Müstəvidə koordinatlar üsulu: düz xəttin və çevrənin tənliyi

Bu dərsdə öyrənəcəksən

İki nöqtə arasındakı məsafəni və parçanın ortasının koordinatlarını tapmaq, onları həndəsi məsələlərdə tətbiq etmək
Düz xəttin ümumi tənliyini, bucaq əmsallı tənliyini, nöqtədən və iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazmaq; paralel və perpendikulyar düz xətləri tanımaq
Nöqtədən düz xəttə qədər məsafəni hesablamaq
Çevrənin tənliyini yazmaq, tam kvadrat ayırmaqla mərkəzi və radiusu tapmaq, düz xətlə çevrənin ortaq nöqtələrini müəyyən etmək

Xəritə tətbiqi evini və məktəbini iki cüt ədəd kimi yadda saxlayır və yalnız bu ədədlərə əsasən onların arasındakı düz məsafəni hesablayır. Wi-Fi routeri öz ətrafında bir dairəni əhatə edir: sənin otağın bu dairənin içindədirmi? Kompüter oyunu topun divara dəyib-dəyməyəcəyini hər an müəyyən etməlidir. Bütün bu suallara koordinatlar üsulu cavab verir: nöqtələr ədəd cütlərinə, düz xətlər və çevrələr tənliklərə, həndəsə məsələsi isə cəbr məsələsinə çevrilir. Bu ideyadan sən artıq «Sinuslar və kosinuslar teoremləri. Üçbucaqların həlli» dərsində kosinuslar teoremini isbat edərkən istifadə etmisən; indi onu tam bir alətə çeviririk.

Koordinat müstəvisi və y = kx + b xətti funksiyası sənə «Xətti funksiya və onun qrafiki» dərsindən, vektorun koordinatları və uzunluğu isə «Vektorlar» dərsindən tanışdır. Burada bu alətləri bir üsulda birləşdiririk. Nöqtələri A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) kimi yazacağıq.

İki nöqtə arasındakı məsafə və parçanın ortası

A nöqtəsindən üfüqi, B nöqtəsindən şaquli düz xətt çəkək; onlar K(x₂; y₁) nöqtəsində kəsişir. AKB üçbucağı düzbucaqlıdır, katetləri |x₂ − x₁| və |y₂ − y₁|-dir. Pifaqor teoreminə görə AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Modul işarələrini atmaq olar, çünki kvadrat heç vaxt mənfi olmur. Parçanın ortası M isə A-dan B-yə gedən yolun yarısındadır: hər ox üzrə koordinat fərqinin yarısı qədər irəliləyir.

d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² — Pifaqor teoremi.

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

burada:

x₁, y₁A nöqtəsinin koordinatları
x₂, y₂B nöqtəsinin koordinatları
ABnöqtələr arasındakı məsafə

İki nöqtə arasındakı məsafə koordinat fərqlərinin kvadratları cəmindən çıxarılmış kvadrat kökə bərabərdir. Nöqtələrin sırası fərq etmir: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Bu, həm də AB⃗ vektorunun uzunluğudur.

Məsafə düsturu ilə

1) A(−1; 3) və B(5; −5) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.
2) Təpələri A(1; 1), B(4; 5), C(8; 2) olan üçbucağın növünü müəyyən edin.
3) Ox oxu üzərində A(1; 4) və B(5; 2) nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda olan P nöqtəsini tapın.

Həllini göstər

1) AB = √((5 − (−1))² + (−5 − 3)²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
2) AB = √(3² + 4²) = 5, BC = √(4² + (−3)²) = 5, AC = √(7² + 1²) = √50.
AB = BC, həm də AB² + BC² = 25 + 25 = 50 = AC². Üçbucaq bərabəryanlı düzbucaqlıdır, düz bucaq B təpəsindədir.
3) P(x; 0) olsun. PA² = PB²: (x − 1)² + 16 = (x − 5)² + 4 ⇒ x² − 2x + 17 = x² − 10x + 29 ⇒ 8x = 12 ⇒ x = 1,5.
Cavab: P(1,5; 0). Yoxlama: PA² = 0,25 + 16 = 16,25, PB² = 12,25 + 4 = 16,25.

M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)

burada:

x₁, y₁, x₂, y₂parçanın ucları olan A və B nöqtələrinin koordinatları
MAB parçasının ortası

Ortanın hər koordinatı ucların uyğun koordinatlarının ədədi ortasıdır. Bu, AM⃗ = ½ · AB⃗ bərabərliyindən alınır.

Parçanın ortası

1) A(−3; 4) və B(5; 0). AB parçasının ortasını tapın.
2) M(2; −1) nöqtəsi AB parçasının ortasıdır, A(−1; 3). B nöqtəsini tapın.
3) ABCD paraleloqramında A(0; 0), B(5; 1), C(7; 4). D təpəsini tapın.

Həllini göstər

1) M((−3 + 5) / 2; (4 + 0) / 2) = M(1; 2).
2) (−1 + x) / 2 = 2 ⇒ x = 5; (3 + y) / 2 = −1 ⇒ y = −5. B(5; −5). Qısa yol: B = 2M − A.
3) Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, ona görə AC və BD-nin ortası eynidir: ((0 + 7) / 2; (0 + 4) / 2) = (3,5; 2).
Onda D = (2 · 3,5 − 5; 2 · 2 − 1) = D(2; 3).

Düz xəttin tənliyi

Tərif

Fiqurun tənliyi

Fiqurun hər nöqtəsinin koordinatlarının ödədiyi, fiqura aid olmayan heç bir nöqtənin koordinatlarının isə ödəmədiyi x və y-li tənlik. Nöqtənin fiqura aid olub-olmadığını yoxlamaq üçün onun koordinatlarını tənlikdə yerinə qoy: doğru bərabərlik alınırsa, aiddir.

Nə üçün istənilən düz xəttin tənliyi birdərəcəlidir? Hər düz xətt hansısa PQ parçasının orta perpendikulyarıdır, yəni P və Q-dan bərabər uzaqlıqda olan M(x; y) nöqtələri çoxluğudur. MP² = MQ² bərabərliyini məsafə düsturu ilə yazsaq, x² və y² hər iki tərəfdə görünür və ixtisar olunur — Ax + By + C = 0 şəklində tənlik qalır.

Ax + By + C = 0

burada:

x, ydüz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatları
A, Bəmsallar, ikisi birlikdə sıfır ola bilməz
Csərbəst hədd

Düz xəttin ümumi tənliyi. B = 0 olanda şaquli düz xətt x = −C/A, A = 0 olanda üfüqi düz xətt y = −C/B, C = 0 olanda isə koordinat başlanğıcından keçən düz xətt alınır.

B ≠ 0 olarsa, tənliyi y-ə görə həll edək: y = −(A/B)x − C/B. Bu, «Xətti funksiya və onun qrafiki» dərsindən tanış olan y = kx + b tənliyidir. k ədədi bucaq əmsalıdır: o, düz xəttin Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi α bucağının tangensinə bərabərdir. Düz xəttin iki nöqtəsini götürsək, Δy / Δx nisbəti həmin bucağın tangensidir (şəkil).

k = tg α = Δy / Δx

y = kx + b, k = tg α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y = kx + b, k = tg α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

burada:

kbucaq əmsalı
αdüz xətt ilə Ox oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq (α ≠ 90°)
bdüz xəttin Oy oxunu kəsdiyi (0; b) nöqtəsinin ordinatı
(x₁; y₁), (x₂; y₂)düz xəttin iki nöqtəsi, x₁ ≠ x₂

k > 0 — α iti bucaqdır, düz xətt qalxır; k < 0 — α kor bucaqdır, düz xətt enir; k = 0 — üfüqi düz xətt. Şaquli düz xəttin (α = 90°) bucaq əmsalı yoxdur, onun tənliyi x = x₀ şəklindədir.

y − y₀ = k(x − x₀)

burada:

(x₀; y₀)düz xəttin verilmiş nöqtəsi
kbucaq əmsalı

Verilmiş M₀(x₀; y₀) nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi. x = x₀ yazsaq, y = y₀ alınır — düz xətt həqiqətən M₀-dan keçir.

Düz xəttin tənliyini yazmaq

1) M(2; 1) nöqtəsindən keçən və Ox oxu ilə 45° bucaq əmələ gətirən düz xəttin tənliyini yazın.
2) M(−1; 4) və N(3; −4) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
3) 3x − 4y + 12 = 0 düz xəttinin bucaq əmsalını və oxlarla kəsişmə nöqtələrini tapın.
4) (3; 5) və (3; −2) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Həllini göstər

1) k = tg 45° = 1. y − 1 = 1 · (x − 2) ⇒ y = x − 1, ümumi şəkildə x − y − 1 = 0.
2) k = (−4 − 4) / (3 − (−1)) = −8/4 = −2. y − 4 = −2(x + 1) ⇒ y = −2x + 2, yəni 2x + y − 2 = 0. Yoxlama (N): 2 · 3 + (−4) − 2 = 0.
3) 4y = 3x + 12 ⇒ y = 0,75x + 3, k = 0,75 (tg α = 0,75, α ≈ 36,9°). x = 0 ⇒ y = 3: (0; 3); y = 0 ⇒ x = −4: (−4; 0).
4) x₁ = x₂ = 3, k düsturunda sıfıra bölmə alınır: düz xətt şaqulidir, x = 3, ümumi şəkildə x − 3 = 0 (A = 1, B = 0, C = −3).

(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)(x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁)

burada:

(x₁; y₁), (x₂; y₂)düz xəttin iki nöqtəsi (x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)
x, ydüz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatları

İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi. Hər kəsr (x; y) nöqtəsinin birinci nöqtədən ikinciyə gedən yolun hansı hissəsini uyğun ox boyunca keçdiyini göstərir; düz xətt üzərində bu hissələr bərabərdir.

İki nöqtədən keçən düz xətt

1) (1; 2) və (4; 8) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
2) (−2; 1) və (2; −1) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
3) (0; −1), (2; 3) və (5; 9) nöqtələri bir düz xətt üzərindədirmi?

Həllini göstər

1) (x − 1) / 3 = (y − 2) / 6 ⇒ 6(x − 1) = 3(y − 2) ⇒ 2x − 2 = y − 2 ⇒ y = 2x. Yoxlama: 2 · 4 = 8.
2) (x + 2) / 4 = (y − 1) / (−2) ⇒ −2(x + 2) = 4(y − 1) ⇒ −2x − 4 = 4y − 4 ⇒ x + 2y = 0. Yoxlama: 2 + 2 · (−1) = 0.
3) İlk iki nöqtədən keçən düz xətt: k = (3 + 1) / 2 = 2, y = 2x − 1. Üçüncü nöqtə: 2 · 5 − 1 = 9 — tənliyi ödəyir, deməli, bəli, üç nöqtə bir düz xətt üzərindədir.

Paralel və perpendikulyar düz xətlər

İki şaquli olmayan düz xətt Ox oxu ilə eyni bucaq əmələ gətirəndə, yəni bucaq əmsalları bərabər olanda paraleldir; b₁ = b₂ olarsa, düz xətlər üst-üstə düşür. Perpendikulyarlıq üçün düz xətlərin istiqamət vektorlarını götürək: (1; k₁) və (1; k₂) — sağa 1 vahid getdikdə düz xətt k vahid qalxır. «Vektorlar» dərsindəki perpendikulyarlıq şərtinə görə onların skalyar hasili sıfırdır: 1 · 1 + k₁ · k₂ = 0.

l₁ ∥ l₂ ⇔ k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ l₁ ⊥ l₂ ⇔ k₁ · k₂ = −1

burada:

l₁, l₂y = k₁x + b₁ və y = k₂x + b₂ düz xətləri
k₁, k₂onların bucaq əmsalları

Paralel düz xətlərin bucaq əmsalları bərabərdir, perpendikulyar düz xətlərin bucaq əmsallarının hasili isə −1-dir, yəni k₂ = −1/k₁.

Ümumi tənlikdə n⃗ = (A; B) vektoruna baxaq. (x₁; y₁) və (x₂; y₂) nöqtələri düz xətt üzərindədirsə, onların tənliklərini bir-birindən çıxsaq, A(x₂ − x₁) + B(y₂ − y₁) = 0 alınır: n⃗ düz xəttə perpendikulyardır. Bu vektor normal vektor adlanır. İki düz xətt yalnız normal vektorları perpendikulyar olanda perpendikulyardır.

l₁ ⊥ l₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0 l₁ ∥ l₂ ⇒ A₁B₂ − A₂B₁ = 0

burada:

l₁, l₂A₁x + B₁y + C₁ = 0 və A₂x + B₂y + C₂ = 0 düz xətləri
(A₁; B₁), (A₂; B₂)onların normal vektorları

Ümumi şəkildə: normal vektorların skalyar hasili sıfırdırsa, düz xətlər perpendikulyardır; normal vektorlar kollineardırsa, düz xətlər paraleldir və ya üst-üstə düşür.

Paralellik və perpendikulyarlıq

1) P(1; 3) nöqtəsindən keçən və y = 2x − 5 düz xəttinə a) paralel, b) perpendikulyar olan düz xətlərin tənliklərini yazın.
2) 2x − 3y + 6 = 0 və 3x + 2y − 1 = 0 düz xətləri perpendikulyardırmı?
3) m-in hansı qiymətində y = (m − 1)x + 3 və y = 2x − 4 düz xətləri a) paralel, b) perpendikulyar olar?

Həllini göstər

1) a) k = 2: y − 3 = 2(x − 1) ⇒ y = 2x + 1.
b) k = −1/2: y − 3 = −½(x − 1) ⇒ y = −½x + 3,5, yəni x + 2y − 7 = 0. Yoxlama (P): 1 + 6 − 7 = 0.
2) A₁A₂ + B₁B₂ = 2 · 3 + (−3) · 2 = 0 ⇒ bəli, perpendikulyardır. Bucaq əmsalları ilə: 2/3 · (−3/2) = −1.
3) a) m − 1 = 2 ⇒ m = 3 (b₁ = 3 ≠ −4, düz xətlər üst-üstə düşmür).
b) (m − 1) · 2 = −1 ⇒ m − 1 = −½ ⇒ m = 0,5.

Orta perpendikulyar və kəsişmə nöqtəsi

A(−1; 2) və B(3; 6).
1) AB parçasının orta perpendikulyarının tənliyini yazın.
2) Bu düz xətt y = 2x − 1 düz xətti ilə hansı nöqtədə kəsişir?

Həllini göstər

1) Orta: M(1; 4). AB-nin bucaq əmsalı (6 − 2) / (3 + 1) = 1, perpendikulyarınkı −1.
y − 4 = −(x − 1) ⇒ y = −x + 5, yəni x + y − 5 = 0.
Yoxlama: (0; 5) nöqtəsi A-dan və B-dən eyni √10 məsafəsindədir.
2) Kəsişmə nöqtəsi iki tənliyin sisteminin həllidir (bax: «Xətti tənliklər sistemi» dərsi): −x + 5 = 2x − 1 ⇒ x = 2, y = 3. Cavab: (2; 3).

Nöqtədən düz xəttə qədər məsafə

P(x₀; y₀) nöqtəsindən düz xəttə ən qısa yol perpendikulyar boyunca, yəni n⃗ = (A; B) normal vektoru boyunca gedir. Deməli, perpendikulyarın oturacağı hansısa t ədədi üçün H(x₀ − tA; y₀ − tB) nöqtəsidir. H düz xətt üzərindədir: A(x₀ − tA) + B(y₀ − tB) + C = 0, buradan t = (Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²). Məsafə PH = |t| · |n⃗| = |t| · √(A² + B²)-dir.

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

burada:

(x₀; y₀)verilmiş nöqtə
Ax + By + C = 0düz xəttin ümumi tənliyi
dnöqtədən düz xəttə qədər məsafə

Nöqtəni ümumi tənliyin sol tərəfində yerinə qoy, modulunu götür və normal vektorun uzunluğuna böl. d = 0 yalnız nöqtə düz xətt üzərində olanda alınır.

Məsafəni hesablayırıq

1) P(2; 3) nöqtəsindən 3x + 4y − 8 = 0 düz xəttinə qədər məsafəni tapın.
2) Koordinat başlanğıcından 5x − 12y + 26 = 0 düz xəttinə qədər məsafəni tapın.
3) 3x − 4y + 2 = 0 və 3x − 4y − 13 = 0 paralel düz xətləri arasındakı məsafəni tapın.

Həllini göstər

1) d = |3 · 2 + 4 · 3 − 8| / √(9 + 16) = |10| / 5 = 2.
2) d = |0 − 0 + 26| / √(25 + 144) = 26 / 13 = 2.
3) Birinci düz xətt üzərində nöqtə götürək: x = 2 ⇒ 6 − 4y + 2 = 0 ⇒ y = 2, yəni (2; 2). Ondan ikinci düz xəttə qədər: d = |6 − 8 − 13| / 5 = 15 / 5 = 3.

Üçbucağın hündürlüyü və sahəsi

Üçbucağın təpələri A(1; 6), B(4; 0), C(0; 3). A-dan endirilmiş hündürlüyü və üçbucağın sahəsini tapın.

Həllini göstər

BC düz xətti: k = (3 − 0) / (0 − 4) = −3/4, y = −¾x + 3 ⇒ 3x + 4y − 12 = 0 (B və C tənliyi ödəyir).
BC = √(4² + 3²) = 5.
h = |3 · 1 + 4 · 6 − 12| / 5 = 15 / 5 = 3.
S = ½ · BC · h = ½ · 5 · 3 = 7,5.

Çevrənin tənliyi

Mərkəzi Q(a; b), radiusu R olan çevrə QM = R şərtini ödəyən bütün M(x; y) nöqtələrinin çoxluğudur. Məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = R. Hər iki tərəf mənfi deyil, ona görə onları kvadrata yüksəldə bilərik.

(x − a)² + (y − b)² = R² — yenə Pifaqor teoremi.

(x − a)² + (y − b)² = R²

burada:

(a; b)çevrənin mərkəzi
Rradius
(x; y)çevrənin istənilən nöqtəsi

Çevrənin tənliyi. Mərkəz koordinat başlanğıcında olanda: x² + y² = R². Burada a və b mərkəzin koordinatlarıdır, düz xəttin tənliyindəki ədədlərlə qarışdırma.

Çevrənin tənliyini yazırıq

1) Mərkəzi (2; −3), radiusu 5 olan çevrənin tənliyini yazın. A(5; 1) nöqtəsi çevrə üzərindədirmi? Koordinat başlanğıcı çevrənin daxilindədirmi?
2) A(−1; 2) və B(5; 10) nöqtələri çevrənin diametrinin uclarıdır. Çevrənin tənliyini yazın.
3) Mərkəzi (4; −3) olan və Ox oxuna toxunan çevrənin tənliyini yazın.

Həllini göstər

1) (x − 2)² + (y + 3)² = 25. A: (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25 — çevrə üzərindədir. O(0; 0): 4 + 9 = 13 < 25 — daxilindədir.
2) Mərkəz diametrin ortasıdır: (2; 6). R = AB / 2 = √(36 + 64) / 2 = 10 / 2 = 5. (x − 2)² + (y − 6)² = 25.
3) Mərkəzdən Ox oxuna qədər məsafə |−3| = 3-dür, bu da radiusdur: (x − 4)² + (y + 3)² = 9.

Sol tərəf mərkəzə qədər məsafənin kvadratı olduğu üçün (x₀; y₀) nöqtəsinin yerini asan tapmaq olur: (x₀ − a)² + (y₀ − b)² < R² — nöqtə çevrənin daxilindədir, = R² — çevrə üzərindədir, > R² — xaricindədir. Tənlik açılmış şəkildə verilibsə, x və y üçün tam kvadrat ayırırıq, bu üsulu «Kvadrat tənliklər» dərsindən tanıyırsan.

Tam kvadrat ayırmaq və Wi-Fi

1) x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 çevrəsinin mərkəzini və radiusunu tapın.
2) x² + y² + 2x − 4y + 10 = 0 tənliyi çevrəni ifadə edirmi?
3) Wi-Fi routeri koordinat başlanğıcındadır və 15 m radiusda işləyir (vahidlər metrdir). Telefon (9; 13) və (9; 12) nöqtələrində siqnal tutacaqmı?

Həllini göstər

1) (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Mərkəz (3; −2), R = 5.
2) (x + 1)² + (y − 2)² = −10 + 1 + 4 = −5. Kvadratlar cəmi mənfi ola bilməz: heç bir nöqtə yoxdur, bu çevrə deyil.
3) 9² + 13² = 81 + 169 = 250 > 225 = 15² — (9; 13) xaricdədir, siqnal yoxdur.
9² + 12² = 81 + 144 = 225 — (9; 12) düz sərhəddədir (məsafə 15 m).

Düz xətt və çevrə harada görüşür

Düz xətlə çevrənin ortaq nöqtələri onların tənliklər sisteminin həlləridir. Düz xəttin tənliyindən y-i çevrənin tənliyində yerinə qoysaq, x-ə nəzərən kvadrat tənlik alınır. Onun diskriminantı hər şeyi həll edir: D > 0 — iki ortaq nöqtə (düz xətt kəsəndir), D = 0 — bir nöqtə (toxunan), D < 0 — ortaq nöqtə yoxdur. Həndəsi olaraq eyni cavabı mərkəzdən düz xəttə qədər d məsafəsini R radiusu ilə müqayisə etməklə alırıq.

Hər şeyi d ilə R-in müqayisəsi həll edir.

d < R — 2 ortaq nöqtə; d = R — 1 (toxunan); d > R — ortaq nöqtə yoxdur

burada:

dçevrənin mərkəzindən düz xəttə qədər məsafə
Rçevrənin radiusu

Toxunan toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır (bax: «Çevrə: vətər, toxunan, mərkəzi və daxilə çəkilmiş bucaqlar» dərsi).

1
Düz xətti y = kx + b şəklində yaz
Şaquli düz xətt üçün x = x₀ götür və onu yerinə qoy.
2
Çevrənin tənliyində yerinə qoy
Mötərizələri aç və x-ə nəzərən kvadrat tənlik al.
3
Diskriminantın işarəsinə bax
D > 0 — iki nöqtə, D = 0 — toxunma, D < 0 — ortaq nöqtə yoxdur.
4
y-i tap
Tapılan x qiymətlərini düz xəttin tənliyində yerinə qoy.
5
Yoxla
Hər nöqtə hər iki tənliyi ödəməlidir.

Düz xətt və çevrə: üç hal

Ortaq nöqtələri tapın:
1) x² + y² = 25 və y = x + 1;
2) x² + y² = 25 və 3x + 4y − 25 = 0;
3) (x − 2)² + (y + 1)² = 4 və y = x + 3.

Həllini göstər

1) x² + (x + 1)² = 25 ⇒ 2x² + 2x − 24 = 0 ⇒ x² + x − 12 = 0, D = 1 + 48 = 49 > 0 ⇒ x = 3 və ya x = −4.
y = 4 və ya y = −3. Cavab: (3; 4) və (−4; −3) — kəsən.
2) d = |0 + 0 − 25| / √(9 + 16) = 25 / 5 = 5 = R — toxunan. y = (25 − 3x) / 4 yerinə qoysaq: 16x² + (25 − 3x)² = 400 ⇒ 25x² − 150x + 225 = 0 ⇒ (x − 3)² = 0 ⇒ x = 3, y = 4. Toxunma nöqtəsi (3; 4).
3) Düz xətt: x − y + 3 = 0, mərkəz (2; −1), R = 2. d = |2 + 1 + 3| / √2 = 6/√2 = 3√2 ≈ 4,24 > 2 — ortaq nöqtə yoxdur.

Parametrli toxunan

b-nin hansı qiymətlərində y = x + b düz xətti x² + y² = 8 çevrəsinə toxunur? Toxunma nöqtələrini tapın.

Həllini göstər

Düz xətt: x − y + b = 0. d = |b| / √2, R = √8 = 2√2.
|b| / √2 = 2√2 ⇒ |b| = 4 ⇒ b = 4 və ya b = −4.
Diskriminantla yoxlama: x² + (x + b)² = 8 ⇒ 2x² + 2bx + b² − 8 = 0, D = 4b² − 8(b² − 8) = 64 − 4b² = 0 ⇒ b² = 16.
Toxunma nöqtəsi x = −b/2: b = 4 üçün (−2; 2), b = −4 üçün (2; −2).

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

a, b və R sürgüləri (x − a)² + (y − b)² = R² çevrəsini (iki yarım kimi çəkilir), k və m isə y = kx + m düz xəttini verir (b hərfi mərkəzə verildiyi üçün burada sərbəst hədd m-dir). Başlanğıcda x² + y² = 25 və y = x + 1: ortaq nöqtələr (3; 4) və (−4; −3). m-i artır: m = 7 olanda düz xətt hələ kəsəndir, m = 7,5 olanda isə çevrədən ayrılır — toxunma m = 5√2 ≈ 7,07-də baş verir. Oxlarda miqyas fərqli ola bilər, ona görə çevrə oval kimi görünə bilər.

Özünü yoxla: boşluğu doldur

1.A(1; 2), B(4; 6): AB =
2.A(−2; 5) və B(4; 1) parçasının ortasının absisi: x =
3.y = 3x − 1 düz xəttinə perpendikulyar düz xəttin bucaq əmsalı: k =
4.(x − 3)² + (y + 1)² = 49 çevrəsinin radiusu: R =
5.O(0; 0) nöqtəsindən 3x + 4y − 10 = 0 düz xəttinə qədər məsafə: d =

Əsas fikirlər

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); parçanın ortasının koordinatları ucların koordinatlarının ədədi ortasıdır.
İstənilən düz xətt: Ax + By + C = 0; şaquli olmayan düz xətt: y = kx + b, k = tg α = Δy / Δx; nöqtədən keçən: y − y₀ = k(x − x₀).
Paralel düz xətlər: k₁ = k₂; perpendikulyar düz xətlər: k₁ · k₂ = −1, ümumi şəkildə A₁A₂ + B₁B₂ = 0.
Nöqtədən düz xəttə qədər məsafə: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
Çevrə: (x − a)² + (y − b)² = R²; açılmış tənlikdə mərkəzi və radiusu tam kvadrat ayırmaqla tapırıq.
Düz xətt və çevrə: yerinə qoyub diskriminanta bax və ya d-ni R ilə müqayisə et — 2, 1 və ya 0 ortaq nöqtə.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Mərkəzi (a; b), radiusu R olan çevrənin tənliyi hansıdır?