Cəmin, hasilin və qismətin törəməsi

Bu dərsdə öyrənəcəksən

Cəmin, fərqin və sabit vuruğun törəməsi qaydaları ilə istənilən çoxhədlinin törəməsini tapmaq və törəmənin nöqtədəki qiymətini hesablamaq
Hasil qaydasını iki və üç vuruq üçün tətbiq etmək və hasilin törəməsinin niyə u′ · v′ olmadığını izah etmək
Qismət qaydası ilə kəsrlərin törəməsini tapmaq və tg x, ctg x funksiyalarının törəmələrini çıxarmaq
İfadəni əvvəlcə sadələşdirməyin nə vaxt daha sərfəli olduğunu görmək və cavabı iki yolla yoxlamaq

Leyla evdə şəkərbura bişirib qutu ilə satır. Onun həftəlik gəliri bir qutunun qiymətinin satılan qutuların sayına hasilidir: R = p · q. Novruz yaxınlaşdıqca hər ikisi artır: qiymət həftədə 0,5 manat, satış isə həftədə 5 qutu artır. Gəlir hansı sürətlə artır? Sürətləri sadəcə vurmaq (0,5 · 5 = 2,5) ilk ağla gələn yoldur, amma səhvdir. Cəmin, hasilin və qismətin törəməsini tapmağın öz qaydaları var — bu dərsdə onları öyrənəcək və Leylanın məsələsini də həll edəcəyik.

Əvvəlki dərsdə törəmələr cədvəlini öyrəndik: xⁿ, √x, eˣ, ln x, sin x, cos x kimi əsas funksiyaların törəmələrini bilirik. Məsələlərdə isə funksiyalar bu «kərpiclərdən» toplama, çıxma, vurma və bölmə ilə qurulur: 3x² − 5x, x² · sin x, ln x / x. Funksiyanın funksiyası (sin 2x, (3x − 2)⁵ kimi) isə növbəti dərsin — mürəkkəb funksiyanın törəməsinin mövzusudur.

Tərif

Diferensiallama qaydaları

Funksiyaların cəminin, fərqinin, sabitə hasilinin, hasilinin və qismətinin törəməsini bu funksiyaların özləri və törəmələri ilə ifadə edən düsturlar. Onlarla cədvəl funksiyalarından dörd hesab əməli ilə qurulan istənilən ifadəni diferensiallamaq olar.

Cəmin, fərqin və sabit vuruğun törəməsi

Niyə cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir? f = u + v olsun. Arqument Δx qədər dəyişəndə u funksiyası Δu, v funksiyası Δv qədər dəyişir, cəm isə Δf = Δu + Δv qədər. Hər iki tərəfi Δx-ə bölək: Δf / Δx = Δu / Δx + Δv / Δx. Δx → 0 olduqda sağdakı nisbətlər u′ və v′-ə yaxınlaşır, deməli, f′ = u′ + v′. Sabit vuruqla da belədir: C · u funksiyasının artımı C · Δu-dur, ona görə C törəmə işarəsi xaricinə çıxır.

(u ± v)′ = u′ ± v′

burada:

u, vx-dən asılı diferensiallanan funksiyalar
u′, v′onların törəmələri

Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Qayda istənilən sayda toplanan üçün doğrudur: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Cəmin törəməsi

Törəməni tap: 1) y = x³ + sin x; 2) y = eˣ − ln x; 3) y = √x + 1/x − 5.

Həllini göstər

1) y′ = (x³)′ + (sin x)′ = 3x² + cos x.
2) y′ = (eˣ)′ − (ln x)′ = eˣ − 1/x.
3) y′ = (√x)′ + (1/x)′ − (5)′ = 1/(2√x) − 1/x² − 0 = 1/(2√x) − 1/x².
Hər toplanan ayrıca diferensiallanır; sabit toplananın törəməsi 0-dır, ona görə o itir.

(C · u)′ = C · u′

burada:

Csabit ədəd (məsələn, 5, −3, π, 1/2)
ux-dən asılı diferensiallanan funksiya

Sabit vuruq törəmə işarəsi xaricinə çıxarılır. Məxrəcdəki sabit də vuruqdur: x³/6 = (1/6) · x³.

Sabit vuruq

Törəməni tap: 1) y = 7x⁴; 2) y = −3 cos x; 3) y = x³/6; 4) y = 5/x.

Həllini göstər

1) y′ = 7 · (x⁴)′ = 7 · 4x³ = 28x³.
2) y′ = −3 · (cos x)′ = −3 · (−sin x) = 3 sin x.
3) y = (1/6) · x³, y′ = (1/6) · 3x² = x²/2.
4) y = 5 · (1/x), y′ = 5 · (−1/x²) = −5/x².
Müqayisə et: (x² + 5)′ = 2x — toplanan olan sabit itir; (5x²)′ = 10x — vuruq olan sabit qalır.

Tərif

Törəmənin xəttiliyi

Cəm və sabit vuruq qaydalarının birgə ifadəsi: sabit əmsallarla toplanmış funksiyaların törəməsi onların törəmələrinin eyni əmsallarla cəminə bərabərdir. Məsələn, 3 · sin x − 2 · eˣ funksiyasının törəməsi 3 · cos x − 2 · eˣ-dir.

(aₙxⁿ + … + a₂x² + a₁x + a₀)′ = n · aₙxⁿ⁻¹ + … + 2a₂x + a₁

burada:

aₙ, …, a₁, a₀çoxhədlinin əmsalları (sabit ədədlər), a₀ — sərbəst hədd
nçoxhədlinin dərəcəsi (natural ədəd)

Çoxhədli hədd-hədd diferensiallanır: hər həddə (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹ qaydası tətbiq olunur, əmsal saxlanılır, sərbəst hədd a₀ isə itir. Törəmənin dərəcəsi bir vahid azalır.

Çoxhədlilər, köklər və kəsrlər

Törəməni tap: 1) y = 4x³ − 5x² + 7x − 1; 2) y = 2x⁵ − x³/3 + 6; 3) y = 3x⁴ − 2√x + 5/x − 7; 4) y = 6∛x − 4/x² + x/2. 5) f(x) = x³ − 6x² + 5 olduqda f′(2) və f′(−1) qiymətlərini hesabla.

Həllini göstər

1) y′ = 4 · 3x² − 5 · 2x + 7 − 0 = 12x² − 10x + 7.
2) y′ = 2 · 5x⁴ − (1/3) · 3x² + 0 = 10x⁴ − x².
3) √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹: y′ = 12x³ − 2 · 1/(2√x) + 5 · (−1/x²) − 0 = 12x³ − 1/√x − 5/x².
4) Əvvəlcə qüvvət şəklində yazırıq: y = 6x^(1/3) − 4x⁻² + (1/2)x.
y′ = 6 · (1/3) · x^(−2/3) − 4 · (−2) · x⁻³ + 1/2 = 2/∛(x²) + 8/x³ + 1/2.
5) f′(x) = 3x² − 12x, f′(2) = 12 − 24 = −12, f′(−1) = 3 + 12 = 15.
Əvvəlcə törəmə, sonra qiymət: x = 2-ni diferensiallamadan əvvəl yazsaq, f(2) ədədinin törəməsi, yəni 0 alınar.

Hasilin törəməsi

Hasil qaydasını düzbucaqlı üzərində görmək asandır. Tərəfləri u və v olan düzbucaqlının sahəsi S = u · v-dir. Arqument Δx qədər artanda tərəflər Δu və Δv qədər uzanır və sahəyə üç parça əlavə olunur: Δu · v zolağı, u · Δv zolağı və kiçik künc Δu · Δv. Deməli, ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv.

Sahənin artımı: ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv. Δx-ə bölüb Δx → 0 götürəndə zolaqlar u′ · v və u · v′ verir, künc isə yox olur.

İndi Δx-ə bölək: ΔS / Δx = (Δu / Δx) · v + u · (Δv / Δx) + (Δu / Δx) · Δv. Δx → 0 olduqda birinci iki toplanan u′ · v və u · v′-ə yaxınlaşır. Üçüncüdə Δu / Δx → u′, amma Δv → 0, ona görə bu toplanan sıfıra gedir. Kiçik künc yox olur və hasil qaydası qalır.

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

burada:

u, vvuruqlar — x-dən asılı diferensiallanan funksiyalar
u′, v′vuruqların törəmələri

Hasilin törəməsi: «birincinin törəməsi vurulsun ikinciyə, üstəgəl birinci vurulsun ikincinin törəməsinə». Toplananların yerini dəyişmək olar: u · v′ + u′ · v də doğrudur.

Hasil qaydası: cədvəl funksiyaları

Törəməni tap: 1) y = x² · sin x; 2) y = x³ · ln x; 3) y = eˣ · cos x; 4) y = x · eˣ, sonra y′(−1)-i hesabla.

Həllini göstər

1) u = x², v = sin x, u′ = 2x, v′ = cos x.
y′ = 2x · sin x + x² · cos x.
2) u = x³, v = ln x, u′ = 3x², v′ = 1/x.
y′ = 3x² · ln x + x³ · (1/x) = 3x² ln x + x² = x²(3 ln x + 1).
3) y′ = (eˣ)′ · cos x + eˣ · (cos x)′ = eˣ cos x − eˣ sin x = eˣ(cos x − sin x).
4) y′ = 1 · eˣ + x · eˣ = (x + 1)eˣ, y′(−1) = 0 · e⁻¹ = 0.
Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq faydalıdır: sonra törəmənin işarəsini tapmaq asan olur.

Mötərizələri açmaqla yoxlama

y = (x² + 1)(x − 3) funksiyasının törəməsini iki yolla tap və y′(1)-i hesabla.

Həllini göstər

1-ci yol (hasil qaydası): u = x² + 1, v = x − 3, u′ = 2x, v′ = 1.
y′ = 2x · (x − 3) + (x² + 1) · 1 = 2x² − 6x + x² + 1 = 3x² − 6x + 1.
2-ci yol (əvvəlcə mötərizələri aç): y = x³ − 3x² + x − 3, y′ = 3x² − 6x + 1.
Cavablar eynidir. y′(1) = 3 − 6 + 1 = −2.
Səhv «qayda» u′ · v′ isə 2x · 1 = 2x verərdi — tamam başqa funksiya.

Niyə (u · v)′ ≠ u′ · v′? Ən sadə yoxlama: x² = x · x. Doğru cavab (x²)′ = 2x-dir, «törəmələri vurmaq» isə 1 · 1 = 1 verərdi. Şəkil səbəbi də göstərir: u′ · v′ yalnız kiçik küncdə yaranır (Δu · Δv / Δx ≈ u′ · v′ · Δx), məhz bu parça da Δx → 0 olduqda yox olur. Qaydanı qalan iki zolaq verir.

İnteraktiv

Simulyasiya yüklənir…

Birinci qrafik f(x) = x² · sin x-dir. İkinci düz xəttin bucaq əmsalı hasil qaydası ilə tapılıb: f′(a) = 2a · sin a + a² · cos a — bu xətt qrafikə absisi a olan nöqtədə toxunur. Üçüncü düz xəttin bucaq əmsalı səhv «qayda» ilə götürülüb: 2a · cos a — a-nın əksər qiymətlərində bu xətt qrafiki kəsir. a-nı dəyiş və müqayisə et.

Üç vuruğun hasilində qaydanı iki dəfə tətbiq edirik, əvvəlcə u · v-ni bir vuruq sayırıq: (u · v · w)′ = (u · v)′ · w + (u · v) · w′. Birinci mötərizəni də açsaq, aşağıdakı düstur alınır.

(u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v′ · w + u · v · w′

burada:

u, v, wx-dən asılı üç diferensiallanan vuruq

Neçə vuruq varsa, o qədər toplanan olur: hər toplananda növbə ilə yalnız bir vuruq diferensiallanır, qalanları olduğu kimi qalır.

Üç vuruq

1) y = x(x + 1)(x + 2) funksiyasının törəməsini üç vuruq qaydası ilə tap və mötərizələri açaraq yoxla. 2) y = x · eˣ · sin x funksiyasının törəməsini tap.

Həllini göstər

1) u = x, v = x + 1, w = x + 2; u′ = v′ = w′ = 1.
y′ = (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) + x(x + 1) = (x² + 3x + 2) + (x² + 2x) + (x² + x) = 3x² + 6x + 2.
Yoxlama (mötərizələri açaraq): y = x³ + 3x² + 2x, y′ = 3x² + 6x + 2 — eyni cavab.
2) y′ = 1 · eˣ · sin x + x · eˣ · sin x + x · eˣ · cos x = eˣ(sin x + x sin x + x cos x).

Leylanın gəliri

Hazırda şəkərburanın bir qutusu p = 12 manatdır, həftədə q = 40 qutu satılır. Qiymət həftədə 0,5 manat, satış həftədə 5 qutu artır: p′ = 0,5, q′ = 5. Həftəlik gəlir R = p · q hansı sürətlə artır?

Həllini göstər

1) Hasil qaydası: R′ = p′ · q + p · q′.
2) R′ = 0,5 · 40 + 12 · 5 = 20 + 60 = 80 (manat/həftə).
3) 20 manat qiymətin artmasından, 60 manat satışın artmasından gəlir.
Cavab: gəlir həftədə təxminən 80 manat artır. Sürətlərin hasili 0,5 · 5 = 2,5 isə 32 dəfə kiçik, səhv cavab verərdi.
Yoxlama: qiymət və satış bir həftə bu sürətlə artsa, gəlir 12 · 40 = 480 manatdan 12,5 · 45 = 562,5 manata çatar, yəni 82,5 manat artar. 80-dən fərq (2,5 manat) məhz düzbucaqlının kiçik küncüdür: Δp · Δq = 0,5 · 5.

Qismətin törəməsi

Qismət qaydasını hasil qaydasından almaq olar. q = u / v olsun; onda u = q · v. Hasil qaydasına görə u′ = q′ · v + q · v′. Buradan q′ = (u′ − q · v′) / v = (u′ − (u / v) · v′) / v. Surəti və məxrəci v-yə vursaq, qismət qaydası alınır.

(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²

burada:

usurət — x-dən asılı diferensiallanan funksiya
vməxrəc, v ≠ 0
u′, v′surətin və məxrəcin törəmələri

Qismətin törəməsi: surətdə «−» olduğu üçün toplananların sırası vacibdir — surət həmişə u′ · v ilə başlayır; məxrəcdə v kvadratdadır.

Qismət qaydası

Törəməni tap: 1) y = (2x + 1)/(x − 3); 2) y = x/(x + 1); 3) y = ln x / x; 4) y = sin x/(1 + cos x).

Həllini göstər

1) u = 2x + 1, v = x − 3, u′ = 2, v′ = 1.
y′ = (2 · (x − 3) − (2x + 1) · 1)/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
2) y′ = (1 · (x + 1) − x · 1)/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
3) u = ln x, v = x, u′ = 1/x, v′ = 1.
y′ = ((1/x) · x − ln x · 1)/x² = (1 − ln x)/x².
4) y′ = (cos x · (1 + cos x) − sin x · (−sin x))/(1 + cos x)² = (cos x + cos² x + sin² x)/(1 + cos x)² = (1 + cos x)/(1 + cos x)² = 1/(1 + cos x).
Son addımda sin² x + cos² x = 1 eyniliyindən istifadə etdik.

Surət sabit olduqda (u = C) onun törəməsi sıfırdır və qismət qaydasının birinci toplananı itir: (C / v)′ = (0 · v − C · v′) / v². Belə kəsrlərdə qısa düsturu işlətmək rahatdır.

(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²

burada:

Csabit ədəd (surət)
vməxrəc, v ≠ 0
v′məxrəcin törəməsi

Surəti sabit olan kəsrin törəməsi. Diqqət: (C / v)′ ≠ C / v′.

Surəti sabit olan kəsrlər

Törəməni tap: 1) y = 1/(x² + 1); 2) y = 5/(x − 2); 3) y = 3/(eˣ + 1); 4) y = 1/sin x. 5) Cədvəldəki (1/x)′ = −1/x² düsturunu yoxla.

Həllini göstər

1) v = x² + 1, v′ = 2x: y′ = −2x/(x² + 1)².
2) C = 5, v = x − 2, v′ = 1: y′ = −5/(x − 2)².
3) C = 3, v = eˣ + 1, v′ = eˣ: y′ = −3eˣ/(eˣ + 1)².
4) v = sin x, v′ = cos x: y′ = −cos x / sin² x.
5) v = x, v′ = 1: (1/x)′ = −1/x² — cədvəldəki düsturla üst-üstə düşür.

tg x və ctg x-in törəmələrinin çıxarılışı

tg x = sin x / cos x və ctg x = cos x / sin x olduğunu bilərək (tg x)′ və (ctg x)′ düsturlarını qismət qaydası ilə çıxar. Sonra (tg x)′-i x = π/4, (ctg x)′-i x = π/6 nöqtəsində hesabla.

Həllini göstər

1) (tg x)′ = ((sin x)′ · cos x − sin x · (cos x)′)/cos² x = (cos x · cos x + sin x · sin x)/cos² x = (cos² x + sin² x)/cos² x = 1/cos² x (cos x ≠ 0).
2) (ctg x)′ = ((cos x)′ · sin x − cos x · (sin x)′)/sin² x = (−sin² x − cos² x)/sin² x = −1/sin² x (sin x ≠ 0).
3) x = π/4: 1/cos²(π/4) = 1/(1/2) = 2. x = π/6: −1/sin²(π/6) = −1/(1/4) = −4.
Əsas triqonometrik eynilik sin² x + cos² x = 1 hər iki surəti bir ədədə çevirir. Cədvəldəki bu iki sətri unutsan belə, onları yarım dəqiqəyə yenidən çıxara bilərsən.

Əvvəlcə sadələşdir, sonra diferensialla

Qaydalar həmişə düzgün cavab verir, amma həmişə ən qısa yolla yox. Diferensiallamadan əvvəl ifadəyə bir saniyə bax — bəlkə onu hasil və qismət qaydası tələb etməyən cəmə çevirmək olar:

Mötərizələri aç — hasil iki kiçik çoxhədlidirsə: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10, törəməsi 2x − 3.
Kəsri hədd-hədd böl — məxrəc birhədlidirsə: (x² + 1)/x = x + 1/x.
Kökləri və 1/xⁿ-i qüvvət şəklində yaz: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³, 1/√x = x^(−1/2).

İki yol — bir cavab

Törəməni əvvəlcə qayda ilə, sonra sadələşdirərək tap: 1) y = (x² + 1)/x; 2) y = (x³ − 2√x)/x; 3) y = (x² − 4)/(x − 2).

Həllini göstər

1) Qismət qaydası: y′ = (2x · x − (x² + 1) · 1)/x² = (x² − 1)/x².
Sadələşdirərək: y = x + x⁻¹, y′ = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Cavab eynidir.
2) Qismət qaydası: y′ = ((3x² − 1/√x) · x − (x³ − 2√x) · 1)/x² = (3x³ − √x − x³ + 2√x)/x² = (2x³ + √x)/x² = 2x + 1/(x√x).
Sadələşdirərək: y = x² − 2x^(−1/2), y′ = 2x − 2 · (−1/2) · x^(−3/2) = 2x + 1/(x√x). İkinci yol xeyli qısadır.
3) x ≠ 2 olduqda y = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, ona görə y′ = 1.
Qismət qaydası da bunu təsdiqləyir: y′ = (2x(x − 2) − (x² − 4))/(x − 2)² = (x² − 4x + 4)/(x − 2)² = 1.

Hər hansı ifadənin törəməsini tapanda bu ardıcıllıqla işlə:

1
Quruluşu tanı
İfadəni hesablasaydın, sonuncu əməl hansı olardı? Toplama və ya çıxma — cəm qaydası, vurma — hasil qaydası, bölmə — qismət qaydası. Sabit vuruğu dərhal xaricə çıxar.
2
Sadələşdirməyə bax
Mötərizələri aç, məxrəci birhədli olan kəsri hədd-hədd böl, kökləri qüvvət kimi yaz. Bu, çox vaxt hasil və qismət qaydasını lazımsız edir.
3
u, v, u′, v′-i ayrıca yaz
Hasil və ya qismət qalırsa, dörd ifadəni ayrıca yaz: u, v və cədvəldən onların törəmələri u′, v′.
4
Düstura yerinə yaz
Hər ifadəni mötərizədə yaz; qismətdə surət u′ · v ilə başlayır, məxrəc v²-dir.
5
Sadələşdir və yoxla
Mötərizələri aç, oxşar hədləri islah et, ortaq vuruğu çıxar. Nəticəni ikinci yolla və ya sadə bir nöqtədə yoxla.

Qarışıq məşq

Törəməni tap: 1) y = (x² − 3x) · eˣ; 2) y = (1 + ln x)/x; 3) y = x · sin x + cos x; 4) y = (x + 1)/√x. 5) f(x) = eˣ · (x² − 2x + 2) olduqda f′(1)-i hesabla. 6) f(x) = x²/(x − 1) olduqda f′(3)-ü hesabla.

Həllini göstər

1) Hasil qaydası: y′ = (2x − 3) · eˣ + (x² − 3x) · eˣ = (x² − x − 3)eˣ.
2) Qismət qaydası: y′ = ((1/x) · x − (1 + ln x) · 1)/x² = (1 − 1 − ln x)/x² = −ln x / x².
3) Cəm və hasil qaydaları: y′ = (sin x + x cos x) + (−sin x) = x cos x.
4) Əvvəlcə kəsri böl: y = x^(1/2) + x^(−1/2), y′ = 1/(2√x) − 1/(2x√x) = (x − 1)/(2x√x).
5) f′(x) = eˣ(x² − 2x + 2) + eˣ(2x − 2) = x² · eˣ, f′(1) = e ≈ 2,72.
6) f′(x) = (2x(x − 1) − x² · 1)/(x − 1)² = (x² − 2x)/(x − 1)², f′(3) = (9 − 6)/2² = 3/4.

Özünü yoxla: törəmənin qiyməti

1.f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 1 olduqda f′(1) =
2.f(x) = x · eˣ olduqda f′(0) =
3.f(x) = (x² + 1)(x − 3) olduqda f′(3) =
4.f(x) = (2x + 1)/(x − 3) olduqda f′(4) =
5.f(x) = x/(x + 1) olduqda f′(1) =
6.f(x) = tg x olduqda f′(π/3) =

Bu dərsin qaydaları yalnız toplama, çıxma, vurma və bölməni əhatə edir. sin 2x, e^(3x) və ya (3x − 2)⁵ kimi funksiyalarda isə bir funksiya digərinin içindədir: (3x − 2)⁵-i açıb hədd-hədd diferensiallamaq olar, amma bu çox uzundur. Növbəti dərsdə mürəkkəb funksiyanın törəməsini öyrənəcəyik — o, belə funksiyaları bir addımda diferensiallamağa imkan verir.

Əsas fikirlər

(u ± v)′ = u′ ± v′ və (C · u)′ = C · u′: çoxhədli hədd-hədd diferensiallanır, sərbəst hədd itir, sabit vuruq qalır.
(u · v)′ = u′ · v + u · v′, (u · v)′ ≠ u′ · v′. Üç vuruqda üç toplanan olur, hər birində bir vuruq diferensiallanır.
(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²: surət u′ · v ilə başlayır, məxrəcdə kvadrat var.
Surət sabit olduqda (C / v)′ = −C · v′ / v²; qismət qaydası (tg x)′ = 1 / cos² x və (ctg x)′ = −1 / sin² x düsturlarını verir.
Mümkün olduqda əvvəlcə sadələşdir: mötərizələri aç, kəsri surətə görə böl, kökləri qüvvət kimi yaz — iki yolun cavabı eyni olmalıdır.
Törəmənin nöqtədəki qiyməti üçün əvvəlcə f′(x)-i tap, sonra x₀-ı yerinə yaz.

Özünü yoxla

12 sual. Hər düzgün cavab XP qazandırır.

1 / 12

Hasilin törəməsi düsturu hansıdır?