Qalıqlı bölmə, rəqəmlər və son rəqəm məsələləri

Bu dərsdə öyrənəcəksən

a = bq + r bərabərliyi ilə bölünəni və qalığı tapmaq, 0 ≤ r < b şərtini yoxlamaq
Cəmin, hasilin və qüvvətin qalığını, qüvvətin son rəqəmini dövrlərlə tapmaq
a̅b̅ = 10a + b yazılışı ilə rəqəm məsələlərini və naməlum rəqəmli bölünmə tapşırıqlarını həll etmək
Qarşılıqlı sadə ədədlər və yuvarlaqlaşdırma ilə bağlı DİM tapşırıqlarını həll etmək

Bu gün çərşənbədir. 100 gündən sonra həftənin hansı günü olacaq? Günləri tək-tək saymağa ehtiyac yoxdur: 100 = 7 · 14 + 2, yəni 14 tam həftə keçəcək və daha 2 gün qalacaq — cümə olacaq. Burada əsas rolu qalıq oynadı. DİM-in «Natural ədədlər» mövzusu 2026-cı ildə hər üç imtahanda (I və II qrupların qəbul, 11-ci sinfin buraxılış imtahanı) soruşulub və onun ən çox rast gəlinən tapşırıqları məhz qalıq, rəqəm və son rəqəm haqqındadır. Bölünmə əlamətlərini «Bölünmə əlamətləri. Sadə və mürəkkəb ədədlər», ƏBOB və ƏKOB-u isə «Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən» dərsində öyrənmişik; burada onları imtahan tapşırıqlarında işlədəcəyik.

Qalıqlı bölmə

Tərif

Qalıqlı bölmə

a natural ədədini b natural ədədinə qalıqla bölmək a = bq + r şəklində yazmaq deməkdir; burada q — natamam qismət, r — qalıqdır və 0 ≤ r < b. r = 0 olduqda a ədədi b-yə qalıqsız bölünür.

a = b · q + r, 0 ≤ r < b

burada:

abölünən
bbölən
qnatamam qismət
rqalıq

Qalıq həmişə böləndən kiçikdir: 7-yə bölmədə mümkün qalıqlar 0, 1, …, 6-dır. Ən böyük qalıq b − 1-dir.

Bölünəni və qalığı tapırıq

1) 100-ü 7-yə qalıqla böl.
2) Bölən 9, natamam qismət 12, qalıq 5-dir. Bölünəni tap.
3) Natamam qismət 3, qalıq 16-dır. Bölünən ən azı neçə ola bilər?
4) Ədəd 7-yə bölünür, natamam qismət 5-dir. Qalıq ən çoxu neçə ola bilər və bu halda bölünən neçədir?

Həllini göstər

1) 100 = 7 · 14 + 2: natamam qismət 14, qalıq 2.
2) a = 9 · 12 + 5 = 113.
3) Qalıq böləndən kiçik olmalıdır: b > 16, ən kiçik bölən b = 17. a = 17 · 3 + 16 = 67.
4) Ən böyük qalıq 7 − 1 = 6. a = 7 · 5 + 6 = 41.

Ədədin özü məlum deyil, yalnız qalığı məlumdursa, onu a = bq + r şəklində yazırıq və bu ifadə ilə hesablayırıq. Bu üsul DİM-in «qalığı tapın» tipli tapşırıqlarının açarıdır.

Qalığı məlum olan ədədlə

1) Ədəd 6-ya bölünəndə qalıq 5 alınır. Bu ədəd 3-ə bölünəndə qalıq neçə olar?
2) a ədədi 7-yə bölünəndə qalıq 3-dür. 2a + 5 ədədini 7-yə böldükdə qalıq neçə olar?

Həllini göstər

1) a = 6q + 5 = 6q + 3 + 2 = 3(2q + 1) + 2. Qalıq 2-dir. Yoxlama: 11 = 3 · 3 + 2, 17 = 3 · 5 + 2.
2) a = 7q + 3 ⇒ 2a + 5 = 14q + 11 = 14q + 7 + 4 = 7(2q + 1) + 4. Qalıq 4-dür. Yoxlama: a = 10 ⇒ 25 = 7 · 3 + 4.

Cəmin, hasilin və qüvvətin qalığı. Son rəqəm

a = bq₁ + r₁ və c = bq₂ + r₂ olsun. Onda a + c = b(q₁ + q₂) + (r₁ + r₂), a · c isə b-yə bölünən hissə ilə r₁ · r₂-nin cəmidir. Deməli, cəmin və hasilin qalığı yalnız qalıqlardan asılıdır: ədədləri onların qalıqları ilə əvəz etmək olar. Qüvvət təkrarlanan hasildir, ona görə qüvvətə də aiddir.

qalıq(a + c) = qalıq(r₁ + r₂); qalıq(a · c) = qalıq(r₁ · r₂); qalıq(aⁿ) = qalıq(r₁ⁿ)

burada:

r₁, r₂a və c-nin eyni b ədədinə bölünmədən qalıqları

Ədədləri qalıqları ilə əvəz et, hesabla, nəticənin yenə qalığını götür.

Hesablamadan qalıq

1) 2026 · 2027 + 15 ədədini 5-ə böldükdə qalıq neçədir?
2) 7¹⁰⁰ ədədini 6-ya böldükdə qalıq neçədir?
3) a ədədi 5-ə bölünəndə qalıq 3-dür. a² ədədini 5-ə böldükdə qalıq neçədir?
4) 2¹⁰⁰ ədədini 3-ə böldükdə qalıq neçədir?

Həllini göstər

1) 2026 → 1, 2027 → 2, 15 → 0: 1 · 2 + 0 = 2. Qalıq 2.
2) 7 = 6 + 1 → 1, ona görə 7¹⁰⁰ → 1¹⁰⁰ = 1. Qalıq 1.
3) a² → 3² = 9 = 5 + 4. Qalıq 4.
4) 2 → 2, 2² = 4 → 1, 2³ → 2, 2⁴ → 1, … cüt üstlü qüvvətlərdə qalıq 1-dir. 100 cütdür: qalıq 1.

Ədədin son rəqəmi onun 10-a bölünmədən qalığıdır. Deməli, qüvvətin son rəqəmi yalnız əsasın son rəqəmindən asılıdır: 13²⁰²⁶ və 3²⁰²⁶ eyni rəqəmlə bitir. Qüvvətləri ardıcıl yazsaq, son rəqəmlər ən çoxu 4 addımdan bir təkrarlanır — dövr yaranır.

Son rəqəm	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	Dövr
2	2	4	8	6	4
3	3	9	7	1	4
4	4	6	4	6	2
7	7	9	3	1	4
8	8	4	2	6	4
9	9	1	9	1	2
0, 1, 5, 6	0, 1, 5, 6	0, 1, 5, 6	0, 1, 5, 6	0, 1, 5, 6	1

Əsasın son rəqəminə görə aⁿ qüvvətinin son rəqəmi. 0, 1, 5 və 6 ilə bitən ədədlərin bütün qüvvətləri də həmin rəqəmlə bitir.

1
1. Əsasın son rəqəmi
Yalnız əsasın son rəqəmini saxla: 13²⁰²⁶ → 3²⁰²⁶.
2
2. Üstü 4-ə böl
Qüvvət üstünü 4-ə qalıqla böl: qalıq r.
3
3. Dövrdən götür
r = 1, 2, 3 olduqda dövrün r-ci rəqəmini, r = 0 olduqda 4-cü rəqəmini götür.
4
4. Cəm və hasil
Hər qüvvətin son rəqəmini ayrıca tap, sonra onları topla və ya vur və nəticənin son rəqəmini götür.

Son rəqəmi tapırıq

Son rəqəmi tap:
1) 3²⁰²⁶;
2) 7¹⁰¹;
3) 13²⁰²⁶;
4) 2⁵⁰ + 8⁵⁰.

Həllini göstər

1) 2026 = 4 · 506 + 2, r = 2: (3; 9; 7; 1) dövründə 2-ci rəqəm — 9.
2) 101 = 4 · 25 + 1, r = 1: (7; 9; 3; 1) dövründə 1-ci rəqəm — 7.
3) Əsas 3 ilə bitir, ona görə cavab 3²⁰²⁶-dakı kimidir — 9.
4) 50 = 4 · 12 + 2: 2⁵⁰ → 4, 8⁵⁰ → 4; 4 + 4 = 8. Son rəqəm 8.

DİM üslubunda: qapalı tapşırıq

3²⁰ · 7³¹ hasilinin son rəqəmini tapın.
A) 1 B) 3 C) 7 D) 9 E) 5

Həllini göstər

3²⁰: 20 = 4 · 5, r = 0 — dövrün 4-cü rəqəmi, 1.
7³¹: 31 = 4 · 7 + 3, r = 3 — (7; 9; 3; 1) dövründə 3-cü rəqəm, 3.
Hasil: 1 · 3 = 3.
Cavab: B.
Başqa yol: 3²⁰ · 7³¹ = (3 · 7)²⁰ · 7¹¹ = 21²⁰ · 7¹¹; 21²⁰ 1 ilə bitir, 7¹¹ isə 3 ilə (11 = 4 · 2 + 3).

Ədədin rəqəmlərlə yazılışı və rəqəm məsələləri

a̅b̅ = 10a + b; a̅b̅c̅ = 100a + 10b + c

burada:

abirinci rəqəm, a ≠ 0
b, csonrakı rəqəmlər, 0-dan 9-a qədər

Üstdəki xətt göstərir ki, a və b rəqəmlərdir, hasil deyil: a̅b̅ ≠ a · b. Məsələn, 47 = 10 · 4 + 7.

a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b); a̅b̅ + b̅a̅ = 11(a + b); a̅b̅c̅ − c̅b̅a̅ = 99(a − c)

burada:

b̅a̅rəqəmlərinin yeri dəyişdirilmiş ədəd

Yerdəyişmədə fərq 9-a (üçrəqəmlidə 99-a), cəm isə 11-ə bölünür. Bu, cavabı yoxlamağa və seçimi daraltmağa kömək edir.

Rəqəm məsələləri

1) İkirəqəmli ədəd rəqəmlərinin cəmindən 4 dəfə böyükdür. Ona 27 əlavə etdikdə rəqəmlərinin yeri dəyişən ədəd alınır. Ədədi tap.
2) Rəqəmlərinin yeri dəyişdikdə ikirəqəmli ədəd 45 azalır və yenə ikirəqəmli ədəd alınır. Belə neçə ədəd var?
3) a̅b̅c̅ − c̅b̅a̅ = 594 bərabərliyini ödəyən ən kiçik üçrəqəmli a̅b̅c̅ ədədini tap (c ≠ 0).

Həllini göstər

1) a̅b̅ = 10a + b. Şərtlər: 10a + b = 4(a + b) ⇒ 6a = 3b ⇒ b = 2a; 10a + b + 27 = 10b + a ⇒ 9(b − a) = 27 ⇒ b − a = 3.
b = 2a və b − a = 3 ⇒ a = 3, b = 6. Ədəd 36. Yoxlama: 4 · (3 + 6) = 36, 36 + 27 = 63. ✓
2) a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b) = 45 ⇒ a − b = 5, b ≠ 0 (yoxsa b̅a̅ birrəqəmli olar). Ədədlər: 61, 72, 83, 94 — cəmi 4.
3) 99(a − c) = 594 ⇒ a − c = 6. Ən kiçik ədəd üçün a ən kiçik olmalıdır: c = 1, a = 7, b = 0. Cavab: 701 (701 − 107 = 594).

Naməlum rəqəmlər, bölünmə və qarşılıqlı sadə ədədlər

Bölünmə əlamətlərini xatırlayaq: 2, 5, 10 — son rəqəmə görə; 4 və 25 — son iki rəqəmə görə; 3 və 9 — rəqəmlərin cəminə görə. Mürəkkəb bölən üçün onu qarşılıqlı sadə vuruqlara ayırırıq və hər birini yoxlayırıq: 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9.

m = p · q, ƏBOB(p; q) = 1: a ⋮ m ⇔ a ⋮ p və a ⋮ q

burada:

⋮«qalıqsız bölünür»
p, qqarşılıqlı sadə vuruqlar

Vuruqlar qarşılıqlı sadə olmalıdır: 12-yə bölünməni 2 və 6-ya görə yoxlamaq olmaz — 18 ədədi 2-yə də, 6-ya da bölünür, amma 12-yə bölünmür.

Naməlum rəqəmləri tapırıq

1) 2̅x̅3̅5̅4̅ ədədi 9-a bölünür. x rəqəmini tap.
2) 2̅x̅3̅5̅4̅ ədədi 3-ə bölünür. x-in ala biləcəyi bütün qiymətlərin cəmini tap.
3) 5̅a̅7̅b̅ ədədi 45-ə bölünür. Belə ədədlərin hamısını tap.
4) 3̅x̅4̅y̅ ədədi 36-ya bölünür. Belə ədədlərin hamısını tap.

Həllini göstər

1) Rəqəmlərin cəmi 2 + x + 3 + 5 + 4 = 14 + x 9-a bölünməlidir: 14 + x = 18 ⇒ x = 4.
2) 14 + x ∈ {15; 18; 21} ⇒ x ∈ {1; 4; 7}. Cəm: 1 + 4 + 7 = 12.
3) 45 = 5 · 9. 5-ə bölünmə: b = 0 və ya b = 5. 9-a bölünmə: b = 0 ⇒ 12 + a ⋮ 9 ⇒ a = 6; b = 5 ⇒ 17 + a ⋮ 9 ⇒ a = 1. Cavab: 5670 və 5175.
4) 36 = 4 · 9. 4-ə bölünmə: 4̅y̅ ⋮ 4 ⇒ y ∈ {0; 4; 8}. 9-a bölünmə: 7 + x + y ⋮ 9. y = 0 ⇒ x = 2; y = 4 ⇒ x = 7; y = 8 ⇒ x = 3. Cavab: 3240, 3744, 3348.

Ortaq böləni yalnız 1 olan ədədlər qarşılıqlı sadə ədədlərdir. ƏBOB · ƏKOB = a · b bərabərliyindən (bax: «Ən böyük ortaq bölən və ən kiçik ortaq bölünən») çıxır ki, qarşılıqlı sadə a və b üçün ƏKOB(a; b) = ab. DİM tapşırıqlarında bunu tam kvadrat düsturu ilə birləşdirirlər.

ƏBOB(a; b) · ƏKOB(a; b) = a · b; a² + b² = (a + b)² − 2ab

burada:

a, bnatural ədədlər

a və b qarşılıqlı sadədirsə, ƏBOB = 1 və ƏKOB = ab.

Qarşılıqlı sadə ədədlər

1) a və b qarşılıqlı sadə natural ədədlərdir, a + b = 13, ƏKOB(a; b) = 42. a² + b²-ni tap.
2) ƏBOB(a; b) = 6, ƏKOB(a; b) = 90, a < b və a ədədi b-nin böləni deyil. a + b-ni tap.

Həllini göstər

1) Qarşılıqlı sadə olduqları üçün ab = ƏKOB = 42. a² + b² = 13² − 2 · 42 = 169 − 84 = 85. (Ədədlər 6 və 7-dir: 36 + 49 = 85.)
2) a = 6m, b = 6n, burada m və n qarşılıqlı sadədir. ab = 6 · 90 = 540 ⇒ 36mn = 540 ⇒ mn = 15. Ya m = 1, n = 15 (a = 6, b = 90 — amma 6 ədədi 90-ın bölənidir), ya da m = 3, n = 5: a = 18, b = 30. Cavab: 48.

Çoxrəqəmli ədədlərin yuvarlaqlaşdırılması

1
1. Mərtəbə
Hansı mərtəbəyə qədər yuvarlaqlaşdırıldığını tap və onun rəqəmini qeyd et.
2
2. Növbəti rəqəm
Sağdakı ilk rəqəmə bax: 0–4 olarsa, qeyd etdiyin rəqəm dəyişmir; 5–9 olarsa, 1 artır (9 isə 0 olur və 1 sola keçir).
3
3. Sıfırlar
Sağdakı bütün rəqəmləri 0 ilə əvəz et.

Yuvarlaqlaşdırma

1) 3 845 297 ədədini minliklərə, on minliklərə və milyonlara qədər yuvarlaqlaşdır.
2) 9 996 ədədini yüzlüklərə qədər yuvarlaqlaşdır.
3) Natural ədədi yüzlüklərə qədər yuvarlaqlaşdırdıqda 4 500 alınıb. Bu ədəd ən çoxu və ən azı neçə ola bilər? Belə neçə ədəd var?

Həllini göstər

1) Minliklər: növbəti rəqəm 2 ⇒ 3 845 000. On minliklər: növbəti rəqəm 5 ⇒ 3 850 000. Milyonlar: növbəti rəqəm 8 ⇒ 4 000 000.
2) Yüzlüklər rəqəmi 9, növbəti 9 ⇒ 1 artır, köçürmə ilə 10 000 alınır.
3) Ən böyüyü 4 549 (4 550 artıq 4 600-ə yuvarlaqlaşır), ən kiçiyi 4 450. Say: 4 549 − 4 450 + 1 = 100.

Kodlaşdırılan tapşırıqlar: cavabı ədədlə yaz

1.Bölən 8, natamam qismət 11, qalıq 5 ⇒ bölünən =
2.7²⁰²⁶ ədədinin son rəqəmi:
3.2026 · 2028 hasilini 7-yə böldükdə qalıq:
4.4̅x̅8̅ ədədi 6-ya bölünür. x-in bütün qiymətlərinin cəmi:
5.a + b = 9, ab = 20 ⇒ a² + b² =

Əsas fikirlər

a = bq + r, 0 ≤ r < b: qalıq həmişə böləndən kiçikdir; ədədin yalnız qalığı məlumdursa, onu bq + r şəklində yaz.
Cəmin, hasilin və qüvvətin qalığını tapmaq üçün ədədləri qalıqları ilə əvəz et.
Qüvvətin son rəqəmi: əsasın son rəqəmi və üstün 4-ə bölünmədən qalığı (0 → dövrün 4-cü rəqəmi).
a̅b̅ = 10a + b; a̅b̅ − b̅a̅ = 9(a − b), a̅b̅ + b̅a̅ = 11(a + b).
Mürəkkəb bölənə bölünməni qarşılıqlı sadə vuruqlarla yoxla; qarşılıqlı sadə ədədlər üçün ƏKOB = ab.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Qalıqlı bölmədə (a = bq + r) qalıq hansı şərti ödəməlidir?