- Çoxbucaqlının perimetrini tapmaq və perimetri sahədən fərqləndirmək
- Sahə vahidlərini (mm², sm², dm², m², ar, ha, km²) bir-birinə çevirmək
- Düzbucaqlının, kvadratın, paraleloqramın, üçbucağın, rombun və trapesiyanın sahə düsturlarını çıxarmaq və tətbiq etmək
- Mürəkkəb fiqurların sahəsini bölməklə və ya tamamlamaqla tapmaq, təmir məsələlərini həll etmək
Elvinin ailəsi ölçüləri 5 m və 4 m olan otağa laminat döşəmək, divarların dibi boyunca isə plintus vurmaq istəyir. Laminatın miqdarı otağın sahəsindən, plintusun uzunluğu isə perimetrindən asılıdır. Bu iki kəmiyyəti qarışdıran ya pulunu boş yerə xərcləyəcək, ya da işin ortasında yenidən mağazaya qaçacaq. Bu dərsdə perimetri sahədən ayırmağı, sahə vahidlərini çevirməyi və əsas çoxbucaqlıların sahə düsturlarını əzbərləmədən — hər birinin haradan gəldiyini görərək — tətbiq etməyi öyrənəcəksən.
Perimetr
Çoxbucaqlının bütün tərəflərinin uzunluqlarının cəmi, yəni onun sərhədinin uzunluğu. Perimetr uzunluq vahidləri ilə ölçülür: mm, sm, dm, m, km. Adətən P hərfi ilə işarə olunur.
Perimetr üçün xüsusi düstur lazım deyil — bütün tərəfləri toplamaq kifayətdir. Amma tərəflər bərabər olanda toplama vurmaya çevrilir və qısa düsturlar alınır. Düzbucaqlının iki uzunluğu və iki eni, kvadratın dörd bərabər tərəfi, düzgün çoxbucaqlının (bütün tərəfləri və bucaqları bərabər olan çoxbucaqlının) isə n bərabər tərəfi var.
- a₁, a₂, …, aₙistənilən çoxbucaqlının tərəfləri
- 2(a + b)düzbucaqlı: a — uzunluq, b — en
- 4akvadrat: a — tərəf
- n · adüzgün n-bucaqlı: n — tərəflərin sayı, a — tərəf
İstənilən çoxbucaqlının perimetri tərəflərinin cəmidir; qalan üç düstur bərabər tərəflər üçün qısa yazılışdır.
1) Tərəfləri 5 sm, 7 sm və 9 sm olan üçbucağın perimetrini tap.
2) Uzunluğu 12 m, eni 7,5 m olan düzbucaqlı həyətin perimetrini tap.
3) Düzgün altıbucaqlının tərəfi 4 sm-dir. Onun perimetrini tap.
4) Kvadratın perimetri 36 sm-dir. Onun tərəfini tap.
5) Düzbucaqlının perimetri 30 sm, uzunluğu 9 sm-dir. Onun enini tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) P = 2(12 + 7,5) = 2 · 19,5 = 39 m.
3) Altı bərabər tərəf: P = 6 · 4 = 24 sm.
4) P = 4a olduğundan a = P : 4 = 36 : 4 = 9 sm.
5) Yarımperimetr a + b = 30 : 2 = 15 sm, deməli, en b = 15 − 9 = 6 sm. Yoxlama: 2(9 + 6) = 30 ✓
Sahə və sahə vahidləri
Fiqurun müstəvidə tutduğu yerin ölçüsü: onun içinə tərəfi 1 vahid olan neçə kvadrat yerləşdiyini göstərən ədəd. Sahə kvadrat vahidlərlə ölçülür: 1 sm² tərəfi 1 sm olan kvadratın sahəsidir. Adətən S hərfi ilə işarə olunur.
Bütün sahə düsturları sahənin iki sadə xassəsinə söykənir. Birincisi, bərabər fiqurların sahələri bərabərdir: fiquru kəsib hissələrini başqa cür düzsək, sahə dəyişmir. İkincisi, fiqur bir neçə hissəyə bölünübsə, onun sahəsi hissələrin sahələrinin cəminə bərabərdir. Aşağıda hər düsturu məhz bu iki xassə ilə düzbucaqlıdan çıxaracağıq.
Uzunluq vahidi 10 dəfə böyüyəndə vahid kvadratın hər iki tərəfi 10 dəfə böyüyür, ona görə sahə vahidi 10 · 10 = 100 dəfə böyüyür. Məsələn, 1 dm = 10 sm olduğundan 1 dm² içinə 10 cərgədə 10-ar, yəni 100 ədəd 1 sm²-lik kvadrat yerləşir. Torpaq sahələri üçün xüsusi vahidlər də var: ar (xalq arasında «sot») tərəfi 10 m olan kvadratın, hektar isə tərəfi 100 m olan kvadratın sahəsidir.
- ar (sot)tərəfi 10 m olan kvadratın sahəsi: 10 m · 10 m = 100 m²
- hahektar — tərəfi 100 m olan kvadratın sahəsi
- km²tərəfi 1 km = 1000 m olan kvadrat: 1 000 000 m²
Qonşu uzunluq vahidləri 10 dəfə, qonşu sahə vahidləri isə 100 dəfə fərqlənir. Böyük vahiddən kiçiyə keçəndə vururuq, kiçikdən böyüyə keçəndə bölürük.
1) 3,5 m²-ni sm²-lə ifadə et.
2) 2400 sm²-ni m²-lə ifadə et.
3) 7 ha neçə m²-dir? Neçə ardır (sotdur)?
4) Ölçüləri 250 m və 400 m olan tarlanın sahəsini hektarla ifadə et.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Kiçik vahiddən böyüyə keçirik, deməli, bölürük: 2400 : 10 000 = 0,24 m².
3) 7 ha = 7 · 10 000 = 70 000 m². 1 ar = 100 m² olduğundan bu, 70 000 : 100 = 700 ar (sot) edir.
4) S = 250 · 400 = 100 000 m²; 100 000 : 10 000 = 10 ha.
Düzbucaqlı, kvadrat və paraleloqram
Tərəfləri 5 sm və 3 sm olan düzbucaqlıya 1 sm²-lik kvadratlar düzək: hər cərgədə 5 kvadrat, cəmi 3 cərgə — 5 · 3 = 15 kvadrat. Deməli, sahə 15 sm²-dir. Eyni düşüncə istənilən tərəflər üçün işləyir (kəsr ədədlər üçün də: onda daha kiçik kvadratları, məsələn, mm²-ləri sayırıq). Kvadrat bərabər tərəfli düzbucaqlıdır, ona görə onun sahəsi a · a = a²-dır. Ədədin ikinci dərəcəsinin «kvadrat» adlanması da buradan gəlir.
- a, bdüzbucaqlının qonşu tərəfləri (uzunluq və en), eyni vahidlə
- akvadratın tərəfi (ikinci düsturda)
Düzbucaqlının sahəsi qonşu tərəflərinin hasilinə, kvadratın sahəsi isə tərəfinin kvadratına bərabərdir.
1) Tərəfləri 8 sm və 5 sm olan düzbucaqlının sahəsini tap.
2) Tərəfi 1,2 m olan kvadratın sahəsini tap.
3) Düzbucaqlı formalı otağın sahəsi 60 m², bir tərəfi 7,5 m-dir. İkinci tərəfi və perimetri tap.
4) Kvadratın perimetri 28 sm-dir. Onun sahəsini tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) S = 1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44 m².
3) b = S : a = 60 : 7,5 = 8 m; P = 2(7,5 + 8) = 31 m.
4) Əvvəlcə tərəf: a = 28 : 4 = 7 sm, sonra S = 7² = 49 sm².
Perimetr və sahə bir-birini müəyyən etmir. Muradın 20 m hasar toru var və o, düzbucaqlı bostan hasarlamaq istəyir. Hər variantda perimetr 20 m-dir, sahə isə çox dəyişir:
| Tərəflər | Perimetr | Sahə |
|---|---|---|
| 1 m × 9 m | 20 m | 9 m² |
| 2 m × 8 m | 20 m | 16 m² |
| 3 m × 7 m | 20 m | 21 m² |
| 4 m × 6 m | 20 m | 24 m² |
| 5 m × 5 m | 20 m | 25 m² |
İndi paraleloqram. B təpəsindən AD oturacağına BH hündürlüyünü endirək. O, paraleloqramdan ABH düzbucaqlı üçbucağını kəsir. Bu üçbucağı o biri uca, DC tərəfinin yanına keçirsək, tərəfləri a və h olan HBCK düzbucaqlısı alınır. Heç nə itmədi və heç nə artıq olmadı, ona görə sahələr bərabərdir: S = a · h. Paraleloqramın hündürlüyü qarşı tərəflər arasındakı məsafədir; maili tərəf isə sahəyə təsir etmir.
- aparaleloqramın tərəfi (oturacaq)
- hbu tərəfə endirilmiş hündürlük — onunla qarşı tərəf arasındakı məsafə
İstənilən tərəfi oturacaq götürmək olar, təki hündürlük məhz həmin tərəfə endirilsin: S = a · h₁ = b · h₂.
1) Paraleloqramın tərəfi 12 sm, bu tərəfə endirilmiş hündürlük 5 sm-dir. Sahəni tap.
2) Paraleloqramın tərəfləri 10 sm və 6 sm, böyük tərəfə endirilmiş hündürlük 3 sm-dir. Sahəni və kiçik tərəfə endirilmiş hündürlüyü tap.
3) Paraleloqramın sahəsi 48 sm², bir tərəfi 8 sm-dir. Bu tərəfə endirilmiş hündürlüyü tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) S = 10 · 3 = 30 sm². Eyni sahəni kiçik tərəf vasitəsilə də yazırıq: 6 · h₂ = 30, deməli, h₂ = 30 : 6 = 5 sm. (Hündürlük qonşu tərəfdən uzun ola bilməz: 3 < 6 və 5 < 10 ✓)
3) h = S : a = 48 : 8 = 6 sm.
Üçbucaq, romb və trapesiya
İstənilən ABC üçbucağının bərabər surətini götürüb 180° döndərək və BC tərəfi boyunca yapışdıraq. İki bərabər üçbucaq birlikdə oturacağı a, hündürlüyü h olan ABDC paraleloqramını əmələ gətirir. Paraleloqramın sahəsi a · h-dır, üçbucaq isə onun düz yarısıdır. Düzbucaqlı üçbucaqda bu, daha aydın görünür: o, tərəfləri katetlərə bərabər olan düzbucaqlının diaqonal boyunca kəsilmiş yarısıdır.
- aüçbucağın istənilən tərəfi (oturacaq)
- hqarşı təpədən bu tərəfə (və ya onun uzantısına) endirilmiş hündürlük
Düzbucaqlı üçbucaqda bir katet o biri katetə endirilmiş hündürlükdür, ona görə S = ½ · a · b (a, b — katetlər).
1) Oturacağı 8 sm, hündürlüyü 5 sm olan üçbucağın sahəsini tap.
2) Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 6 sm və 8 sm, hipotenuzu 10 sm-dir. Sahəni və hipotenuza endirilmiş hündürlüyü tap.
3) Korbucaqlı üçbucağın oturacağı 7 sm-dir; bu tərəfə endirilmiş hündürlük üçbucağın xaricinə düşür və 4 sm-dir. Sahəni tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Katetlər bir-birinə perpendikulyardır: S = ½ · 6 · 8 = 24 sm². Eyni sahə hipotenuz vasitəsilə: ½ · 10 · h = 24, deməli, h = 48 : 10 = 4,8 sm.
3) Düstur hündürlük xaricə düşəndə də işləyir: S = ½ · 7 · 4 = 14 sm².
«Dördbucaqlılar: paraleloqram, düzbucaqlı, romb, kvadrat və trapesiya» dərsindən bildiyimiz kimi, rombun diaqonalları perpendikulyardır və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. Rombun təpələrindən diaqonallara paralel düz xətlər çəksək, tərəfləri d₁ və d₂ olan düzbucaqlı alınır. Diaqonallar onu 8 bərabər düzbucaqlı üçbucağa bölür və onlardan 4-ü rombun içindədir. Deməli, romb bu düzbucaqlının düz yarısıdır: S = ½ · d₁ · d₂. Romb həm də paraleloqramdır, ona görə S = a · h düsturu da doğrudur.
- d₁, d₂rombun diaqonalları
Bu düstur diaqonalları perpendikulyar olan hər qabarıq dördbucaqlı üçün doğrudur: romb, kvadrat (S = d²/2), deltoid.
1) Rombun diaqonalları 10 sm və 24 sm, tərəfi 13 sm-dir. Onun sahəsini və hündürlüyünü tap.
2) Kvadratın diaqonalı 6 sm-dir. Onun sahəsini tap.
3) Rombun sahəsi 96 sm², bir diaqonalı 16 sm-dir. İkinci diaqonalı tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) Kvadrat da rombdur: S = ½ · 6 · 6 = 18 sm². (Yoxlama: tərəfin kvadratı a² = 18, yəni sahə 18 sm² ✓)
3) ½ · 16 · d₂ = 96, 8 · d₂ = 96, d₂ = 12 sm.
Trapesiyanı AC diaqonalı ilə iki üçbucağa bölək. ACD üçbucağının oturacağı AD = a, ABC üçbucağının oturacağı BC = b-dir. Hündürlükləri isə eynidir — trapesiyanın h hündürlüyü, çünki oturacaqlar paraleldir. Sahələri toplayırıq: S = ½ · a · h + ½ · b · h = (a + b)/2 · h. (a + b)/2 ifadəsi trapesiyanın orta xəttidir, ona görə qısaca S = m · h.
- a, btrapesiyanın oturacaqları (paralel tərəfləri)
- hhündürlük — oturacaqlar arasındakı məsafə
- morta xətt: m = (a + b)/2
Trapesiyanın sahəsi oturacaqların ədədi ortası ilə hündürlüyün hasilidir.
1) Oturacaqları 10 sm və 6 sm, hündürlüyü 4 sm olan trapesiyanın sahəsini tap.
2) Trapesiyanın orta xətti 9 sm, hündürlüyü 5 sm-dir. Sahəni tap.
3) Trapesiyanın sahəsi 84 sm², oturacaqları 9 sm və 15 sm-dir. Hündürlüyü tap.
Həllini göstərHəllini gizlət
2) S = m · h = 9 · 5 = 45 sm².
3) Orta xətt m = (9 + 15)/2 = 12 sm, deməli, h = S : m = 84 : 12 = 7 sm.
| Fiqur | Sahə | Perimetr |
|---|---|---|
| Düzbucaqlı (a, b) | S = a · b | P = 2(a + b) |
| Kvadrat (a) | S = a² | P = 4a |
| Paraleloqram (a, b, h) | S = a · h | P = 2(a + b) |
| Üçbucaq (a, b, c, h) | S = ½ · a · h | P = a + b + c |
| Romb (a, d₁, d₂) | S = ½ · d₁ · d₂ = a · h | P = 4a |
| Trapesiya (a, b, c, d, h) | S = (a + b)/2 · h | P = a + b + c + d |
Mürəkkəb fiqurlar və təmir məsələləri
Otaqların, torpaq sahələrinin və detalların forması çox vaxt sadə fiqur olmur. Onda sahənin ikinci xassəsindən istifadə edirik: fiquru tanış hissələrə bölürük, yaxud onu böyük düzbucaqlıya qədər tamamlayıb artıq hissəni çıxırıq. Hər iki yol eyni cavabı verməlidir — bu, həm də yaxşı yoxlamadır.
- 11. Çək və ölçüləri yaz
Hər tərəfin uzunluğunu şəklin üzərində qeyd et. Verilməyən tərəfləri qarşı tərəflərin fərqi və ya cəmi kimi tap.
- 22. Böl və ya tamamla
Fiquru düzbucaqlılara, üçbucaqlara, trapesiyalara böl, yaxud onu əhatə edən düzbucaqlını çək və kəsilmiş hissələri qeyd et.
- 33. Hissələrin sahəsini tap
Uyğun düsturu tətbiq et; bütün uzunluqlar eyni vahiddə olmalıdır.
- 44. Topla və ya çıx
Bölmə üsulunda sahələri topla, tamamlama üsulunda böyük düzbucaqlının sahəsindən kəsilmiş hissələri çıx.
- 55. Yoxla
Cavabı ikinci üsulla yoxla, vahidin kvadrat vahid olduğuna bax. Perimetri isə ayrıca, sərhəd boyunca say.
Şəkildəki L formalı otağın sahəsini iki üsulla tap. Plintus üçün perimetri də hesabla.
Həllini göstərHəllini gizlət
Tamamlama: 6 · 5 − 2 · 2 = 30 − 4 = 26 m² ✓
Perimetr, sərhəd boyunca: 4 + 2 + 2 + 3 + 6 + 5 = 22 m. Bu, 6 m × 5 m düzbucaqlının perimetrinə bərabərdir: 2(6 + 5) = 22 — pilləli fiqur üçün «asan yol» işlədi.
Otağın ölçüləri 5 m × 4 m, hündürlüyü 2,7 m-dir; qapının eni 0,9 m, hündürlüyü 2 m, pəncərənin ölçüləri 1,5 m × 1,2 m-dir.
1) Qapının yerində plintus vurulmur. Plintus 2,5 m-lik parçalarla satılır. Neçə parça lazımdır?
2) Bir qutu laminat 2,4 m² sahəni örtür. Neçə qutu almaq lazımdır?
3) Divarlar iki qat rənglənəcək, 1 litr boya bir qatda 9 m² örtür. Neçə litr boya lazımdır?
Həllini göstərHəllini gizlət
2) S = 5 · 4 = 20 m²; 20 : 2,4 ≈ 8,33. Səkkiz qutu (19,2 m²) çatmır — 9 qutu.
3) Divarları «açsaq», eni perimetrə, hündürlüyü otağın hündürlüyünə bərabər düzbucaqlı alınır: 18 · 2,7 = 48,6 m². Qapı və pəncərə: 0,9 · 2 + 1,5 · 1,2 = 1,8 + 1,8 = 3,6 m². Rənglənən sahə 48,6 − 3,6 = 45 m², iki qat — 90 m²; 90 : 9 = 10 litr.
Vanna otağının döşəməsi 2,4 m × 1,8 m ölçülü düzbucaqlıdır. Ona 30 sm × 30 sm ölçülü kafel döşənəcək. Neçə kafel lazımdır? Kəsilmə və sınma üçün 10 % ehtiyat götürsək, neçə kafel almaq lazımdır?
Həllini göstərHəllini gizlət
Sahələrlə yoxlayaq: 2,4 · 1,8 = 4,32 m², bir kafel 0,3 · 0,3 = 0,09 m², 4,32 : 0,09 = 48 ✓
Ehtiyatla: 48 · 1,1 = 52,8, yəni 53 kafel.
- 1.Tərəfi 7 sm olan kvadratın sahəsi sm²-dir.
- 2.2,5 m² = sm²
- 3.Oturacağı 12 sm, hündürlüyü 5 sm olan üçbucağın sahəsi sm²-dir.
- 4.Diaqonalları 8 sm və 11 sm olan rombun sahəsi sm²-dir.
- 5.Oturacaqları 5 sm və 9 sm, hündürlüyü 6 sm olan trapesiyanın sahəsi sm²-dir.
Bu dərsdə bütün sahə düsturlarını bir düzbucaqlıdan çıxardıq. «Pifaqor teoremi» dərsində düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri üzərində qurulmuş kvadratların sahələri arasındakı məşhur əlaqəni görəcəksən, çevrə və dairə isə «Çevrənin uzunluğu və dairənin sahəsi» dərsində öyrənilir — dairənin sahəsi də paraleloqram düsturundan çıxacaq.
Əsas fikirlər
- Perimetr sərhədin uzunluğudur (sm, m), sahə isə tutulan yerdir (sm², m²); eyni perimetrli fiqurların sahəsi müxtəlif ola bilər.
- Qonşu sahə vahidləri 100 dəfə fərqlənir: 1 m² = 10 000 sm², 1 ar = 100 m², 1 ha = 10 000 m².
- Düzbucaqlı: S = a · b; kvadrat: S = a²; paraleloqram: S = a · h.
- Üçbucaq: S = ½ · a · h; romb: S = ½ · d₁ · d₂; trapesiya: S = (a + b)/2 · h = m · h.
- Hündürlük oturacağa perpendikulyardır — maili tərəf hündürlük deyil.
- Mürəkkəb fiqurun sahəsini hissələrə bölərək və ya tamamlayıb çıxaraq tap; iki üsul bir-birini yoxlayır.
Özünü yoxla
12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.