Çevrə: vətər, toxunan, mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqlar

Arxeoloqlar qazıntıda qədim boşqabın kiçik bir qırığını tapıblar. Bütöv boşqabın ölçüsünü necə bilmək olar? Qırığın kənarında iki vətər çəkib onların orta perpendikulyarlarını qurmaq kifayətdir: onlar boşqabın mərkəzində kəsişir. Bu dərsdə çevrənin belə «gizli» xassələrini öyrənəcəyik: vətər və toxunanları, mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqları, üçbucağın ətrafına və daxilinə çəkilən çevrələri.

«Çevrənin uzunluğu və dairənin sahəsi» dərsində çevrə, radius, diametr və qövsün uzunluğu ilə tanış olduq. Burada bərabər üçbucaqlar («Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri») və oxşar üçbucaqlar («Üçbucaqların oxşarlığı») əsas alətlərimiz olacaq.

Vətər və diametr

Mərkəz O-nu vətərin A və B uclarına birləşdirək: OA = OB = R olduğundan AOB üçbucağı bərabəryanlıdır və onun OH hündürlüyü həm də mediandır. Buradan üç xassə alınır: vətərə perpendikulyar diametr onu yarıya bölür; vətərin orta perpendikulyarı mərkəzdən keçir; bərabər vətərlər mərkəzdən eyni məsafədədir. OAH düzbucaqlı üçbucağından isə vətərin uzunluğunu mərkəzə qədər məsafə ilə əlaqələndirən düstur alınır.

Qırıq boşqabın mərkəzini tapmaq — hər vətərin orta perpendikulyarı mərkəzdən keçir:

1. 1
   İki vətər

   Qövs üzərində üç nöqtə götür — A, B, C — və AB, BC vətərlərini çək.

2. 2
   Orta perpendikulyarlar

   Sirkul və xətkeşlə AB və BC-nin orta perpendikulyarlarını qur («Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri» dərsindəki kimi).

3. 3
   Mərkəz

   Orta perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi O mərkəzdir, OA isə radiusdur.

Toxunan və onun xassələri

Mərkəzdən düz xəttə qədər məsafəni d ilə işarə edək. d < R olarsa, düz xətt çevrəni iki nöqtədə kəsir — o, kəsəndir; d > R olarsa, ortaq nöqtə yoxdur; d = R olarsa, yeganə ortaq nöqtə var — düz xətt çevrəyə toxunur. Toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır: əgər OA radiusu perpendikulyar olmasaydı, O-dan düz xəttə endirilmiş perpendikulyar OA-dan, yəni R-dən qısa olardı və düz xətt çevrəni iki nöqtədə kəsərdi. Çevrədən kənardakı P nöqtəsindən çevrəyə iki toxunan çəkmək olar. PAO və PBO düzbucaqlı üçbucaqlarında OA = OB = R, PO isə ortaq hipotenuzdur, deməli, onlar bərabərdir (hipotenuz və katetə görə).

Mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqlar

İsbat (sadə hal: bucağın CB tərəfi diametrdir, yəni O mərkəzi onun üzərindədir). OA = OC olduğundan AOC üçbucağı bərabəryanlıdır və ∠OAC = ∠OCA. AOB bucağı bu üçbucağın xarici bucağıdır və ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir: ∠AOB = 2∠ACB. Ümumi halda C-dən CD diametrini çəkirik: O bucağın daxilindədirsə, diametr bucağı iki hissəyə bölür və hər hissə üçün sadə hal doğrudur — bərabərlikləri toplayırıq; O bucaqdan kənardadırsa, onları çıxırıq. İki mühüm nəticə: eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabərdir; diametrə söykənən daxilə çəkilmiş bucaq düz bucaqdır (yarımçevrə 180°, onun yarısı 90°).

Vətərlərin, kəsənlərin və toxunanın parçaları

AB və CD vətərləri P nöqtəsində kəsişsin. △APC və △DPB-də ∠APC = ∠DPB (qarşılıqlı bucaqlar), ∠CAB = ∠CDB isə eyni CB qövsünə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlardır. BB əlamətinə görə △APC ∼ △DPB, buradan AP / DP = CP / BP, yəni AP · PB = CP · PD. Çevrədən kənardakı P nöqtəsindən çəkilmiş kəsənlər üçün də eyni mülahizə işləyir; kəsənlərdən biri toxunana çevriləndə onun iki kəsişmə nöqtəsi birləşir və hasil toxunanın kvadratına çevrilir.

Daxilə və xaricə çəkilmiş çevrələr

Üçbucağın təpələrindən keçən çevrə onun xaricinə çəkilmiş çevrədir. Onun mərkəzi hər təpədən eyni məsafədədir, deməli, tərəflərin orta perpendikulyarlarının kəsişmə nöqtəsidir (üç orta perpendikulyar bir nöqtədə kəsişir). Üç tərəfə toxunan çevrə üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrədir; onun mərkəzi tərəflərdən eyni məsafədədir, yəni tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsidir. Niyə üç orta perpendikulyar bir nöqtədə kəsişir? AB və BC-nin orta perpendikulyarları O nöqtəsində kəsişsin: onda OA = OB və OB = OC, deməli, OA = OC və O üçüncü orta perpendikulyarın da üzərindədir. Tənbölənlər üçün eyni mülahizə tərəflərə qədər məsafələrlə aparılır. İtibucaqlı üçbucaqda O üçbucağın daxilində, düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun ortasında, korbucaqlı üçbucaqda isə üçbucaqdan kənarda yerləşir.

Dördbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, o, çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlıdır. Onun qarşı bucaqları (məsələn, A və C) birlikdə bütün çevrəyə söykənir, buna görə ∠A + ∠C = ½ · 360° = 180°. Bütün tərəfləri çevrəyə toxunan dördbucaqlı çevrə xaricinə çəkilmiş dördbucaqlıdır; hər təpədən çəkilmiş iki toxunan parçası bərabər olduğundan qarşı tərəflərin cəmləri bərabərdir. Hər iki xassənin tərsi də doğrudur (qabarıq dördbucaqlılar üçün).