı iki nöqtədə «kəsir»). Xətti funksiyadan bilirik ki, iki nöqtədən keçən düz xəttin bucaq əmsalı «şaquli fərq bölünsün üfüqi fərqə» düsturu ilə tapılır. A və B üçün şaquli fərq Δf, üfüqi fərq isə Δx-dir. Deməli, orta dəyişmə sürəti kəsənin bucaq əmsalıdır: cəbr və həndəsə eyni şeyi deyir.
Funksiyanın qrafikinin iki nöqtəsindən keçən düz xətt. Onun bucaq əmsalı həmin iki nöqtə arasındakı orta dəyişmə sürətinə, Δf / Δx-ə bərabərdir.
- (x₁; y₁), (x₂; y₂)qrafikin iki nöqtəsi (A və B)
- kkəsənin bucaq əmsalı
Kəsənin bucaq əmsalı. k > 0 olarsa, kəsən soldan sağa qalxır, k < 0 olarsa, enir.
Kəsənin bucaq əmsalını tap: 1) y = x² parabolasının absisləri 1 və 3 olan nöqtələrindən keçən; 2) eyni parabolanın absisləri −1 və 2 olan nöqtələrindən keçən; 3) y = 1/x hiperbolasının absisləri 1 və 4 olan nöqtələrindən keçən; 4) ümumi hal: y = x² parabolasının absisləri a və a + h olan nöqtələrindən keçən.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) A(−1; 1), B(2; 4): k = (4 − 1) / (2 − (−1)) = 3 / 3 = 1.
3) A(1; 1), B(4; 1/4): k = (1/4 − 1) / (4 − 1) = (−3/4) / 3 = −1/4 < 0 — kəsən enir.
4) k = ((a + h)² − a²) / h = (2ah + h²) / h = 2a + h.
Aşağıdakı interaktiv qrafikdə ikinci xətt məhz bu kəsəndir: y = (2a + h)(x − a) + a².
Δx → 0: kəsəndən toxunana
Orta sürət bütöv aralıq haqqında danışır, bizə isə bir anın sürəti lazımdır. Təbii fikir: aralığı getdikcə qısaldaq. f(x) = x² və x₀ = 1 üçün hesablayaq. Yuxarıdakı ümumi düsturdan Δf = 2x₀Δx + (Δx)² = 2Δx + (Δx)², deməli, Δf / Δx = 2 + Δx. İndi Δx-i həm sağdan, həm də soldan sıfıra yaxınlaşdıraq:
| Δx | Δf | Δf / Δx |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 0,1 | 0,21 | 2,1 |
| 0,01 | 0,0201 | 2,01 |
| 0,001 | 0,002001 | 2,001 |
| −0,001 | −0,001999 | 1,999 |
| −0,01 | −0,0199 | 1,99 |
| −0,1 | −0,19 | 1,9 |
Nisbət 2-yə istədiyimiz qədər yaxınlaşır: Δx nə qədər kiçik olsa, Δf / Δx ilə 2 arasındakı fərq də o qədər kiçikdir (bu fərq düz Δx-ə bərabərdir). Riyaziyyatda bunu belə yazırlar: lim (Δx→0) Δf / Δx = 2 və oxuyurlar: «Δx sıfıra yaxınlaşdıqda Δf / Δx nisbətinin limiti 2-dir». Diqqət: Δx heç vaxt sıfıra bərabər olmur — Δx = 0 olsaydı, mənasız 0 / 0 ifadəsini alardıq. Limit «nisbət hansı ədədə yaxınlaşır?» sualının cavabıdır, «Δx = 0 olanda nisbət nəyə bərabərdir?» sualının yox.
Həndəsi mənzərə də eynidir. Δx kiçildikcə B nöqtəsi qrafik üzrə A-ya doğru sürüşür, kəsən isə A nöqtəsi ətrafında fırlanır. Limitdə o, müəyyən son vəziyyətə gəlir — A nöqtəsində qrafikə toxunan düz xəttə çevrilir. Toxunanın bucaq əmsalı kəsənlərin bucaq əmsallarının limitidir; bizim nümunədə 2-dir. Avtobus üçün də belədir: getdikcə qısalan zaman aralıqlarında orta sürətlər spidometrin göstərdiyi ani sürətə yaxınlaşır.
Törəmənin tərifi
f funksiyasının x₀ nöqtəsində törəməsi Δx sıfıra yaxınlaşdıqda funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin limitidir (əgər bu limit varsa və sonlu ədəddirsə). İşarəsi: f′(x₀).
- f′(x₀)x₀ nöqtəsində törəmə — bir ədəd («ef ştrix iks sıfır» oxunur)
- lim (Δx→0)Δx sıfıra yaxınlaşdıqda limit
- Δf, Δxfunksiyanın və arqumentin artımı
Törəmənin tərifi: törəmə ani dəyişmə sürətidir, yəni Δx → 0 olduqda orta dəyişmə sürətinin limitidir. Həndəsi dildə — toxunanın bucaq əmsalı.
Əgər f′(x₀) varsa (limit mövcud və sonludursa), f funksiyası x₀ nöqtəsində diferensiallanan adlanır. Aralığın hər nöqtəsində diferensiallanan funksiya həmin aralıqda diferensiallanandır. Törəməni tapmaq əməliyyatına diferensiallama deyilir.
Törəmənin bir neçə yazılışı var: f′(x) («ef ştrix iks»), y′ («iqrek ştrix») və dy/dx («de iqrek de iks»). Sonuncu yazılış tərifi xatırladır: çox kiçik Δy bölünsün çox kiçik Δx-ə. Mühüm fikir: x₀ nöqtəsini dəyişsək, hər x üçün öz f′(x) ədədimizi alırıq. Deməli, törəmə yeni funksiyadır. Məsələn, f(x) = x² üçün f′(x) = 2x (bunu aşağıda isbat edəcəyik): f′(1) = 2, f′(3) = 6, f′(−2) = −4, f′(0) = 0.
- 11. Funksiyanın artımı
Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) yaz və sadələşdir: x-in yerinə bütöv x₀ + Δx ifadəsini qoy, mötərizələri aç, oxşar hədləri islah et. Düzgün sadələşdirmədən sonra hər həddə Δx vuruğu olur.
- 22. Nisbət
Δf / Δx nisbətini qur və Δx-ə ixtisar et. Kəsr olarsa, əvvəlcə ortaq məxrəcə gətir; kök olarsa, surəti və məxrəci qoşma ifadəyə vur.
- 33. Limit
Sadələşmiş ifadədə Δx → 0 götür: artıq Δx-in yerinə 0 yazmaq olar. Alınan ədəd f′(x₀)-dır. x₀ əvəzinə x yazsan, f′(x) funksiyasını alarsan.
Tərifə əsasən törəməni tap: 1) f(x) = 7; 2) f(x) = kx + b (k və b — ədədlərdir); 3) f(x) = 5x − 2 və g(x) = −3x + 4.
Həllini göstərHəllini gizlət
Δf / Δx = 0 / Δx = 0.
Limit: (7)′ = 0. Sabit funksiya dəyişmir, ona görə onun dəyişmə sürəti 0-dır: C′ = 0.
2) Δf = (k(x + Δx) + b) − (kx + b) = kΔx.
Δf / Δx = k — nisbət Δx-dən heç asılı deyil.
Limit: (kx + b)′ = k. Düz xəttin hər kəsəni onun özüdür, ona görə törəmə elə bucaq əmsalıdır.
3) (5x − 2)′ = 5, (−3x + 4)′ = −3. Xüsusi hal: (x)′ = 1.
1) f(x) = x² funksiyasının istənilən x nöqtəsində törəməsini tərifə əsasən tap və f′(3)-ü hesabla. 2) f(x) = x³ üçün f′(x), f′(1) və f′(−2)-ni tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
Δf / Δx = 2x + Δx.
Δx → 0: f′(x) = 2x, f′(3) = 2 · 3 = 6.
2) (x + Δx)³ = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³, ona görə Δf = 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³.
Δf / Δx = 3x² + 3xΔx + (Δx)².
Δx → 0: f′(x) = 3x²; f′(1) = 3, f′(−2) = 3 · 4 = 12.
f′(−2) > 0: x = −2 nöqtəsində kub parabola artır, baxmayaraq ki, funksiyanın özü mənfidir (f(−2) = −8).
f(x) = 1/x (x ≠ 0) funksiyasının törəməsini tərifə əsasən tap və onun x = 2, x = −1 və x = 1/2 nöqtələrindəki qiymətlərini hesabla.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Δf / Δx = −1 / (x(x + Δx)).
3) Δx → 0: f′(x) = −1 / (x · x) = −1/x².
f′(2) = −1/4, f′(−1) = −1/1 = −1, f′(1/2) = −1 / (1/4) = −4.
Törəmə həmişə mənfidir: hiperbolanın hər iki qolu soldan sağa enir. x = 0 nöqtəsində isə funksiya təyin olunmayıb, orada törəmə də yoxdur.
f(x) = √x (x > 0) funksiyasının törəməsini tərifə əsasən tap. f′(4), f′(9) və f′(1)-i hesabla.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Δf / Δx = (√(x + Δx) − √x) / Δx. Burada Δx-ə birbaşa ixtisar etmək olmur, ona görə surəti və məxrəci qoşma ifadəyə, √(x + Δx) + √x-ə vururuq.
Surət: (√(x + Δx) − √x)(√(x + Δx) + √x) = (x + Δx) − x = Δx (kvadratlar fərqi düsturu).
Δf / Δx = Δx / (Δx · (√(x + Δx) + √x)) = 1 / (√(x + Δx) + √x).
3) Δx → 0: f′(x) = 1 / (√x + √x) = 1 / (2√x).
f′(4) = 1 / (2 · 2) = 1/4, f′(9) = 1 / (2 · 3) = 1/6, f′(1) = 1/2.
1) f(x) = ax² + bx + c funksiyasının törəməsini tərifə əsasən tap. 2) Alınan düsturla f(x) = 3x² − 5x + 1 üçün f′(2)-ni və g(x) = −x² + 4x üçün g′(2)-ni hesabla.
Həllini göstərHəllini gizlət
Δf / Δx = 2ax + b + aΔx.
Δx → 0: (ax² + bx + c)′ = 2ax + b. Sərbəst hədd c törəmədə itir — o, qrafiki yalnız yuxarı-aşağı sürüşdürür, mailliyini dəyişmir.
2) f′(x) = 2 · 3x − 5 = 6x − 5, f′(2) = 12 − 5 = 7.
g′(x) = −2x + 4, g′(2) = 0. Bu, təsadüf deyil: x = 2 parabolanın təpəsinin absisidir (x = −b / (2a) = −4 / (−2) = 2), təpədə isə parabola nə qalxır, nə də enir.
Diferensiallanma və kəsilməzlik
Xatırlayaq: Δx → 0 olduqda Δf → 0 olursa, f funksiyası x₀ nöqtəsində kəsilməzdir, yəni arqumentin kiçik dəyişməsi funksiyanın da yalnız kiçik dəyişməsinə səbəb olur. Qrafikdə bu, x₀ nöqtəsində qırılma və sıçrayış olmaması deməkdir: qrafiki orada qələmi kağızdan qaldırmadan çəkmək olar.
Teorem. Nöqtədə diferensiallanan funksiya həmin nöqtədə kəsilməzdir. İsbatı bir sətirdir: Δf = (Δf / Δx) · Δx. Δx → 0 olduqda birinci vuruq f′(x₀) ədədinə, ikincisi isə 0-a yaxınlaşır, ona görə Δf → f′(x₀) · 0 = 0. Tərs iddia isə doğru deyil: funksiya kəsilməz ola, amma törəməsi olmaya bilər. İki klassik nümunəyə baxaq.
y = |x| funksiyasının x₀ = 0 nöqtəsində törəməsi varmı? Funksiya bu nöqtədə kəsilməzdirmi?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Δf / Δx = |Δx| / Δx. Δx > 0 olduqda bu nisbət 1-dir (məsələn, Δx = 0,1: 0,1 / 0,1 = 1), Δx < 0 olduqda isə −1-dir (Δx = −0,1: 0,1 / (−0,1) = −1).
3) Δx sağdan sıfıra yaxınlaşanda nisbət 1-ə, soldan yaxınlaşanda −1-ə bərabərdir. Hər iki tərəfdən eyni ədəd alınmır, deməli, limit yoxdur və f′(0) mövcud deyil.
Kəsilməzlik: Δf = |Δx| → 0, yəni funksiya 0 nöqtəsində kəsilməzdir.
Həndəsi mənası: sağdakı kəsənlərin bucaq əmsalı 1, soldakıların −1-dir. Qrafik 0 nöqtəsində sınır və «künc» əmələ gətirir — orada toxunan yoxdur. Qalan nöqtələrdə törəmə var: x > 0 olduqda (|x|)′ = 1, x < 0 olduqda (|x|)′ = −1.
y = ∛x funksiyasının x₀ = 0 nöqtəsində törəməsi varmı? Funksiya bu nöqtədə kəsilməzdirmi?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Δf / Δx = ∛Δx / Δx = 1 / (∛Δx)². Ədədlərlə: Δx = 0,001 olduqda ∛Δx = 0,1 və nisbət 1 / 0,01 = 100; Δx = 0,000001 olduqda ∛Δx = 0,01 və nisbət 10 000; Δx = −0,001 olduqda ∛Δx = −0,1 və nisbət yenə 100-dür.
3) Δx → 0 olduqda nisbət hədsiz böyüyür (→ +∞). Sonlu limit yoxdur, f′(0) mövcud deyil.
Kəsilməzlik: Δf = ∛Δx → 0, yəni funksiya kəsilməzdir.
Həndəsi mənası: kəsənlər getdikcə dikləşir və limitdə şaquli düz xəttə — Oy oxuna (x = 0) çevrilir. Qrafikin toxunanı var, amma şaquli düz xəttin bucaq əmsalı yoxdur. y = √x funksiyası da eyni səbəbdən 0 nöqtəsində diferensiallanmır: orada Δf / Δx = 1 / √Δx → +∞.
| Hal | Nümunə | Δx → 0 olduqda nə baş verir |
|---|---|---|
| Kəsilmə (sıçrayış) | x < 0 olduqda f(x) = 0, x ≥ 0 olduqda f(x) = 1; x₀ = 0 | soldan Δf = −1, 0-a yaxınlaşmır: funksiya kəsilməz deyil, törəmə də yoxdur |
| Sınma nöqtəsi («künc») | y = |x|, x₀ = 0 | Δf / Δx sağdan 1, soldan −1-dir: limit yoxdur |
| Şaquli toxunan | y = ∛x və y = √x, x₀ = 0 | Δf / Δx → +∞: sonlu limit yoxdur |
- 1.f(x) = x², x₀ = 2, Δx = 0,5 olduqda Δf =
- 2.f(x) = x² funksiyasının [2; 5] parçasında orta dəyişmə sürəti:
- 3.f(x) = 4x² − x + 3 üçün f′(x) =
- 4.f(x) = 1/x üçün f′(4) =
- 5.f(x) = √x üçün f′(25) =
- 6.y = |x| funksiyasının x = −3 nöqtəsində törəməsi:
Tərifə əsasən törəmə tapmaq onun «mühərrikini» göstərir, amma hər dəfə limit hesablamaq yorucudur. Növbəti dərsdə törəmənin həndəsi və fiziki mənasını və toxunanın tənliyini, sonra törəmələr cədvəlini və cəmin, hasilin və qismətin törəməsi qaydalarını öyrənəcəyik: bu düsturlar tərifdən bir dəfə çıxarılır və sonra hazır alət kimi işlədilir.
Əsas fikirlər
- Δx = x − x₀ arqumentin, Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) funksiyanın artımıdır; hər ikisi «yeni qiymət çıx köhnə qiymət»dir.
- Δf / Δx orta dəyişmə sürətidir və qrafikin iki nöqtəsindən keçən kəsənin bucaq əmsalına bərabərdir.
- f′(x₀) = lim (Δx→0) Δf / Δx — ani dəyişmə sürəti; Δx → 0 olduqda kəsən toxunana çevrilir.
- Tərifə əsasən törəmə 3 addımda tapılır: Δf-i sadələşdir → Δf / Δx-i Δx-ə ixtisar et → Δx → 0.
- Tərifdən: C′ = 0, (kx + b)′ = k, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x², (1/x)′ = −1/x², (√x)′ = 1/(2√x), (ax² + bx + c)′ = 2ax + b.
- Diferensiallanan funksiya kəsilməzdir, tərsi doğru deyil: |x| (künc) və ∛x (şaquli toxunan) 0 nöqtəsində kəsilməzdir, amma diferensiallanmır.
Özünü yoxla
12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.