Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Bərabər üçbucaqlarda uyğun tərəf və bucaqları təpələrin yazılış sırasına görə tapmaq
Üç əlamət və düzbucaqlı üçbucaqların əlamətləri ilə üçbucaqların bərabərliyini isbat etmək
Bərabər üçbucaqlar vasitəsilə bərabəryanlı üçbucağın və orta perpendikulyarın xassələrini isbat etmək və məsələlərdə tətbiq etmək
Sirkul və xətkeşlə bucağın tənbölənini və parçanın orta perpendikulyarını qurmaq, qurmanın düzgünlüyünü əsaslandırmaq

Gəncədəki mebel sexində üçbucaq formalı rəf dayaqları hazırlanır. Usta yeni dayağın nümunə ilə tam eyni olduğunu yoxlamaq üçün onun altı elementinin — üç tərəfinin və üç bucağının — hamısını ölçməlidirmi? Xeyr: düzgün seçilmiş üç ölçü kifayətdir. Bu dərsdə hansı üç ölçünün kifayət etdiyini və bunun səbəbini öyrənəcəyik. Bu faktlar — üçbucaqların bərabərlik əlamətləri — məktəb həndəsəsinin əsas alətidir: növbəti dərslərdəki isbatların çoxu «iki üçbucağa baxaq…» sözləri ilə başlayır.

«Üçbucaqlar» dərsində bərabəryanlı üçbucaqla, median, tənbölən və hündürlüklə tanış olduq. İndi onların xassələrinin niyə doğru olduğunu isbat edəcəyik, həm də yalnız sirkul və xətkeşlə qurmağı öyrənəcəyik.

Bərabər üçbucaqlar və uyğun elementlər

Kağızdan kəsilmiş iki fiquru üst-üstə qoyanda onlar tamamilə üst-üstə düşürsə, belə fiqurlar bərabər adlanır. Bunun üçün fiquru sürüşdürmək, döndərmək, lazım gələrsə, arxası üstə çevirmək olar. Üçbucaqlar üçün bu o deməkdir ki, birinin üç tərəfi və üç bucağı digərinin uyğun tərəf və bucaqlarına bərabərdir.

Tərif

Bərabər üçbucaqlar

Əgər AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁ və ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ olarsa, ABC və A₁B₁C₁ üçbucaqlarına bərabər üçbucaqlar deyilir; yazılışı: △ABC = △A₁B₁C₁. Üst-üstə qoyma zamanı üst-üstə düşən tərəf və bucaqlar uyğun elementlər adlanır. Bərabər üçbucaqlarda bərabər bucaqların qarşısında bərabər tərəflər durur.

Yazılışda hərflərin sırası vacibdir: △ABC = △KLM yazısı göstərir ki, A təpəsi K-ya, B təpəsi L-ə, C təpəsi isə M-ə uyğundur. Buna görə altı bərabərliyin hamısını şəkilsiz də oxumaq olar: AB = KL, BC = LM, AC = KM, ∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.

Yazılışdan uyğun elementləri tapmaq

△ABC = △KLM, ∠A = 90°, ∠C = 30°, AB = 5 sm, BC = 10 sm. KLM üçbucağının bucaqlarını, KL və LM tərəflərini tapın. △KLM-in hansı tərəfi AC-yə bərabərdir?

Həllini göstər

1) Hərflərin sırasına görə: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M.
2) ∠K = ∠A = 90°, ∠M = ∠C = 30°, ∠L = 180° − 90° − 30° = 60°.
3) KL = AB = 5 sm, LM = BC = 10 sm.
4) AC tərəfinə KM uyğundur: KM = AC.
Yoxlama: ən böyük LM tərəfi ən böyük bucağın (∠K = 90°) qarşısındadır.
Diqqət: yazılış △ABC = △LKM olsaydı, düz bucaq L təpəsində olardı: ∠L = ∠A = 90°.

Üçbucaqların bərabərliyinin üç əlaməti

Altı bərabərliyin hamısını yoxlamaq lazımdırmı? Xeyr. Üçbucaq düzgün seçilmiş üç elementi ilə tam müəyyən olunur: bu üç element qeyd olunandan sonra qalan üçü üçün «seçim azadlığı» qalmır. Belə üçlüklərə bərabərlik əlamətləri deyilir. Dərsliklərdə onlar sıra ilə nömrələnir; yadda saxlamaq üçün qısa adlardan da istifadə edəcəyik: tərəfi T, bucağı B hərfi ilə işarə edirik.

Eyni sayda cizgi — bərabər tərəflər, eyni sayda qövs — bərabər bucaqlar. İkinci üçbucaq çevrilmiş olsa belə, birinciyə bərabərdir.

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ ⇒ △ABC = △A₁B₁C₁

burada:

AB, ACbirinci üçbucağın iki tərəfi
∠Abu iki tərəf arasındakı bucaq
A₁B₁, A₁C₁, ∠A₁ikinci üçbucağın uyğun elementləri

Birinci əlamət (TBT, tərəf–bucaq–tərəf): bir üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucaq digər üçbucağın iki tərəfinə və onlar arasındakı bucağa bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

Niyə belədir? △A₁B₁C₁-i △ABC-nin üzərinə elə qoyaq ki, A₁ təpəsi A ilə üst-üstə düşsün, A₁B₁ şüası isə AB şüası boyunca getsin. A₁B₁ = AB olduğundan B₁ nöqtəsi B-yə düşür. ∠A₁ = ∠A olduğundan A₁C₁ şüası AC şüası boyunca gedir, A₁C₁ = AC olduğundan isə C₁ nöqtəsi C-yə düşür. Üç təpə üst-üstə düşdü — deməli, üçbucaqlar da üst-üstə düşür. Bu, üst-üstə qoyma üsulu ilə isbatdır.

TBT əlamətinin tətbiqi

1) AB və CD parçaları O nöqtəsində kəsişir, O hər iki parçanın orta nöqtəsidir. AC = BD olduğunu isbat edin.
2) Murad parkdakı gölməçənin uzunluğunu (A və B nöqtələri arasındakı məsafəni) bilmək istəyir, amma su onu birbaşa ölçməyə imkan vermir. O, quru yerdə O nöqtəsini seçir, AO = 40 m və BO = 30 m-i ölçür, sonra AO düz xəttinin O-dan o yana davamında OA₁ = 40 m, BO düz xəttinin davamında isə OB₁ = 30 m ayırır. A₁B₁ = 45 m alınır. Gölməçənin uzunluğu nə qədərdir?

Həllini göstər

1) AOC və BOD üçbucaqlarına baxaq: AO = OB və CO = OD (O orta nöqtədir), ∠AOC = ∠BOD (qarşılıqlı bucaqlar). TBT əlamətinə görə △AOC = △BOD, deməli, uyğun tərəflər bərabərdir: AC = BD.
Əlavə nəticə: ∠CAO = ∠DBO. Bunlar AC və BD düz xətləri və AB kəsəni ilə əmələ gələn daxili çarpaz bucaqlardır, buna görə AC ∥ BD.
2) AOB və A₁OB₁ üçbucaqlarında AO = A₁O = 40 m, BO = B₁O = 30 m, ∠AOB = ∠A₁OB₁ (qarşılıqlı bucaqlar). TBT əlamətinə görə △AOB = △A₁OB₁, deməli, AB = A₁B₁ = 45 m.
Cavab: gölməçənin uzunluğu 45 m-dir.

AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ ⇒ △ABC = △A₁B₁C₁

burada:

ABbirinci üçbucağın tərəfi
∠A, ∠Bbu tərəfə bitişik iki bucaq (tərəfin uclarındakı bucaqlar)
A₁B₁, ∠A₁, ∠B₁ikinci üçbucağın uyğun elementləri

İkinci əlamət (BTB, bucaq–tərəf–bucaq): bir üçbucağın bir tərəfi və ona bitişik iki bucağı digər üçbucağın bir tərəfinə və ona bitişik iki bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

Səbəb: A₁B₁ tərəfini AB-nin üzərinə qoyaq. Bucaqlar bərabər olduğundan A₁-dən çıxan tərəf AC şüası, B₁-dən çıxan tərəf isə BC şüası boyunca gedir. İki şüa yalnız bir nöqtədə — C-də kəsişə bilər, deməli, C₁ nöqtəsi C-yə düşür. Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180° olduğundan iki bucaq bərabərdirsə, üçüncülər də bərabərdir. Buna görə bir tərəf və istənilən iki bucaq da kifayətdir (BBT): tərəf verilmiş bucaqların arasında olmasa belə, üçüncü bucaq məsələni BTB əlamətinə gətirir.

BTB və BBT əlamətlərinin tətbiqi

1) AC ∥ BD, AB parçası CD parçasını O nöqtəsində kəsir və AO = OB. CO = OD olduğunu isbat edin.
2) △ABC və △DEF-də AB = DE = 8 sm, ∠A = ∠D = 45°, ∠B = ∠E = 60°. Üçbucaqlar bərabərdirmi? ∠C və ∠F-i tapın. △DEF-in hansı tərəfi AC-yə bərabərdir?
3) △ABC və △KMN-də ∠A = ∠K = 50°, ∠B = ∠M = 70°, BC = MN = 6 sm. Üçbucaqlar bərabərdirmi?

Həllini göstər

1) AOC və BOD üçbucaqlarında: AO = OB (verilib), ∠AOC = ∠BOD (qarşılıqlı bucaqlar), ∠CAO = ∠DBO (AC ∥ BD və AB kəsəni ilə əmələ gələn daxili çarpaz bucaqlar). AO tərəfi bu iki bucağa bitişikdir, BTB əlamətinə görə △AOC = △BOD, deməli, CO = OD.
2) AB tərəfi və onun uclarındakı iki bucaq bərabərdir: BTB əlamətinə görə △ABC = △DEF. ∠C = ∠F = 180° − 45° − 60° = 75°. AC-yə DF uyğundur: DF = AC.
3) BC tərəfi ∠B və ∠C bucaqlarına bitişikdir. ∠C = 180° − 50° − 70° = 60°, ∠N də 60°-dir. İndi BC = MN, ∠B = ∠M, ∠C = ∠N — BTB əlamətinə görə △ABC = △KMN (bu, BBT halıdır).

AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁ ⇒ △ABC = △A₁B₁C₁

burada:

AB, BC, CAbirinci üçbucağın üç tərəfi
A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ikinci üçbucağın uyğun tərəfləri

Üçüncü əlamət (TTT, tərəf–tərəf–tərəf): bir üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.

Bunu sirkulla görmək olar. AB parçasını çəkək. Üçüncü təpə A-dan AC məsafəsində, yəni mərkəzi A olan çevrənin üzərində, B-dən isə BC məsafəsində, yəni mərkəzi B olan çevrənin üzərində yerləşir. İki çevrə AB düz xəttinin hər tərəfində ən çoxu bir nöqtədə kəsişir; bu iki nöqtə AB-yə nəzərən simmetrikdir və eyni üçbucağı, sadəcə çevrilmiş halda verir. Deməli, üç tərəf üçbucağı tam müəyyən edir. Üç çubuqdan düzəldilmiş çərçivənin əyilməməsinin — üçbucağın sərt fiqur olmasının səbəbi də budur; dörd çubuqdan düzəldilmiş çərçivə isə əyilir.

TTT əlamətinin tətbiqi: deltoid

ABCD dördbucaqlısında AB = AD və CB = CD (belə fiqur deltoid adlanır).
1) AC diaqonalının A və C bucaqlarını yarıya böldüyünü isbat edin.
2) ∠BAC = 40°, ∠BCA = 25° olarsa, ∠ABC və ∠ADC-ni tapın.

Həllini göstər

1) ABC və ADC üçbucaqlarında AB = AD, CB = CD (verilib), AC isə ortaq tərəfdir. TTT əlamətinə görə △ABC = △ADC. Uyğun bucaqlar bərabərdir: ∠BAC = ∠DAC və ∠BCA = ∠DCA — AC hər iki bucağı yarıya bölür.
2) △ABC-də ∠ABC = 180° − 40° − 25° = 115°. Üçbucaqlar bərabər olduğundan ∠ADC = ∠ABC = 115°.

Əlamət	Nə bərabər olmalıdır	Yadda saxla
TBT	iki tərəf və aralarındakı bucaq	bucaq tərəflərin arasındadır
BTB	tərəf və ona bitişik iki bucaq	tərəf bucaqların arasındadır
BBT	tərəf və istənilən iki bucaq	üçüncü bucağı tap — BTB alınır
TTT	üç tərəf	üçbucaq sərt fiqurdur
TTB ✗	iki tərəf və aralarında olmayan bucaq	əlamət deyil: iki müxtəlif üçbucaq ola bilər
BBB ✗	üç bucaq	əlamət deyil: forma eyni, ölçü fərqli ola bilər

Dərsliklərdə bu əlamətlər uyğun olaraq birinci (TBT), ikinci (BTB) və üçüncü (TTT) əlamət adlanır.

1
Şəkli işarələ
Verilən bərabər tərəfləri cizgilərlə, bərabər bucaqları qövslərlə qeyd et.
2
Gizli bərabərlikləri tap
Ortaq tərəf, qarşılıqlı bucaqlar, paralel düz xətlərdəki bucaqlar, orta nöqtə və tənbölən əlavə bərabərliklər verir.
3
Əlaməti seç
Üç elementin düzülüşünü yoxla: TBT-də bucaq tərəflərin arasında, BTB-də tərəf bucaqların arasında olmalıdır.
4
Bərabərliyi düzgün yaz
Uyğun təpələri eyni sırada yaz, məsələn, △AOC = △BOD.
5
Nəticə çıxar
Bərabər üçbucaqlarda uyğun elementlər bərabərdir — axtarılan tərəf və ya bucaq bərabərliyi buradan alınır.

İki tərəf və aralarında olmayan bucaq bərabərdir, amma ABC₁ və ABC₂ üçbucaqları bərabər deyil.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Təpənin yerini dəyiş: a oturacağı və h hündürlüyü dəyişmədiyi üçün sahə eyni qalır, b və c tərəfləri isə dəyişir. Deməli, sahələri bərabər olan üçbucaqlar bərabər olmaya da bilər — bərabərliyi yalnız əlamətlər sübut edir.

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

Düzbucaqlı üçbucaqlarda bir cüt bərabər element — 90°-li bucaqlar — artıq məlumdur. Buna görə daha iki elementin bərabərliyi kifayətdir. Xatırladaq: düz bucağı əmələ gətirən tərəflər katetlər, düz bucağın qarşısındakı ən böyük tərəf isə hipotenuzdur.

Bərabər olan	Hansı əlamətdən alınır
iki katet	TBT: düz bucaq katetlərin arasındadır
katet və ona bitişik iti bucaq	BTB
katet və onun qarşısındakı iti bucaq	BBT
hipotenuz və iti bucaq	BBT: üçüncü bucaqlar da bərabərdir
hipotenuz və katet	ayrıca əlamət (aşağıda)

∠C = ∠C₁ = 90°, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ ⇒ △ABC = △A₁B₁C₁

burada:

∠C, ∠C₁düz bucaqlar
AB, A₁B₁hipotenuzlar
BC, B₁C₁katetlər

Hipotenuz və katetə görə əlamət: bir düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu və bir kateti digərinin hipotenuzuna və katetinə bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir. «İki tərəf və aralarında olmayan bucaq» halı yalnız burada işləyir — çünki bucaq düzdür.

İsbatın ideyası: üçbucaqları bərabər BC və B₁C₁ katetləri boyunca elə birləşdirək ki, düz bucaqlar yan-yana gəlsin. 90° + 90° = 180° olduğundan A, C, A₁ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir və ABA₁ üçbucağı alınır. Onun AB və A₁B tərəfləri bərabər hipotenuzlardır, yəni üçbucaq bərabəryanlıdır və oturacağındakı bucaqlar bərabərdir: ∠A = ∠A₁ (bu xassə aşağıda isbat olunur). Onda üçbucaqlar hipotenuz və iti bucağa görə bərabərdir.

∠C = 90°, ∠A = 30° ⇒ BC = AB / 2∠C = 90°, ∠A = 30° ⇒ BC = AB / 2

burada:

BC30°-li bucağın qarşısındakı katet
ABhipotenuz

30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Tərsinə: katet hipotenuzun yarısıdırsa, onun qarşısındakı bucaq 30°-dir.

Bu da bərabər üçbucaqlarla isbat olunur. ABC üçbucağının AC katetinə nəzərən güzgü əksini quraq — AB₁C üçbucağını. İki katetə görə △ABC = △AB₁C, buna görə AB = AB₁ və ∠BAB₁ = 30° + 30° = 60°. Təpəsindəki bucağı 60° olan bərabəryanlı üçbucağın oturacağındakı bucaqlar (180° − 60°) : 2 = 60°-dir, yəni ABB₁ bərabərtərəflidir və BB₁ = AB. Deməli, BC = BB₁ : 2 = AB : 2.

Düzbucaqlı üçbucaqlarla məsələlər

1) △ABC və △DEF-də ∠C = ∠F = 90°, AB = DE = 13 sm, AC = DF = 5 sm, BC = 12 sm. Üçbucaqlar bərabərdirmi? EF-i tapın.
2) A bucağının tənböləni üzərindəki M nöqtəsindən bucağın tərəflərinə MK və MN perpendikulyarları endirilib. MK = MN olduğunu isbat edin.
3) Düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarından biri 60°, hipotenuzu 14 sm-dir. Kiçik katetin uzunluğunu tapın.

Həllini göstər

1) Hipotenuzlar və AC, DF katetləri bərabərdir — hipotenuz və katetə görə △ABC = △DEF. EF katetinə BC uyğundur: EF = BC = 12 sm.
2) AKM və ANM düzbucaqlı üçbucaqlarında AM hipotenuzu ortaqdır, ∠KAM = ∠NAM (AM tənböləndir). Hipotenuz və iti bucağa görə △AKM = △ANM, deməli, MK = MN. Nəticə: bucağın tənböləninin hər nöqtəsi bucağın tərəflərindən eyni məsafədədir.
3) İkinci iti bucaq 90° − 60° = 30°-dir. Kiçik katet kiçik bucağın, yəni 30°-nin qarşısındadır: 14 : 2 = 7 sm.

Bərabər üçbucaqlar isbatlarda: bərabəryanlı üçbucaq və orta perpendikulyar

Bərabər üçbucaqlar şəkli isbata çevirir: iki parçanın və ya iki bucağın bərabərliyini göstərmək üçün onların uyğun element olduğu iki bərabər üçbucaq tapmaq kifayətdir. Bu üsulla bərabəryanlı üçbucağın xassələrini isbat edək.

AB = BC ⇔ ∠A = ∠C

burada:

AB, BCbərabəryanlı üçbucağın yan tərəfləri
ACoturacaq
∠A, ∠Coturacaqdakı bucaqlar

Bərabəryanlı üçbucağın oturacağındakı bucaqlar bərabərdir; tərsinə, üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, o, bərabəryanlıdır.

AB = BC: BD — tənbölən ⇔ BD — median ⇔ BD — hündürlük

burada:

BDB təpəsindən AC oturacağına çəkilmiş parça

Bərabəryanlı üçbucağın təpəsindən oturacağa çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür; median və hündürlük də eyni parçadır.

İsbat: oturacaqdakı bucaqlar

ABC üçbucağında AB = BC. ∠A = ∠C olduğunu və B təpəsindən çəkilmiş BD tənböləninin həm median, həm də hündürlük olduğunu isbat edin.

Həllini göstər

1) BD tənböləni üçbucağı ABD və CBD üçbucaqlarına bölür.
2) Onlarda AB = CB (verilib), ∠ABD = ∠CBD (BD tənböləndir), BD ortaq tərəfdir.
3) TBT əlamətinə görə △ABD = △CBD.
4) Uyğun elementlər bərabərdir: ∠A = ∠C — oturacaqdakı bucaqlar bərabərdir; AD = DC — BD mediandır.
5) ∠ADB = ∠CDB, bu qonşu bucaqların cəmi isə 180°-dir, deməli, hər biri 90°-dir — BD hündürlükdür.

Bərabəryanlı üçbucaqda hesablamalar

1) ABC üçbucağında AB = BC, ∠B = 40°, BD — median. ∠ABD, ∠BDA və ∠A-nı tapın.
2) AB = BC = 10 sm, AC = 12 sm, BD hündürlüyü 8 sm-dir. AD-ni və ABD üçbucağının perimetrini tapın.
3) MNP üçbucağında ∠M = ∠P = 65°, MN = 9 sm. NP-ni və ∠N-i tapın.

Həllini göstər

1) Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilmiş median həm tənbölən, həm də hündürlükdür: ∠ABD = 40° : 2 = 20°, ∠BDA = 90°. ∠A = (180° − 40°) : 2 = 70°.
2) Hündürlük həm də mediandır: AD = 12 : 2 = 6 sm. P(ABD) = AB + BD + AD = 10 + 8 + 6 = 24 sm.
3) İki bucaq bərabərdir — üçbucaq bərabəryanlıdır, bərabər tərəflər bərabər bucaqların qarşısındadır: NP (∠M-in qarşısında) = MN (∠P-nin qarşısında) = 9 sm. ∠N = 180° − 2 · 65° = 50°.

Tərif

Parçanın orta perpendikulyarı

Parçanın orta nöqtəsindən keçən və ona perpendikulyar olan düz xətt.

M nöqtəsi AB-nin orta perpendikulyarı üzərindədir ⇔ MA = MB

burada:

Mmüstəvinin istənilən nöqtəsi
MA, MBM nöqtəsindən parçanın uclarına qədər məsafələr

Orta perpendikulyarın hər nöqtəsi parçanın uclarından eyni məsafədədir; tərsinə, parçanın uclarından eyni məsafədə olan hər nöqtə onun orta perpendikulyarı üzərindədir.

İsbat: O — AB-nin orta nöqtəsi, M isə orta perpendikulyarın nöqtəsi olsun. AOM və BOM üçbucaqlarında AO = OB, ∠AOM = ∠BOM = 90°, OM isə ortaqdır — TBT əlamətinə görə onlar bərabərdir, deməli, MA = MB. Tərsinə, MA = MB olarsa, AMB üçbucağı bərabəryanlıdır və onun MO medianı həm də hündürlükdür, yəni M orta perpendikulyar üzərindədir.

Orta perpendikulyarla məsələlər

1) ABC üçbucağının AC tərəfinə çəkilmiş orta perpendikulyar BC tərəfini D nöqtəsində kəsir. AB = 7 sm, BC = 10 sm. ABD üçbucağının perimetrini tapın.
2) Leyla və Elvinin evləri — A və B nöqtələri — düz yolun eyni tərəfindədir. Yolun üzərində iki evdən eyni məsafədə olan avtobus dayanacağı üçün yer necə tapılar?

Həllini göstər

1) D orta perpendikulyar üzərindədir, buna görə DA = DC. P(ABD) = AB + BD + DA = AB + BD + DC = AB + BC = 7 + 10 = 17 sm. AC-nin uzunluğu lazım olmadı!
2) Axtarılan nöqtə A və B-dən eyni məsafədədir, deməli, AB parçasının orta perpendikulyarı üzərindədir. AB-nin orta perpendikulyarını qururuq; onun yolla kəsişmə nöqtəsi dayanacağın yeridir. (AB yola perpendikulyar olarsa, orta perpendikulyar yola paralel olur və belə yer yoxdur.)

Sirkul və xətkeşlə qurmalar

Qurma məsələlərində yalnız iki alətə icazə verilir: bölgüsüz xətkeş (iki nöqtədən keçən düz xətt çəkmək üçün) və sirkul (verilmiş mərkəz və radiusla çevrə çəkmək üçün). Hər klassik qurmanın düzgünlüyü bərabərlik əlamətlərindən biri ilə, çox vaxt TTT ilə əsaslandırılır. Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması:

1
Oturacaq
Şüa çək və onun üzərində sirkulla AB = c parçasını ayır.
2
Birinci qövs
Mərkəzi A, radiusu b olan qövs çək.
3
İkinci qövs
Mərkəzi B, radiusu a olan qövs çək; qövslərin kəsişmə nöqtəsi C təpəsidir.
4
Üçbucaq
C-ni A və B ilə birləşdir. TTT əlamətinə görə bu tərəflərlə qurulan bütün üçbucaqlar bərabərdir. Qövslər kəsişmirsə, belə üçbucaq yoxdur: ən böyük tərəf digər ikisinin cəmindən kiçik olmalıdır.

Bucağın tənböləninin qurulması:

1
Qövs
Mərkəzi bucağın A təpəsində olan qövs çək; o, bucağın tərəflərini B və C nöqtələrində kəssin.
2
İki bərabər qövs
Mərkəzləri B və C olan eyni radiuslu qövslər çək (radius BC-nin yarısından böyük olsun); onlar bucağın daxilində D nöqtəsində kəsişsin.
3
Tənbölən
AD şüasını çək. △ABD = △ACD (TTT: AB = AC, BD = CD, AD ortaqdır), buna görə ∠BAD = ∠CAD.

Parçanın orta perpendikulyarının və ortasının qurulması:

1
İki çevrə
Mərkəzləri A və B olan, radiusu r eyni və AB-nin yarısından böyük olan iki çevrə (və ya qövs) çək.
2
Kəsişmə nöqtələri
Çevrələr M və N nöqtələrində kəsişir: MA = MB = r və NA = NB = r.
3
Orta perpendikulyar
MN düz xəttini çək. M və N nöqtələrinin hər biri A və B-dən eyni məsafədədir, deməli, hər ikisi orta perpendikulyar üzərindədir və MN məhz odur. MN-in AB ilə kəsişmə nöqtəsi O parçanın ortasıdır.

M və N nöqtələri A və B-dən eyni məsafədədir, buna görə MN orta perpendikulyardır.

Bucağın köçürülməsi: hər iki bucaqda təpədən eyni radiuslu qövs çəkilir və qövsün uclarını birləşdirən vətər sirkulla köçürülür — bucaqların bərabərliyini TTT əlaməti təmin edir.
Nöqtədən düz xəttə perpendikulyar: mərkəzi P olan qövs a düz xəttini A və B nöqtələrində kəsir. PA = PB olduğundan P nöqtəsi AB-nin orta perpendikulyarı üzərindədir — bu orta perpendikulyarı qururuq.

60°, 30°, 90°, 45° və 120°-li bucaqların qurulması

Yalnız sirkul və xətkeşlə 60°, 30°, 90°, 45° və 120°-li bucaqlar qurun.

Həllini göstər

1) 60°: AB parçası üzərində radiusu AB olan iki qövslə bərabərtərəfli ABC üçbucağını qururuq (TTT) — onun hər bucağı 60°-dir.
2) 30°: 60°-li bucağın tənbölənini qururuq.
3) 90°: parçanın orta perpendikulyarını qururuq — o, parça ilə 90°-li bucaq əmələ gətirir.
4) 45°: 90°-li bucağın tənbölənini qururuq.
5) 120°: 60°-li bucağın qonşu bucağı 180° − 60° = 120°-dir — bucağın bir tərəfini təpədən o yana uzatmaq kifayətdir.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.△ABC = △KLM ⇒ ∠B = ∠
2.TBT əlamətində bucaq iki tərəfin olmalıdır.
3.Bərabəryanlı üçbucağın bitişik bucaqları bərabərdir.
4.30°-li bucağın qarşısındakı katet 5 sm-dirsə, hipotenuz sm-dir.
5.M nöqtəsi AB-nin orta perpendikulyarı üzərindədir və MA = 6 sm. Onda MB = sm.

Əsas fikirlər

Bərabər üçbucaqlarda uyğun tərəf və bucaqlar bərabərdir; △ABC = △KLM yazılışında təpələr sıra ilə uyğundur: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M.
Üç əlamət: TBT (iki tərəf və aralarındakı bucaq), BTB (tərəf və ona bitişik iki bucaq), TTT (üç tərəf); BBT də işləyir, TTB və BBB isə əlamət deyil.
Düzbucaqlı üçbucaqlar üçün daha iki element kifayətdir: iki katet, katet və iti bucaq, hipotenuz və iti bucaq, hipotenuz və katet. 30°-nin qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır.
Bərabəryanlı üçbucaqda oturacaqdakı bucaqlar bərabərdir, təpədən oturacağa çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür.
Orta perpendikulyarın nöqtələri parçanın uclarından, tənbölənin nöqtələri isə bucağın tərəflərindən eyni məsafədədir.
Tənbölənin və orta perpendikulyarın sirkul-xətkeşlə qurulması TTT əlaməti ilə əsaslandırılır.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Birinci əlamət (TBT) hansı elementlərin bərabərliyini tələb edir?