Məzmuna keç
Educora
AZ
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Mənim səhifəmEducora StudioParametrlər
Orta7-ci sinif25 dəq21 / 82

Üçbucaqlar

Üçbucaqların bucaqlarına və tərəflərinə görə növləri, bucaqların cəminin 180° olmasının isbatı, xarici bucaq teoremi, bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın bucaqları, üçbucaq bərabərsizliyi, böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq, median, tənbölən, hündürlük və orta xətt — bucaqların hesablanmasına aid çoxlu məsələ ilə.

Özünü yoxla
Bu dərsdə öyrənəcəksən
  • Üçbucaqları bucaqlarına və tərəflərinə görə təsnif etmək
  • Bucaqların cəmi və xarici bucaq teoremi ilə naməlum bucaqları, o cümlədən bərabəryanlı üçbucağın bucaqlarını tapmaq
  • Üçbucaq bərabərsizliyi ilə üçbucağın varlığını yoxlamaq və tərəfləri qarşılarındakı bucaqlara görə müqayisə etmək
  • Median, tənbölən, hündürlük və orta xətti çəkmək, onlarla bucaq məsələləri həll etmək

Aysel kağızdan istənilən formada üçbucaq kəsdi, onun üç küncünü qopardı və təpələri bir nöqtəyə gələcək şəkildə yan-yana düzdü. Künclər bir düz xətt boyunca düzüldü — açıq bucaq alındı. Murad eyni təcrübəni tamam başqa, uzun və nazik üçbucaqla etdi və nəticə yenə eyni oldu. Bu təsadüf deyil: istənilən üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir. Bu dərsdə bunu «Bucaqlar. Paralel düz xətlər» dərsindəki bucaqlarla isbat edəcək, sonra üçbucağın tərəfləri, bucaqları və xüsusi parçaları arasındakı əlaqələri öyrənəcəyik.

Üçbucaq və onun növləri

Tərif
Üçbucaq

Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən və onları cüt-cüt birləşdirən üç parçadan ibarət fiqur. Nöqtələr üçbucağın təpələri, parçalar isə tərəfləridir; yazılışı: △ABC. Tərəfi çox vaxt qarşısındakı təpənin kiçik hərfi ilə işarə edirlər: a = BC (A-nın qarşısında), b = AC, c = AB.

Bucaqlarına görəTərəflərinə görə
İtibucaqlı: bütün bucaqları itidirMüxtəliftərəfli: bütün tərəfləri müxtəlifdir
Düzbucaqlı: bir bucağı düzdürBərabəryanlı: iki tərəfi bərabərdir
Korbucaqlı: bir bucağı kordurBərabərtərəfli: üç tərəfi bərabərdir

Hər iki təsnifat birlikdə işlənir: məsələn, bucaqları 90°, 45°, 45° olan üçbucaq həm düzbucaqlı, həm də bərabəryanlıdır. Bərabərtərəfli üçbucaq bərabəryanlı üçbucağın xüsusi halıdır. Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın tərəfləri katetlər, onun qarşısındakı tərəf isə hipotenuz adlanır.

Bucaqların cəmi və xarici bucaq

∠A + ∠B + ∠C = 180°
burada:
  • ∠A, ∠B, ∠Cüçbucağın daxili bucaqları

Üçbucağın bucaqlarının cəmi haqqında teorem: istənilən üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-dir.

12ACBa
∠1 = ∠A və ∠2 = ∠C (daxili çarpaz bucaqlar), B-dəki üç bucaq birlikdə isə açıq bucaqdır.

İsbat. B təpəsindən AC-yə paralel a düz xəttini çəkək (paralellik aksiomuna görə belə düz xətt yeganədir). B nöqtəsində üç bucaq yan-yana düzülüb açıq bucaq əmələ gətirir: ∠1 + ∠B + ∠2 = 180°. a ∥ AC və AB kəsəndir, deməli, ∠1 = ∠A (daxili çarpaz bucaqlar). Eyni qayda ilə BC kəsəni üçün ∠2 = ∠C. Yerinə yazsaq, ∠A + ∠B + ∠C = 180° alınır. Aysel kağız üzərində məhz bunu görmüşdü.

  • Üçbucaqda ən çoxu bir düz və ya bir kor bucaq ola bilər, ona görə ən azı iki bucağı itidir.
  • Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəmi 90°-dir: ∠A + ∠B = 180° − 90°.
  • Bərabərtərəfli üçbucağın hər bucağı 180° : 3 = 60°-dir.
  • Bir üçbucağın iki bucağı digərinin iki bucağına bərabərdirsə, üçüncü bucaqları da bərabərdir.
Üçüncü bucaq

1) Üçbucağın iki bucağı 48° və 67°-dir. Üçüncü bucağı tapın və üçbucağın növünü müəyyən edin.
2) Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarından biri 34°-dir. O biri iti bucağı tapın.
3) Üçbucağın bucaqları 2 : 3 : 4 nisbətindədir. Bucaqları tapın.

Həllini göstər
1) ∠C = 180° − (48° + 67°) = 180° − 115° = 65°. Üç bucağın hamısı 90°-dən kiçikdir, deməli, üçbucaq itibucaqlıdır.
2) İti bucaqların cəmi 90°-dir: 90° − 34° = 56°.
3) Bucaqlar 2k, 3k, 4k olsun: 9k = 180°, k = 20°.
Cavab: 40°, 60°, 80° — itibucaqlı üçbucaq.
Tənlik quraraq

1) ABC üçbucağında ∠B ∠A-dan 20° böyükdür, ∠C isə ∠A-dan 3 dəfə böyükdür. Bucaqları tapın və üçbucağın növünü müəyyən edin.
2) Bucaqları 100°, 50° və 40° olan üçbucaq varmı?

Həllini göstər
1) ∠A = x olsun: x + (x + 20°) + 3x = 180°, 5x = 160°, x = 32°.
Cavab: ∠A = 32°, ∠B = 52°, ∠C = 96°. 96° > 90°, deməli, üçbucaq korbucaqlıdır.
2) 100° + 50° + 40° = 190° ≠ 180°, deməli, belə üçbucaq yoxdur.
Tərif
Üçbucağın xarici bucağı

Üçbucağın daxili bucağına qonşu olan bucaq. Onu almaq üçün tərəflərdən birini təpədən o yana uzatmaq lazımdır. Hər təpədə xarici bucaq 180° − (daxili bucaq)-dır.

ABCD
Xarici bucaq: ∠BCD = ∠A + ∠B.
∠BCD = ∠A + ∠B
burada:
  • ∠BCDC təpəsindəki xarici bucaq (D nöqtəsi AC-nin C-dən o yana davamındadır)
  • ∠A, ∠Bona qonşu olmayan iki daxili bucaq

Xarici bucaq teoremi: üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. İsbat: ∠BCD = 180° − ∠C, ∠A + ∠B də 180° − ∠C-yə bərabərdir. Nəticə: xarici bucaq ona qonşu olmayan hər daxili bucaqdan böyükdür.

Xarici bucaqla məsələlər

1) ABC üçbucağında C təpəsindəki xarici bucaq 130°, ∠A = 55°-dir. ∠B-ni tapın.
2) Üçbucağın xarici bucağı 120°-dir, ona qonşu olmayan daxili bucaqlar isə 1 : 3 nisbətindədir. Üçbucağın bucaqlarını tapın.
3) Üçbucağın bucaqları 50°, 60° və 70°-dir. Hər təpədə bir xarici bucaq götürüb onları tapın. Onların cəmi nəyə bərabərdir?

Həllini göstər
1) ∠A + ∠B = 130°, ∠B = 130° − 55° = 75°. Yoxlama: ∠C = 180° − 130° = 50°, 55° + 75° + 50° = 180°.
2) Daxili bucaqlar x və 3x olsun: x + 3x = 120°, x = 30°. Bucaqlar 30° və 90°, üçüncü bucaq isə 180° − 120° = 60°-dir — üçbucaq düzbucaqlıdır.
3) Xarici bucaqlar: 180° − 50° = 130°, 180° − 60° = 120°, 180° − 70° = 110°. Cəmi 130° + 120° + 110° = 360°. Bu təsadüf deyil: üç cüt qonşu bucağın cəmi 3 · 180° = 540°-dir, bundan daxili bucaqların 180°-ni çıxsaq, 360° qalır.

Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucaq

Tərif
Bərabəryanlı üçbucaq

İki tərəfi bərabər olan üçbucaq. Bərabər tərəflər yan tərəflər, üçüncü tərəf oturacaq adlanır. Yan tərəflər arasındakı bucaq təpə bucağı, oturacaqdakı iki bucaq isə oturacağa bitişik bucaqlardır.

Bərabəryanlı üçbucağın əsas xassəsi: oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir. Tərsi də doğrudur: üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, onların qarşısındakı tərəflər də bərabərdir, yəni üçbucaq bərabəryanlıdır. Bu xassələr «Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri» dərsində isbat olunacaq; hələlik onlardan bucaqları hesablamaq üçün istifadə edək. Bərabərtərəfli üçbucaqda hər iki tərəf cütü bərabərdir, ona görə üç bucağın hamısı bərabərdir və hər biri 60°-dir; tərsinə, üç bucağı 60° olan üçbucaq bərabərtərəflidir.

β + 2α = 180° ⇒ α = (180° − β) / 2, β = 180° − 2αβ + 2α = 180° ⇒ α = (180° − β) / 2, β = 180° − 2α
burada:
  • βtəpə bucağı (yan tərəflər arasındakı bucaq)
  • αoturacağa bitişik bucaq (iki bucağın hər biri)

Bərabəryanlı üçbucaq üçün bucaqların cəmi teoremi: təpə bucağı və iki bərabər oturacaq bucağı birlikdə 180°-dir. Buradan oturacağa bitişik bucaqlar həmişə itidir: α < 90°.

Bərabəryanlı üçbucağın bucaqları

1) Bərabəryanlı üçbucağın təpə bucağı 40°-dir. Oturacağa bitişik bucaqları tapın.
2) Oturacağa bitişik bucaq 35°-dir. Təpə bucağını tapın və üçbucağın növünü müəyyən edin.
3) Bərabəryanlı ABC üçbucağında (AB = BC) B təpəsindəki xarici bucaq 100°-dir. Üçbucağın bucaqlarını tapın.
4) Oturacağa bitişik bucaq təpə bucağından 2 dəfə böyükdür. Bucaqları tapın.

Həllini göstər
1) α = (180° − 40°) / 2 = 70°. Yoxlama: 40° + 70° + 70° = 180°.
2) β = 180° − 2 · 35° = 110° > 90°, üçbucaq korbucaqlıdır.
3) AB = BC olduğundan oturacaq AC-dir və ∠A = ∠C. B-dəki xarici bucaq ∠A + ∠C = 100°-dir, deməli, ∠A = ∠C = 50°, ∠B = 180° − 100° = 80°.
4) β = x, α = 2x olsun: x + 2x + 2x = 180°, x = 36°.
Cavab: 36°, 72°, 72°.
Bucaq verilib, amma hansı?

Bərabəryanlı üçbucağın bir bucağı: a) 100°; b) 50°-dir. Qalan iki bucağı tapın.

Həllini göstər
a) 100° oturacağa bitişik bucaq ola bilməz: iki belə bucağın cəmi 200° > 180° olardı. Deməli, 100° təpə bucağıdır, oturacaq bucaqları (180° − 100°) / 2 = 40° və 40°-dir.
b) İki hal mümkündür.
• 50° təpə bucağıdırsa, oturacaq bucaqları (180° − 50°) / 2 = 65° və 65°-dir.
• 50° oturacaq bucağıdırsa, o biri oturacaq bucağı da 50°, təpə bucağı isə 180° − 100° = 80°-dir.
Cavab: 65° və 65° və ya 50° və 80°.

Tərəflər və bucaqlar: üçbucaq bərabərsizliyi

İki nöqtə arasındakı ən qısa yol onları birləşdirən parçadır. Buna görə A-dan C-yə birbaşa getmək B-dən keçməkdən həmişə qısadır: AC < AB + BC. Bu, üçbucağın istənilən tərəfi üçün doğrudur.

a < b + c, b < a + c, c < a + b
burada:
  • a, b, cüçbucağın tərəfləri

Üçbucaq bərabərsizliyi: üçbucağın hər tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Buradan başqa bir forma alınır: hər tərəf digər iki tərəfin fərqindən böyükdür, |b − c| < a < b + c.

Üçbucaq varmı?

1) Tərəfləri a) 3 sm, 4 sm, 8 sm; b) 5 sm, 6 sm, 7 sm; c) 2 sm, 3 sm, 5 sm olan üçbucaq varmı?
2) Üçbucağın iki tərəfi 3 sm və 8 sm-dir. Üçüncü tərəf hansı qiymətlər arasındadır? Onun uzunluğu tam ədəddirsə (sm ilə), neçə belə üçbucaq var?
3) Bərabəryanlı üçbucağın iki tərəfi 4 sm və 9 sm-dir. Onun perimetrini tapın.

Həllini göstər
1) Ən böyük tərəfi yoxlayırıq.
a) 3 + 4 = 7 < 8 — üçbucaq yoxdur: qısa parçalar uzun parçanın uclarına çatmır.
b) 5 + 6 = 11 > 7 — üçbucaq var.
c) 2 + 3 = 5 — bərabərlik alınır: üç nöqtə bir düz xətt üzərinə düşür, üçbucaq yoxdur.
2) 8 − 3 < x < 8 + 3, yəni 5 sm < x < 11 sm. Tam qiymətlər: 6, 7, 8, 9, 10 — 5 üçbucaq.
3) Yan tərəflər 4 sm olsaydı, 4 + 4 = 8 < 9 olardı — belə üçbucaq yoxdur. Deməli, yan tərəflər 9 sm, oturacaq 4 sm-dir: 9 + 9 > 4.
Cavab: P = 9 + 9 + 4 = 22 sm.
a > b ⇔ ∠A > ∠B
burada:
  • a, büçbucağın iki tərəfi (a = BC, b = AC)
  • ∠A, ∠Bbu tərəflərin qarşısındakı bucaqlar

Üçbucaqda böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq, böyük bucağın qarşısında isə böyük tərəf durur; bərabər tərəflərin qarşısında bərabər bucaqlar durur.

Niyə? AC > AB olsun. AC tərəfinin üzərində AD = AB olan D nöqtəsini qeyd edək. ABD üçbucağı bərabəryanlıdır, ona görə ∠ABD = ∠ADB. ∠ADB isə BDC üçbucağının xarici bucağıdır, deməli, ∠C-dən böyükdür. Onda ∠B > ∠ABD = ∠ADB > ∠C: AC tərəfinin qarşısındakı ∠B, AB tərəfinin qarşısındakı ∠C-dən böyükdür.

Tərəfləri və bucaqları müqayisə edirik

1) ABC üçbucağında AB = 5 sm, BC = 7 sm, AC = 9 sm. Onun ən böyük və ən kiçik bucağı hansıdır?
2) ABC üçbucağında ∠A = 50°, ∠B = 60°. Tərəfləri artma sırası ilə düzün.
3) Düzbucaqlı üçbucaqda ən böyük tərəf hansıdır? Korbucaqlı üçbucaqda?

Həllini göstər
1) Ən böyük AC tərəfinin qarşısında ∠B durur — o, ən böyük bucaqdır. Ən kiçik AB tərəfinin qarşısında ∠C durur — ən kiçik bucaq odur.
2) ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°. ∠A < ∠B < ∠C olduğundan qarşılarındakı tərəflər də belə düzülür: BC < AC < AB.
3) Düz bucaq üçbucağın ən böyük bucağıdır (qalan ikisi itidir), ona görə hipotenuz ən böyük tərəfdir. Korbucaqlı üçbucaqda ən böyük tərəf kor bucağın qarşısındakı tərəfdir.

Median, tənbölən, hündürlük və orta xətt

Üçbucağın təpələrindən çıxan üç növ xüsusi parça var; məsələlərdə onlar tez-tez köməkçi xətt kimi çəkilir. Hər üçbucağın üç medianı, üç tənböləni və üç hündürlüyü olur.

Tərif
Median

Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirən parça.

Tərif
Üçbucağın tənböləni

Üçbucağın bucağının tənböləninin təpədən qarşı tərəfə qədər olan parçası.

Tərif
Hündürlük

Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfi saxlayan düz xəttə endirilmiş perpendikulyar.

Tərif
Orta xətt

Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtələrini birləşdirən parça. Hər üçbucağın üç orta xətti var.

ABCMBM — medianABCLBL — tənbölənABCHBH — hündürlükABCHBH — xaricə düşənhündürlükABCHCH — hipotenuzaendirilmiş hündürlükABCMNMN — orta xətt
Median tərəfi, tənbölən bucağı yarıya bölür, hündürlük qarşı tərəfə (və ya onun davamına) perpendikulyardır.

İtibucaqlı üçbucaqda hər üç hündürlük üçbucağın daxilindədir. Düzbucaqlı üçbucaqda iki hündürlük katetlərlə üst-üstə düşür. Korbucaqlı üçbucaqda iti bucaqların təpələrindən çəkilən hündürlüklər üçbucağın xaricinə düşür — onları çəkmək üçün qarşı tərəfi uzatmaq lazımdır. Bərabəryanlı üçbucaqda təpədən oturacağa çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür; müxtəliftərəfli üçbucaqda isə bir təpədən çəkilmiş median, tənbölən və hündürlük üç müxtəlif parçadır. Orta xəttin əsas xassəsini — üçüncü tərəfə paralel olmasını və onun yarısına bərabər olmasını — «Dördbucaqlılar: paraleloqram, düzbucaqlı, romb, kvadrat və trapesiya» dərsində isbat edəcəyik.

∠AOB = 90° + ∠C / 2∠AOB = 90° + ∠C / 2
burada:
  • OA və B bucaqlarının tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsi
  • ∠Cüçbucağın üçüncü bucağı

İki tənbölən arasındakı bucaq. İsbatı: AOB üçbucağında ∠OAB + ∠OBA = (∠A + ∠B) / 2 = (180° − ∠C) / 2 = 90° − ∠C / 2, deməli, ∠AOB = 180° − (90° − ∠C / 2) = 90° + ∠C / 2.

Tənbölənlər arasındakı bucaq

1) ABC üçbucağında ∠A = 70°, ∠B = 50°. A və B bucaqlarının tənbölənləri O nöqtəsində kəsişir. ∠AOB-ni tapın.
2) ABC üçbucağında A və B bucaqlarının tənbölənləri 125°-li bucaq altında kəsişir. ∠C-ni tapın.

Həllini göstər
1) ∠C = 180° − 70° − 50° = 60°, ∠AOB = 90° + 60° / 2 = 120°. Yoxlama: AOB üçbucağında 180° − 35° − 25° = 120°.
2) Düsturu tərsinə işlədək: 90° + ∠C / 2 = 125°, ∠C / 2 = 35°, ∠C = 70°.

Bucaqların hesablanmasına aid məsələlərdə aşağıdakı plan kömək edir:

  1. 1
    Şəkli işarələ

    Məlum bucaqları, bərabər tərəfləri, düz bucaqları, tənbölənlərin böldüyü bərabər hissələri şəkildə qeyd et.

  2. 2
    Əlaqələri axtar

    Üçbucaqda cəm 180°, düz xətt üzərində qonşu bucaqlar 180°, qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir, paralel düz xətlərdə Z, F, C, bərabəryanlı üçbucaqda oturacaq bucaqları bərabərdir, xarici bucaq iki uzaq bucağın cəmidir.

  3. 3
    Naməlumu x ilə işarə et

    Bucaqlar bir-biri ilə əlaqəlidirsə («2 dəfə böyük», «20° kiçik»), birini x qəbul edib tənlik qur.

  4. 4
    Yoxla

    Hər üçbucaqda bucaqların cəmi 180° olmalı, bütün bucaqlar müsbət olmalı, böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq durmalıdır.

Hündürlük və tənbölən bir təpədən

1) ABC üçbucağında ∠B = 70°, ∠C = 30°. A təpəsindən AH hündürlüyü və AL tənböləni çəkilib. ∠HAL-ı tapın.
2) ABC üçbucağında ∠C = 90°, ∠A = 35°, CH — hündürlükdür. ∠ACH və ∠BCH-ı tapın.

Həllini göstər
1) ∠A = 180° − 70° − 30° = 80°, tənbölən onu yarıya bölür: ∠BAL = 40°. ABH düzbucaqlı üçbucağında ∠BAH = 90° − 70° = 20°. H nöqtəsi B ilə L arasındadır, ona görə ∠HAL = ∠BAL − ∠BAH = 40° − 20° = 20°.
2) ACH üçbucağında ∠AHC = 90°, ona görə ∠ACH = 90° − 35° = 55°. ∠BCH = 90° − 55° = 35° — ∠A-ya bərabərdir.
Median və perimetr

ABC üçbucağında BM medianı çəkilib, AB = 7 sm, BC = 10 sm. CBM və ABM üçbucaqlarının perimetrlərinin fərqini tapın.

Həllini göstər
M nöqtəsi AC-nin ortasıdır: AM = MC. BM isə hər iki üçbucaq üçün ortaqdır.
P(CBM) − P(ABM) = (BC + BM + MC) − (AB + BM + AM) = BC − AB = 10 − 7 = 3 sm.
Maraqlıdır ki, cavab üçün nə AC, nə də BM lazım olmadı.
Özünü yoxla: boşluğu doldur
  1. 1.Üçbucağın iki bucağı 70° və 45°-dir. Üçüncü bucaq °-dir.
  2. 2.Bərabəryanlı üçbucağın təpə bucağı 80°-dir. Oturacağa bitişik bucaq °-dir.
  3. 3.Xarici bucaq 140°, ona qonşu olmayan daxili bucaqlardan biri 60°-dir. O biri °-dir.
  4. 4.Üçbucağın iki tərəfi 1 sm və 6 sm-dir, üçüncü tərəf isə tam ədəddir. O, sm-dir.
  5. 5.Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarından biri 27°-dir. O biri °-dir.

Əsas fikirlər

  • Üçbucaqlar bucaqlarına görə itibucaqlı, düzbucaqlı və korbucaqlı, tərəflərinə görə müxtəliftərəfli, bərabəryanlı və bərabərtərəfli olur.
  • Bucaqların cəmi 180°-dir (təpədən qarşı tərəfə paralel düz xətt çəkməklə isbat olunur); xarici bucaq ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.
  • Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir: α = (180° − β) / 2; bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları 60°-dir.
  • Hər tərəf digər ikisinin cəmindən kiçikdir — yalnız ən böyük tərəfi yoxlamaq kifayətdir; böyük tərəfin qarşısında böyük bucaq durur.
  • Median qarşı tərəfi, tənbölən bucağı yarıya bölür, hündürlük qarşı tərəfə perpendikulyardır, orta xətt iki tərəfin ortalarını birləşdirir; iki tənbölən arasındakı bucaq 90° + ∠C / 2-dir.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12
Üçbucağın xarici bucağı nəyə bərabərdir?