Törəmələr cədvəli

Birinci dərsdə törəməni tərifə əsasən tapırdıq: arqumentin artımı, funksiyanın artımı, nisbət, limit — hər yeni funksiya üçün eyni uzun yol. Hər məsələdə sin x və ya √x üçün bu limiti yenidən hesablamaq həm yorucudur, həm də çox vaxt aparır. Riyaziyyatçılar bu işi bütün əsas funksiyalar üçün bir dəfə görüb, nəticələri törəmələr cədvəlində toplayıblar. Cədvəl vurma cədvəli kimi işləyir: 7 · 8-i barmaqla saymırsan — sadəcə 56 olduğunu bilirsən. Bu dərsdə cədvəli öyrənəcək, hər sətrin haradan gəldiyini görəcək və ondan avtomatik istifadə edənə qədər məşq edəcəksən.

Cədvəl bir baxışda

Aşağıda məktəb kursunun bütün əsas funksiyalarının törəmələri verilib. Sol sütunda funksiya, ortada onun törəməsi, sağda isə düsturun doğru olduğu şərtlər yazılıb. İki ümumi qayda var: düstur yalnız funksiyanın özünün təyin olunduğu (və diferensiallanan olduğu) nöqtələrdə işləyir, triqonometrik düsturlarda isə x həmişə radianla ölçülür.

1. 1
   Növü tanı

   x harada durur? Əsasdadırsa (xⁿ) — qüvvət funksiyası, üstdədirsə (aˣ) — üstlü funksiya, ln və ya log işarəsi altındadırsa — loqarifmik, sin, cos, tg, ctg altındadırsa — triqonometrik funksiyadır. İfadədə x yoxdursa, bu sabitdir və törəməsi 0-dır.

2. 2
   Lazım olsa, çevir

   Kökü və kəsri qüvvət şəklində yaz: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³. Bundan sonra bu, adi qüvvət funksiyasıdır.

3. 3
   Cədvəldən yaz

   f′(x)-i cədvəldən yaz və şərtləri yoxla: ln x və √x üçün x > 0, triqonometrik funksiyalarda x radianla.

4. 4
   Qiyməti hesabla

   Törəmənin x₀ nöqtəsindəki qiyməti soruşulursa, x₀-ı f(x)-ə yox, f′(x)-ə yaz və sadələşdir.

Sabit, xətti funksiya və qüvvət funksiyası

Sabit dəyişmir: f(x) = C üçün istənilən Δx-də Δf = C − C = 0, deməli Δf / Δx = 0 və C′ = 0. Onun qrafiki üfüqi düz xəttdir, üfüqi düz xəttin bucaq əmsalı isə 0-dır. f(x) = kx + b üçün Δf = k(x + Δx) + b − (kx + b) = k · Δx, yəni istənilən Δx-də Δf / Δx = k. Xətti funksiyanın törəməsi onun bucaq əmsalıdır və bütün nöqtələrdə eynidir; xüsusi halda x′ = 1.

İndi natural n üçün f(x) = xⁿ götürək. (x + Δx)ⁿ ifadəsini n ədəd (x + Δx) mötərizəsinin hasili kimi yaz. Hər mötərizədən x götürsək, xⁿ alınır. Yalnız bir mötərizədən Δx, qalanlarından x götürsək, xⁿ⁻¹ · Δx alınır; belə mötərizəni n üsulla seçmək olar, ona görə cəmi n · xⁿ⁻¹ · Δx olur. Qalan bütün hədlərdə ən azı (Δx)² var, ona görə Δx-ə böləndən sonra onlarda Δx qalır və onlar sıfıra yaxınlaşır.

Məsələn, n = 3 üçün (x + Δx)³ = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³. Onda Δf = 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ və Δf / Δx = 3x² + 3xΔx + (Δx)² → 3x². Deməli, (x³)′ = 3x²: üst önə vuruq kimi keçdi, özü isə 1 vahid azaldı.

Eyni düstur mənfi və kəsr üstlər üçün də doğrudur. İki halı birbaşa yoxlayaq. 1/x = x⁻¹ üçün: Δf = 1/(x + Δx) − 1/x = −Δx / (x(x + Δx)), Δf / Δx = −1 / (x(x + Δx)) → −1/x². Düstur da eyni cavabı verir: (x⁻¹)′ = −1 · x⁻² = −1/x². √x = x^(1/2) üçün surəti və məxrəci √(x + Δx) + √x ifadəsinə vuraq: Δf / Δx = (√(x + Δx) − √x) / Δx = 1 / (√(x + Δx) + √x) → 1/(2√x), düstur isə ½ · x^(−1/2) = 1/(2√x) verir. İstənilən həqiqi n üçün ümumi isbat ali riyaziyyatda verilir, məktəbdə isə düsturdan hazır şəkildə istifadə edilir.

Üstlü və loqarifmik funksiyalar

y = aˣ funksiyasında x qüvvətin üstündədir, ona görə qüvvət düsturu burada işləmir. Artımı hesablayaq: a^(x + Δx) − aˣ = aˣ · (a^Δx − 1), deməli Δf / Δx = aˣ · (a^Δx − 1) / Δx. İkinci vuruq x-dən asılı deyil: Δx → 0 olduqda o, aˣ qrafikinin (0; 1) nöqtəsindəki bucaq əmsalına yaxınlaşır. Deməli, üstlü funksiyanın törəməsi funksiyanın özünün sabit ədədə hasilidir.

Bu sabit əsasdan asılıdır: 2ˣ üçün təxminən 0,69, 3ˣ üçün isə təxminən 1,10-dur. Kalkulyatorla yoxlamaq olar: (2^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 0,693, (3^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 1,099. Deməli, 2 ilə 3 arasında elə bir əsas var ki, onun üçün (0; 1) nöqtəsində bucaq əmsalı düz 1-ə bərabərdir. Bu əsas e ədədidir.

a = e olduqda sabit 1-ə bərabərdir, ona görə (eˣ)′ = eˣ: bu funksiya öz törəməsinə bərabərdir. Hər nöqtədə eˣ qrafikinin bucaq əmsalı onun hündürlüyünə bərabərdir: x = 0 olduqda hər ikisi 1-dir, x = 2 olduqda hər ikisi e² ≈ 7,39-dur. Başqa əsas üçün a = e^(ln a) yazaq; onda aˣ = e^(kx), burada k = ln a sabitdir. x-i k-ya vurmaq qrafikin bütün bucaq əmsallarını da k-ya vurur (dəqiq səbəbi 5-ci dərsdə, mürəkkəb funksiyanın törəməsində görəcəyik), ona görə (aˣ)′ = k · e^(kx) = aˣ · ln a. Yoxlama: ln 2 ≈ 0,693 və ln 3 ≈ 1,099 — yuxarıda ölçdüyümüz ədədlərin eynisi.

Qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir. Belə əks etdirmədə Δx və Δy yerlərini dəyişir, ona görə bucaq əmsalı k olan düz xətt bucaq əmsalı 1/k olan düz xəttə keçir. eˣ qrafikində (t; eᵗ) nöqtəsini götürək: orada bucaq əmsalı eᵗ-dir. Ona simmetrik olan (eᵗ; t) nöqtəsi ln x qrafikindədir və orada bucaq əmsalı 1/eᵗ olur. x = eᵗ işarə etsək, (ln x)′ = 1/x alınır.

Başqa əsaslı loqarifm yeni əsasa keçid düsturu ilə ln-ə gətirilir: logₐ x = ln x / ln a. Burada 1/ln a sadəcə sabit vuruqdur, ona görə (logₐ x)′ = 1/(x · ln a). Onluq loqarifm lg x = log₁₀ x üçün: (lg x)′ = 1/(x · ln 10) ≈ 0,434/x.

Triqonometrik funksiyalar

Hər şey bir limitə əsaslanır: x radianla ölçüldükdə h → 0 olduqda sin h / h → 1. Həndəsi mənası: vahid çevrədə uzunluğu h olan kiçik qövs və onun ucundan Ox oxuna endirilmiş sin h perpendikulyarı demək olar ki, bərabərdir. Ədədlərlə: sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,9983, sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998.

Triqonometriyadan sinusların fərqi düsturunu bilirik: sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) · sin((α − β)/2). Onda sin(x + h) − sin x = 2 cos(x + h/2) · sin(h/2) və h-a bölsək:
(sin(x + h) − sin x) / h = cos(x + h/2) · sin(h/2) / (h/2) → cos x · 1 = cos x.
Eyni qayda ilə kosinusların fərqi düsturu cos(x + h) − cos x = −2 sin(x + h/2) · sin(h/2) bərabərliyini verir, buradan (cos x)′ = −sin x.

Tangens və kotangens qismətdir: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Onların törəmələrini 4-cü dərsdə qismətin törəməsi qaydası ilə çıxaracağıq, indilik isə cədvəldən götürürük. Qeyd et ki, 1/cos² x = 1 + tg² x, ona görə (tg x)′ həmişə müsbətdir: tangens təyin oblastının hər aralığında artır. Eyni qayda ilə (ctg x)′ = −1/sin² x < 0: kotangens hər aralıqda azalır.

Cədvəllə işləmək: yoxlama və məşq

Cədvəl tərsinə də işləyir: törəmənin qiyməti məlumdursa, nöqtəni tapmaq olar. Bu bacarıq toxunan məsələlərində (bucaq əmsalı harada verilmiş ədədə bərabərdir?) və 6-cı dərsdə (törəmə harada sıfıra bərabərdir?) lazım olacaq.

Cədvəl növbəti iki dərsin təməlidir. 4-cü dərsdə cədvəldəki funksiyaların cəmini, hasilini və qismətini (məsələn, x² · sin x) diferensiallamağı, 5-ci dərsdə isə sin 3x və ya e^(x²) kimi mürəkkəb funksiyaların törəməsini öyrənəcəyik. Hər belə hesablama sonda bu cədvəlin bir sətrinə gəlib çıxır — ona görə onu əzbər bilmək lazımdır.